6.5.1 直线与平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

§5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.从相关定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与平面的垂直关系. 2.归纳出直线与平面垂直的性质定理、判定定理,并能证明直线与平面的垂直关系. 3.了解直线与平面的夹角,会求直线与平面的夹角. 1.直线与平面垂直的定义及有关概念 定义 一般地,如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足 图示 性质 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直,过一点有且只有一个平面与一条直线垂直 2.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行,②作平行线 3.直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. 4.直线与平面的夹角的定义及有关概念 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的交点A称为斜足 投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影 直线与平面的夹角 定义 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角 范围 直线与平面的夹角θ的取值范围是0°≤θ≤90° 规定 当一条直线垂直于平面时,我们说它们的夹角是直角;当一条直线与平面平行,或在平面内时,就说它们的夹角是0° 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A⇒l⊥α |微|点|助|解| (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面. (2)五大条件:该定理中有五个条件: l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=A,它们缺一不可. (3)两个线线垂直:定理中注意直线l与直线a,b都垂直,但要注意直线l与直线a,b的位置关系可能相交,也可能异面,即直线l可能经过交点A,也可能不经过交点A. (4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线a,b必须是平面α内的两条相交直线. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. (　　) (2)直线上任意一点到这个平面的距离,就是这条直线到这个平面的距离. (　　) (3)到已知平面距离相等的两条直线平行. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)× 2.若直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 (　　) A.平行　 B.相交 C.异面 D.垂直 答案:A 3.如果一条直线垂直于一个平面内的: ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. 那么能保证该直线与平面垂直的是 (　　) A.①③ B.①② C.②④ D.①④ 解析:选A　如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面,因此可知①③适合判定定理.故选A. 4.若直线AB∥平面α,且点A到平面α的距离为2,则点B到平面α的距离为_________. 答案:2 题型(一)　直线与平面垂直的性质定理的应用 [例1]　如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点.求证:平面DMN∥平面ABC. 证明:因为M,N分别是EA,EC的中点, 所以MN∥AC. 又因为AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC, 所以MN∥平面ABC. 因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC, 所以BD∥EC. 又因为CE≠BD, 所以四边形BDEC为直角梯形. 因为N为EC的中点,EC=2BD, 所以NC綉BD. 所以四边形BCND为矩形. 所以DN∥BC. 又因为DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以DN∥平面ABC. 又因为MN∩DN=N,MN⊂平面DMN,DN⊂平面DMN, 所以平面DMN∥平面ABC. 　　|思|维|建|模| (1)若已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条直线平行, 可考虑利用线面垂直的性质定理,证明另一条直线和这个平面垂直. (2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质. 　　[针对训练] 1.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.求证:EF∥BD1. 证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD. ∵DD1⊥平面ABCD, AC⊂平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. ∵BD1⊂平面BDD1B1, ∴BD1⊥AC. 同理可证BD1⊥B1C, 又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 题型(二)　直线与平面垂直的判定定理的应用 [例2]　如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点. (1)求证:C1D⊥平面AA1B1B. (2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论. 解:(1)证明:因为ABC⁃A1B1C1是直三棱柱, 所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1, 所以AA1⊥C1D.又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面AA1B1B, 所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求. 因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF,DF∩C1D=D, 所以AB1⊥平面C1DF. 因为AA1=A1B1=, 所以四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点,DF⊥AB1, 所以F为BB1的中点. 所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 　　|思|维|建|模| 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线,使它和已知直线垂直; (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线; (3)根据判定定理得出结论. 　　[针对训练] 2.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (1)求证:AC⊥平面BCE; (2)求证:AD⊥AE. 证明:(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,所以AC=BC=2. 所以AC2+BC2=AB2.所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD,AF∥BE, 所以BE⊥平面ABCD. 又AC⊂平面ABCD,所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BE∩BC=B, 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以AF⊥AD.又∠DAB=90°,所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF,AB⊂平面ABEF,AF∩AB=A,所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF,所以AD⊥AE. 题型(三)　直线与平面的夹角 [例3]　如图,已知∠BOC在平面α内,OA是平面α的斜线,且∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求OA与平面α夹角的大小. 解:∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB,△AOC为等边三角形.∴AB=AC=a. ∵BC=a,∴AB2+AC2=BC2. ∴△ABC为等腰直角三角形. 同理,△BOC也为等腰直角三角形. 取BC的中点H,连接AH,OH, 则AH=OH=a.∴AH2+OH2=OA2. ∴△AOH为等腰直角三角形. ∴∠AOH=45°,AH⊥OH. 又AH⊥BC,OH∩BC=H,∴AH⊥α. ∴OA与平面α的夹角为45°. 　　|思|维|建|模| 求解直线与平面夹角的一般步骤 　　求直线与平面夹角的关键在于找出直线在平面内的投影,基本步骤: (1)作:即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,准确确定垂足的位置是关键;几何图形的特征是确定垂足的依据,垂足一般都是一些特殊的点,比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等. (2)证:即证明所找到的角为直线与平面的夹角,也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直,依据就是直线与平面夹角的定义. (3)求:将所求角转化为垂线段、斜线段与投影所构成的直角三角形中进行计算. 　　[针对训练] 3.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B的夹角均为30°,则 (　　) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D的夹角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C的夹角为45° 解析:选D　如图,连接BD,易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD的夹角,所以在Rt△BDB1中,∠BDB1=30°,设BB1=1,则B1D=2BB1=2,BD==.易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B的夹角,所以在Rt△ADB1中,∠AB1D=30°,因为B1D=2,所以AD=B1D=1,AB1==,所以在Rt△ABB1中, AB==,所以A错误; 易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D的夹角,所以在Rt△ABB1中,sin∠BAB1==≠,所以∠BAB1≠30°,所以B错误; 在Rt△CBB1中,CB1==,而AC==,所以C错误;易知∠DB1C是直线B1D与平面BB1C1C的夹角,因为在Rt△DB1C中,CB1=CD=,所以∠DB1C=45°,所以D正确.故选D. 4.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=,AA1=AB=AC=1,直线A1C与平面ABB1A1夹角的大小为_________. 解析:因为在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, 所以AA1⊥AC. 因为∠BAC=,所以AB⊥AC. 因为AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面ABB1A1, 所以AC⊥平面ABB1A1.所以∠AA1C为直线A1C与平面ABB1A1的夹角. 因为AA1=AC,AA1⊥AC, 所以△AA1C为等腰直角三角形. 所以∠AA1C=. 所以直线A1C与平面ABB1A1的夹角为. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $