专题02 平面向量与复数、不等式（5大考点）（广东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 平面向量与复数、不等式（5大考点） 5大考点概览 考点01不等式及基本不等式 考点02平面向量 考点03求复数的模 考点04复数的几何意义及分类 考点05复数代数形式的四则运算 一、单选题不等式及基本不等式 考点1 1．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 2．（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，以及不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，根据对数函数的单调性可知，则，即充分性成立； 若，可得，，即必要性成立. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2025·广东清远·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】不等式的解集为 所以集合，又， 所以. 故选：B 4．（2025·广东佛山·一模）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中阴影部分表示，先求出集合，然后计算即可. 【详解】由图中阴影部分表示， 因为或， 所以， 故选：C. 二、多选题 5．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选项. 【详解】对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误； 对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的成立，故B正确； 对于C：已知，，不妨设，则， 因为，， 且，所以， 又因为余弦函数在上单调递减，所以， 两边同乘正数得：， 即，故C正确； 对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得： 当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立； 当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误. 三、填空题 6．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用换元法化简已知条件，求得，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】令， 所以，两边平方并化简得， 同理， 由题知，则， 故，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 平面向量 考点1 一、单选题 1．（2026·广东佛山·一模）已知非零向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意得，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解. 【详解】设，根据题意可得，两边平方得， 展开整理得，代入， 得，即，所以. 故选：C. 2．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 3．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义及计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 4．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 5．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，    则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 6．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 7．（2026·广东茂名·一模）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】直接根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A 8．（2025·广东佛山·一模）已知点,,,是坐标原点，若,在上的投影向量相等，则（   ） A．-2 B．0 C．2 D．6 【答案】C 【分析】运用投影向量的公式进行计算. 【详解】 则在上的投影向量为， 在上的投影向量为. 所以由题得，解得. 故选：C. 9．（2025·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算得，然后根据向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】由题意得，所以，即， 设，则，所以. 故选：B 二、填空题 10．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时， 所以的最小值为. 11．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    12．（2025·广东肇庆·一模）已知向量，，且，则__________. 【答案】 【分析】由，则，得到，再根据模长公式求解即可． 【详解】由题意知， ∴，即， ∴，． 故答案为：． 求复数的模 考点1 1．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 2．（2025·广东佛山·一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先计算出，再计算的模. 【详解】, . 故选：A. 3．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】先求出方程的两复数根，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】由得， 可得方程的两个复数根分别为，， 所以. 故选：D 4．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 5．（2025·广东清远·一模）若，其中是虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 复数的几何意义及分类 考点4 一、单选题 1．（2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 2．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的乘法可得， 而复数对应的点在第三象限，故， 所以即实数的取值范围是. 3．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 4．（2026·广东佛山·一模）复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以复数的虚部是. 二、填空题 5．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 复数代数形式的四则运算 考点5 1．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2．（2026·广东佛山·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据共轭复数及复数乘法运算法则求解即可. 【详解】. 故选：D. 3．（2026·广东湛江·一模）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数对应的点的特征可得，由复数的除法运算可求得结果. 【详解】，在复平面内的点关于实轴对称，； . 故选：B. 4．（2026·广东广州·一模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算进行化简，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】， 故复数对应的点为，在第四象限， 故选：D 5．（2026·广东江门·一模）若复数z满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算化简可得复数，再根据模长公式可得解. 【详解】由，得， 所以， 故选：D. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数、不等式（5大考点） 5大考点概览 考点01不等式及基本不等式 考点02平面向量 考点03求复数的模 考点04复数的几何意义及分类 考点05复数代数形式的四则运算 一、单选题不等式及基本不等式 考点1 1．（2026·广东梅州·一模）已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东清远·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·一模）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·广东广州·一模）已知，则下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 6．（2025·广东深圳·一模）若实数满足，则的最小值为__________. 平面向量 考点1 一、单选题 1．（2026·广东佛山·一模）已知非零向量满足，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 7．（2026·广东茂名·一模）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 8．（2025·广东佛山·一模）已知点,,,是坐标原点，若,在上的投影向量相等，则（   ） A．-2 B．0 C．2 D．6 9．（2025·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 11．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 12．（2025·广东肇庆·一模）已知向量，，且，则__________. 求复数的模 考点1 1．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·广东佛山·一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·广东肇庆·一模）已知方程的两个复数根分别为，，则（   ） A．0 B． C． D．3 4．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（2025·广东清远·一模）若，其中是虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．4 复数的几何意义及分类 考点4 一、单选题 1．（2026·广东汕头·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 2．（2026·广东梅州·一模）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 4．（2026·广东佛山·一模）复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 5．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 复数代数形式的四则运算 考点5 1．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D．5 3．（2026·广东湛江·一模）设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·一模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·广东江门·一模）若复数z满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $