第一单元 圆柱和圆锥（期中复习讲义）培优版（导图+18个考点真题讲练+提优练 共56题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 点、线、面、体之间的联系 奥数拓展一 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练二 圆柱的认识及特征 奥数拓展二 圆锥的体积（容积） 考点讲练三 圆锥的认识及特征 奥数拓展三 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练四 圆柱的展开图 奥数拓展四 立体图形的切拼（圆锥) 考点讲练五 圆柱的侧面积 奥数拓展五 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点讲练六 圆柱的表面积 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练七 组合体的表面积（圆柱) 奥数拓展七（选做） 圆柱和圆锥 考点讲练八 圆柱的体积 奥数拓展八（选做） 等体积变形 考点讲练九 圆柱的容积 考点讲练十 立体图形的切拼（圆柱) 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·陕西西安·期中）如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 【答案】(1) BC/AD 2 (2)12.56 【思路引导】（1）根据面动成体，圆柱I是以长方形的宽为轴旋转而成的。高就是长方形的宽。 （2）圆柱Ⅱ是以长方形的长为轴旋转的，底面是以长方形的宽为半径的圆。即底面积＝。 【规范解答】（1）圆柱I是以BC（AD）边所在直线为轴旋转而成的，高是2厘米。 （2）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 则圆柱Ⅱ的底面积是12.56平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）如图，将四边形绕边所在的直线旋转一周，形成的图形是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】圆锥是绕着直角三角形直角边旋转一周； 圆柱是由长方形绕着长或者宽所在的直线旋转一周 【规范解答】四边形ABCD是由长方形和直角三角形组成，则旋转一周的立体图形就是圆柱和圆锥的组合体。 故答案为：A 考点讲练二 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个圆柱形的瓶子，底面直径是10厘米，高是15厘米。将6个这样的瓶子装在一个长方体盒子里（为了防止挤压，盒子里的瓶子只摆一层），这个长方体盒子的容积最小是________立方厘米。 【答案】9000 【思路引导】由题意可知：盒子的长等于瓶子直径的6倍，宽等于瓶子的直径，高等于瓶子的高；或盒子的长等于瓶子直径的3倍，宽等于瓶子直径的2倍，高等于瓶子的高；根据长方体的容积公式计算即可求出这个盒子的容积。 【规范解答】（10×3）×（10×2）×15 ＝30×20×15 ＝600×15 ＝9000（立方厘米） 这个长方体盒子的容积最小是9000立方厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用，关键是明白：盒子的长、宽、高与瓶子的底面直径和高的关系。 【变式】（难度：☆☆☆）某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是( )厘米，宽至少是( )厘米，高至少是( )厘米。（厚度忽略不计） 【答案】 36 12 10 【思路引导】根据题意可知，这个箱子的长是6个6厘米的和，宽是2个6厘米的和，高至少是10厘米，依此即可求解。 【规范解答】长：6×6＝36（厘米） 宽：6×2＝12（厘米） 高：10厘米 某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是36厘米，宽至少是12厘米，高至少10厘米。 【考点剖析】本题认真观察图所示的放置方式，根据行数及列数进行解答即可。 考点讲练三 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一周，得到的一定是圆锥。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据面的旋转和圆锥的特征进行解答，举例说明。 【规范解答】，如果这样的三角形绕一条边旋转一周，就得不到一个圆锥。 所以绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一周，得到的一定是圆锥，说法是错误的。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查圆锥的特征，只有直角三角形绕直角边旋转一周，才能得到一个圆锥。 【变式】（难度：☆☆☆）下面左图是一个圆锥形物体，分别从哪个角度观察这个物体可以得到下面的图（1）、图（2）和图（3）？ 【答案】从底面观察，可以得到图（1）； 从正面或侧面观察，可以得到图（2）； 从上面观察，可以得到图（3）。 【规范解答】一个圆锥，从上面看是一个圆形，可以看到圆心，从侧面或是正面看到的是一个三角形，从底面看是一个圆形，看不到圆心。 考点讲练四 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 【答案】(1) 长 宽 (2)1∶2π 【思路引导】（1）看图可知，这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽。 （2）当底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开后是一个正方形。底面周长＝2πr，即高＝2πr。据此求出底面半径和高的比。 【规范解答】（1）圆柱的底面周长＝长方形的长；圆柱的高＝长方形的宽。 （2）r∶2πr ＝（r÷r）∶（2πr÷r） ＝1∶2π 所以如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2π。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；将已知数据代入圆的周长公式：C＝πd求出底面周长（也就是长方形的长），再结合选项选择即可。 【规范解答】3.14×8＝25.12（厘米） 饮料桶侧面沿高展开是一个长25.12厘米，宽12厘米的长方形，观察各选项可知：与饮料桶侧面展开最接近，也就是与饮料桶侧面积最接近。 故答案为：C 考点讲练五 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是________cm，它的侧面积是________cm2。 【答案】 2 100.48 【思路引导】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高。底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【规范解答】12.56÷3.14÷2＝2（cm） 12.56×8＝100.48（cm2） 这个圆柱形纸盒的底面半径是2 cm，侧面积是100.48 cm2。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【答案】7.85平方分米 【思路引导】设圆的直径是d分米，大长方形的长是4.14分米，等于小长方形的长加上圆的直径；小长方形的宽等于两个等圆直径之和，也就是圆柱的高；小长方形是圆柱侧面展开图，所以长应等于圆周长，根据“大长方形的长等于圆的周长与直径的和”求出圆的直径，进而求出圆柱的高，根据“圆柱的表面积＝侧面积十底面积×2”进行解答即可。 【规范解答】解：设圆的直径是d分米，则： 所以圆柱的底面直径是1分米，高是1×2＝2分米 圆柱的表面积： （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是7.85平方分米。 【考点剖析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，解答本题的关键是掌握根据圆柱表面积和侧面积计算公式。 考点讲练六 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面直径是10分米，高比底面直径多50%，制作这个油桶至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．314 B．502.4 C．471 D．628 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，先把底面直径看作单位“1”，则高是底面直径的（1＋50%），单位“1”已知，用乘法，用10乘（1＋50%），求出高，再根据圆柱的表面积公式：，代入数据即可求出答案。 【规范解答】高：10×（1＋50%） ＝10×1.5 ＝15（分米） 2×3.14×＋3.14×10×15 ＝2×3.14×＋3.14×10×15 ＝6.28×25＋3.14×10×15 ＝157＋31.4×15 ＝157＋471 ＝628（平方分米） 制作这个油桶至少需要铁皮628平方分米。 故答案为：D 【变式】（难度：☆☆☆）一个圆柱的底面半径是4厘米。如果沿着高将这个圆柱切成大小相等的两部分，切面恰好是正方形，这个圆柱的表面积是________平方厘米。 【答案】301.44 【思路引导】一个圆柱，如果沿着高将这个圆柱切成大小相等的两部分，切面恰好是正方形，则圆柱的高等于圆柱的底面直径，要求这个圆柱的表面积，用公式∶S＝2πr2＋2πrh，据此列式解答。 【规范解答】高：4×2＝8（厘米） 3.14×42×2＋3.14×4×2×8 ＝3.14×16×2＋3.14×4×2×8 ＝100.48＋200.96 ＝301.44（平方厘米） 【考点剖析】本题考查了圆柱的表面积，明白切面与圆柱的关系是解答此题的关键。 考点讲练七 组合体的表面积（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】270.72cm2 【思路引导】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【规范解答】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，上半部分☆是圆柱的一半，乐乐要给宝箱涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】6619.5平方厘米 【思路引导】根据题意，宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，只有5个面涂油漆；上半部分是圆柱的一半，涂油漆的面包括两个半圆和圆柱侧面的一半，其中两个半圆可以组成一个圆； 下半部分正方体涂油漆的面积＝正方体5个面的面积＝5a2，上半部分半圆柱涂油漆的面积＝圆的面积＋圆柱侧面积的一半＝πr2＋πdh÷2，代入数据计算求解。 【规范解答】30×30×5 ＝900×5 ＝4500（平方厘米） 3.14×（30÷2）2＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×152＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×225＋3.14×30×30÷2 ＝706.5＋1413 ＝2119.5（平方厘米） 一共：4500＋2119.5＝6619.5（平方厘米） 答：涂油漆的面积是6619.5平方厘米。 考点讲练八 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）计算（1）的体积和（2）的表面积。 【答案】（1）502.4cm3； （2）94.8dm2 【思路引导】（1）由图可知，该圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，根据圆柱的体积公式计算出该圆柱的体积。 （2）该立体图形是一个半圆柱，其表面积等于圆柱侧面积的一半加一个圆的面积（上面半圆与下面半圆合成一个完整的圆），再加上长方形的面积。 已知该半圆柱的底面直径是4dm，高是8dm，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh计算出圆柱的侧面积，再除以2计算出侧面积的一半； 计算出底面半径是4÷2＝2dm，根据圆的面积公式计算出圆的面积； 长方形的长相当于半圆柱的高8dm，宽相当于半圆柱的底面直径4dm，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积； 最后将三部分相加即可。 【规范解答】（1）3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 该圆柱的体积是502.4cm3； （2）4÷2＝2（dm） 3.14×4×8÷2＋3.14×22＋8×4 ＝12.56×8÷2＋3.14×4＋8×4 ＝100.48÷2＋12.56＋32 ＝50.24＋12.56＋32 ＝62.8＋32 ＝94.8（dm2） 该半圆柱的表面积是94.8dm2。 【变式】（难度：☆☆☆☆）佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【思路引导】已知蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，则假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米，已知现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，则现在蓝色水杯里水的体积－原来蓝色水杯里水的体积＝现在绿色水杯里水的体积－原来绿色水杯里水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，设现在水杯里水的高度是x厘米，据此列方程为：3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4，然后解出方程，最后用现在水的高度减去原来蓝色水杯里水的高度，即可求出蓝色水杯的水面上升了多少厘米。 【规范解答】假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米， 解：设现在水杯里水的高度是x厘米。 3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4 3.14×9×x－3.14×9×7＝3.14×4×x－3.14×4×4 28.26x－197.82＝12.56x－50.24 28.26x－12.56x＝197.82－50.24 15.7x＝147.58 x＝147.58÷15.7 x＝9.4 9.4－7＝2.4（厘米） 答：这时蓝色水杯的水面上升了2.4厘米。 【考点剖析】本题可用列方程来解决问题，关键是找到相应的数量关系式。 考点讲练九 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）蓄水池是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施，是重要的雨水蓄积工程设施。幸福农场要在一块长12米、宽10米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，挖的蓄水池深6米。 （1）如果把蓄水池的底面和侧面抹上水泥，那么抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能最多蓄水多少立方米？ 【答案】（1）266.9平方米 （2）471立方米 【思路引导】（1）要在这个长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，那么圆柱的底面直径和长方形的宽相等，即圆柱形蓄水池的底面直径是10米。如果把蓄水池的底面和侧面抹上水泥，那么抹水泥的面积为侧面积和一个底面积之和。侧面积根据底面周长乘高求出，底面积根据“圆面积＝πr2”求出。 （2）圆柱容积＝底面积×高，据此求出这个水池能最多蓄水多少立方米。 【规范解答】（1）10÷2＝5（米） 3.14×10×6＋3.14×52 ＝188.4＋3.14×25 ＝188.4＋78.5 ＝266.9（平方米） 答：抹水泥的面积是266.9平方米。 （2）3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝471（立方米） 答：这个水池能最多蓄水471立方米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）李师傅做一个无盖的圆柱形水桶用来装水，水桶高6分米，从里面量得的底面半径与高的比是1∶3，这个水桶能装水多少升？ 【答案】75.36升 【思路引导】已知水桶高6分米，从里面量得的底面半径与高的比是1∶3，也就是底面半径是高的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出底面半径，再根据圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【规范解答】6×＝2（分米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 答：这个水桶能装水75.36升。 【考点剖析】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点讲练十 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）如图，将一个圆柱的底面分成若干等份后沿高切开，拼成一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，这个长方体的宽大约是（    ）cm。 A．10 B．5 C．6.28 D．3.14 【答案】B 【思路引导】看图可知，这个长方体的宽是原来圆柱的半径，长是圆柱底面周长的一半，高和圆柱的高相等。圆周长＝2πr，那么将底面周长的一半（即πr）除以圆周率，即可求出半径，即近似长方体的宽。 【规范解答】15.7÷3.14＝5（cm） 所以，圆柱的底面半径是5cm，这个长方体的宽大约是5cm。 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【思路引导】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【规范解答】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【考点剖析】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 奥数拓展一 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是256cm3，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．64 B．192 C．256 【答案】B 【思路引导】根据等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍可知，圆锥的体积是1份，圆柱的体积是3份，则256cm3就是4份的体积之和，用总体积除以总份数，求出1份的体积，就是圆锥的体积，再乘3得到圆柱的体积。 【规范解答】256÷（1＋3） ＝256÷4 ＝64（cm3） 64×3＝192（cm3） 圆柱的体积是192cm3。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）三个同品质、同体积的容器。 (1)乙的高为( )。 (2)丙的底面积为( )。 (3)如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，这时甲容器的水面高度为( )。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），圆锥的体积公式：（其中是底面积，是高），因为三个容器的体积相等，即可求出乙的高，丙的底面积，如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，因为水的体积不变，即可求出这时甲容器的水面高度。 【规范解答】（1）甲容器的体积：，因为乙的底面积为，即，等式两边同时除以，得到，等式两边同时乘3，得到； （2）甲容器的体积：，因为丙容器的高是，即，等式两边同时除以，得到，等式两边同时乘3，得到； （3）乙容器中装满水，水的体积就是乙容器的体积，即，设此时甲容器水面高度为，因为水的体积不变，即，等式两边同时除以，得到，这时甲容器的水面高度为。 奥数拓展二 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面的材料回答问题。 子涵和妈妈周末去外婆家帮忙收麦子。到达时外婆已经把晾晒好的小麦堆成了圆锥形，我量得小麦堆的底面周长约是12.56m。经过一番忙碌，我们把小麦装进了一个底面直径是2m、高是1.6m的圆柱形带盖粮仓里，正好装满。 通过今天的劳动，我终于明白了“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的真正含义。 （1）制作一个这样的粮仓，需要多少铁皮？ （2）圆锥形小麦堆的高约是多少米？ 【答案】（1）16.328平方米 （2）1.2米 【思路引导】在第一问中，要求用多少铁皮，就是求圆柱的表面积，圆柱的表面积＝侧面积＋2×底面积； 在第二问中，要求小麦的高，就是求圆锥的高度，在圆锥中，高＝体积3÷底面积。 【规范解答】（1）3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×1.6 ＝3.14×1×2＋6.28×1.6 ＝6.28＋10.048 ＝16.328（m2） 答：制作一个这样的粮仓，需要16.328平方米的铁皮。 （2）3.14×（2÷2）2×1.6 ＝3.14×1.6 ＝5.024（m3） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 5.024×3÷（3.14×22） ＝15.072÷12.56 ＝1.2（m） 答：圆锥形小麦堆的高约是1.2米。 【变式】（难度：☆☆☆）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路引导】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【规范解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 奥数拓展三 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【思路引导】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）在一个装有水的底面半径为4厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个半径为2厘米圆锥体的机器零件，零件完全浸没水中，当把零件取出时，水面下降了0.5厘米，这个圆锥体零件的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路引导】由题意知，水面下降0.5厘米的水的体积就是这个圆锥体零件的体积，由此利用圆柱的体积公式V＝πr2h，计算出这个圆锥体零件的体积；再利用圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积进行解答。 【规范解答】3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝25.12（立方厘米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝25.12×3÷（3.14×4） ＝25.12×3÷12.56 ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：这个圆锥体零件的高是6厘米。 奥数拓展四 立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【答案】 314 120 【思路引导】根据圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积。把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，增加的表面积是两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形的面积，根据公式：直径＝半径×2、三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出表面积比原来增加多少平方厘米。 【规范解答】×3.14×52×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（立方厘米） 5×2＝10（厘米） 10×12÷2×2＝120（平方厘米） 即这个圆锥的体积是314立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加120平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 12.56 25.12 【思路引导】根据题意可知，圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积；三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，代入数据，求出底，也就是圆锥的底面直径；根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆锥的底面面积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的体积。 【规范解答】24÷2÷6×2 ＝12÷6×2 ＝2×2 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3。 奥数拓展五 组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【思路引导】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【规范解答】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【规范解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点剖析】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】5.55分米 【思路引导】把3.14升化为3.14立方分米，圆锥的体积等于溢出水的体积加上底面直径为12分米、高为8－7＝1分米的圆柱的体积；根据圆锥的体积＝×底面积×高，用圆锥的体积乘3，再除以底面积就是高。据此解答。 【规范解答】12÷2＝6（分米） 3.14升＝3.14立方分米 3.14××（8－7）＋3.14 ＝3.14×36×1＋3.14 ＝113.04＋3.14 ＝116.18（立方分米） 116.18×3÷62.8 ＝348.54÷62.8 ＝5.55（分米） 答：这个圆锥的高是5.55分米。 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【答案】1570立方厘米 【思路引导】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 【规范解答】1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 【考点剖析】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。 奥数拓展七（选做）圆柱和圆锥 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·竞赛）有一个高8厘米，容量为50毫升的圆形容器，里面装满了水，现把长16厘米的圆柱垂直放入，使的底和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从拿走后，中的水的高度只有6厘米，求圆柱体的体积是多少？ 【答案】25立方厘米 【思路引导】当把长16厘米的圆柱垂直放入容器时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器的高为8厘米的圆柱的体积，然后再求出整个圆柱体的体积。 【规范解答】（平方厘米）； ， ， （毫升）； ， ， （立方厘米）； 答：圆柱体的体积是25立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·竞赛）如下图所示，皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球直径为10cm，水桶底面直径为40cm，小球有的体积浸在水中，问小球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米（π＝3）。 【答案】厘米 【思路引导】根据球体的体积πr3求出皮球的体积，再除以4就是浸在水中的球的体积，水面上升的体积等于浸在水中的球的体积，用水面上升的体积除以圆柱形水桶的底面积即可解答。 【规范解答】小球浸在水中部分的体积： ＝4×125÷4 ＝125（立方厘米） 40÷2＝20（厘米） 125÷（3×202） ＝125÷1200 （厘米） 答：水桶的水面升高厘米。 奥数拓展八（选做）等体积变形 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（2024六年级·全国·竞赛）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）。如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 【答案】7厘米 【思路引导】从图中可以看出，铁块分成两部分，一部分在水里面，一部分在由里面。 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；铁块进入水的部分，水的体积没有发生变化，底面积发生了改变，底面积水槽的长方形底面积－铁块的底面积，则水现在的高度＝原来水槽中水的体积÷放入铁块后水所占的底面积，即高度为9厘米。 所以仍然有3厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高。 【规范解答】16×12×6＝1152（立方厘米） 16×12－8×8 ＝192－64 ＝128（立方厘米） 1152÷128＝9（厘米） 8×8×（12－9） ＝64×3 ＝192（立方厘米） 192÷（16×12） ＝192÷192 ＝1（厘米） 1＋6＝7（厘米） 答：油层的层高是7厘米。 【考点剖析】注意，铁块是要分成两部分的，一部分在水里面，一部分在油里面。得出不同部分的体积。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（2024六年级·全国·竞赛）有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是8厘米。乙水桶的底面半径是6厘米。甲水桶里没有水，乙水桶里有水且高度是25厘米，现把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使两只水桶里的水的高度一样。求这时甲水桶里有水多少立方厘米？ 【答案】1808.64立方厘米 【思路引导】根据圆柱的体积公式：，设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米，再根据数量关系式：甲桶水的体积+乙桶水的体积=甲桶原来的水的体积，列方程求出水的高，然后把数据代入公式解答即可。 【规范解答】解：设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米。 3.14×82×9＝1808.64（立方厘米） 答：这时甲水桶里有水1808.64立方厘米。 1．（24-25六年级下·山西运城·期中）一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【思路引导】用假设法赋值，根据圆锥的体积＝，分别求出现在的体积和原来的体积，再相除即可解答。 【规范解答】假设圆锥原来的底面直径是2，则半径是2÷2＝1，底面直径扩大到原来的4倍后是2×4＝8，半径是8÷2＝4，高是4，则缩小到原来的后是4×＝2。 ××2＝ ×16×2＝ ×32＝ ××4＝ ×1×4＝ ×4＝ ÷（ ）＝ ÷÷（ ÷）＝÷＝×＝8 它的体积扩大到原来的8倍。 2．（24-25六年级下·辽宁营口·期中）认真观察，不需计算，（    ）的侧面积最大，（    ）的侧面积最小。 （单位：厘米） A．A；C B．B；C C．C；D D．D；A 【答案】B 【思路引导】圆柱的侧面积公式：（其中是底面半径，是高），是一个定值，那么侧面积的大小就由底面直径和高决定，通过比较底面直径和高的大小，即可判断侧面积的大小。 【规范解答】圆柱A和圆柱B的高相同，圆柱A的直径小于圆柱B的直径，所以圆柱B的侧面积大于圆柱A的侧面积；圆柱C和圆柱D的高相等，圆柱C的直径小于圆柱D的直径，所以圆柱D的侧面积大于圆柱C的侧面积；圆柱A和圆柱C的底面直径相等，圆柱A的高大于圆柱C的高，所以圆柱A的侧面积大于圆柱C的侧面积；圆柱B和圆柱D的底面直径相等，圆柱B的高大于圆柱D的高，所以圆柱B的侧面积大于圆柱D的侧面积，所以圆柱B的侧面积最大，圆柱C的侧面积最小。 故答案为：B 3．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将同一个直角三角形以不同直角边为轴旋转形成的立体图形，它们的体积相比，（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＜乙 C．甲＞乙 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】将直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥。甲旋转形成的圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米。乙旋转形成的圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米。圆锥体积＝×底面积×高，据此分别求出甲、乙两个圆锥的体积，再比较体积大小。 【规范解答】×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 50.24＞37.68，所以它们的体积相比，甲＞乙。 故答案为：C 4．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 【答案】B 【思路引导】当把一个正方体削成一个最大的圆锥时，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，所以圆锥的高为6分米，底面半径为6÷2＝3分米。利用圆锥的体积公式解答即可。 【规范解答】3.14×（6÷2）²×6× ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 故答案为：B 【考点剖析】理解，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长是解答本题的关键。 5．（24-25六年级下·山西运城·期中）谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 【答案】 78.5 62.8 【思路引导】根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形谷堆的体积是多少立方分米，根据1立方米＝1000立方分米，把立方分米化成立方米，再乘每立方米小麦的重量即可求出谷堆的重量是多少千克。 【规范解答】×3.14××3 ＝×3×（3.14×） ＝×3×（3.14×25） ＝×3×78.5 ＝1×78.5 ＝78.5（立方分米） 78.5立方分米＝0.0785立方米 0.0785×800＝62.8（千克） 这个圆锥形谷堆的体积是78.5立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重62.8千克。 6．（24-25六年级下·山西运城·期中）一个底面直径和高都是8厘米的圆柱，如果把它平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来( )（填“增加”或“减少”）了( )平方厘米；如果把它沿底面直径切开，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 增加 64 128 【思路引导】把圆柱平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，增加两个相同的长方形的面：长方形的长与圆柱的高相等、宽与圆柱的底面半径相等。先求出底面半径，再根据“长方形的面积＝长×宽”计算一个面的面积；最后用一个面的面积乘面数即可。 把圆柱沿底面直径切开，表面积增加两个相同的长方形的面：长方形的长与圆柱的高相等、宽与圆柱的底面直径相等。根据“长方形的面积＝长×宽”计算一个面的面积；再用一个面的面积乘面数即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） 4×8×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 把圆柱平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了64平方厘米； 把圆柱沿底面直径切开，表面积增加： 8×8×2 ＝64×2 ＝128（平方厘米） 如果把它沿底面直径切开，表面积增加了128平方厘米。 7．（24-25六年级下·山西运城·期中）“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 6 4 【思路引导】以较长直角边为轴旋转，则该直角边为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径。 【规范解答】已知直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米，因为5＞4＞3，所以5为斜边，较长直角边为4厘米，另一条直角边为3厘米。 另一条直角边3厘米，就是圆锥的底面半径3厘米，直径为2×3＝6（厘米）。以较长直角边4厘米为轴旋转一周，那么圆锥的高为4厘米。 8．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【答案】2747.5立方厘米/2747.5cm3 【思路引导】当钢材露出水面15厘米时，露出部分钢材的体积与水桶中水面下降3厘米的水的体积相等。利用圆柱体积公式V＝Sh，用钢材底面积（3.14×52）乘露出长度（15厘米），得到露出钢材体积；再结合水面下降高度（3厘米），用“露出钢材体积÷水面下降高度”可求出水桶的底面积。当钢材完全浸没时，钢材的体积与水桶中水面上升7厘米的水的体积相等。用前面求出的水桶底面积乘水面上升高度（7厘米），就能算出钢材的体积。 【规范解答】计算露出钢材的体积（即水面下降3厘米的水的体积）： 钢材底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 露出钢材的长度为15厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，露出钢材的体积为78.5×15＝1177.5（立方厘米） 计算水桶的底面积：1177.5÷3＝392.5（平方厘米） 计算钢材的体积（即水面上升7厘米的水的体积）： 根据圆柱体积公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米） 水面又会下降3厘米这段钢材的体积是2747.5立方厘米。 【考点剖析】利用 “水面升降体积＝钢材对应体积”，结合圆柱体积公式求解，关键是找体积对应关系。 9．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，水的变化情况如图所示，那么圆柱的体积是90cm3。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据图示可知，将920mL减去800mL，即可求出圆柱和圆锥的体积和。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么将体积和除以（1＋3）即可求出圆锥的体积。将圆锥的体积乘3，即可求出这个圆柱的体积。 【规范解答】920－800＝120（mL） 120mL＝120cm3 120÷（1＋3）×3 ＝120÷4×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 所以，这个圆柱的体积是90cm3。 故答案为：√ 10．一个圆柱的侧面积是376.8dm2，底面半径是2dm，这它的高是60dm。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】要求这个圆柱体的高是多少分米，先要计算出圆柱的底面周长，根据圆柱的底面周长计算公式“C＝2πr”，代入数值，计算出底面周长；然后根据“圆柱的高＝侧面积÷底面周长”代入数字，进行解答即可。 【规范解答】376.8÷（2×3.14×2） ＝376.8÷12.56 ＝30（dm） 它的高是30dm。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查圆柱体侧面积计算公式的应用，此类题解答时应明确圆柱的底面周长和底面半径的关系，然后根据圆柱的侧面积、底面周长和高之间的关系进行分析解答即可得出结论。 11．一个圆柱的底面半径是2cm，高是12.56cm，把这个圆柱的侧面沿高剪开后得到的是正方形。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，如果圆柱的底面周长和高相等，那么圆柱的侧面展开图一定是正方形。根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆柱的底面周长，然后与高进行比较，如果圆柱的底面周长和高相等，那么这个圆柱的侧面沿高展开，得到一个正方形。据此判断。 【规范解答】由题意知，圆柱的底面周长为： 2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 底面周长与高12.56厘米相等 所以它的侧面沿高剪开是正方形； 故答案为：√ 【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式、周长公式的灵活运用，圆柱侧面展开图的特征及应用，关键是求出圆柱的底面半径。 12．一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥底面积的，则圆锥的高与圆柱的高的比是6：1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】圆锥的体积＝×底面积圆锥×高圆锥，圆柱的体积＝底面积圆柱×高圆柱，圆柱的底面积是圆锥底面积的，那么圆柱的体积＝×底面积圆锥×高圆柱，因为这个圆柱与这个圆锥的体积相等，所以×底面积圆锥×高圆锥＝×底面积圆锥×高圆柱，所以高圆锥：高圆柱＝3∶2。 【规范解答】圆锥的高与圆柱的高的比是3∶2。 故答案为错误。 【考点剖析】本题的关键是正确的掌握圆柱与圆锥的体积公式，并结合比的应用进行解答。 13．（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面组合图形的体积。 【答案】157.68m3 【思路引导】由图可知，该组合图形是由长方体和圆锥组成，分别计算长方体和圆锥的体积，再将二者体积相加得到组合图形的体积。 长方体体积公式为：V＝a×b×h（其中a为长，b为宽，h为高）。已知长方体的长12m，宽5m，高2m，代入公式计算可得出长方体体积。 圆锥体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为圆锥的高）。已知圆锥底面半径为2m，圆锥的高为9m，代入公式计算可得出圆锥体积。 然后把长方体体积与圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。 【规范解答】12×5×2＝120（m3） ×3.14×22×9 ＝×3.14×4×9 ＝37.68（m3） 120＋37.68＝157.68（m3） 组合图形的体积是157.68m3。 14．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）计算下列图形的体积。 【答案】17.27立方厘米 【思路引导】观察可知，两个相同的图形可拼成一个底面直径是2厘米，高是厘米的圆柱，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算圆柱体积，再除以2，即可得解。 【规范解答】 （立方厘米） 15．（24-25六年级下·广东深圳·期中）下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布多少平方米？ （2）这个帐篷的空间有多大？ 【答案】（1）87.92平方米 （2）75.36立方米 【思路引导】（1）通过观察发现：帐篷布的面积＝圆柱侧面积的一半＋2个圆柱底面积的一半（一个底面积）。已知帐篷的长是12米，横截面半圆形的直径是4米，根据圆柱的侧面公式S＝πdh先求出圆柱的侧面积，再用侧面积除以2；用横截面直径长度除以2计算出半径长度，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积；最后将两部分相加即可。 （2）帐篷的空间的大小等于圆柱体积的一半，根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，再用圆柱的体积除以2求出帐篷的空间的大小。 【规范解答】（1）3.14×4×12÷2 ＝12.56×12÷2 ＝150.72÷2 ＝75.36（平方米） 4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 75.36＋12.56＝87.92（平方米） 答：搭这样一个帐篷需要布87.92平方米。 （2）3.14×22×12÷2 ＝3.14×4×12÷2 ＝12.56×12÷2 ＝150.72÷2 ＝75.36（立方米） 答：这个帐篷的空间有75.36立方米。 16．（24-25六年级下·广东茂名·期中）一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是5米，宽是2米，高是1.5米（车厢厚度忽略不计），装满一车沙，卸后堆成一个高是3米的圆锥形沙堆，则沙堆的底面积是多少平方米？ 【答案】15平方米 【思路引导】圆锥形沙堆的体积等于长方体车厢的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出长方体车厢的体积，也就是圆锥形沙堆的体积，根据圆锥的体积＝×底面积×高用圆锥形沙堆的体积乘3，然后除以圆锥形沙堆的高即可解答。 【规范解答】5×2×1.5×3÷3 ＝10×1.5 ＝15（平方米） 答：沙堆的底面积是15平方米。 17．（24-25六年级下·广东惠州·期中）我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面积是125.6平方分米，高是6分米的圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个底面半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 【答案】80分米 【思路引导】圆柱体积公式：V圆柱＝S底h （S底是底面积，h是高），圆锥体积公式：V圆锥＝πr2h（r是底面半径，h是高）。因为合金材料铸造前后体积不变，所以圆柱体积等于圆锥体积。先算出圆柱体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。依据体积不变的原理及圆柱、圆锥体积公式，据此解答。 【规范解答】圆柱体积：125.6×6＝753.6（立方分米） 圆锥的高：753.6×3÷（3.14×32） ＝2260.8÷（3.14×9） ＝2260.8÷28.26 ＝80（分米） 答：这个圆锥体的高是80分米。 18．（24-25六年级下·广东湛江·期中）制20节底面半径为2分米，长为5分米的圆柱形铁皮通风管，至少要用多大面积的铁皮？ 【答案】1256平方分米 【思路引导】通风管只有侧面，所需铁皮面积即圆柱的侧面积。每节侧面积＝底面周长×高，总侧面积＝单节侧面积×节数。据此解答。 【规范解答】2×3.14×2×5×20 ＝6.28×2×5×20×20 ＝12.56×5×20 ＝62.8×20 ＝1256（平方分米） 答：至少要用1256平方分米的铁皮。 19．（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 【答案】15时 【思路引导】根据题意，水面高度上升了6－2＝4厘米，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π为3，r为20÷2＝10厘米，h为4厘米），算出上升部分的水的体积，并将单位换算为毫升（1立方厘米＝1毫升）；容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），所以每分钟滴水80÷20＝4毫升，用上升部分的水的体积除以每分钟滴水多少毫升，即可算出一共用了多少分钟；开始时间为10时，加上经过的时间，即可算出此时为几时。 【规范解答】6－2＝4（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3×102×4 ＝3×100×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 1200立方厘米＝1200毫升 80÷20＝4（毫升） 1200÷4＝300（分钟） 1小时＝60分钟 300÷60＝5（小时） 10时＋5小时＝15时 答：此时大约是15时。 【考点剖析】本题主要考查圆柱的体积公式（V＝πr2h）的实际应用，通过圆柱体积公式求出上升水的体积，再结合滴水速度换算时间，最后推算时刻。 20．如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 【答案】7厘米 【思路引导】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以先把圆锥内6厘米深的水倒入圆柱中，即为高6÷3＝2厘米的水的体积，原来圆柱内水的高度为11－6＝5厘米，当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是5＋2＝7（厘米）。据此解答。 【规范解答】6÷3＋（11－6） ＝2＋5 ＝7（厘米） 答：容器里的液面高是7厘米。 【考点剖析】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆锥内高6厘米的水的是指在圆柱内高度为2厘米的水的体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 点、线、面、体之间的联系 奥数拓展一 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练二 圆柱的认识及特征 奥数拓展二 圆锥的体积（容积） 考点讲练三 圆锥的认识及特征 奥数拓展三 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练四 圆柱的展开图 奥数拓展四 立体图形的切拼（圆锥) 考点讲练五 圆柱的侧面积 奥数拓展五 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点讲练六 圆柱的表面积 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练七 组合体的表面积（圆柱) 奥数拓展七（选做） 圆柱和圆锥 考点讲练八 圆柱的体积 奥数拓展八（选做） 等体积变形 考点讲练九 圆柱的容积 考点讲练十 立体图形的切拼（圆柱) 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·陕西西安·期中）如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）如图，将四边形绕边所在的直线旋转一周，形成的图形是（    ）。 A． B． C． 考点讲练二 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个圆柱形的瓶子，底面直径是10厘米，高是15厘米。将6个这样的瓶子装在一个长方体盒子里（为了防止挤压，盒子里的瓶子只摆一层），这个长方体盒子的容积最小是________立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径是6厘米，高是10厘米。将12罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，这个箱子的内部的长至少是( )厘米，宽至少是( )厘米，高至少是( )厘米。（厚度忽略不计） 考点讲练三 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一周，得到的一定是圆锥。( )（判断对错） 【变式】（难度：☆☆☆）下面左图是一个圆锥形物体，分别从哪个角度观察这个物体可以得到下面的图（1）、图（2）和图（3）？ 考点讲练四 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 考点讲练五 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）把一个圆柱形纸盒的侧面沿高剪开，得到下面的图形，这个圆柱形纸盒的底面半径是________cm，它的侧面积是________cm2。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 考点讲练六 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面直径是10分米，高比底面直径多50%，制作这个油桶至少需要铁皮（    ）平方分米。 A．314 B．502.4 C．471 D．628 【变式】（难度：☆☆☆）一个圆柱的底面半径是4厘米。如果沿着高将这个圆柱切成大小相等的两部分，切面恰好是正方形，这个圆柱的表面积是________平方厘米。 考点讲练七 组合体的表面积（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，乐乐要给宝箱涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？ 考点讲练八 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）计算（1）的体积和（2）的表面积。 【变式】（难度：☆☆☆☆）佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？ 考点讲练九 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）蓄水池是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施，是重要的雨水蓄积工程设施。幸福农场要在一块长12米、宽10米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，挖的蓄水池深6米。 （1）如果把蓄水池的底面和侧面抹上水泥，那么抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能最多蓄水多少立方米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）李师傅做一个无盖的圆柱形水桶用来装水，水桶高6分米，从里面量得的底面半径与高的比是1∶3，这个水桶能装水多少升？ 考点讲练十 立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）如图，将一个圆柱的底面分成若干等份后沿高切开，拼成一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，这个长方体的宽大约是（    ）cm。 A．10 B．5 C．6.28 D．3.14 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 奥数拓展一 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是256cm3，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．64 B．192 C．256 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）三个同品质、同体积的容器。 (1)乙的高为( )。 (2)丙的底面积为( )。 (3)如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，这时甲容器的水面高度为( )。 奥数拓展二 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面的材料回答问题。 子涵和妈妈周末去外婆家帮忙收麦子。到达时外婆已经把晾晒好的小麦堆成了圆锥形，我量得小麦堆的底面周长约是12.56m。经过一番忙碌，我们把小麦装进了一个底面直径是2m、高是1.6m的圆柱形带盖粮仓里，正好装满。 通过今天的劳动，我终于明白了“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的真正含义。 （1）制作一个这样的粮仓，需要多少铁皮？ （2）圆锥形小麦堆的高约是多少米？ 【变式】（难度：☆☆☆）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 奥数拓展三 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）在一个装有水的底面半径为4厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个半径为2厘米圆锥体的机器零件，零件完全浸没水中，当把零件取出时，水面下降了0.5厘米，这个圆锥体零件的高是多少厘米？ 奥数拓展四 立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 奥数拓展五 组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 奥数拓展七（选做）圆柱和圆锥 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·竞赛）有一个高8厘米，容量为50毫升的圆形容器，里面装满了水，现把长16厘米的圆柱垂直放入，使的底和的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把从拿走后，中的水的高度只有6厘米，求圆柱体的体积是多少？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（2025六年级下·全国·竞赛）如下图所示，皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球直径为10cm，水桶底面直径为40cm，小球有的体积浸在水中，问小球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米（π＝3）。 奥数拓展八（选做）等体积变形 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（2024六年级·全国·竞赛）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）。如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（2024六年级·全国·竞赛）有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是8厘米。乙水桶的底面半径是6厘米。甲水桶里没有水，乙水桶里有水且高度是25厘米，现把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使两只水桶里的水的高度一样。求这时甲水桶里有水多少立方厘米？ 1．（24-25六年级下·山西运城·期中）一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的 2．（24-25六年级下·辽宁营口·期中）认真观察，不需计算，（    ）的侧面积最大，（    ）的侧面积最小。 （单位：厘米） A．A；C B．B；C C．C；D D．D；A 3．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将同一个直角三角形以不同直角边为轴旋转形成的立体图形，它们的体积相比，（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＜乙 C．甲＞乙 D．无法确定 4．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 5．（24-25六年级下·山西运城·期中）谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 6．（24-25六年级下·山西运城·期中）一个底面直径和高都是8厘米的圆柱，如果把它平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来( )（填“增加”或“减少”）了( )平方厘米；如果把它沿底面直径切开，表面积增加了( )平方厘米。 7．（24-25六年级下·山西运城·期中）“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 8．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 9．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，水的变化情况如图所示，那么圆柱的体积是90cm3。( )（判断对错） 10．一个圆柱的侧面积是376.8dm2，底面半径是2dm，这它的高是60dm。( )（判断对错） 11．一个圆柱的底面半径是2cm，高是12.56cm，把这个圆柱的侧面沿高剪开后得到的是正方形。( )（判断对错） 12．一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥底面积的，则圆锥的高与圆柱的高的比是6：1。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面组合图形的体积。 14．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）计算下列图形的体积。 15．（24-25六年级下·广东深圳·期中）下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布多少平方米？ （2）这个帐篷的空间有多大？ 16．（24-25六年级下·广东茂名·期中）一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是5米，宽是2米，高是1.5米（车厢厚度忽略不计），装满一车沙，卸后堆成一个高是3米的圆锥形沙堆，则沙堆的底面积是多少平方米？ 17．（24-25六年级下·广东惠州·期中）我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面积是125.6平方分米，高是6分米的圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个底面半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 18．（24-25六年级下·广东湛江·期中）制20节底面半径为2分米，长为5分米的圆柱形铁皮通风管，至少要用多大面积的铁皮？ 19．（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 20．如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $