专题08 圆与方程、直线与方程（3大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题08 圆与方程、直线与方程（3大考点） 3大考点概览 考点01圆与方程 考点02直线的倾斜角与斜率 考点03直线的交点坐标与距离公式 一、单选题圆与方程 考点1 1．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 2．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选：    3．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得为的中点，故可求交点坐标. 【详解】， 故圆的半径为，圆的半径为，且， 故圆心距为，而， 故两圆相交，故两圆有两条外公切线，    设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为， 连接，则，故， 由几何性质可得共线，故， 故为的中点，故， 故选：C. 二、多选题 4．（2026·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在使得 B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则四棱锥的外接球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】以为原点建立空间直角坐标系求得的最大值，可判断A错误；由求得的轨迹为直线在四边形内的线段，可得其长度为，即B正确；由线面平行的向量证明可得与重合时，其外接球的体积最大为，即C正确；由可得的轨迹是以为圆心，半径为的圆在侧面内的部分，再由圆上点到定直线距离的最值问题可得的面积的最小值为，即D正确. 【详解】以为原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示， 因为为侧面内的动点（包含边界），设, 对于A：易知，所以， 当时，取得最小值为2，此时与重合， 当时，取得最大值为，此时与重合， 因为，所以不存在点使得，即A错误； 对于B：易知，所以 由得，即； 因此的轨迹为直线在四边形内的线段， 因,可得，所以的轨迹为的中点到点的线段， 因此的轨迹长度为，即B正确； 对于C：又，所以， 设平面的法向量为， 所以，可得, 令，则，则平面的法向量, 因平面，则, 又，即，解得， 显然当时，即与重合时，满足题意， 此时四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，其半径满足，即； 此时外接球的体积为，即C正确； 对于D，若，由正方体性质可得平面， 又平面，所以， 利用勾股定理可得，即， 解得， 所以此时的轨迹是以为圆心，半径为的圆在侧面内的部分， 此时点到的最小距离为， 所以的面积的最小值为，即D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时， 所以的最小值为. 6．（2026·广东·一模）如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 7．（2025·广东东莞·一模）圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 一、单选题直线的倾斜角与斜率 考点2 1．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得. 设，则，得， 又且点A在第一象限，因此，即. 设直线的倾斜角为，, ，得. 二、多选题 2．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 三、解答题 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）设出点的坐标，表示四个斜率，结合斜率和为0可证三点共线； （2）（i）根据斜率的关系可求，，利用向量坐标关系可证平行，或者通过联立方程求出的坐标，再利用向量坐标关系可证平行； （ii）利用斜率关系得出垂直，根据点P的轨迹是圆，结合圆的性质可证，或者利用线段比例关系得出轨迹为圆，结合圆的性质可证，或者利用差角的正切公式，结合正切函数单调性可证. 【详解】（1）设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线. （2）（i）由可得：， 由（1）可知：.由，可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：，，， 由（*）式结合，可知： ，，则，， 因此可得： ，由此可知：； 另解： 由（1）可知：，则，直线， 联立直线与椭圆：，解得点， 同理：，以下同上个解法. （ii）由（i）可知： ，， 则； 直线，直线， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则； 另解1：由（i）可知： ， 则； 如图，取的中点，的中点，记椭圆左焦点为，连接， 由于，设， 则，则，，三点共线， 于是，则， 于是， 则，，，四点共线. 于是，， 由于为的中位线，则， 因为， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则. 另解2：由于 ，， 则，则是等腰直角三角形， 于是， ，， ， 同理可求， 由于， 于是，， 且，为锐角，由在上单调递增，所以． 4．（2026·广东江门·一模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可； (2)根据题意求出点A、B坐标，设椭圆C上动点，利用两点连线的斜率公式可得 ，设出直线PA、PB方程，根据点M、N坐标求出，利用正弦定理表示 ，结合基本不等式即可得出结果. 【详解】（1）由题意知. ，∴，，∴椭圆. （2）由已知得，，设椭圆C上动点， 则利用两点连线的斜率公式可知，， ∴， 设直线PA方程为：，则直线PB方程为：， 根据对称性不妨设，令，得，， 即，，则， 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 一、单选题直线的交点坐标与距离公式 考点3 1．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 2．（2026·广东广州华侨·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 3．（2026·广东广州·一模）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据离心率以及实轴可得双曲线方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由于的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 渐近线方程为， 故到的距离为， 故选：A 4．（2026·广东潮汕·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解． 【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时， 若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时， 所以一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有， 另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示， 由图可知，，CP最短时， 即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大， 所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得， 则必有，解得，又因为圆的半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得． 故选：A． 二、多选题 5．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B．的最小值为 C．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D．若点到直线和的距离分别为，则 【答案】ACD 【分析】设点在曲线上，可得点，，也在曲线上，即可判断A; 设点的坐标为， 有，即可判断B; 设曲线和双曲线在第一象限内的点分别 为,可得 ，由B选项的推导过程可得在第一象限内，即可判断C; 结合B选项的推导过程有，，计算即可判断D. 【详解】对于A选项，设点在曲线上，可得点，，也在曲线上， 故曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称，故A选项正确； 对于B选项，设点的坐标为，有，可得（或）， 有，又由，有，，可得， 可得的最小值为1，故B选项错误； 对于C选项，设曲线和双曲线在第一象限内的点分别为, 可得，，由B选项的推导过程可得在第一象限内， 又由，由得，即， 且只有当时，，故可得在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方，故C选项正确； 对于D选项，结合B选项的推导过程有，，， 有，可得，故D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题 6．（2026·广东湛江·一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 7．（2026·广东多校联考·一模）若点，则两点间距离的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题意可得点在直线上，点在曲线上，在曲线上找到与直线平行的切线，则该切线与直线的距离即为的最小值. 【详解】点在直线上，点在曲线上， 即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值， 过上的点作的切线，可得， 令，可得，故该切线为， 则直线与的距离即为的最小值， 此时，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点在直线上，点在曲线上，则可借助求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值得到的最小值. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆与方程、直线与方程（3大考点） 3大考点概览 考点01圆与方程 考点02直线的倾斜角与斜率 考点03直线的交点坐标与距离公式 一、单选题圆与方程 考点1 1．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 2．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在使得 B．若，则的轨迹长度为 C．若平面，则四棱锥的外接球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 三、填空题 5．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 6．（2026·广东·一模）如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 7．（2025·广东东莞·一模）圆与圆的公共弦长为________. 一、单选题直线的倾斜角与斜率 考点2 1．（2026·广东佛山·一模）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 三、解答题 3．（2026·广东深圳·一模）已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且. (1)设为坐标原点，证明：，，三点共线； (2)设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，. （i）证明：； （ii）证明：. 4．（2026·广东江门·一模）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 一、单选题直线的交点坐标与距离公式 考点3 1．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州华侨·一模）已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 3．（2026·广东广州·一模）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·广东潮汕·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 B．的最小值为 C．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 D．若点到直线和的距离分别为，则 三、填空题 6．（2026·广东湛江·一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 7．（2026·广东多校联考·一模）若点，则两点间距离的最小值为__________. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $