专题09 圆锥曲线（5大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题09 圆锥曲线（5大考点） 5大考点概览 考点01曲线与方程 考点02抛物线 考点03椭圆 考点04双曲线 考点05直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题曲线与方程 考点1 1．（2026·广东佛山·一模）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，利用导数判断原函数单调性和极值，进而可得图象，结合图象分析交点个数即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递增， 当时，函数取到极大值；当时，函数取到极小值； 且当趋近于时，函数趋近于；当趋近于时，函数趋近于； 对于选项A：分别作出曲线和曲线的图象， 由图象可知：曲线与曲线有3个交点； 对于选项B：曲线， 用替换可得，即，方程不变，曲线关于y轴对称； 用替换可得，即，方程不变，曲线关于x轴对称； 且当且时，曲线即为， 据此可得曲线和曲线的图象，如图所示： 由图象可知：曲线与曲线有6个交点； 对于选项C：曲线即为， 由图象可知：曲线与曲线有4个交点； 对于选项D：曲线即为， 由图象可知：曲线与曲线有5个交点； 综上所述：与曲线交点个数最多的是. 故选：B. 2．（2026·广东·一模）已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，则得，设，求导判断其单调性，可得，进而，利用两点之间距离公式与二次函数的性质即可求得答案. 【详解】设，则得，显然，则， 设，则， 当时，，即函数在上单调递增， 又，则，此时，， 设曲线上任一点，则，且， 则， 故当时，取得最小值为. 二、多选题 3．（2026·广东汕头·一模）如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（    ） A．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01 B．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99 C．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 D．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 【答案】BCD 【分析】由题意确定小球球心在对称轴轴上，通过小球接触杯底时，需满足曲线上所有点到球心的距离不小于小球半径，逐项判断即可. 【详解】设小球半径为，由题意小球球心在对称轴轴上， 对于A，曲线，杯底为， 则球心坐标为， 对任意在上，到球心距离的平方： ， 要满足，即， 即， 即， 因为，得，又，A错误； 对于B，曲线，杯底，球心， 对任意在上，到球心距离的平方： ， 代入，得：， 要满足，即， 整理得，在恒成立， 二次函数开口向上，对称轴， 当时，对称轴，区间上最小值为， 满足条件， ，符合要求，B正确； 对于C，曲线，杯底，球心， 对任意在上，到球心距离的平方： ， 代入，得 要满足，即 整理得，因， 等价于对所有成立， 最小值在处， 得，即半径至多为1，C正确； 对于D，曲线，杯底，球心， 对任意在上，到球心距离的平方： ， 代入，得， 要满足，即 整理得，因，等价于对所有成立， 最小值在处，得，即半径至多为1，D正确. 4．（2026·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在使得 B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则四棱锥的外接球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】以为原点建立空间直角坐标系求得的最大值，可判断A错误；由求得的轨迹为直线在四边形内的线段，可得其长度为，即B正确；由线面平行的向量证明可得与重合时，其外接球的体积最大为，即C正确；由可得的轨迹是以为圆心，半径为的圆在侧面内的部分，再由圆上点到定直线距离的最值问题可得的面积的最小值为，即D正确. 【详解】以为原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为为侧面内的动点（包含边界），设, 对于A：易知，所以， 当时，取得最小值为2，此时与重合， 当时，取得最大值为，此时与重合， 因为，所以不存在点使得，即A错误； 对于B：易知，所以 由得，即； 因此的轨迹为直线在四边形内的线段， 因,可得，所以的轨迹为的中点到点的线段， 因此的轨迹长度为，即B正确； 对于C：又，所以， 设平面的法向量为， 所以，可得, 令，则，则平面的法向量, 因平面，则, 又，即，解得， 显然当时，即与重合时，满足题意， 此时四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，其半径满足，即； 此时外接球的体积为，即C正确； 对于D，若，由正方体性质可得平面， 又平面，所以， 利用勾股定理可得，即， 解得， 所以此时的轨迹是以为圆心，半径为的圆在侧面内的部分， 此时点到的最小距离为， 所以的面积的最小值为，即D正确. 故选：BCD 5．（2026·广东广州·一模）已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，，问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设. 【详解】令，，， 等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点， 对于A：如下图，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于B：如下图，且， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于C：如下图，，，则， 若与曲线相切且为切点，则，故，此时 令，则，即，故，即有与相切于， 如图示，此时不存在一点，使直线平行或重合，不满足， 对于D：如下图，，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 6．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B．的最小值为 C．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D．若点到直线和的距离分别为，则 【答案】ACD 【分析】设点在曲线上，可得点，，也在曲线上，即可判断A; 设点的坐标为， 有，即可判断B; 设曲线和双曲线在第一象限内的点分别 为,可得 ，由B选项的推导过程可得在第一象限内，即可判断C; 结合B选项的推导过程有，，计算即可判断D. 【详解】对于A选项，设点在曲线上，可得点，，也在曲线上， 故曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称，故A选项正确； 对于B选项，设点的坐标为，有，可得（或）， 有，又由，有，，可得， 可得的最小值为1，故B选项错误； 对于C选项，设曲线和双曲线在第一象限内的点分别为, 可得，，由B选项的推导过程可得在第一象限内， 又由，由得，即， 且只有当时，，故可得在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方，故C选项正确； 对于D选项，结合B选项的推导过程有，，， 有，可得，故D选项正确． 故选：ACD． 一、单选题抛物线 考点2 1．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得. 设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即. 设直线的倾斜角为，, ，得. 2．（2026·广东茂名·一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，得到焦半径公式，结合点到轴的距离即可解决问题. 【详解】抛物线的焦点为，为抛物线上一点，设， 根据抛物线的定义可得， 又到轴的距离为2，，又，，即， 故抛物线方程为， 将代入抛物线得，， 根据两点之间的距离公式得. 故选：D. 3．（2026·广东深圳·一模）已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为， 由抛物线定义可知，点到焦点的距离与点到准线的距离相等， 则点到焦点的距离. 4．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，即，利用即可求出答案. 【详解】抛物线，焦点， 因为，所以轴，所以， 则，解得， 如图，则， 所以． 故选：D． 5．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 6．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得. 【详解】由圆：可知，圆心，半径为. 而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，. 由，得. 因为点在圆上，又有，即， 而，则解得，所以.而点又在抛物线上， 则有，所以，则. 所以. 二、填空题 7．（2026·广东湛江·一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 三、解答题 8．（2026·广东梅州·一模）如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. (1)求抛物线的方程； (2)求抛物线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出准线方程，过作，垂足为，过作，垂足为，设，，，根据抛物线的定义求出参数，即可得； （2）由（1）得，设出切线方程并联立抛物线，根据相切关系有求出参数，即可得. 【详解】（1）以题意知，抛物线，的准线， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 设，，， 由抛物线定义知，， 在中，，， 所以，即有， 于是有，解得：， 因此抛物线的方程为. （2）由（1）得， 代入抛物线的方程得，，所以， 可设抛物线在点处的切线方程为， 联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率， 将代入，消去，整理得：， 因为相切，有， 即有：，因此， 所以抛物线在点处的切线方程为，即. 一、单选题椭圆 考点3 1．（2026·广东梅州·一模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 二、填空题 2．（2026·广东佛山·一模）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是的右焦点，的延长线交于点，则的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为平行四边形，设，结合椭圆定义和余弦定理可得，在中，由余弦定理可得的关系，由此可求离心率. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，关于原点对称，且为的中点，所以四边形为平行四边形， 因为，所以， 由，设，则， 所以，，， 在中，由余弦定理得， ， ，解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，故椭圆的离心率. 故答案为：. 3．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 三、解答题 4．（2026·广东茂名·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）4，（ii） 【分析】（1）依条件列关于的方程，解方程即可； （2）（i）设直线方程与，，联立椭圆的方程，得到的值，由 的平分线垂直于 轴，得：，再代入坐标，代入韦达定理可得答案；（ii）分别计算三角形与圆的面积，代入，可把表示成关于的函数，利用对勾函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由已知，右焦点为 ，故 ， 离心率 ，解得 ， 由 ， 得椭圆 的方程为 （2）（i）设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得， 设 ，，则 的平分线垂直于 轴，等价于 ， 且直线与椭圆有两个交点， 由 得， 将韦达定理代入：， 化简得：， 解得： . 因此，实数 的值为 ； （ii）由（i）知 ，直线方程为 （）， 联立椭圆方程得 则 由直线与椭圆有两个交点得： ， 三角形 的面积， ， 又， 所以， 于是， ， 故， 令 ，则： 考虑函数 ，， 由，得， 故在上单调递增， 当时，， 所以的值域为， 因此， 的取值范围是 。 5．（2025·广东清远·一模）已知椭圆过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)①过定点，证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）①根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ②由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②当直线的斜率存在且不等于零时， 由①可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 一、单选题双曲线 考点4 1．（2026·广东汕头·一模）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分别讨论双曲线焦点在轴和轴的情况，由可求得结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程是， 当双曲线方程为时，则，则离心率； 当双曲线方程为时，则，则离心率； 综上所述：双曲线的离心率为或. 2．（2026·广东广州·一模）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据离心率以及实轴可得双曲线方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由于的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 渐近线方程为， 故到的距离为， 故选：A 3．（2026·广东河源·一模）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．（2026·广东广州华侨·一模）以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件，分双曲线的焦点在轴和轴两种情况，求出间的关系，再利用，即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为与， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 综上所述，双曲线的离心率为或， 故选：D. 5．（2026·广东汕头·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 二、多选题 6．（2026·广东湛江·一模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的离心率为 B．存在点P，使得为等腰直角三角形 C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，进而利用双曲线离心率公式、等腰直角三角形的性质、判别式等逐一分析判断选项． 【详解】渐近线互相垂直， ，解得，即，两条直线的斜率分别为1和， 双曲线C的离心率为，选项A正确； 点P是双曲线C右支上任意一点，， 若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾； 直角顶点为，故且有，， ，解得，故或， ，，， 无法构成等腰直角三角形，故B错误； 联立直线与双曲线，整理得， 当 时，， ， 直线与双曲线有2个交点，故C正确； 根据双曲线的定义可知， ， 的最小值为， ， 的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 7．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 8．（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为 C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据渐近线斜率求出倾斜角，直接计算两条渐近线的夹角；对B，利用平方差公式和双曲线定义化简表达式，再结合直线与双曲线的交点条件判断最小值能否取到；对C，由推出点在以为直径的圆上，联立方程求高，进而计算三角形面积；对 D，利用双曲线定义将周长转化为，再求出弦长的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确； 对于B：由双曲线的定义可得， 所以， 又，所以， 因为，所以，B错误； 对于C：，故，即A在以为直径的圆上， 由，解得，所以， 所以，C正确； 对于D：由双曲线定义可得， 所以周长， 当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故， 所以，D正确. 三、填空题 9．（2026·广东华侨·一模）双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】因为轴，所以,再利用双曲线的定义即可求得答案. 【详解】因为轴，所以为通径的一半，故， 在中，因为，所以， 所以，即，可得. 故答案为：. 10．（2026·广东江门·一模）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 【答案】2 【分析】设，代入双曲线方程，利用点差法，可求得，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】设，则， 两式作差可得：，即， 因为为BD中点， 所以， 又直线BD斜率为1， 所以，代入可得，， 所以C的离心率. 故答案为：2 一、多选题直线与圆锥曲线的位置关系 考点5 1．（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（    ） A． B．抛物线的准线与以为直径的圆相切 C．设，则 D．点位于定直线上 【答案】ACD 【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项. 【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组， 消得：， 由可得：， 又由， 所以，故A正确； 设的中点， 则， 即中点到准线的距离为 ， 假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则， 这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误； 由 ， 所以有，故C正确； 由抛物线方程或， 求导得：或， 则抛物线在点的切线方程分别为：和， 两式消得：， ， 令，则 所以， 所以交点在直线上，故D正确； 故选：ACD. 二、填空题 2．（2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【分析】切线，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设切线， 联立，消去整理得， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 三、解答题 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线； （2）（i）根据斜率的关系可求，，利用向量坐标关系可证平行，或者通过联立方程求出的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； （ii）利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性可证. 【详解】（1）设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线. （2）（i）由可得：， 由（1）可知：.由，可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：，，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 因此可得： ，由此可知：； 另解： 由（1）可知：，则，直线， 联立直线与椭圆：，解得点， 同理：，以下同上个解法. （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则； 另解1：由（i）可知： ， 则； 如图，取的中点，的中点，记椭圆左焦点为，连接， 由于，设， 则，则，，三点共线， 于是，则， 于是， 则，，，四点共线. 于是，， 由于为的中位线，则， 因为， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则. 另解2：由于 ，， 则，则是等腰直角三角形， 于是， ，， ， 同理可求， 由于， 于是，， 且，为锐角，由在上单调递增，所以． 4．（2025·广东广州·一模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，当时，，结合的面积，即可求得的值，进而可求得抛物线E的方程； （2）由题意可得，则直线的斜率一定存在且不为0，设其方程为，联立后结合韦达定理，可得，因为过的两条直线垂直，则，结合抛物线方程，可得，代回直线方程即可求得定点. 【详解】（1）当时，，，所以 由题意可知， 所以，所以抛物线的方程为 （2）因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点， 则直线的斜率一定存在且不为0， 设其方程为， 联立，得，且有， ， 根据题意，由于过的两条直线垂直，则， 且有，即， 即 即，化简整理得到，所以， 将其代入，整理得， 若对任意等式都成立，则有，即， 故直线恒过定点. 5．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】(1) (2)9 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即②  ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 6．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得， 即双曲线. （2）（i）由（1）得渐近线方程为，设， 设，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则在上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当时结果一致， 综上， 7．（2026·广东汕头·一模）已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点． (1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； (2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 【答案】(1)证明见解析，直线l的方程为； (2)证明见解析 【分析】（1）直接由点差法证明点在定直线上，并可得直线方程； （2）根据直线的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方程可得. 【详解】（1）设，，则. 又因为在椭圆，所以， 两式相减得，即， 所以，又因为直线的方程为， 所以，代入上式得，即， 所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为. （2）因为直线与椭圆相交于C、D两点， 直线与椭圆相交于A、B两点， 所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程， 化简整理得， 因为要使该方程表示圆，则，得， 代入方程得， 即，， 方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上.如图： 所以A、B、C、D四点共圆. 8．（2026·广东湛江·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：三点共线； (3)试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【分析】（1）利用椭圆的基本性质：离心率，以及椭圆上点到焦点的最小距离为，联立这两个条件即可解出，从而得到椭圆方程。 （2）通过设过点的直线方程，联立椭圆得到韦达定理关系；再求出直线与的交点的坐标，最后通过证明向量与共线，即可证得 共线。 （3）先求出 的坐标，得到以为直径的圆的方程；再将韦达定理代入圆的方程，整理后分析方程恒成立的条件，从而确定是否存在定点。 【详解】（1）设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有． 又，即， 结合以上两式可得， 当且仅当三点共线时取等号， 点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故． 又， 解得，故， ∴椭圆的方程为． （2）依题意可设直线的方程为， 代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根． 设，则 故直线的方程为，令，可得． 又， ． ，故三点共线． （3）是． 由（2）易得，直线的方程为，令可得． 设为以为直径的圆上一点，则有， 即， 由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上 令， 得， ， ∴以为直径的圆恒过两定点． 9．（2026·广东佛山·一模）已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）直线过定点 【分析】（1）根据渐近线可得，代入点可得，即可得双曲线方程； （2）（i）设，，根据向量共线结合点差法分析证明；（ii）设直线，联立方程可得韦达定理，利用韦达定理求、和，求点和直线，令可得，即可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是，则，即， 则双曲线的方程即为， 因为直线的方程为， 由题意可知：双曲线过点，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，且， 则，， 因为，则，可得， 设，则，， 因为，则，可得， 因为点在双曲线：上， 则，即， 两式相减得，即， 可得，所以点总在定直线上； （ii）因为双曲线的渐近线方程为， 由题意可知：直线的斜率存在，设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 则， ， ， 直线的斜率，直线的斜率方程：， 联立方程，消去y可得， 则， 设，可得， 则， 且，即， 可得， 且， 即， 则直线：，即， 令，可得 ， 因为 所以直线过定点. 10．（2026·广东江门·一模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程； （2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：， 椭圆C的标准方程为：； （2）， 由题意可设：直线：，， 联立： 得：， 则， ， ， 又， ， 解得：， 故， . 11．（2026·广东江门·一模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可； (2)根据题意求出点A、B坐标，设椭圆C上动点，利用两点连线的斜率公式可得 ，设出直线PA、PB方程，根据点M、N坐标求出，利用正弦定理表示 ，结合基本不等式即可得出结果. 【详解】（1）由题意知. ，∴，，∴椭圆. （2）由已知得，，设椭圆C上动点， 则利用两点连线的斜率公式可知，， ∴， 设直线PA方程为：，则直线PB方程为：， 根据对称性不妨设，令，得，， 即，，则， 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆锥曲线（5大考点） 5大考点概览 考点01曲线与方程 考点02抛物线 考点03椭圆 考点04双曲线 考点05直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题曲线与方程 考点1 1．（2026·广东佛山·一模）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·一模）已知曲线，则曲线上的点到原点距离的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 3．（2026·广东汕头·一模）如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（    ） A．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01 B．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99 C．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 D．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1 4．（2026·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在使得 B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则四棱锥的外接球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 5．（2026·广东广州·一模）已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B．的最小值为 C．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D．若点到直线和的距离分别为，则 一、单选题抛物线 考点2 1．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2026·广东深圳·一模）已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 6．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 二、填空题 7．（2026·广东湛江·一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 三、解答题 8．（2026·广东梅州·一模）如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. (1)求抛物线的方程； (2)求抛物线在点处的切线方程. 一、单选题椭圆 考点3 1．（2026·广东梅州·一模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 2．（2026·广东佛山·一模）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是的右焦点，的延长线交于点，则的离心率为__________. 3．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______． 三、解答题 4．（2026·广东茂名·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 5．（2025·广东清远·一模）已知椭圆过点，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 一、单选题双曲线 考点4 1．（2026·广东汕头·一模）双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·广东广州·一模）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·广东河源·一模）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州华侨·一模）以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．或 5．（2026·广东汕头·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2026·广东湛江·一模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的离心率为 B．存在点P，使得为等腰直角三角形 C．当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D．的最大值为 7．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 8．（2026·广东佛山·一模）设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的两条渐近线夹角为 B．的最小值为 C．当时，的面积为1 D．的周长最小值为 三、填空题 9．（2026·广东华侨·一模）双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. 10．（2026·广东江门·一模）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 一、多选题直线与圆锥曲线的位置关系 考点5 1．（2025·广东清远·一模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（    ） A． B．抛物线的准线与以为直径的圆相切 C．设，则 D．点位于定直线上 二、填空题 2．（2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 三、解答题 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 4．（2025·广东广州·一模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 5．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 6．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 7．（2026·广东汕头·一模）已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点． (1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程； (2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆． 8．（2026·广东湛江·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点． (1)求椭圆的方程； (2)证明：三点共线； (3)试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 9．（2026·广东佛山·一模）已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 10．（2026·广东江门·一模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 11．（2026·广东江门·一模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $