小升初奥数培优讲义专题10 完全平方数的特征与应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题10 完全平方数的特征与应用 知识梳理 1. 完全平方数的定义 完全平方数是指能表示成某个整数的平方的数。例如：1=1²、4=2²、9=3²、16=4²等都是完全平方数。零（0）也可称为完全平方数。 2. 完全平方数的主要性质 基本性质 (1)末位特征：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9，不可能是2、3、7、8。 (2)奇偶性： ①　偶数的平方一定能被4整除，是4的倍数。 ②　奇数的平方被4（或8）除余1，即奇数的平方是8n+1型。 (3)约数特征：完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数一定是完全平方数。 重要推论 ①　十位特征： 完全平方数的个位是6，它的十位是奇数；反之，如果个位是奇数（1、5、9），则十位必为偶数。 如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数。 如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。 ②　模运算特征： 完全平方数被3除的余数是0或1（即形式为3k或3k+1）。 完全平方数被5除的余数是0、1或4（即形式为5k、5k+1或5k-1）。 完全平方数被8除的余数是0、1或4（即形式为8n、8n+1或8n+4）。 ③　质因数分解：完全平方数分解质因数后，各质因数的指数都是偶数。 3. 完全平方数的判定方法 (1)末位排除法：若一个数的末位是2、3、7、8，则一定不是完全平方数。 (2)模运算排除法：若一个数被3除余2，被4除余2或3，被5除余2或3，则一定不是完全平方数。 (3)质因数分解法：将一个数分解质因数，若所有质因数的指数都是偶数，则是完全平方数。 4. 完全平方数的应用 (1)数论问题：解决与平方数相关的整除性、同余等问题。 (2)方程求解：求解一元二次方程的有理根、不定方程等。 (3)几何问题：解决与正方形面积、勾股定理等相关的问题。 (4)密码学：在现代密码学算法中应用完全平方数的性质。 例题讲解 【典型例题1】 判断一个数是否为完全平方数：已知1234567654321，判断它是否为完全平方数，如果是，求它是谁的平方。 【跟踪训练1】 判断3528是否为完全平方数，如果不是，求最小的正整数a，使得3528×a是完全平方数。 【典型例题2】 求一个最小的正整数x，使得1080×x是完全平方数。 【跟踪训练2】 求一个最小的正整数x，使得360×x是完全平方数。 【典型例题3】 有一个正整数n，它与152的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方。求这个自然数n。 【跟踪训练3】 有一个正整数n，它与1999的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方。求这个自然数n。 提升练习 1. 判断下列各数是否为完全平方数，说明理由： (1) 123456789 (2) 234567 2. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 3. 判断 是否为完全平方数？如果不是，请问至少减去多少才能得到一个完全平方数？ 4. 一个长方形的面积是 平方厘米，如果要把它剪裁成一个面积最大的正方形，且没有剩余，这个正方形的面积最大是多少？ 5. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 6. 一个自然数 的形式为 。如果 是一个完全平方数，那么指数 必须是什么数？ 7. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 8. 一个数加上 是一个完全平方数，这个数加上 也是一个完全平方数。求这个数。 9. 一个自然数 ，它与 的和是 的平方，它与 的差是 的平方。求 。 10. 一个长方体的体积是 立方厘米，如果它的长、宽、高都是整数，且恰好是一个数的立方（即正方体）。请问这个正方体的棱长是多少？ 11. 有 盏灯，编号从 到 。开始时全部熄灭。第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态；第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态……第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态。问最后哪些灯是亮的？ 12. 一个数减去 是一个完全平方数，这个数加上 也是一个完全平方数。求这个数。 13. 求最小的正整数 ，使得 是完全平方数，且 是 的倍数。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 完全平方数的特征与应用 知识梳理 1. 完全平方数的定义 完全平方数是指能表示成某个整数的平方的数。例如：1=1²、4=2²、9=3²、16=4²等都是完全平方数。零（0）也可称为完全平方数。 2. 完全平方数的主要性质 基本性质 (1)末位特征：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9，不可能是2、3、7、8。 (2)奇偶性： ①　偶数的平方一定能被4整除，是4的倍数。 ②　奇数的平方被4（或8）除余1，即奇数的平方是8n+1型。 (3)约数特征：完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数一定是完全平方数。 重要推论 ①　十位特征： 完全平方数的个位是6，它的十位是奇数；反之，如果个位是奇数（1、5、9），则十位必为偶数。 如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数。 如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。 ②　模运算特征： 完全平方数被3除的余数是0或1（即形式为3k或3k+1）。 完全平方数被5除的余数是0、1或4（即形式为5k、5k+1或5k-1）。 完全平方数被8除的余数是0、1或4（即形式为8n、8n+1或8n+4）。 ③　质因数分解：完全平方数分解质因数后，各质因数的指数都是偶数。 3. 完全平方数的判定方法 (1)末位排除法：若一个数的末位是2、3、7、8，则一定不是完全平方数。 (2)模运算排除法：若一个数被3除余2，被4除余2或3，被5除余2或3，则一定不是完全平方数。 (3)质因数分解法：将一个数分解质因数，若所有质因数的指数都是偶数，则是完全平方数。 4. 完全平方数的应用 (1)数论问题：解决与平方数相关的整除性、同余等问题。 (2)方程求解：求解一元二次方程的有理根、不定方程等。 (3)几何问题：解决与正方形面积、勾股定理等相关的问题。 (4)密码学：在现代密码学算法中应用完全平方数的性质。 例题讲解 【典型例题1】 判断一个数是否为完全平方数：已知1234567654321，判断它是否为完全平方数，如果是，求它是谁的平方。 【分析】 1. 首先检查末位数字：1234567654321的末位是1，符合完全平方数的末位特征。 2. 检查数字和：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，49是7²，符合完全平方数的数字和特征（1、4、7、9）。 3. 观察数字结构：1234567654321呈现对称结构，可能是某个对称数的平方。 4. 通过计算或观察可得：1234567654321=1111111²。 【详解】 1. 末位检查：完全平方数的末位只能是0、1、4、5、6、9，1234567654321的末位是1，符合要求。 2. 数字和检查：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，49=7²，符合完全平方数的数字和特征。 3. 结构分析：1234567654321呈现明显的对称结构，类似于11²=121、111²=12321、1111²=1234321等规律。 4. 验证计算：1111111²=(10⁶+10⁵+10⁴+10³+10²+10¹+10⁰)²=1234567654321。 5. 因此，1234567654321是完全平方数，它是1111111的平方。 【答案】 1234567654321是完全平方数，它是1111111的平方。 【跟踪训练1】 判断3528是否为完全平方数，如果不是，求最小的正整数a，使得3528×a是完全平方数。 【分析】 1. 首先检查3528的末位：8，不符合完全平方数的末位特征（0、1、4、5、6、9），因此3528不是完全平方数。 2. 要使3528×a是完全平方数，需要将3528分解质因数，然后补足各质因数的指数为偶数。 3. 3528=2³×3²×7¹，其中2的指数3和7的指数1都是奇数，需要补足为偶数。 4. 因此，a的最小值为2¹×7¹=14，使得3528×14=49392=2²×3²×7²=14²×3²×7²=(14×3×7)²=294²。 【详解】 1. 末位检查：3528的末位是8，不符合完全平方数的末位特征，因此不是完全平方数。 2. 质因数分解：3528=2³×3²×7¹。 3. 分析指数：2的指数3是奇数，需要补1；3的指数2是偶数，不需要补；7的指数1是奇数，需要补1。 4. 因此，a的最小值为2¹×7¹=14。 5. 验证：3528×14=49392，49392=2⁴×3²×7²=(2²×3×7)²=84²，确实是完全平方数。 【答案】 3528不是完全平方数，a的最小值为14。 【典型例题2】 求一个最小的正整数x，使得1080×x是完全平方数。 【分析】 1. 要使1080×x是完全平方数，需要将1080分解质因数，然后补足各质因数的指数为偶数。 2. 1080=2³×3³×5¹，其中2、3、5的指数都是奇数。 3. 因此，x的最小值为2¹×3¹×5¹=30，使得1080×30=32400=2⁴×3⁴×5²=(2²×3²×5)²=180²。 【详解】 1. 质因数分解：1080=2³×3³×5¹。 2. 分析指数：2的指数3是奇数，需要补1；3的指数3是奇数，需要补1；5的指数1是奇数，需要补1。 3. 因此，x的最小值为2¹×3¹×5¹=30。 4. 验证：1080×30=32400，32400=2⁴×3⁴×5²=(2²×3²×5)²=180²，确实是完全平方数。 【答案】 x的最小值为30。 【跟踪训练2】 求一个最小的正整数x，使得360×x是完全平方数。 【分析】 1. 将360分解质因数：360=2³×3²×5¹。 2. 分析指数：2的指数3是奇数，需要补1；3的指数2是偶数，不需要补；5的指数1是奇数，需要补1。 3. 因此，x的最小值为2¹×5¹=10，使得360×10=3600=2⁴×3²×5²=(2²×3×5)²=60²。 【详解】 1. 质因数分解：360=2³×3²×5¹。 2. 分析指数：2的指数3是奇数，需要补1；3的指数2是偶数，不需要补；5的指数1是奇数，需要补1。 3. 因此，x的最小值为2¹×5¹=10。 4. 验证：360×10=3600，3600=2⁴×3²×5²=(2²×3×5)²=60²，确实是完全平方数。 【答案】 x的最小值为10。 【典型例题3】 有一个正整数n，它与152的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方。求这个自然数n。 【分析】 1. 设n+152=a²，n+100=b²，其中a、b为整数。 2. 两式相减得：a²-b²=52，即(a-b)(a+b)=52。 3. 52=1×52=2×26=4×13，考虑a-b和a+b的奇偶性相同，只有2×26满足条件。 4. 因此，a-b=2，a+b=26，解得a=14，b=12。 5. 代入得：n+152=14²=196，n=44；n+100=12²=144，n=44，验证成立。 【详解】 1. 设n+152=a²，n+100=b²，其中a、b为整数。 2. 两式相减：a²-b²=52，即(a-b)(a+b)=52。 3. 分解52：52=1×52=2×26=4×13。 4. 由于a-b和a+b的奇偶性相同（同为奇数或同为偶数），只有2×26满足条件。 5. 解方程组： · a-b=2 · a+b=26 · 相加得：2a=28，a=14 · 相减得：2b=24，b=12 6. 代入验证： · n+152=14²=196，n=44 · n+100=12²=144，n=44 7. 因此，n=44是满足条件的自然数。 【答案】 n=44 【跟踪训练3】 有一个正整数n，它与1999的和等于某个数的平方，它与100的和等于另一个数的平方。求这个自然数n。 【分析】 1. 设n+1999=a²，n+100=b²，其中a、b为整数。 2. 两式相减得：a²-b²=1899，即(a-b)(a+b)=1899。 3. 1899=1×1899=3×633=9×211，考虑a-b和a+b的奇偶性相同。 4. 1899是奇数，因此a-b和a+b都是奇数。 5. 可能的分解：1×1899、3×633、9×211。 6. 解方程组： · a-b=1，a+b=1899，解得a=950，b=949 · a-b=3，a+b=633，解得a=318，b=315 · a-b=9，a+b=211，解得a=110，b=101 7. 验证： · n+1999=950²=902500，n=900501 · n+100=949²=900601，n=900501，验证成立 【详解】 1. 设n+1999=a²，n+100=b²，其中a、b为整数。 2. 两式相减：a²-b²=1899，即(a-b)(a+b)=1899。 3. 分解1899：1899=1×1899=3×633=9×211。 4. 由于1899是奇数，a-b和a+b必须同为奇数。 5. 解方程组： · a-b=1，a+b=1899，解得a=950，b=949 · a-b=3，a+b=633，解得a=318，b=315 · a-b=9，a+b=211，解得a=110，b=101 6. 验证： · n+1999=950²=902500，n=900501 · n+100=949²=900601，n=900501，验证成立 【答案】 n=900501 提升练习 1. 判断下列各数是否为完全平方数，说明理由： (1) 123456789 (2) 234567 【详解】 根据完全平方数的末位特征：完全平方数的末位数字只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9，不可能是 2, 3, 7, 8。 (1) 123456789 的末位数字是 9，符合特征，但需要进一步验证。观察其数字和： 。完全平方数的数字和（去9法）通常为1, 4, 7, 9（虽然这不是绝对判定法，但结合常识， ，而123456789不符合回文平方数规律）。更直接的方法是看范围： ，中间无整数平方。 (2) 234567 的末位数字是 7，不符合完全平方数的末位特征。 【答案】 (1) 不是（末位虽可，但不在连续平方数范围内且数字和特征不符）。 (2) 不是（末位是7）。 2. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 【详解】 先将 1440 分解质因数： 根据完全平方数的质因数指数必须为偶数的特征： 的指数是 （奇数），需要补 个 变成 。 的指数是 （偶数），不需要补。 的指数是 （奇数），需要补 个 变成 。 所以 。 【答案】 3. 判断 是否为完全平方数？如果不是，请问至少减去多少才能得到一个完全平方数？ 【详解】 判定： 的末位是 ，符合特征。分解质因数： 。 。 所以 。指数 均为奇数，不是完全平方数。 范围查找：我们知道 。 。 所以 至少减去 就能得到 ？不对， 是平方数， 比它小 ，所以 减去 本身不是，最近的下方平方数是 。 。 但题目问“至少减去多少”，通常指变成最近的那个平方数。因为 ，所以只能向下找 。 。 【答案】 不是。至少减去 。 4. 一个长方形的面积是 平方厘米，如果要把它剪裁成一个面积最大的正方形，且没有剩余，这个正方形的面积最大是多少？ 【详解】 要没有剩余且是正方形，说明正方形的边长必须是长方形长和宽的公约数。要面积最大，边长就要是最大公约数。但题目只给了面积 。 实际上，这等同于求 的一个因数，这个因数是完全平方数，且是 的因数中最大的。 即求 分解质因数后，能组成的最大完全平方数。 分解 ： 取指数为偶数的部分： （保留） （保留） （舍去，或者取 ） 所以最大正方形面积为 。 【答案】 平方厘米 5. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 【详解】 分解 ： 即： 分析指数： 的指数 是奇数，需补 。 的指数 是偶数，不补。 的指数 是奇数，需补 。 的指数 是奇数，需补 。 所以 。 【答案】 6. 一个自然数 的形式为 。如果 是一个完全平方数，那么指数 必须是什么数？ 【详解】 根据完全平方数的质因数分解特征：各质因数的指数必须都是 偶数。 已知 的指数是 （偶数）， 的指数是 （偶数）。 所以 的指数 也必须是偶数。 【答案】 偶数 7. 求最小的正整数 ，使得 是一个完全平方数。 【详解】 先计算 的质因数： 乘积： 分析： 的指数 是偶数，不补。 的指数 是奇数，需补 个 。 所以 。 【答案】 8. 一个数加上 是一个完全平方数，这个数加上 也是一个完全平方数。求这个数。 【详解】 设这个数为 。 两式相减： 是偶数，且 与 同奇偶（同为偶数）。 分解 的因数对（且同偶）： 尝试最小的合理解： 取 。 解得： 。 验证： 。 。 或者 。正确。 【答案】 9. 一个自然数 ，它与 的和是 的平方，它与 的差是 的平方。求 。 【详解】 根据题意： 展开 (2) 式： 将 (3) 代入 (1)： 代入 (1)： 。 。 【答案】 10. 一个长方体的体积是 立方厘米，如果它的长、宽、高都是整数，且恰好是一个数的立方（即正方体）。请问这个正方体的棱长是多少？ 【详解】 题目意思是 是一个完全立方数，求其立方根。 分解 ： 或者熟知： 。 所以棱长是 。 【答案】 厘米 11. 有 盏灯，编号从 到 。开始时全部熄灭。第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态；第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态……第 秒，所有编号是 的倍数的灯切换状态。问最后哪些灯是亮的？ 【详解】 一盏灯编号为 ，它被切换的次数等于 的约数个数。 如果 有奇数个约数，则最后是亮的（因为初始是灭，奇数次切换后为亮）。 根据完全平方数的特征：只有完全平方数的约数个数是奇数。 所以编号为 的灯是亮的。 【答案】 编号为 的灯是亮的。 12. 一个数减去 是一个完全平方数，这个数加上 也是一个完全平方数。求这个数。 【详解】 设数为 。 相减： 同第8题。 取 （为了得到整数解）。 解得： 。 验证： 。 。 或者 。正确。 【答案】 13. 求最小的正整数 ，使得 是完全平方数，且 是 的倍数。 【详解】 要 是 的倍数，且是完全平方数。 中 的指数是 （奇数），为了满足完全平方数指数为偶数，必须至少乘以一个 。 所以 。 验证： ，且 。 【答案】 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $