专题10 计数原理、随机变量及其分布（8大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题10 计数原理、随机变量及其分布（8大考点） 8大考点概览 考点01随机事件及古典概型 考点02二项式定理 考点03加法原理与乘法原理 考点04排列与组合 考点05正态分布 考点06离散型随机变量及其分布列 考点07离散型随机变量的均值与方差 考点08二项分布及其应用 一、单选题随机事件及古典概型 考点1 1．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 2．（2026·广东茂名·一模）从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东华侨·一模）甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东佛山·一模）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东多校联考·一模）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题 7．（2025·广东广州·一模）事件，，且，则______． 四、解答题 8．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 一、单选题二项式定理 考点2 1．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 2．（2025·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 3．（2026·广东佛山·一模）若，则（　　） A．40 B．41 C． D． 二、填空题 4．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 5．（2026·广东佛山·一模）展开式中的常数项为_____________. 6．（2026·广东·一模）在的展开式中，含项的系数是______． 7．（2026·广东华侨·一模）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 一、单选题加法原理与乘法原理 考点3 1．（2026·广东湛江·一模）某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（   ） A．120 B．96 C．48 D．24 2．（2025·广东广州·一模）已知乘积展开后共有60项，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．10 D．12 二、填空题 3．（2026·广东茂名·一模）在如图所示的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_______． 21 31 41 50 22 32 43 52 23 32 43 53 25 34 44 54 4．（2026·广东华侨·一模）某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种． 一、单选题排列与组合 考点4 1．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 二、填空题 2．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 3．（2026·广东汕头·一模）西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有___________种. 三、解答题 4．（2026·广东·一模）甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． (1)若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 一、单选题正态分布 考点5 1．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 二、多选题 2．（2026·广东汕头·一模）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 3．（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 1．（2026·广东佛山·一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．离散型随机变量及其分布列 考点6 (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 1 3 2．（2026·广东茂名·一模）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用A表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 0 4 3．（2026·广东广州·一模）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； X 1 5 9 P 一、多选题离散型随机变量的均值与方差 考点7 1．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 3．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 0 1 2 3 4 5 4．（2026·广东佛山·一模）某款（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. (1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率； (2)表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 5．（2025·广东佛山·一模）中秋节期间，某商场组织一场抽奖活动.每次抽奖中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立.在商场消费的顾客可以自由选择抽奖次数，如果中奖次数多于抽奖次数的一半，则可获得中秋礼物.记表示“抽奖次，获得礼物的概率”. (1)若，求； (2)若，顾客选择抽3次奖，记中奖次数与不中奖次数之差为，求的期望； (3)若，且规定只能选择抽奇数次奖.一位顾客认为，抽奖次数越多，获得礼物的概率就越大.判断这位顾客的说法是否正确，并证明你的结论. 6．（2026·广东茂名·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求的数学期望. 0 1 2 一、单选题二项分布及其应用 考点8 1．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·广东湛江·一模）某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是________． 3．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 三、解答题 4．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 5．（2026·广东江门·一模）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 计数原理、随机变量及其分布（8大考点） 8大考点概览 考点01随机事件及古典概型 考点02二项式定理 考点03加法原理与乘法原理 考点04排列与组合 考点05正态分布 考点06离散型随机变量及其分布列 考点07离散型随机变量的均值与方差 考点08二项分布及其应用 一、单选题随机事件及古典概型 考点1 1．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 2．（2026·广东茂名·一模）从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意首先分析能被2整除时，的取值要求，再结合排列组合及古典概型可求解. 【详解】因为1至13的整数中有6个偶数，7个奇数， 若能被2整除，则只需能被2整除，的取值异于即可， 当都为奇数时，的取法有种； 当都为偶数时，的取法有种， 所以能被2整除的概率为. 故选：B. 3．（2026·广东华侨·一模）甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案． 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为， 所以甲乙都没有成功破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 4．（2026·广东佛山·一模）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、， 则样本空间， 记事件表示“其中一个节气是立春”，则， 由古典概型可知． 故选：B 5．（2026·广东多校联考·一模）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可. 【详解】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种； 2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况： 当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种； 当插入后2个空有种，再把甲插入有种； 所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种， 而六位同学任意安排的方法数为种， 所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为. 故选：B 二、多选题 6．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 三、填空题 7．（2025·广东广州·一模）事件，，且，则______． 【答案】/ 【分析】由事件的包含关系可得，根据对立事件的关系计算可得. 【详解】因为事件，， 所以， 因为， 所以，. 故答案为： 四、解答题 8．（2026·广东深圳·一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. (1)当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； (2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可. （2）先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于列式，解二次不等式，可求的最小值. 【详解】（1）不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”， 由于与相互独立，与，与，与都相互独立， 由题意可得，，，，， 分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 ， 故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325. （2）系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确. 系统第一次输出正确答案的概率为：， 由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为： ， 系统第二次输出正确答案的概率为：， 设系统最终输出正确答案的概率为，则， 于是，解得，又由，于是， 则的最小值为. 一、单选题二项式定理 考点2 1．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】D 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 2．（2025·广东清远·一模）在的展开式中，的系数为（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开的通项公式求解． 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 所以展开式中的系数是. 故选：C． 3．（2026·广东佛山·一模）若，则（　　） A．40 B．41 C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法计算的值. 【详解】令，则①，令，则②， 得到. 故选：C. 二、填空题 4．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 【答案】2 【分析】由题可设，再化简解方程即可求解得到. 【详解】因为多项式除以所得的余式为， 所以可以设， 整理得到， 所以，则. 故答案为：2. 5．（2026·广东佛山·一模）展开式中的常数项为_____________. 【答案】240 【分析】写出通项公式，令的指数为，得到，从而常数项为. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，， 故答案为：240. 6．（2026·广东·一模）在的展开式中，含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 7．（2026·广东华侨·一模）在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答） 【答案】135 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数. 【详解】由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 一、单选题加法原理与乘法原理 考点3 1．（2026·广东湛江·一模）某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（   ） A．120 B．96 C．48 D．24 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法， 最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种， 由分步计数原理，可得取法种数为. 故选：C． 2．（2025·广东广州·一模）已知乘积展开后共有60项，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据多项式相乘时，展开式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可. 【详解】因为第一个括号有2项， 第二个括号有3项， 第三个括号有项， 所以展开式共有项， 所以. 故选：C 二、填空题 3．（2026·广东茂名·一模）在如图所示的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_______． 21 31 41 50 22 32 43 52 23 32 43 53 25 34 44 54 【答案】148 【分析】根据表格中数据行与列的特征即可分析求解. 【详解】由表格中每列数据特征告诉我们选出的4个数据十位的组合搭配固定为2、3、4、5， 所以要想选中方格中4个数据之和最小只需每行选中的数据个位数都是该行所在四个数据中最小的即可， 所以选中的4个数据第一行一定是50，第三行一定是32，则第二行和第五行分别是22和44， 所以选中方格中的4个数之和最小为． 故答案为： 4．（2026·广东华侨·一模）某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种． 【答案】600 【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步方法数相乘 【详解】解：分两步， 第一步，先选四名老师，又分两类， 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同的选法， 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有种不同的选法， 所以不同的选法有25种， 第二步，四名老师去4个边远地区支教，有种， 所以共有种， 故答案为:600 【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题. 一、单选题排列与组合 考点4 1．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 二、填空题 2．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 【答案】30 【详解】每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种. 3．（2026·广东汕头·一模）西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有___________种. 【答案】104 【分析】分两种情况讨论，再由加法计数原理计算. 【详解】分组的方案有3、4和2、5两类： 第一类有种； 第二类有种； 所以共有种不同的方案. 故答案为：104 三、解答题 4．（2026·广东·一模）甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． (1)若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 【答案】(1) (2)（i），证明见详解；（ii） 【分析】（1）现根据古典概率公式求出甲乙社区的参赛选手都是男生或女生的概率，再根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式求解； （2）（i）根据题意结合排列数和组合数公式求出，观察公式的结构特征，证明；（ii）先求得的递推关系式，得到和有相同的递推关系和初始值，利用古典概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是女生”， 事件表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是男生”， 则，，， 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即， 因为，所以，即事件与互斥， 又事件与互相独立，事件与互相独立， 所以所求事件的概率. （2）（i）因为甲社区中男生和女生都认识，因此， 当时，，， 所以， ， ， 因为， 两边 同乘以，得. （ii）先考虑的递推关系式. 当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余队共有种不同的选法， 可在余下个男生中任选一人，有种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从中选出个女生，从中选出个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当时，由前述分析可得， 由（i）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值， 所以对任意和，均有. 所以， 设乙社区中各选个男生和个女生，男、女组成个队，共有种情况，且， 因此，满足组队要求的概率. 一、单选题正态分布 考点5 1．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】A 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 二、多选题 2．（2026·广东汕头·一模）某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质和相关公式逐项计算即可. 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布， 所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称， 故，B错误； 对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，， 因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确； 对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 3．（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 1．（2026·广东佛山·一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．离散型随机变量及其分布列 考点6 (1)求； (2)当时，求随机变量的分布列和数学期望； (3)求随机变量的数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）应用组合数及古典概型概率求法求概率即可； （2）确定对应的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）首先求出各可能值对应的概率，再求对应可能值的概率，即可求期望. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3， 所以，， 所以的分布列为 1 3 数学期望为. （3）的取值为0，1，2，3． ，， ，． 的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 2．（2026·广东茂名·一模）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用A表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，0 【分析】（1）根据古典概型公式计算可得结果； （2）列出的所有可能取值，求出相应概率得出分布列即可求得数学期望. 【详解】（1）所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共4个， 所以． （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、0、4， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所以，，， 的分布列为 0 4 所以． 3．（2026·广东广州·一模）“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 （2）由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 一、多选题离散型随机变量的均值与方差 考点7 1．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 二、解答题 2．（2026·广东湛江·一模）某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． (1)若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【答案】(1) (2)概率，最大值 【分析】(1) 育苗成功的种子数量为服从二项分布，按照二项分布性质即可得； (2) 为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．接着计算其概率，令，设函数，分析函数单调性即可得. 【详解】（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． （2）解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 3．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数. ①求的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率. （2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.） 【答案】（1）①分布列见解析，；②；（2）节目参加者换门更好，答案见解析 【分析】（1）①由进行求解即可；②依题意，样本比例为，现要求，得，，再由进行求解； （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，，由全概率公式进行求解． 【详解】（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为， 所以， 即，，，，，，， 得到的分布列为 0 1 2 3 4 5 期望为， ②依题意，样本比例为，现要求， 得，即，， 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 . （2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件， 则，， 所以，， 则， 因此不换门选中汽车的概率是， 换门选中汽车的概率是， 故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍. 4．（2026·广东佛山·一模）某款（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. (1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率； (2)表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）游戏结束时的数学期望为. 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）利用条件概率公式即可得到答案；（ii）分第2次游戏结束和第2次游戏未结束两种情况讨论即可. 【详解】（1）若机器人恰好射4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次射中， 故； （2）（i）由题意得，， 所以； 若第次，游戏结束，则第次，第次仅射中一次（）为奇数， 可得； 所以； （ii）， 得到，解得； 设游戏结束时的概率为，的概率为， 因为游戏结束时或，所以， 又因为每次射门射中概率为，未射中概率为， 设， 则 即，解得 即，， 根据数学期望公式， 可得. 5．（2025·广东佛山·一模）中秋节期间，某商场组织一场抽奖活动.每次抽奖中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立.在商场消费的顾客可以自由选择抽奖次数，如果中奖次数多于抽奖次数的一半，则可获得中秋礼物.记表示“抽奖次，获得礼物的概率”. (1)若，求； (2)若，顾客选择抽3次奖，记中奖次数与不中奖次数之差为，求的期望； (3)若，且规定只能选择抽奇数次奖.一位顾客认为，抽奖次数越多，获得礼物的概率就越大.判断这位顾客的说法是否正确，并证明你的结论. 【答案】(1) (2) (3)不正确，理由见解析 【分析】（1）由，，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式即可求解； （2）记中奖次数为，则，利用二项分布求数学期望得，又，利用数学期望的性质即可求解； （3）记，则，求和，利用作差法即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）记中奖次数为，则， 所以， 又因为， 所以； （3）记，则， 当前次抽奖中奖次数超过次，则再抽奖2次定能获得礼物，概率为 ， 当前次抽奖中奖次数为次，则再抽奖2次至少中奖1次即可获得礼物，概率为， 当前次抽奖中奖次数为次，则再抽奖2次都中奖才能获得礼物，概率为， 所以 所以， 所以，     因为，所以， 所以抽奖次数越多获得礼物的概率越小，这位顾客的说法不正确. 6．（2026·广东茂名·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求的数学期望. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）列出所有的取球情况，利用古典概型可得答案； （2）利用全概率公式，建立递推公式，然后利用等比数列的定义可证明； （3）利用期望的计算公式以及第（2）小问得到的，可得答案. 【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有 4 种等可能情况： 甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1； 甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0； 甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2； 甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。 故 （2）记 ，则 ， 由全概率公式得： ， ， ， 所以， ， 由 （1） 和（3）知 ，结合初始值 ， 可得对任意 有 ，代入中， 得：， 将（4） 代入（2）式得： ， 整理得， 即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由题意知：的取值为：， 分布列为： 0 1 2 ， 由 (2) 知 ， 因此. 一、单选题二项分布及其应用 考点8 1．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 二、填空题 2．（2026·广东湛江·一模）某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是________． 【答案】 【分析】先根据题意列出关于和表达式，再解方程即可. 【详解】设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 通过题意可得，， 计算可得， 则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为． 故答案为：. 3．（2025·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 三、解答题 4．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断出甲第2次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可. （2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中. 所以. （2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为. 乙获胜的情况为： 乙第1次射击并命中，概率为； 第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为； 第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为； 第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 甲获胜的情况为： 第1轮乙未命中，甲命中，概率为； 第2轮乙未命中，甲命中，概率为； 第3轮乙未命中，甲命中，概率为； 第轮乙未命中，甲命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 由题意知，恒成立，即恒成立， 因为，，所以， 所以恒成立，即. 因为，所以，，所以. 所以的最小值为. 5．（2026·广东江门·一模）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $