6.6.3 球的表面积和体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“球的表面积和体积”核心知识点，系统梳理球的大/小圆、切线概念，表面积与体积公式，构建从基础概念到组合体计算的学习支架，助力学生掌握空间与平面转化的解题逻辑。 该资料采用拓展融通的习题讲评式教学，通过正方体截球、球与多面体切接等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，以数学思维推理数量关系，课中提升教学效率，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

6.3　球的表面积和体积 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标] 1.理解球的大、小圆,直线与球相切的意义. 2.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 2.球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点. (2)过球外一点的所有切线的切线长都相等,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥. 3.球的表面积和体积 S球面=4πR2,V球=πR3(其中R为球的半径). 题型(一)　球的截面 1.球的截面形状 (1)当截面过球心时,截面的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时,截面的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆. 2.球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面. (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式:d=. 图形解释如下: 在球的轴截面图中,截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R,以O'为圆心的截面的半径为r, OO'=d.则在Rt△OO'C中,有OC2=O'C2+OO'2,即R2=r2+d2. [例1]　(1)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为 (　　) A.20π B.16π C.12 D.8 (2)如图,A,B,C是球面上三点,已知弦AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半,则球的表面积为_________cm2. 解析:(1)设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr,解得r=1,由题意知R2=12+22=5,∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A. (2)因为AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,可知AB2+BC2=AC2, 故△ABC外接圆的直径为AC=30 cm,故外接圆的半径15 cm, 设球的半径为R,截面和球心的距离等于球半径的一半,则R2=+152,解得R=10. 所以球的表面积为S=4πR2=1 200π cm2. 答案:(1)A　(2)1 200π [例2]　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2,求此球的表面积. 解:(1)若两截面位于球心的同侧. 如图1所示的是经过球心O的大圆截面,C,C1分别是两平行截面的圆心,设球的半径为R cm,截面圆的半径分别为r cm,r1cm. 由π=49π,得r1=7(r1=-7舍去), 由πr2=400π,得r=20(r=-20舍去). 在Rt△OB1C1中,OC1==, 在Rt△OBC中,OC==. 由题意可知OC1-OC=9,即-=9,解得R=25. S球=4πR2=2 500π(cm2). (2)若球心在截面之间, 如图2所示,OC1=,OC=. 由题意可知OC1+OC=9, 即+=9. 整理,得=-15,此方程无解,这说明第二种情况不存在. 　　|思|维|建|模| 空间向平面的转化 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径. 　　[针对训练] 1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,截面面积是48π cm2,求球的表面积. 解:如图,设O'为截面圆的圆心,则OO'⊥O'A,O'A为截面圆的半径,OA为球的半径, 令OA=R,则OO'=, ∵48π=π·O'A2,∴O'A2=48. 在Rt△OO'A中,OA2=OO'2+O'A2, 即R2=+48, ∴R2=64. ∴S球面=4πR2=4π×64=256π(cm2). 题型(二)　与球有关的简单组合体 题点1　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. [例3]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示. 所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2). 所以2r2=a,r2=a, 所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示. 则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 题点2　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=. [例4]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 解析:如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2. ∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2, 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 答案:B 题点3　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. [例5]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是_________. 解析:(1)如图,BE=BO2=r,AE=AO1=R, 又OE⊥AB且BO⊥OA, ∴△AEO∽△OEB, ∴OE2=AE·BE=Rr, ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.所以==. 答案:(1)C　(2) 　　|思|维|建|模| 　　 求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解; (2)利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; (3)定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点的距离也是半径,列关系式求解即可. 　　[针对训练] 2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 (　　) A.4π B.12π C.16π D.20π 解析:选C　设内切球的半径为r,由球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径,得2r=4,r=2,故内切球的表面积为S=4πr2=16π. 3.已知正三棱锥S⁃ABC的侧棱长为4,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是_________.  解析:如图,过点S作SE⊥平面ABC于点E,记球心为O. ∵在正三棱锥S⁃ABC中,底面边长为6,侧棱长为4, ∴BE=××6=2. ∴SE==6. ∵球心O到四个顶点的距离相等,均等于该正三棱锥外接球的半径R, ∴OB=R,OE=6-R. 在Rt△BOE中,OB2=BE2+OE2, 即R2=12+(6-R)2,解得R=4. ∴外接球的表面积为S=4πR2=64π. 答案:64π 学科网（北京）股份有限公司 $