专题03 指对幂函数与函数的基本性质（5大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题03 指对幂函数与函数的基本性质（5大考点） 5大考点概览 考点01指数函数 考点02对数函数 考点03函数的应用 考点04函数及其表示 考点05函数的基本性质 指数函数 考点1 1．（2025·广东肇庆·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数研究单调性得，进而判断大小，令，利用导数研究单调性得，即可比较大小，进而求解. 【详解】令，所以，令有， 当，所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，所以，即； 令，所以，当， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 所以，即； 综上所述，. 故选：B. 2．（2026·广东茂名·一模）已知函数则（    ） A．0 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用分段函数，结合指数和对数运算求函数值. 【详解】由题意得：， 故选： B 3．（2026·广东广州·一模）已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 4．（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A 5．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 对数函数 考点2 1．（2026·广东湛江·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性求解得出，然后根据并集的运算求解即可得出答案. 【详解】解可得，所以， 所以. 故选：D． 2．（2026·广东佛山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数单调性得出对数式的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 则. 故选：C. 3．（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，以及不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，根据对数函数的单调性可知，则，即充分性成立； 若，可得，，即必要性成立. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（2025·广东多校联考·一模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 5．（2026·广东深圳·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把指数式改写为对数式，应用换底公式后作差，结合基本不等式可比较出与0的大小，得出关系，再结合对数的性质可比较与的大小，从而得出结论． 【详解】∵，， ∴，，，， ∴, ∵， ∴，即，∵，，∴ 故选：D． 6．（2026·广东江门·一模）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分单调递增与单调递减两种情况讨论，根据分段函数单调性判断方法列出不等式组求解. 【详解】若 在上单调递增，则，解得， 若 在上单调递减，则，解得． 综上得. 故选：D 7．（2026·广东江门·一模）函数的反函数的解析表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数值域，再求，即得结果. 【详解】，又 所以函数的反函数为 故选：A 【点睛】本题考查求反函数，考查基本分析求解能力，属基础题. 函数的应用 考点3 1．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 【答案】2 【分析】由题意和是的零点，进而列方程组求得，即可得解. 【详解】因为多项式能被整除，而， 所以和是的零点， 所以即，解得，所以. 故答案为：2 2．（2026·广东佛山·一模）函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 【答案】/0.5 【分析】利用函数零点的意义，将点视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 3．（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】易知，当时将方程变形可得，再由函数与方程思想可知与有两个交点，再由函数对称性可得，代入表达式再由二次函数性质求解即可. 【详解】易知，因此1是函数的一个零点， 当时，令，可得； 令， 显然此时； 所以函数关于对称， 若要函数有3个零点， 则须满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于对称， 又，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为. 故答案为：. 4．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】根据正弦函数性质列不等式求解即可. 【详解】函数零点满足，，即，， 因为且，所以为正整数， 因为函数在区间上至少有2个零点， 所以即至少有两个正整数解， 为保证区间至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数和， 所以，即，为使该不等式有解，须满足， 得，又，所以，当时，所以，即的最小值为. 故答案为： 函数及其表示 考点4 一、单选题 1．（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用分段函数求值的方法进行求解. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A． 2．（2025·广东·一模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 3．（2026·广东深圳·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，结合数轴求交集. 【详解】由已知，，    所以. 故选：A. 二、填空题 4．（2026·广东多校联考·一模）已知函数，则______． 【答案】 【分析】先求导，当时，代入求得，则，再求即可． 【详解】， 则， 当时，，解得， 所以， ， 故答案为：． 函数的基本性质 考点5 一、单选题 1．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，， 则. 故选：A 2．（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（   ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲函数的奇偶性，并使用导数求其单调性，比较各选项中自变量的大小关系，即可求解. 【详解】设， 对于A，由题意得， 则，所以是奇函数， 即是奇函数，故A错误； 对于B，由题意得，所以在上单调递增， 即函数在上单调递增，故B错误； 对于C，，所以是奇函数， ，所以是偶函数， 所以， 所以原不等式为，即， 由题意得恒成立，所以在R上单调递增， 所以， 且有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，原不等式得证，故C正确. 对于D，， 所以原不等式为， 由上得单调递增， 且有当时，单调递增，所以， 所以，与原不等式矛盾，故D错误. 3．（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 4．（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（   ） A． B． C．4 D．-4 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质将转化为即可. 【详解】是定义在上的奇函数， . 故选：D. 5．（2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小，可得结论. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以，即. 综上可得：. 故选：D 6．（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 二、多选题 7．（2026·广东湛江·一模）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，结合导数的性质及赋值法，对选项进行分析判断． 【详解】为奇函数，为偶函数， ，， 令，则，解得， 是偶函数，，选项A正确； ，且， ，故的周期， ，但的值不确定，故选项B不一定正确； 是偶函数，，，即， 为奇函数，故，故选项C正确； 令，则， ，为奇函数，满足题设条件； ，，故D不一定正确； 故选：AC． 8．（2026·广东佛山·一模）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】用特值法判断A,B；用赋值法，结合函数单调性的定义，判断C；根据单调性列不等式，判断D. 【详解】对于A，令，， 则在上单调递增， 此时，所以不一定成立，所以A错误； 对于B，令，因为函数在上单调递增， 所以， 即，所以B正确； 对于C，令，因为是增函数， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以C正确； 对于D，令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； …… 令，因为是增函数， 所以， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：BCD 9．（2025·广东肇庆·一模）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（   ） A．只有1个不动点 B．若（）没有不动点，则没有零点 C．若（）没有不动点，则方程无实根 D．有3个不动点 【答案】AC 【分析】根据“不动点”函数的定义，分别对每个选项进行分析，判断其是否满足“不动点”函数的条件，以及是否满足题目中的其他条件． 【详解】对于A，令，，，当且仅当时取“=”， 则在上单调递减，而，即在上只有一个零点，函数只有一个不动点，A正确； 对于B，没有不动点等价于的图象与直线没有交点， 没有零点等价于的图象与轴没有交点， 显然，当对称轴在轴左边，的图象与没有交点时，不能推出与轴没有交点，B错误； 对于C，依题意，没有不动点等价于方程无实数根无实数根， 即， 当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立， 即，恒有， 而，因此有恒成立，即方程无实根， 当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立， 即，恒有， 而，因此有恒成立，即方程无实根， 所以函数（）没有不动点，则方程无实根，C正确； 对于D，由，得， 易知当时，，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，，单调递减，且； 当时，，单调递增.令，得， 解得，此时，所以直线与曲线相切于点. 所以直线与曲线共有两个交点，所以只有两个不动点，故D错误； 故选：AC． 10．（2025·广东清远·一模）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 11．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴为， 当时， 的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指对幂函数与函数的基本性质（5大考点） 5大考点概览 考点01指数函数 考点02对数函数 考点03函数的应用 考点04函数及其表示 考点05函数的基本性质 指数函数 考点1 1．（2025·广东肇庆·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·一模）已知函数则（    ） A．0 B．2 C．4 D．16 3．（2026·广东广州·一模）已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 4．（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 对数函数 考点2 1．（2026·广东湛江·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·广东多校联考·一模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·一模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东江门·一模）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东江门·一模）函数的反函数的解析表达式为（    ） A． B． C． D． 函数的应用 考点3 1．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 2．（2026·广东佛山·一模）函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 3．（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 4．（2026·广东佛山·一模）若函数在区间上至少有2个零点，则的最小值是______. 函数及其表示 考点4 一、单选题 1．（2026·广东茂名·一模）已知函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 2．（2025·广东·一模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·广东深圳·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·广东多校联考·一模）已知函数，则______． 函数的基本性质 考点5 一、单选题 1．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（   ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C． D． 3．（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 4．（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（   ） A． B． C．4 D．-4 5．（2025·广东清远·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·广东湛江·一模）已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东佛山·一模）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 9．（2025·广东肇庆·一模）不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（   ） A．只有1个不动点 B．若（）没有不动点，则没有零点 C．若（）没有不动点，则方程无实根 D．有3个不动点 10．（2025·广东清远·一模）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 三、填空题 11．（2026·广东广州·一模）已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $