专题06 数列（6大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 数列（6大考点） 6大考点概览 考点01数列新定义 考点02等差数列通项公式及前n项的和 考点03等比数列的通项公式及前n项的和 考点04裂项相消求和 考点05错位相减求和 考点06分组（并向）法求和 一、填空题数列新定义 考点1 1．（2026·广东肇庆·一模）若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为________. 2．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 二、解答题 3．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． (1)若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； (2)求证：； (3)请举出一个满足的例子． 等差数列通项公式及前n项的和 考点2 一、单选题 1．（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 2．（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 3．（2026·广东梅州·一模）已知为等差数列，，，则（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 二、多选题 4．（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 5．（2025·广东肇庆·一模）已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 三、填空题 6．（2026·广东·一模）已知等差数列的前项和为，若，则______． 7．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 8．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 等比数列的通项公式及前n项的和 考点3 一、单选题 1．（2026·广东茂名·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 2．（2026·广东茂名·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·广东佛山·一模）在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C．2 D． 5．（2025·广东广州·一模）已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·广东华侨港澳台·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 7．（2025·广东佛山·一模）已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 裂项相消求和 考点4 1．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 2．（2026·广东多校联考·一模）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 3．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（2026·广东江门·一模）记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求. 错位相减求和 考点5 1．（2026·广东汕头·一模）记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 2．（2025·广东清远·一模）设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 分组（并向）法求和 考点6 1．（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 2．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列（6大考点） 6大考点概览 考点01数列新定义 考点02等差数列通项公式及前n项的和 考点03等比数列的通项公式及前n项的和 考点04裂项相消求和 考点05错位相减求和 考点06分组（并向）法求和 一、填空题数列新定义 考点1 1．（2026·广东肇庆·一模）若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为________. 【答案】 【分析】先分析小球运动规律，记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据运动规律建立递推关系，由递推关系得出数列通项公式，再根据无穷递缩等比数列的相关说明求得"运动停止前，小球位于球的概率"，进而得到"当运动停止时，小球位于出口外的概率". 【详解】记小球从一个球形容器运动到其相邻的球形容器为一次运动．记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为． 根据马尔可夫链，可知：当时，, 化简，整理得：当时，. 特别地，可分析知，小球到达球需奇数次运动，偶数次运动后不能到达球, 所以认为当为偶数时，. 当为奇数时，因为小球的起始位置在球内，所以，所以. 因为小球到达球需偶数次运动，奇数次运动后不能到达球, 所以认为当为奇数时，. 当为偶数时，为奇数，所以 记数列的前项和为,则,其中为偶数. 由题意知，为无穷递缩等比数列,当时，. 即当运动停止前，小球位于球的概率约为. 所以当运动停止时，小球位于出口外的概率约为. 故答案为： 2．（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 【答案】 【分析】根据已知可得的关系，推出是等比数列，从而可得，由的关系，推出是等比数列，即可求解. 【详解】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项， 所以经第次扩充后增加的项数为，因此， 所以，因为， 所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列， 所以，即； 设第n次扩充后数列的各项为， 则． 因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以 ， 又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故， 综上，，. 【点睛】关键点点睛：由第次扩充到第次扩充所增加的项，得到的关系和的关系，转化成数列递推求通项的问题. 二、解答题 3．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． (1)若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； (2)求证：； (3)请举出一个满足的例子． 【答案】(1)； (2)证明过程见详解； (3) 如：首项为1，公差为1的等差数列. 【分析】（1）利用假设的方法，由已知条件，构造关于不等式，进而求出最小值； （2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法得证； （3）选取首项为1，公差为1的等差数列，通过验证说明其正确性即可. 【详解】（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比， 故，整理得： 由， 当取最小值时，，此时，故， 且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为. （2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为， 故第项为，代入等差数列通项得： ， 由，得（因），且为整数，故. 对任意，两项下标差满足： ， 累加得： ， 因，故，得证. （3）取首项，公差的等差数列，， 即等差数列为；抽取下标为的项，得到项， 这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求. 等差数列通项公式及前n项的和 考点2 一、单选题 1．（2026·广东湛江·一模）在数列中，，令，则数列的前15项的和为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据递推公式判断是等差数列，进而求出，将裂项，相消求和. 【详解】因为，所以，即， 故为首项是，公差为的等差数列，所以，． ， 所以数列的前项的和， 故， 故选：B． 2．（2026·广东佛山·一模）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 故选：B 3．（2026·广东梅州·一模）已知为等差数列，，，则（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可． 【详解】公差, 则. 二、多选题 4．（2026·广东佛山·一模）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 【答案】ABC 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，．由此为基础，可分析A；依次分析，判断B；利用累加法，可得的最小值，判断C；分析，判断D. 【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即． 所以若，，则 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，， 所以，，. 所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以， ， ， ， …… ， . 累加得，， 所以.所以C正确. 若， 结合C分析得，当为奇数时， ， 所以 即. ，所以D不正确. 5．（2025·广东肇庆·一模）已知是等差数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．当或时，取最大值 D．的最小值为0 【答案】BC 【分析】先求等差数列的公差，进而得，逐一验证即可求解. 【详解】∵，所以，故A错误； ∵， ∴， ∴，， 所以，故B正确； 由，所以当或时，取最大值，即，故C正确； 由，无最小值，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 6．（2026·广东·一模）已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【详解】依题意，. 7．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故，又， 解得. 8．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2  由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 等比数列的通项公式及前n项的和 考点3 一、单选题 1．（2026·广东茂名·一模）已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【分析】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 2．（2026·广东茂名·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合数列的前项的定义即可直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 故． 故选：B． 3．（2025·广东肇庆·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 4．（2025·广东佛山·一模）在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】因为，， 所以， 所以，从而. 故选：D. 5．（2025·广东广州·一模）已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可. 【详解】由成等比数列，则，又， 则，解得. 故选：B． 6．（2025·广东华侨港澳台·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 二、多选题 7．（2025·广东佛山·一模）已知数列是公比为的等比数列，满足，则（   ） A． B． C． D．数列为递减数列 【答案】ACD 【分析】先求等比数列的公比和首项即可判断AB，再求通项公式即可判断CD. 【详解】由题意有：，故A正确，B错误； 所以，所以，故C正确； 由，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ACD. 裂项相消求和 考点4 1．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且（为常数，且）. (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）当时，，当时，裂项得，相消求和即得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以， 由于，故，不适合， 综上，的通项公式为. （2）若，由（1）即，得， 所以，时，， 即， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以，当时，， 当时，， 所以， 当时，， 当时，也满足， 综上，. 2．（2026·广东多校联考·一模）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【详解】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 3．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，，，. (2). 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. （2）由于， ， 所以. 4．（2026·广东江门·一模）记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知，利用基本量法求得首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）解：由题意可得， 又因为，所以， 所以； （2）解：因为， 所以. 错位相减求和 考点5 1．（2026·广东汕头·一模）记为数列的前项和，已知． (1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）通过，当时，两式相减得出，进行适当变形即可证明； （2）由（1）得出的通项公式，进一步得出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）因为，① 所以当时，，② ①②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是以公比为，首项为的等比数列. （2）由（1）数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以 ，所以， 所以数列的前项和为： ，③ ，④ ③减④得：， 即， 所以. 2．（2025·广东清远·一模）设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 分组（并向）法求和 考点6 1．（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求解得证. （2）法1：由（1）可得数列的特征，再求出其前10项和即可；法2，由（1）可得数列的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得. （3）假定存在，求出，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可. 【详解】（1）数列的各项均为正数，，则， 两式相减，整理得，而， 所以. （2）解法1：当时，由（1）得， 则，， 于是，数列是公差为6的等差数列， 由，，得，则， . 解法2：由，，得， 当时，由（1）得， 因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列， . （3）由，，得， 由（1）知：，则， 假设存在使得数列为等差数列， 则，即，解得， 下面证明：当时，数列为等差数列. 由，，， 得数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，， 所以存在使得数列为等差数列，. 2．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $