专题8.3 列联表与独立性检验（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题8.3 列联表与独立性检验 教学目标 1.理解2×2列联表的结构与含义，能根据实际问题数据构建完整的2×2列联表，提取表中核心统计信息。 2.掌握独立性检验的基本思想，理解卡方统计量的计算公式及意义，熟记临界值表的查阅方法。 3.能按步骤完成独立性检验：提出假设→计算\chi^2值→对比临界值→作出统计推断，解决实际分类变量的独立性检验问题。 4.区分“独立性检验的推断结论”与“实际因果关系”，知晓检验结论的随机性和适用范围。 教学重难点 1.重点 独立性检验的完整解题步骤，能根据\chi^2值与临界值的大小关系，作出“有多大把握认为两个分类变量有关”的统计推断。 2.难点 区分“有统计学意义的关联”与实际因果关系，纠正“独立性检验认为有关就是因果关系”的认知偏差。 知识点01 分类变量及列联表 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 χ2 统计量也可以用来作相关性的度量．χ2 越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关 χ2＝.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准． 【即学即练】 1．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 【答案】AC 【分析】运用独立性检验的步骤原理推理判断即可. 【详解】用频率可以估计，用频率可以估计，用频率可以估计，若，则，可以认为与独立，故正确； 由于，，表示的是频率，是抽取的样本数据，故即使变量与独立，也不一定成立，故错误； 若很大，可以说明与不独立，故正确； 若变量与不独立，，但并不一定很大，故错误. 故选：AC. 2．某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票，按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票，所得统计结果如下表： 暴雨 前后 支持情况 支持 不支持 总计 暴雨后 x y 50 暴雨前 20 30 50 总计 A B 100 已知工作人员从所有投票中任取一张，取到“不支持投入”的投票概率为. (1)求列联表中的数据x，y，A，B的值； (2)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投入有关？ (3)用样本估计总体，在该市全体市民中任意选取4人，其中“支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：. 【答案】(1)x＝40，y＝10，A＝60，B＝40 (2)99%的把握 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求出值，根据题中条件进一步可求出x，A，B的值； （2）根据公式求出的值，即可; （3）根据随机变量服从二项分布，即可列出分布列，求出期望. 【详解】（1）设“从所有投票中任取一张，取到‘不支持投入’的投票”为事件C， 由已知得， 所以，所以，，； （2）χ2＝, 故有99%的把握认为暴雨对该市民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关. （3）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，用样本估计总体，任取一人支持的概率，所以， 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P 知识点02 独立性检验 1、基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【即学即练】 1．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 (2)从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 【答案】(1)列联表见解析，有关，理由见解析 (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）零假设体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题意得如下列联表： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. （2）由表格中的数据可知，四个年龄段的人比为， 利用分层抽样的方法抽取的人中，年龄分别在、的人数为、， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 2．某马拉松赛事组委会为研究选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤的关联性，随机抽取了200名参赛选手的相关数据，整理得到如下2×2列联表. 单位：人 比赛中受伤 比赛中未受伤 合计 赛前进行热身训练 10 90 100 赛前未进行热身训练 30 70 100 合计 40 160 200 (1)从这200名参赛选手中随机抽取1人，已知此人赛前进行了热身训练，求此人在比赛中受伤的概率; (2)能否有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： （） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握 【分析】（1）记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件B表示此人在比赛中受伤，由即可求解； （2）求得，对比参考数据，即可判断. 【详解】（1）记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件B表示此人在比赛中受伤， 则，， 故. （2）由题意可得. 因为，所以有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关. 题型01 用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【典例1】随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的倍；岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；岁及以下有人基本不用外卖平台点餐． （1）请完善下面列联表（单位：人），并依据的独立性检验，分析经常利用外卖平台点餐是否与年龄有关？ 经常用外卖平台点餐 基本不用外卖平台点餐 总计 岁及以下 岁以上 总计 （2）利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取人，再从以上人中随机抽取人．记被抽取的人中“岁以上”的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：，其中． 临界值表： 【答案】（1）列联表见解析，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）分布列见解析，均值． 【分析】（1）根据题中的数据完善列联表，再运用公式分析列联表； （2）根据题意及公式求解随机变量的分布列并计算期望得出结果. 