4.2.1 第2课时 等差数列及其通项公式的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

第2课时　等差数列及其通项公式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 题型(一)　等差数列的通项公式与一次函数的关系 1.等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d),n∈N*. (1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上; (2)这些点的横坐标每增加1,纵坐标增加d. 2.由等差数列和一次函数的关系可知,等差数列的单调性受公差d的影响. (1)当d>0时,数列为递增数列,如图①; (2)当d<0时,数列为递减数列,如图②; (3)当d=0时,数列为常数列,如图③. [例1]　(1)[多选]下列判断正确的是 (　　) A.等差数列{an}中,a3=4,a4=2,则数列{an}是递增数列 B.若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列,且an=kn2-n,则k=0 (2)已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=　　　　.  解析:(1)A项,公差d=a4-a3=-2<0,所以数列{an}是递减数列;因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,公差是一次函数图象的斜率,所以B、C、D均正确. (2)已知数列{an}是等差数列,可设an=kn+b. 由a15=8,a60=20得解得 ∴a75=×75+4=24. 答案:(1)BCD　(2)24 |思|维|建|模| 　　熟练掌握等差数列通项公式an=dn+(a1-d)=kn+b是关于n的一次函数型这一结构特征,并且公差d是一次项系数,它的符号决定了数列的单调性,d>0时,数列{an}为递增数列;d=0时,数列{an}为常数列;d<0时,数列{an}为递减数列. 　　[针对训练] 1.已知无穷等差数列{an}的各项均为正整数,且a9=2 024,则a1的最小值是　　　　.  解析:若等差数列{an}的各项均为正整数,且要求a1的最小值,则数列{an}是严格递增数列,于是公差d∈N*,因此a1=a9-8d=2 024-8d为正整数.因为a1关于d递减,而2 024=252×8+8,则当d=252时,a1取得最小值为8. 答案:8 题型(二)　等差数列的实际应用 [例2]　某公司购置了一台价值为230万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少20万元,设备使用n年后,其价值将低于购进价值的5%,设备将报废,则n的最小值为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:选B　设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则数列{an}满足an=an-1-20(n≥2).可得数列{an}是公差为-20的等差数列.因为购进设备的价值为230万元,这样a1=230-20=210,于是an=a1+(n-1)(-20)=230-20n,根据题意得an<230×5%=11.5⇒n≥11. |思|维|建|模| (1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列. (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 　　[针对训练] 2.《九章算术》是我国古代数学名著,其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗、一只狗与一只羊、一只羊与一头驴的价格之差均相等,一只羊与两只鸡的价格总数为200钱,一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格,甲买了一只鸡与一只狗,则甲花费的钱数为　　　　.  解析:由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列,设该数列为{an},公差为d,则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为a1,a2,a3,a4,由题意得⇒解得 故甲花费的钱数为a1+a2=2a1+d=120. 答案:120 题型(三)　等差数列的判定与证明 [例3]　已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)证明:因为an=2-,所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1,所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列. (2)由(1)知bn=n,所以bn==n(n∈N*),解得an=1+,所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N*). 　　[变式拓展] 　本例条件“an=2-(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解:数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=, ∴==+,∴-=, 即数列是首项为=,公差为d=的等差数列. |思|维|建|模| 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. (1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法. (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解. 　　[针对训练] 3.已知,,成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 证明:∵,,成等差数列,∴=+=,即b(a+c)=2ac. 要证lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列, 即证2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b), 只需证lg(a-c)2=lg[(a+c)(a+c-2b)], 即证(a-c)2=(a+c)(a+c-2b), 即证(a-c)2=(a+c)2-2b(a+c). ∵b(a+c)=2ac,∴(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=(a-c)2. ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 题型(四)　等差数列项的设法与求解 [例4]　已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数. 解:法一　设这三个数首项为a1,公差为d, 则 解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 法二　设这三个数为a-d,a,a+d, 则 解得或所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 　　[变式拓展] 　本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 又该数列是递增数列,所以d>0,所以a=±,d=, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. |思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 　　[针对训练] 4.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式. 解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,由题意,得 即解得 ∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4. ∴等差数列的首项为3,公差为4.∴an=3+4(n-1)=4n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $