5.1.2 复数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，系统衔接复数代数形式与几何表示，构建复平面（实轴、虚轴）、复数与点/向量的一一对应关系，整合模、共轭复数概念及计算，通过“微点助解”解析易错点，形成递进式学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，以“微点助解”强化数学眼光（几何直观），“思维建模”提炼解题逻辑培养数学思维（推理能力），基础训练与题型示例结合，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，提升知识应用与迁移能力。

1.2　复数的几何意义 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念,并会计算复数的模、共轭复数. 1.复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 |微|点|助|解| 1.理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 (1)复数的实质是有序实数对. (2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i. (3)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数. (4)复数z=a+bi中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. 2.如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则 (1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限; 当a<0,b>0时,点Z位于第二象限; 当a<0,b<0时,点Z位于第三象限; 当a>0,b<0时,点Z位于第四象限. (2)当a=0时,点Z在虚轴上; 当b=0时,点Z在实轴上. 3.复数的模 向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|=. 复数模的几何意义:|z|=||,即点Z(a,b)到原点O的距离. 4.共轭复数 (1)定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数. (2)表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,=a-bi. (3)常用结论:|z|=||;z=a+bi(a,b∈R)的虚部b=0⇔z=. |微|点|助|解| (1)由共轭复数的定义可知,=z,|z|=||. (2)实数的共轭复数是它本身,即z=⇔z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数. (3)若z≠0且z=-,则z为纯虚数,利用这个性质可证明一个复数为纯虚数. 基础落实训练 1.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.若z是实数,则z= B.若z=,则z是实数 C.若=-z,则z是纯虚数 D.若z是纯虚数,则=-z 答案:ABD 2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A.(0,-1)　　 B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1) 解析:选A　复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).故选A. 3.若复数z=2+i,其中i是虚数单位,则|z|= (　　) A. B.1 C.3 D.2 答案:A 4.设z=3+2i,则在复平面内对应的点位于第________象限. 答案:四 题型(一)　复数与复平面内点的关系 [例1]　(1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)[多选]设复数z满足z=-1-2i,则下列命题正确的是 (　　) A.|z|= B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为-1+2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上 解析:(1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2,1),位于第二象限.故选B. (2)|z|==,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),不在直线y=-2x上,D不正确.故选AC. 答案:(1)B　(2)AC 　　|思|维|建|模| 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立关于复数的实部与虚部应满足的条件的方程,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 　　[针对训练] 1.当实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点位于: (1)x轴正半轴上; (2)y轴负半轴上; (3)第四象限的平分线上. 解:∵k为实数,∴k2-3k-4,k2-5k-6都是实数. ∴复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6). (1)若复数z在复平面内对应的点位于x轴正半轴上,则解得∴k=6. (2)若复数z在复平面内对应的点位于y轴负半轴上,则解得∴k=4. (3)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限的平分线上, 则 解得∴k=5. 题型(二)　复数与复平面内向量的对应关系 [例2]　在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数; (2)判断△ABC的形状. 解:(1)由复数的几何意义知 =(1,0),=(2,1),=(-1,2), ∴=-=(1,1), =-=(-2,2), =-=(-3,1). ∴,,对应的复数分别为 1+i,-2+2i,-3+i. (2)∵||=,||=2,||=, ∴||2+||2=||2. ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 　　|思|维|建|模| 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 　　[针对训练] 2.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是 (　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解析:选C　因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4).所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0).所以+对应的复数是0.故选C. 3.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是___________. 解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),=(-2,-5). 又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8), 所以向量表示的复数是-6-8i. 答案:-6-8i 题型(三)　复数的模的计算及其应用 [例3]　已知复数z1=+i,z2=-+i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小; (2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形? 解:(1)因为|z1|=|+i|==2,|z2|== =1, 所以|z1|>|z2|. (2)法一:设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y). 由|z|=|z1|=2,得 =2, 即x2+y2=4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆. 法二:由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点), 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆. 　　|思|维|建|模| 　　解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决. 　　[针对训练] 4.已知i为虚数单位,x+xi=2+yi,其中x,y∈R,则|x+yi|= (　　) A.2 B.2 C.4 D. 解析:选A　根据复数相等的充要条件可知则x=y=2.故|x+yi|=|2+2i|==2.故选A. 5.[多选]已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 (　　) A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0 B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0 C.若|z1|=|z2|,则向量和重合 D.若|z1-z2|=0,则= 解析:选BD　z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误;|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0,B正确;|z1|=|z2|说明||=||,但与方向不一定相同,C错误;|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 $