第二单元 比例（期中复习讲义）培优版（导图+14个考点真题讲练+提优练 共48题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共48题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 奥数拓展一 比例的基本性质 考点讲练二 比例的基本性质 奥数拓展二 解比例 考点讲练三 解比例 奥数拓展三 比例的应用 考点讲练四 比例的应用 奥数拓展四 比例尺应用 考点讲练五 比例尺的意义 考点讲练六 图上距离与实际距离的换算 考点讲练七 比例尺应用 考点讲练八 应用比例尺画图 考点讲练九 图形的放大与缩小 考点讲练十 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点五 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点六 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）判断下面各组中的两个比是否可以组成比例。 1.5∶2.5和                和4∶6 【变式】（难度：☆☆☆）在下列各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．2∶ B．5∶2 C．2∶5 D．∶ 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山西运城·期中）如果，则M×( )＝N×( )；如果（X、Y都不为0，那么Y∶X＝( )∶( )。 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）解方程。                      【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·陕西西安·期中）解比例。                                  考点讲练四 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）刘老师去文具店买笔记本做奖品，她带的钱买单价是6元的笔记本，正好可以买24本，如果买单价是4元的笔记本，可以买多少本？（用比例解答） 【变式】（难度：☆☆☆）某核酸检测点进行了为期三天的核酸检测，第一天有450人进行了核酸检测，第二天进行核酸检测的人数比第一天多，第三天与第二天进行核酸检酬的人数比是，该检测点第三天有多少人进行了核酸检测？（用比例解答） 考点讲练五 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）某公园周边设施如图所示。 (1)图书馆距离公园150米，图上距离是1.5厘米，此图的比例尺是( )。 (2)动物园到公园的图上距离是2.5厘米，亮亮从公园出发，每分钟走50米，需要走( )分钟才能到动物园。 (3)咖啡馆在公园南偏东方向200米处，请在图上标出它的位置。 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）2023年2月3日，我国首条设计时速为每小时350千米的跨海高铁福厦高铁进入静态验收阶段全长300千米，笑笑画了6厘米的路线图，请问笑笑用的比例尺是（    ）。 A．1∶7000000 B．1∶5000000 C．1∶50 D．5000000∶1 考点讲练六 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）李老师14：30从市坐动车去市，动车每小时行驶270千米。如果是晴天，李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”还是“满天繁星”？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）下图是某校操场1∶800的布局图，标出下面各场地的位置。 （1）沙坑在跳高场地的北偏西30°24米处。 （2）铅球场地在升旗台的东偏南10°28米处。 （3）乒乓球场地在升旗台的东偏北30°40米处。 考点讲练七 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）一块三角形菜地按1∶500的比例尺画在图纸上，在图纸上量得底是12cm。该底上的高是8cm。这块菜地的实际面积是多少？ 【变式】（难度：☆☆☆）在比例尺为l∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5.4厘米，如果汽车以60千米/时的速度在上午10时从甲地出发，那么到达乙地的时间是几时？ 考点讲练八 应用比例尺画图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西渭南·期中）春风轻拂，花开似锦，绘就一幅生机盎然的画卷，小智和朋友约好一起露营，下面是他从家出发，骑自行车的部分路线图，小智家到中心广场的图上距离是2厘米，实际距离是4千米。 （1）图中的比例尺是（    ）。 （2）从中心广场到超市的图上距离是（    ）厘米，实际距离是（    ）千米。 （3）小智在超市购买了一些物品后，骑车先向东偏南30°方向骑行10千米到达公园，然后再向北骑行4千米到达博物馆，最后向西骑行2千米到达露营地，请你在图中将小智骑行的路线补充完整。 考点讲练九 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 【变式】（难度：☆☆☆☆）按要求画一画。 （1）将图形①绕点O逆时针旋转90°。 （2）将图形①先向上平移3格，再向右平移4格，得到图形②。 （3）以虚线为对称轴，画出与图形②轴对称的图形。 （4）将图形①放大得到图形③，使放大后的图形与原图形对应线段长的比是2∶1。 考点讲练十 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( )（判断对错） 【变式】（难度：☆☆☆☆）把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 奥数拓展一 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·山东济南·期末）小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·湖北孝感·期中）两支粗细、长短都不同的蜡烛，长的一支可以点4小时，短的可以点6小时，将它们同时点燃，两小时后，两支蜡烛所余下的长度正好相等。原来短蜡烛的长度是长蜡烛的（    ）。 A． B． C． D． 奥数拓展二 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【变式】（难度：☆☆☆☆）解方程。 x∶＝2.25∶           5（x－1）－3（2x－8）＝15 （2－x）∶3＝（x＋1）∶4             奥数拓展三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·江苏无锡·期末）山羊和绵羊性情不同。若羊群中山羊和绵羊的比是3∶7，则生态平衡，假设某草原原本平衡的羊群中，山羊和绵羊各被狼吃掉了28只，如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充( )羊（填“山”或“绵”），补充( )只。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）甲、乙、丙三人进行100m赛跑（假设他们的速度保持不变），甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m，那么乙到达终点时，丙距离终点还有（    ）。 A．5m B．6m C．6.25m D．6.75m 奥数拓展四 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 【变式】（难度：☆☆☆☆）下面是李叔叔坐出租车经过中心广场去广贸大厦的路线图，该城市出租车的计费标准是：3km以内9元，超过3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km计算）。 （1）广贸大厦在中心广场的（　　）偏（　　）50°方向； （2）量一量，算一算，出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了多少km？ （3）李叔叔乘出租车需要多少元车费？ 1．（2024·陕西西安·小升初真题）下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 2．（2024·陕西西安·小升初真题）神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400多吨，总高度约60米。小军制作了一艘神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体模型，模型高度与实际高度的比是1∶150，则这个模型的高度约（    ）厘米。 A．4 B．40 C．15 D．150 3．（2024·四川成都·小升初真题）一个微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上，在图纸上的长度是（    ）cm。 A．0.32 B．3.2 C．32 D．320 4．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 5．一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 6．（24-25六年级下·广东云浮·期中）把线段比例尺改为数值比例尺是( )，图上1cm的线段相当于实际距离( )km。 7．（24-25六年级下·广东茂名·期中）如果把一个长方形按5∶1放大，放大后长方形与放大前长方形的面积比是( )。 8．（24-25六年级下·广东茂名·期中）在一个比例中，两个比的比值等于2，这个比例的两个内项分别是10和60，这个比例是( )。 9．（19-20六年级下·陕西西安·期末）a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 10．比例尺表示的是一个比，因此没有计量单位。( )（判断对错） 11．一个电子零件的实际长度是2mm，画在图纸上的长度是8cm，这张图纸的比例尺是40∶1。( )（判断对错） 12．学校操场的实际长是240m，画在图纸上的长是6cm。这张图纸的比例尺是1∶40。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）解比例。 （1）                    （2） （3）30%∶＝                  （4） 14．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是小英家附近几个建筑物的位置。 (1)小英家到学校的实际距离书店是900米，则这幅图的比例尺是( )。（测量时取整厘米） (2)书店距离小英家的实际距离是( )米。 (3)体育场在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的实际距离是( )米。 15．（23-24六年级下·广东深圳·期中）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 16．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）一块三角形的钢板，用1∶200的比例画在纸上，两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，这块钢板的实际面积是多少平方米？ 17．（2024·山西吕梁·小升初真题）淘气在一张地图上量得美国到中国的空中直线距离是7厘米，预计飞行时间是14小时，请问飞机的飞行速度是多少？（比例尺为1∶200000000） 18．（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 19．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）按要求画一画、算一算。 （1）实际850米在图上画（      ）厘米。 （2）图上2.3厘米表示实际的（      ）千米。 （3）图书馆在学校的北偏东30°，距离学校1800米。画出图书馆的位置。 （4）先量一量，再算一算，电影院距离学校的实际距离是多少千米？（测量精确到0.1厘米） 20．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共48题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 奥数拓展一 比例的基本性质 考点讲练二 比例的基本性质 奥数拓展二 解比例 考点讲练三 解比例 奥数拓展三 比例的应用 考点讲练四 比例的应用 奥数拓展四 比例尺应用 考点讲练五 比例尺的意义 考点讲练六 图上距离与实际距离的换算 考点讲练七 比例尺应用 考点讲练八 应用比例尺画图 考点讲练九 图形的放大与缩小 考点讲练十 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点五 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点六 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）判断下面各组中的两个比是否可以组成比例。 1.5∶2.5和                和4∶6 【答案】1.5∶2.5和可以组成比例；和4∶6不可以组成比例。 【思路引导】表示两个比相等的式子，叫做比例，据此解答。 【规范解答】1.5∶2.5和∶ 1.5∶2.5 ＝1.5÷2.5 ＝0.6 ∶ ＝÷ ＝× ＝0.6 0.6＝0.6，1.5∶2.5和∶可以组成比例。 ∶和4∶6 ∶ ＝÷ ＝×3 ＝ 4∶6 ＝4÷6 ＝ ≠，∶和4∶6不能组成比例。 【变式】（难度：☆☆☆）在下列各比中，与∶能组成比例的是（    ）。 A．2∶ B．5∶2 C．2∶5 D．∶ 【答案】C 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，据此先求出∶的比值，再逐项求出每个比的比值，进而比较两个式子的比值，比值相等，就能组成比例；求比值用比的前项除以后项，所得的商即为比值。 【规范解答】∶＝÷＝×2＝ A.2∶＝2÷＝2×5＝10，和∶比值不相等，不能组成比例； B．5∶2＝5÷2＝，和∶比值不相等，不能组成比例； C．2∶5＝2÷5＝，和∶比值相等，能组成比例； D．∶＝÷＝×5＝，和∶比值不相等，不能组成比例。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了判断两个式子是否成比例的方法，会求比值是解题的关键，求的比值是一个商，是具体结果，可以是整数、小数或者分数。 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【答案】A 【思路引导】根据“参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多”可得出等式：人工智能科创人数×＝美术社团人数×；再根据比例的基本性质把它改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【规范解答】人工智能科创人数×＝美术社团人数× 人工智能科创人数∶美术社团人数＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶5 则人工智能科创人数∶美术社团人数＝2∶5。 故答案为：A 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山西运城·期中）如果，则M×( )＝N×( )；如果（X、Y都不为0，那么Y∶X＝( )∶( )。 【答案】 5 7 3 2 【思路引导】在比例中，两外项的积等于两内项的积，据此解答；根据比例的基本性质的逆用，把化为Y∶X＝，比的性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。据此化成最简单的整数比。 【规范解答】如果，则M×5＝N×7； 如果（X、Y都不为0，那么Y∶X＝＝＝12∶8 ＝（12÷4）∶（8÷4）＝3∶2 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）解方程。                      【答案】；； 【思路引导】，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以0.3即可； ，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以7即可； ，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可。 【规范解答】 解： 解： 解： 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·陕西西安·期中）解比例。                                  【答案】；； 【思路引导】，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以4即可； ，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以3即可； ，根据比例的基本性质，将方程变为，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可。 【规范解答】 解： 解： 解： 考点讲练四 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）刘老师去文具店买笔记本做奖品，她带的钱买单价是6元的笔记本，正好可以买24本，如果买单价是4元的笔记本，可以买多少本？（用比例解答） 【答案】36本 【思路引导】根据题意知道小明带的钱的总量一定，即总价一定，单价与数量成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【规范解答】解：设可以买x本 4x＝24×6 4x＝144 x＝36 答：可以买36本。 【考点剖析】关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。 【变式】（难度：☆☆☆）某核酸检测点进行了为期三天的核酸检测，第一天有450人进行了核酸检测，第二天进行核酸检测的人数比第一天多，第三天与第二天进行核酸检酬的人数比是，该检测点第三天有多少人进行了核酸检测？（用比例解答） 【答案】660人 【思路引导】把第一天进行核酸检测的人数看作单位“1”，第二天进行核酸检测的人数是第一天的（1＋），用第一天核酸检测人数×（1＋），求出第二天核酸检测人数； 设该核酸检查点第三天核酸检测人数是x人，根据第三天与第二天进行核酸检测的人数比是11∶9，列比例：x∶第二天核酸检测人数＝11∶9，解比例，即可解答。 【规范解答】450×（1＋） ＝450× ＝540（人） 解：设该核酸检查点第三天有x人进行核酸检测。 x∶540＝11∶9 9x＝540×11 9x＝5940 x＝5940÷9 x＝660 答：该核酸检测点第三天有660人进行了核酸检测。 【考点剖析】本题先根据分数乘法的意义，求出第二天核酸检测的人数，再根据比例的基本性质，求出第三天核酸检测的人数。 考点讲练五 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）某公园周边设施如图所示。 (1)图书馆距离公园150米，图上距离是1.5厘米，此图的比例尺是( )。 (2)动物园到公园的图上距离是2.5厘米，亮亮从公园出发，每分钟走50米，需要走( )分钟才能到动物园。 (3)咖啡馆在公园南偏东方向200米处，请在图上标出它的位置。 【答案】(1)1∶10000 (2)5 (3)见详解 【思路引导】（1）比例尺＝图上距离：实际距离，需要先统一单位。 （2）先根据比例尺算出实际距离，再用“时间＝路程÷速度”计算。 （3）先算图上距离：200米＝20000厘米，20000÷10000＝2厘米。 以公园为观测点，向南（向下）偏东（向右）画45°角，截取2厘米线段，端点即为咖啡馆位置。 【规范解答】（1）150米​＝15000厘米 图书馆距离公园150米，图上距离是1.5厘米，此图的比例尺是1∶10000。 （2）2.5×10000＝25000（厘米） 25000厘米＝250米 250÷50＝5（分钟） ​动物园到公园的图上距离是2.5厘米，亮亮从公园出发，每分钟走50米，需要走5分钟才能到动物园。 （3）200米＝20000厘米，20000÷10000＝2（厘米） 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）2023年2月3日，我国首条设计时速为每小时350千米的跨海高铁福厦高铁进入静态验收阶段全长300千米，笑笑画了6厘米的路线图，请问笑笑用的比例尺是（    ）。 A．1∶7000000 B．1∶5000000 C．1∶50 D．5000000∶1 【答案】B 【思路引导】根据比例尺的意义∶比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，求出笑笑用的比例尺，注意单位名数的统一。 【规范解答】300千米＝30000000厘米 6∶30000000 ＝（6÷6）∶（30000000÷6） ＝1∶5000000 2023年2月3日，我国首条设计时速为每小时350千米的跨海高铁福厦高铁进入静态验收阶段全长300千米，笑笑画了6厘米的路线图，请问笑笑用的比例尺是1∶5000000。 故答案为：B 考点讲练六 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）李老师14：30从市坐动车去市，动车每小时行驶270千米。如果是晴天，李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”还是“满天繁星”？ 【答案】落日余晖 【思路引导】已知比例尺1∶36000000＝，表示图上1厘米代表实际距离36000000厘米。图上距离是3厘米。根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，可得实际距离为3÷＝3×36000000＝108000000厘米。因为1千米＝100000厘米，所以108000000厘米为108000000÷100000＝1080千米。 已知动车速度是每小时270千米，根据“时间＝路程÷速度”，可得行驶时间为1080÷270＝4小时。李老师14：30＝14时30分，从A市出发，经过4小时后，到达时间是14时30分＋4小时＝18时30分。“落日余晖”表示的是傍晚，“满天繁星”表示的是晚上。18时30分是在傍晚，晴天时看到的景象通常是“落日余晖”。 【规范解答】1∶36000000＝ 3÷ ＝3×36000000 ＝108000000（厘米） 1千米＝100000厘米 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷270＝4（小时） 14：30＝14时30分 14时30分＋4小时＝18时30分 答：李老师到达市时看到的景象是“落日余晖”。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）下图是某校操场1∶800的布局图，标出下面各场地的位置。 （1）沙坑在跳高场地的北偏西30°24米处。 （2）铅球场地在升旗台的东偏南10°28米处。 （3）乒乓球场地在升旗台的东偏北30°40米处。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【思路引导】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别计算出少坑道跳高场地的图上距离，铅球场地道升旗台的图上距离，乒乓球场地道升旗台的图上距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，分别以跳高场地、升旗台为观测点，画出少坑的位置，铅球场地的位置，乒乓球场地的位置，即可解答。 【规范解答】（1）24米＝2400厘米 2400×＝3（厘米） 图如下： （2）28米＝2800厘米 2800×＝3.5（厘米） 图如下： （3）40米＝4000厘米 4000×＝5（厘米） 图如下： 考点讲练七 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）一块三角形菜地按1∶500的比例尺画在图纸上，在图纸上量得底是12cm。该底上的高是8cm。这块菜地的实际面积是多少？ 【答案】1200平方米 【思路引导】根据比例尺的意义可知，比例尺＝图上距离∶实际距离，分别求出三角形底和高的实际长度，然后根据三角形面积公式：底×高÷2，以此解答。 【规范解答】底实际长度：12÷＝12×500＝6000（厘米）＝60米 高实际长度：8÷＝8×500＝4000（厘米）＝40米 菜地实际面积：60×40÷2 ＝2400÷2 ＝1200（平方米） 答：这块菜地的实际面积是1200平方米。 【考点剖析】此题主要考查学生利用比例尺求取三角形底和高的实际长度，然后再利用三角形面积公式求面积的能力。 【变式】（难度：☆☆☆）在比例尺为l∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5.4厘米，如果汽车以60千米/时的速度在上午10时从甲地出发，那么到达乙地的时间是几时？ 【答案】14时30分 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地实际距离；再根据路程÷速度＝时间，求出到达乙地所需时间，进而求得到达时是几时。 【规范解答】5.4÷＝27000000（厘米）＝270（千米） 270÷60＝4.5（小时） 上午10时整出发经过4.5小时应是14时30分。 答：到达乙地的时间是14时30分。 【考点剖析】本题主要考查比例尺的应用，单位转化时注意0的个数。 考点讲练八 应用比例尺画图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 【答案】（1）2000；1∶200000 （2）见详解 【思路引导】（1）根据已知的图上距离和实际距离求出图上1cm代表的实际距离，再根据，得出比例尺； （2）先根据比例尺算出博物馆到育才小学的图上距离，再结合方向在图上进行标注。 【规范解答】（1）4000÷2＝2000（m） 4000m＝400000cm 图上1cm表示实际距离2000m，这幅图的比例尺是1∶200000。 （2）6000m＝600000cm 解：设图上距离为cm。 博物馆到育才小学的图上距离为3cm。 画图如下： 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西渭南·期中）春风轻拂，花开似锦，绘就一幅生机盎然的画卷，小智和朋友约好一起露营，下面是他从家出发，骑自行车的部分路线图，小智家到中心广场的图上距离是2厘米，实际距离是4千米。 （1）图中的比例尺是（    ）。 （2）从中心广场到超市的图上距离是（    ）厘米，实际距离是（    ）千米。 （3）小智在超市购买了一些物品后，骑车先向东偏南30°方向骑行10千米到达公园，然后再向北骑行4千米到达博物馆，最后向西骑行2千米到达露营地，请你在图中将小智骑行的路线补充完整。 【答案】（1）1∶200000 （2）3；6 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺，注意单位名数的统一。 （2）先测量出中心广场到超市的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出实际距离。 （3）先计算出超市到公园的图上距离，公园到博物馆的图上距离，博物馆到露营地的图上距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以超市、公园，博物馆为观测点，画出小智骑行的路线。 【规范解答】（1）4千米＝400000厘米 2∶400000 ＝（2÷2）∶（400000÷2） ＝1∶200000 图中的比例尺是1∶200000。 （2）从中心广场到超市的图上距离是3厘米。 3÷ ＝3×200000 ＝600000（厘米） 600000厘米＝6千米 从中心广场到超市的图上距离是3厘米，实际距离是6千米。 （3）10千米＝1000000厘米 1000000×＝5（厘米） 4千米＝400000厘米 400000×＝2（厘米） 2千米＝200000厘米 200000×＝1（厘米） 如图： 考点讲练九 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 【答案】（1）见详解 （2）9 （3）64 【思路引导】（1）先数长方形甲的长和宽，假设每个方格边长为1，通过数方格可知长方形甲的长是3格，宽是2格。按3：1放大后，长方形乙的长为3×3＝9格，宽为2×3＝6格。然后在方格图中画出长9格、宽6格的长方形乙。 （2）根据，分别算出甲和乙的面积，再求倍数关系。 （3）设原来长方形长为，宽为，放大后长为，宽为，分别计算面积再求倍数。 【规范解答】（1）3×3＝9（格） 2×3＝6（格） （2）3×2＝6 9×6＝54 54÷6＝9 长方形乙的面积是长方形甲的面积的9倍。 （3）设原来长方形的长为，宽为。 如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的64倍。 【变式】（难度：☆☆☆☆）按要求画一画。 （1）将图形①绕点O逆时针旋转90°。 （2）将图形①先向上平移3格，再向右平移4格，得到图形②。 （3）以虚线为对称轴，画出与图形②轴对称的图形。 （4）将图形①放大得到图形③，使放大后的图形与原图形对应线段长的比是2∶1。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据旋转的特征，图形①绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （2）根据平移的特征，把图①的各顶点先向上平移3格，再向右平移4格，依次连接即可得到图形②。 （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出轴对称图形即可。 （4）根据图形放大与缩小的意义，把这个直角三角形的两直角边分别扩大到原来的2倍，得到的图形就是图形①按2：1放大后的图形③。 【规范解答】（1）、（2）、（3）、（4）如图： 【考点剖析】本题主要考查图形的旋转，平移，放大与缩小，应熟练掌握作图方法。 考点讲练十 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】设原来长方形的长是2厘米，宽是1厘米，则放大后的长是（2×5）厘米，宽是（1×5）厘米。长方形面积＝长×宽，把数据代入算出原来长方形的面积和放大后的长方形面积，再算出面积比。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和放大后的长方形周长，再算出周长比。 【规范解答】2×5＝10（厘米） 1×5＝5（厘米） （10×5）÷（2×1） ＝50÷2 ＝25 [（10＋5）×2]÷[（2＋1）×2] ＝[15×2]÷[3×2] ＝30÷6 ＝5 一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的25倍。 故答案为：× 【变式】（难度：☆☆☆☆）把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【答案】 16∶1 1∶6 【思路引导】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【规范解答】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 奥数拓展一 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·山东济南·期末）小林、小刚和小明相约去书城购书。小林所花钱数与小刚所花钱数的比是2∶3，小刚所花钱数的等于小明所花钱数的，而小明比小林多花了64元。他们购书一共花了多少钱？ 【答案】232元 【思路引导】根据“小刚花钱数的等于小明花钱数的”，根据比例的基本性质：在一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将分数等式转化为小刚与小明的花钱数之比；结合已知的小林与小刚的比2∶3，通过比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，把小刚的份数统一为9份，得到小林、小刚、小明的连比；再由“小明比小林多花64元”，算出两人的份数差，用多花的钱数除以分数差求出每份代表的钱数；最后，算出总份数，用总份数乘每份金额，得到三人购书的总花费。 【规范解答】由小刚花钱数的等于小明花钱数的，即小刚×＝小明×，可得，小刚∶小明＝∶＝（​×21）∶（​×21）＝9∶14 小林∶小刚＝2∶3＝（2×3）∶（3×3）＝6∶9 所以，小林∶小刚∶小明＝6∶9∶14 14－6＝8（份） 64÷8＝8（元） 6＋9＋14＝29（份） 29×8＝232（元） 答：他们购书一共花了232元。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·湖北孝感·期中）两支粗细、长短都不同的蜡烛，长的一支可以点4小时，短的可以点6小时，将它们同时点燃，两小时后，两支蜡烛所余下的长度正好相等。原来短蜡烛的长度是长蜡烛的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】分别将两支蜡烛燃烧总时间看作单位“1”，长的每小时燃烧全长的，短的每小时燃烧全长的，每小时燃烧全长的几分之几×燃烧时间＝相应时间燃烧全长的几分之几，据此计算出两小时各燃烧了全长的几分之几，1－燃烧了全长的几分之几＝余下全长的几分之几，根据余下的长度正好相等，可得长蜡烛全长×余下对应分率＝短蜡烛全长×余下对应分率，根据比例的基本性质，两内项积＝两外项积，确定长蜡烛和短蜡烛全长的比，短蜡烛全长÷长蜡烛全长＝原来短蜡烛的长度是长蜡烛的几分之几。 【规范解答】两小时后，长的余下全长的： 1－×2 ＝1－ ＝ 两小时后，短的余下全长的： 1－×2 ＝1－ ＝ 长蜡烛全长×＝短蜡烛全长× 短蜡烛全长∶长蜡烛全长＝∶＝（×6）∶（×6）＝3∶4 3÷4＝ 原来短蜡烛的长度是长蜡烛的。 【考点剖析】关键是分别确定余下长度的对应分率，掌握并灵活运用比例的基本性质。 奥数拓展二 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【思路引导】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【规范解答】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【考点剖析】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 【变式】（难度：☆☆☆☆）解方程。 x∶＝2.25∶           5（x－1）－3（2x－8）＝15 （2－x）∶3＝（x＋1）∶4             【答案】x＝0.6；x＝4 x＝； 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，把比例式化为方程式，然后根据等式的性质，在方程两边同时除以即可； （2）根据乘法分配律把原方程化为5x－5－6x＋24＝15，计算左边后化为5x－6x＋19＝15，再根据等式的性质，在方程两边同时减去15，再在方程两边同时加上x即可； （3）根据比例的基本性质，把比例式化为方程式，根据乘法分配律化为3x＋3＝8－4x，再根据等式的性质，在方程两边同时加上4x，再在方程两边同时减去3，再在方程两边同时除以7即可； （4）把原方程化为，再根据比例的基本性质，把比例式化为方程式，再根据等式的性质，在方程两边同时加上3，再在方程两边同时减去2x即可。 【规范解答】x∶＝2.25∶ 解：x＝×2.25 x＝1.95 x÷＝1.95÷ x＝0.6 5（x－1）－3（2x－8）＝15 解：5x－5－6x＋24＝15 5x－6x＋19＝15 5x－6x＋19－15＝15－15 5x－6x＋4＝0 5x－6x＋4＋x＝0＋x x＝4 （2－x）∶3＝（x＋1）∶4 解：3（x＋1）＝4（2－x） 3x＋3＝8－4x 3x＋3＋4x＝8－4x＋4x 7x＋3＝8 7x＋3－3＝8－3 7x＝5 7x÷7＝5÷7 x＝ 解： 奥数拓展三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·江苏无锡·期末）山羊和绵羊性情不同。若羊群中山羊和绵羊的比是3∶7，则生态平衡，假设某草原原本平衡的羊群中，山羊和绵羊各被狼吃掉了28只，如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充( )羊（填“山”或“绵”），补充( )只。 【答案】 山 16 【思路引导】原本羊群中山羊和绵羊的比是3：7，生态平衡。各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。根据生态平衡时，山羊的只数∶绵羊的只数＝3∶7列比例方程解答。 【规范解答】各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。 解：设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。 （3x－28＋a）∶（7x－28）＝3∶7 7×（3x－28＋a）＝（7x－28）×3 21x－196＋7a＝21x－84 21x－196＋7a＋196＝21x－84＋196 21x＋7a＝21x＋112 21x＋7a－21x＝21x＋112－21x 7a＝112 7a÷7＝112÷7 a＝16 所以如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充山羊16只。 【考点剖析】首先需要根据比的关系判断出需要补充哪一种羊，设未知数时根据比例关系设，最后根据生态平衡时的比是3∶7列比例方程解答。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）甲、乙、丙三人进行100m赛跑（假设他们的速度保持不变），甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m，那么乙到达终点时，丙距离终点还有（    ）。 A．5m B．6m C．6.25m D．6.75m 【答案】C 【思路引导】“甲到达终点时，乙距离终点还有20m，丙距离终点还有25m”，这一过程三人所用时间相同，所以乙、丙的速度比等于路程比。此时，乙跑的路程＝（100－20）m，丙跑的路程＝（100－25）m； “乙到达终点时，丙距离终点还有多远”，这一过程，两人所用时间相同，跑的路程比等于速度比。此时，乙跑的路程为20m，丙跑的路程为（25－x）m；根据他们的速度保持不变，可知速度比不变。综上，列出比例即可。 【规范解答】解：设丙距终点还有xm。 16×（25－x）＝20×15 16×（25－x）＝300 16×25－16x＝300 400－16x＝300 16x＝400－300 16x＝100 x＝6.25 答：乙到达终点时，丙距离终点还有6.25m。 奥数拓展四 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 【答案】（1）华灯初上。 （2）他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【思路引导】根据图上距离和比例尺算出实际距离，再用实际距离除以速度得出行驶时间，然后加上开始坐车的时间，算出到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 【规范解答】   （时）   他到达南京时看到的景象可能是华灯初上。 答：通过计算可知，他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【考点剖析】算出行驶时间后加上开始坐车的时间，得到到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 【变式】（难度：☆☆☆☆）下面是李叔叔坐出租车经过中心广场去广贸大厦的路线图，该城市出租车的计费标准是：3km以内9元，超过3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km计算）。 （1）广贸大厦在中心广场的（　　）偏（　　）50°方向； （2）量一量，算一算，出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了多少km？ （3）李叔叔乘出租车需要多少元车费？ 【答案】（1）北；东 （2）6km （3）16.5元 【思路引导】（1）以中心广场为观测点，以它的“上北下南，左西右东”方向为准，确定广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向； （2）先在图中量出从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，最后根据进率1km＝100000cm换算单位； （3）先用李叔叔乘出租车的实际距离减去3km，再乘单价2.5元，求出超过3km部分的费用，再加上3km以内的费用，就是乘出租车一共的费用。 【规范解答】（1）广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向。 （2）量得从李叔叔家到中心广场的图上距离是1cm，从中心广场到达广贸大厦的图上距离是2cm；（以实际测量为准） 从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离一共是：1＋2＝3（cm） 实际距离：3÷＝600000（cm） 600000cm＝6km 答：出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了6km。 （3）（6－3）×2.5＋9 ＝3×2.5＋9 ＝7.5＋9 ＝16.5（元） 答：李叔叔乘出租车需要16.5元车费。 【考点剖析】掌握方向、角度确定位置，图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 1．（2024·陕西西安·小升初真题）下面各比中，可以与24∶18组成比例的是（    ）。 A．10∶5 B．0.6∶0.4 C．∶ D．15∶12 【答案】C 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【规范解答】24∶18＝24÷18＝ A．10∶5＝10÷5＝2 2≠，所以10∶5不能与24∶18组成比例； B．0.6∶0.4＝0.6÷0.4＝ ≠，所以0.6∶0.4不能与24∶18组成比例； C．∶＝÷＝×＝ ＝，所以∶能与24∶18组成比例； D．15∶12＝15÷12＝ ≠，所以15∶12不能与24∶18组成比例。 故答案为：C 2．（2024·陕西西安·小升初真题）神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400多吨，总高度约60米。小军制作了一艘神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体模型，模型高度与实际高度的比是1∶150，则这个模型的高度约（    ）厘米。 A．4 B．40 C．15 D．150 【答案】B 【思路引导】模型的高度＝实际高度×比例尺，即模型的高度为（60×）米，再将模型的高度转换成厘米即可，1米＝100厘米。 【规范解答】60×＝0.4（米） 0.4米＝40厘米 这个模型的高度约40厘米。 故答案为：B 3．（2024·四川成都·小升初真题）一个微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上，在图纸上的长度是（    ）cm。 A．0.32 B．3.2 C．32 D．320 【答案】C 【思路引导】根据图上距离＝实际距离×比例尺，可以计算出在图纸上的长度是多少毫米，最后把计算结果换算成用厘米作单位的数，即可解决本题。 【规范解答】“微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上”可知： 图上距离为：4×＝4×80＝320（mm） 320mm＝32cm 故答案为：C 4．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【规范解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 5．一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【思路引导】圆柱的底面积比圆锥的底面积多，圆柱的底面积等于圆锥的底面积×（1＋）；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；由此可知，圆柱的体积＝圆锥底面积×高；圆锥的体积＝圆锥底面积×36×；圆锥的体积与圆柱的体积比是4∶5，进而求出圆柱的高，据此解答。 【规范解答】设圆柱的高是hcm；圆锥的底面积是scm2。 圆柱的底面积：（1＋）s＝s（cm2） s×36×∶s×h＝4∶5 s×4×h＝12×s×5 6h＝60 h＝60÷6 h＝10 一个圆锥和一个圆柱体积的比是4∶5，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是10cm。 故答案为：A 【考点剖析】熟练掌握比的意义，圆柱的体积公式、圆锥的体积公式，以及比例的基本性质是解答本题的关键。 6．（24-25六年级下·广东云浮·期中）把线段比例尺改为数值比例尺是( )，图上1cm的线段相当于实际距离( )km。 【答案】 1∶1000000/ 10 【思路引导】线段比例尺的意思是，表示图上距离1cm相当于实际距离10km；然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”以及进率：1km＝100000cm，把这个线段比例尺改写成数值比例尺即可。 【规范解答】1cm∶10km ＝1cm∶1000000cm ＝1∶1000000 把线段比例尺改为数值比例尺是1∶1000000，图上1cm的线段相当于实际距离10km。 7．（24-25六年级下·广东茂名·期中）如果把一个长方形按5∶1放大，放大后长方形与放大前长方形的面积比是( )。 【答案】25∶1 【思路引导】按5∶1放大长方形，即长和宽都扩大到原来的5倍。假设原长方形的长为a，宽为b，先求出放大后的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，分别求出放大前后的面积，最后写出放大后长方形与放大前长方形的面积比，并进行化简即可解答。 【规范解答】假设原长方形的长为a，宽为b。 放大后长方形的长：5×a＝5a 放大后长方形的宽：5×b＝5b 原长方形的面积：a×b＝ab 放大后长方形的面积：5a×5b＝25ab 放大后与放大前的面积比：25ab∶ab＝（25ab÷ab）∶（ab ÷ab）＝25∶1。 即如果把一个长方形按5∶1放大，放大后长方形与放大前长方形的面积比是25∶1。 8．（24-25六年级下·广东茂名·期中）在一个比例中，两个比的比值等于2，这个比例的两个内项分别是10和60，这个比例是( )。 【答案】 20∶10＝60∶30 【思路引导】两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数中，叫做比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。根据题目的意思，可以将题目写成（ ）∶10＝60∶（ ），且两个比的比值是2，根据比与除法的关系可知，比的前项等于比值乘比的后项，比的后项等于前项除以比值，据此解答。 【规范解答】 在一个比例中，两个比的比值等于2，这个比例的两个内项分别是10和60，这个比例是20∶10＝60∶30。（答案不唯一） 9．（19-20六年级下·陕西西安·期末）a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 【答案】3∶10； 【思路引导】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【规范解答】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【考点剖析】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 10．比例尺表示的是一个比，因此没有计量单位。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】比例尺表示图上距离与实际距离的比，它是一个比，不是具体的数量，因此没有计量单位。 【规范解答】根据比例尺的意义，比例尺表示的是一个比，因此没有计量单位。原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】掌握比例尺的意义即可解答。 11．一个电子零件的实际长度是2mm，画在图纸上的长度是8cm，这张图纸的比例尺是40∶1。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】分析条件可知，图上距离和实际距离的单位名称不统一，先统一单位。后再根据比例尺的概念，即图上距离∶实际距离＝比例尺，求出数值比例尺和题目中的比例尺进行比较即可。 【规范解答】8cm＝80mm 80∶2＝40∶1 故答案为：√ 【考点剖析】做此题一定要心细，把不同单位换算统一后再计算，分清哪个数是图上距离，哪个数是实际距离。 12．学校操场的实际长是240m，画在图纸上的长是6cm。这张图纸的比例尺是1∶40。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，即可解答。 【规范解答】240m＝24000cm 6∶24000 ＝（6÷6）∶（24000÷6） ＝1∶4000 学校操场的实际长是240m，画在图纸上的长是6cm。这张图纸的比例尺是1∶4000。 故答案为：× 【考点剖析】利用比例尺的意义进行解答；注意单位名数的统一。 13．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）解比例。 （1）                    （2） （3）30%∶＝                  （4） 【答案】（1）；（2）＝8 （3）＝1；（4） 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （2）根据比例的基本性质，把式子转换成2.5＝12.5×1.6，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以2.5即可； （3）根据比例的基本性质，把式子转换成x＝×30%，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （4）根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可。 【规范解答】（1） 解： （2） 解：2.5＝12.5×1.6 2.5＝20 2.5÷2.5＝20÷2.5 ＝8 （3）30%∶＝ 解： ＝×30% ＝0.75 ÷＝0.75÷ ＝0.75× ＝1 （4） 解： 14．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是小英家附近几个建筑物的位置。 (1)小英家到学校的实际距离书店是900米，则这幅图的比例尺是( )。（测量时取整厘米） (2)书店距离小英家的实际距离是( )米。 (3)体育场在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的实际距离是( )米。 【答案】(1)1∶30000 (2)600 (3) 东 北 1200 【思路引导】（1）量出小英家到学校的图上距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算出比例尺； （2）量出书店距离小英家的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算出实际距离； （3）观察图可知，此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，以小英家为观测点，根据方向、角度确定体育场的位置即可。再量出体育场距离小英家的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算出实际距离； 【规范解答】（1）量出小英家到学校的图上距离为3厘米，900米＝90000厘米 3∶90000＝1∶30000 所以，这幅图的比例尺是1∶30000。 （2）量出书店距离小英家的图上距离是2厘米 2÷＝2×30000＝60000（厘米） 60000厘米＝600米 书店距离小英家的实际距离是600米。 （3）体育场距离小英家的图上距离为4厘米， 4÷＝4×30000＝120000（厘米） 120000厘米＝1200米 所以，体育场在小英家的东偏北30°方向，距小英家的实际距离是1200米。 15．（23-24六年级下·广东深圳·期中）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 【答案】（1）1∶10000 （2）200米 （3）见详解 【思路引导】（1）先从图上量出A点到出发点的图上距离，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出这幅图的比例尺。注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）先从图上量出B点距离出发点的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出B户距离出发点的实际距离，再根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可。 （3）已知D户位于出发点东偏南45°方向400米处，先把400米换算成40000厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出D户距离出发点的图上距离。 以图上的“上北下南，左西右东”为准，以出发点为观测点，根据方向、角度和距离在图中画出D户的位置。 【规范解答】（1）量得A点到出发点的图上距离是3厘米。（以实际测量为准） 3厘米∶300米 ＝3厘米∶（300×100）厘米 ＝3∶30000 ＝（3÷3）∶（30000÷3） ＝1∶10000 答：这幅图的比例尺是1∶10000。 （2）量得B点距离出发点的图上距离是2厘米。（以实际测量为准） 2÷ ＝2×10000 ＝20000（厘米） 2000厘米＝200米 答：B点距离出发点的实际距离是200米。 （3）400米＝40000厘米 40000×＝4（厘米） 如图： 16．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）一块三角形的钢板，用1∶200的比例画在纸上，两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，这块钢板的实际面积是多少平方米？ 【答案】14.4平方米 【思路引导】两条直角边共长5.4厘米，它们的长度之比是5∶4，说明把一条直角边长度看作5份，另一条直角边长度看作4份，它们长度之和看作10份，据此求出两直角边的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两直角边的实际长度，最后根据三角形面积公式，求出三角形钢板的实际面积即可。 【规范解答】底： （厘米） ＝6（米） 高： （厘米） ＝4.8（米） 钢板实际面积：6×4.8÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（平方米） 答：这块钢板的实际面积14.4平方米。 【考点剖析】本题考查比例尺、按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。 17．（2024·山西吕梁·小升初真题）淘气在一张地图上量得美国到中国的空中直线距离是7厘米，预计飞行时间是14小时，请问飞机的飞行速度是多少？（比例尺为1∶200000000） 【答案】1000千米/时 【思路引导】已知一幅地图的比例尺和美国到中国的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出美国到中国的实际距离；已知飞机的飞行时间是14小时，根据“速度＝路程÷时间”，即可求出飞机的飞行速度。 【规范解答】7÷ ＝7×200000000 ＝1400000000（厘米） 1400000000厘米＝14000千米 14000÷14＝1000（千米/时） 答：飞机的飞行速度是1000千米/时。 18．（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 【答案】12米；15米 【思路引导】根据题意可知，甲运动员冲过终点时，乙跑了（60－10）米，丙跑了（60－20）米；丁跑了（60－30）米，由于用的时间相同，他们跑的速度比等于路程比；先求出乙与丙的路程比；用（60－10）∶（60－20）＝5∶4；乙距离终点还有10米，设乙跑完10米，丙跑的路程为x米；列比例：5∶4＝10∶x，解比例，求出丙跑的距离，再用20－丙跑的路程，求出当乙到达终点时将领先丙多少米。同样，丙与丁的速度比等于他们的路程比；据此求出丙与丁的路程比，设出未知数，求出丙跑到终点，丁距离终点的路程，据此解答。 【规范解答】乙的路程∶丙的路程＝（60－10）∶（60－20） ＝50∶40 ＝（50÷10）∶（40÷10） ＝5∶4 解：设乙跑完10米，丙跑了x米。 5∶4＝10∶x 5x＝4×10 5x＝40 x＝40÷5 x＝8 20－8＝12（米） 丙的路程与丁的路程比＝（60－20）∶（60－30） ＝40∶30 ＝（40÷10）∶（30÷10） ＝4∶3 解：设丙跑完20米，丁跑了y米。 4∶3＝20∶y 4y＝3×20 4y＝60 y＝60÷4 y＝15 30－15＝15（米） 答：当乙到达终点时将领先丙12米。当丙到达终点时将领先了丁15米。 【考点剖析】解答本题的关键是根据比的意义，求出他们的路程比，进而列出比例解答。 19．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）按要求画一画、算一算。 （1）实际850米在图上画（      ）厘米。 （2）图上2.3厘米表示实际的（      ）千米。 （3）图书馆在学校的北偏东30°，距离学校1800米。画出图书馆的位置。 （4）先量一量，再算一算，电影院距离学校的实际距离是多少千米？（测量精确到0.1厘米） 【答案】（1）0.85 （2）2.3 （3）图见详解 （4）2.5千米 【思路引导】（1）已知比例尺和实际距离850米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺” 以及进率“1米＝100厘米”，求出图上距离。 （2）已知比例尺和图上距离2.3厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出实际距离。 （3）已知图书馆距离学校1800米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图书馆与学校的图上距离； 以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度和距离在图中画出图书馆的位置。 （4）先从图上量出电影院与学校的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出电影院距离学校的实际距离。 【规范解答】（1）850米＝85000厘米 85000×＝0.85（厘米） 实际850米在图上画（0.85）厘米。 （2）2.3÷ ＝2.3×100000 ＝230000（厘米） 230000厘米＝2.3千米 图上2.3厘米表示实际的（2.3）千米。 （3）1800米＝180000厘米 180000×＝1.8（厘米） 图书馆的位置如下图： （4）量得电影院距离学校的图上距离是2.5厘米。（以实际测量为准） 2.5÷ ＝2.5×100000 ＝250000（厘米） 250000厘米＝2.5千米 答：电影院距离学校的实际距离是2.5千米。 20．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据平移的特征，将图形A的各顶点分别向上平移4格，依次连接即可得到平移后的图形B。 （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形B的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到图形C。 （3）根据旋转的特征，将图形D绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形E。 （4）图形E是一个底为4、高为2的平行四边形，按1∶2缩小，原来平行四边形的底和高都除以2，则缩小后平行四边形的底为2、高为1，据此画出缩小后的图形F。 【规范解答】如图： 【考点剖析】掌握作平移后图形、作旋转后图形、补全轴对称图形以及作缩小后图形的作图方法是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $