2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦向量的数乘与共线关系核心知识点，系统阐述共线向量基本定理（非零向量b，a∥b的充要条件是存在唯一λ使a=λb）及直线的向量表示，前承向量线性运算，后续为空间向量、解析几何学习奠基，通过“微点助解”、基础训练、题型分类（判定、证明、求参数）搭建梯度学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，以共线向量基本定理为核心，通过“思维建模”提炼方法（如三点共线判定转化为向量倍数关系推理），结合多选、证明等题型训练，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。课中助力教师分层教学，课后学生可通过基础训练与针对练习巩固知识，弥补薄弱环节。

3.2　向量的数乘与向量共线的关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标]　 1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用. 2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题. 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. 2.直线的向量表示 通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中称为直线l的方向向量. |微|点|助|解| (1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线. 但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0. (2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. (　　) (2)若=3,则与共线. (　　) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. (　　) (4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件 答案:A 3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=__________b.  解析:因为|a|=5,|b|=7,所以=.又因为b与a的方向相反,所以a=-b. 答案:- 题型(一)　向量共线的判定 [例1]　(多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 (　　) A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b 解析:选BD　对于A,因为e1,e2不共线,所以a与b不共线,A错误;对于B,由式子可知a=-b,所以a∥b,B正确;对于C,因为a,b两向量没有倍数关系,所以a,b不共线,C错误;对于D,因为a=-b,所以a∥b成立,D正确. 　　|思|维|建|模| 　　向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. 　　[针对训练] 1.[多选]向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 (　　) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.|a|=3|b| D.b=-3a 解析:选ABD　因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误. 2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是 (　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析:选B　因为++=,所以+++=0,即-2=.所以与共线.故选B. 题型(二)　三点共线的判定与证明 [例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,则 (　　) A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为 (　　) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析:(1)因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+=e1+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C. (2)由A,B,C三点共线可得,∥,∴存在m∈R,使=m,∴λa+b=ma+mμ b,即(λ-m)a=(mμ-1)b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=,∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D. 答案:(1)C　(2)D 　　|思|维|建|模| 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. 　　[针对训练] 3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在 (　　) A.△ABC内部 B.直线AC上 C.直线AB上 D.直线BC上 解析:选B　∵=-,=λ+,∴-=λ+.∴-=λ.∴∥,即与共线.∴P点一定在AC边所在直线上.故选B. 4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线. 证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点,∴A,B,C三点共线. 题型(三)　利用向量共线求参数 [例3]　(1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= (　　) A. B. C.- D.- (2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值为　　　.  解析:(1)由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=. (2)因为-e1+ke2与-2e1+e2共线, 所以存在实数λ,使-e1+ke2=λ(-2e1+e2), 则(2λ-1)e1=(λ-k)e2.又e1与e2为不共线的非零向量,所以解得k=. 答案:(1)A　(2) 　　|思|维|建|模| 利用向量共线求参数的方法 　　判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. 　　[针对训练] 5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为__________.  解析:因为A,C,D三点共线,设=m,且=+=2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2, 所以5e1+2e2=m(e1+ke2), 即5e1+2e2=me1+mke2, 因此解得 答案: 6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k=__________.  解析:由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+kλe2.∵e1,e2不共线,∴解得或∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-,k=-4. 答案:-4 学科网（北京）股份有限公司 $