【详解】解：（1）设基本不用外卖平台点餐人数为， 得 所以基本不用外卖平台点餐人数为人 因为岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐 所以岁以上有10人基本不用外卖平台点餐，岁以上有10人经常用外卖平台点餐岁及以下有40人经常用外卖平台点餐 列联表如下： 经常用外卖平台点餐 基本不用外卖平台点餐 总计 岁及以下 岁以上 总计 由列联表可知 因为 所以依据小概率值的独立性检验，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）由题意可知，抽取的10人中“40岁以上”的市民有2人， 的所有可能取值为 所以的分布列为 0 1 2 所以 (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 【变式1】足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份的对这款App不满意人数： （2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布，求的值； （3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表： 使用App 不使用App 女性 48 12 男性 22 18 能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？ 参考公式：，.附：随机变量：，则，， (其中) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）回归直线方程为:，人；（2）；（3）有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关. 【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论； （2）根据正态分布的规律计算即可； （3）根据题给数据分析列联表得出结论. 【详解】解：（1）由表中的数据可知，， ， 所以， 故， 所以所求的回归直线方程为； 令，则（ 人） 所以10月该小区对这款App的不满意人数为37人； （2）依题意得 （3）由表中的数据计算可得：， 根据临界值可得，有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关 【变式2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人. (1) 完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？ 平均车速超过 平均车速不超过 总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2) 以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为，求的数学期望. 【答案】(1) 列联表答案见解析，犯错误概率不超过0.005的前提下，认为“平均车速超过与性别有关”；(2) . 【分析】(1) 熟悉列联表的计算公式，再结合表格所给数据进行判断. (2) 由频率估计概率，将问题转化为二项分布，再用通法求数学期望，也可直接用二项分布的数学期望公式求解. 【详解】(1) 完成的列联表如下： 平均车速超过 平均车速不超过 总计 男性驾驶员 40 15 55 女性驾驶员 20 25 45 合计 60 40 100 能在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为“平均车速超过与性别有关” (2) 根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车， 平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故. 法一：；； ；. 所以的分布列为 0 1 2 3 . 法二：由二项分布的数学期望公式可得，. 【变式3】为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 （1）请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响． （2）身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？ 【答案】（1）答案见解析；（1）数值型变量，原因见解析. 【分析】（1）根据题意作出列联表的等高堆积条形图，然后根据图形分析即可； （2）根据数值型变量与分类变量的概念即可得出结果. 【详解】（1）女学生身高低于170cm，不低于170cm得频率分别为， 男学生身高低于170cm，不低于170cm得频率分别为， 则列联表的等高堆积条形图为 身高低于170cm   身高不低于170cm               女生         男生 通过比较发现，如果从女生男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于170cm的概率大于男生中身高低于170cm的概率，故该中学高三年级学生的性别和身高有关联， 又，故女生中身高低于170cm的频率是男生中身高低于170cm的频率的3倍以上； （2）身高变量是数值型变量，因为身高可以取不同的数值. 题型02 用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 【典例1】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： （1）根据箱产量的频率分布直方图填写下面列联表，从等高条形图中判断箱产量是否与新、旧网箱养殖方法有关； （2）根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关？ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 参考公式： （1）给定临界值表 P(K) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）其中为样本容量. 【答案】（1）表格见解析，有关； （2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 【分析】（1）从频率分布直方图中找出相应数据完善表格，画出等高条形图，做出判断即可；（2）由联表中数据，计算出，结合临界值表做出判断. 【详解】（1）列联表如下： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 合计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计 96 104 200 由等高条形图可知新养殖法箱产量≥50kg占66%，而旧养殖法箱产量≥50kg才占38%，有比较明显的差别，所以箱产量与新、旧网箱养殖方法有关. （2）由列联表中的数据计算可得的观测值为 ， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 【变式1】为了研究司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系，从死于汽车碰撞事故的司机中随机抽取名，得到如下列联表： 有责任 无责任 总计 血液中含有酒精 650 150 800 血液中无酒精 700 500 1200 总计 1350 650 2000 试利用图形分析司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系．根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为二者有关系？ 参考公式和数据：，其中． 【答案】在犯错误的概率不超过的前提下，认为司机血液中含有酒精与对事故负有责任有关系． 【详解】相应的等高条形图如下图所示： 图中两个深色条的高分别表示司机血液中含有酒精和无酒精样本中对事故负有责任的频率， 从图中可以看出，司机血液中含有酒精样本中对事故负有责任的频率明显高于司机血液中无酒精样本中对事故负有责任的频率． 由此可以认为司机血液中含有酒精与对事故负有责任有关系． 由列联表中的数据，得的观测值为， 因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为司机血液中含有酒精与对事故负有责任有关系． 【变式2】为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到2×2列联表如表所示． 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没有服用药 20 30 50 合计 30 75 105 试用等高堆积条形图判断服用药与患病之间是否有关联． 【答案】有关联． 【分析】作出相应的等高堆积条形图，从图形分析出判断服用药与患病之间是否有关联. 【详解】相应的等高堆积条形图如图所示．    从图形可以看出，服用药的样本中患病的比例明显低于没有服用药的样本中患病的比例，因此可以认为服用药与患病之间有关联． 【变式3】如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 【答案】A 【分析】分析等高堆积条形图可直接得到答案. 【详解】原图是学校高二1､2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图， 从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误； 两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误； 故选：A. 题型03 卡方的计算 【典例1】校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A 【变式1】某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【答案】B 【分析】完成列联表，计算，即可求出正整数的最小值. 【详解】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 【变式2】针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C 【变式3】为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（单位：min）和他们的数学成绩（单位：分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据． 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 (1)已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求出关于的线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85min时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） (2)由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生进行学后反思，实施一段时间后，抽样调查了200位学生，按照是否进行学后反思以及成绩是否有进步，统计得到列联表，依据表中数据分析是否有的把握认为“学后反思与成绩进步”有关． 学后反思情况 是否进步 没有进步 有进步 总计 进行学后反思 30 130 160 未进行学后反思 20 20 40 总计 50 150 200 附：线性回归方程中的，的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)，141分 (2)有的把握认为“学后反思与成绩进步”有关 【分析】（1）先求线性回归方程中的参数得线性回归方程，将代入线性回归方程，进行预测即可； （2）计算卡方，对比临界值即可作出结论. 【详解】（1）由题表计算可得，， 所以， 所以， 故， 当时，， 由此预测每天课后自主学习数学时间为85min时的数学成绩为141分． （2）， 所以有的把握认为“学后反思与成绩进步”有关． 题型04 独立性检验的综合应用 【典例1】随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. 【答案】(1)表格见解析，有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关， (2)y与x线性相关性较强 【分析】（1）根据题中数据补全列联表即可：再由表中数据以及公式进行计算求解即可； （2）根据样本相关系数公式计算可得答案. 【详解】（1）补全列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 则， 故有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）因为，， 所以，又，，， 所以， 故y与x线性相关性较强. (1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值，再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握． 【变式1】某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， (2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 【变式2】随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】不能推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异 【分析】代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【详解】由题意，零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， ∴可以认为成立， 即不能认为两个群体在购买食品时是否看营养说明有差异. 【变式3】为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 【答案】35（或36或44或45，答案不唯一） 【分析】由独立性检验公式可得，据此可得答案. 【详解】易知，依题意可知， 解得或， 又，，， 则，. 得或，故的可能取值为35，36，44，45. 故答案为：35（或36或44或45，答案不唯一） 1．某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； (2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 【答案】(1)列联表见解析，该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联； (2)需要进一步调试，理由见解析. 【分析】（1）根据题设完成列联表，再求出即可判断； （2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而试生产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论. 【详解】（1）列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 45 乙机器 45 10 55 合计 75 25 100 设零假设为：该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关， 而， 依据小概率值，零假设成立，故可以认为该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联. （2）由题意得：，则， 所以， 即， 所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为， 又，则试产的5个零件中内径出现了1个不在内，小概率事件已发生， 根据原则，这台设备需要进一步调试. 2．下列说法正确的是（   ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 【答案】BD 【分析】根据独立性检验的原理可判断A；对两边取对数，对照求解可判断B；由回归方程不一定过样本点可判断C，根据决定系数公式可判断D. 【详解】对A，由独立性检验的原理可知，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，错误； 对B，对两边取对数得，即， 又，所以，即，正确； 对C，回归方程不一定过样本点，所以无法确定的值，错误； 对D，由决定系数公式可知， 当代换成时，和的值都没有发生变化，故决定系数不变，正确. 故选：BD 3．已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）根据等可能性事件的概率和条件概率公式直接可得. （2）根据独立性检验直接可得. 【详解】（1）设事件表示志愿者是“志愿模范队”成员的事件，事件表示志愿者周平均服务时长超过2小时的事件. 由题可知，，，因为每个志愿者被抽到的可能性相等， 根据古典概型的概率公式得，，. 由条件概率公式可得，则. 故一名志愿者是“志愿模范队”成员的条件下其周平均服务时长超过2小时的概率为. （2）由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 提出零假设：是否‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关，确定显著性水平. 可得，由于，拒绝零假设， 故有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 4．随着我国人工智能的突破性发展，近期许多优秀的人工智能应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了人，得到如下列联表： 单位：人 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 (1)求的值； (2)在答题卡中补全列联表，并判断能否有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关. 附：，． 【答案】(1); (2)表格见解析，有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用性状是否良好有关. 【分析】（1）根据表中已有数据列出方程组，解方程组即可求得； （2）在独立性检验中，先进行零假设，然后将表中数据代入公式计算，最后比较与的大小关系即可得到结论. 【详解】（1）由已知得青年用户的人数为, 则,解得. （2）列联表如下：                                                       组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 合计 零假设为：这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异， 由题意可知. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立, 所以有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用性状是否良好有关． 5．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 未患病 患病 总计 未服用 100 80 服用 150 70 220 总计 250 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值； (3)能否有99%的把握认为药物A对预防疾病B有效？ 【答案】(1)， (2) (3)有的把握认为药物A对预防疾病B有效 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由列联表知，． （2）由列联表知，未服用药物A的动物有180只，未服用药物A且患疾病B的动物有80只， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为． （3）由列联表得到， 所以有的把握认为药物A对预防疾病B有效． 6．部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断. (2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望. 【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 由题知. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 则的分布列如下 0 1 2 3 故的数学期望. 7．某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为50的样本进行电压测试．已知标准电压为，误差绝对值不超过的电子元件为优品，超过的电子元件为良品． (1)已知旧技术生产的50个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布，的近似值为样本均值，的近似值为样本标准差．假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件60000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于的有多少个？ (2)从新技术生产的50个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为．请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 25 附：若随机变量X服从正态分布，则．． 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 【答案】(1)1365个 (2)表格见解析，无关联． 【分析】（1）先根据正态分布的特点求，再估计元件的个数， （2）结合概率的意义完成列联表，计算，即可进行判断． 【详解】（1）由题意，旧技术生产的电子元件的电压测量值， 所以， 所以旧技术生产的60000个电子元件中电压测量值高于的估计有：个． （2）因为从新技术生产的50个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为， 所以新技术生产的50个样本元件中优品数为，良品数为：， 则旧技术生产的元件良品数为：，优品数为：， 完成列联表如下： 优品 良品 合计 旧技术 35 15 50 新技术 40 10 50 合计 75 25 100 零假设为：认为电子元件的优良情况与新旧技术无关， 所以， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设， 即认为电子元件的优良情况与新旧技术无关联． 8．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，； (2)能认为服用药物A对预防疾病B有效. 【分析】（1）根据频率得到方程，求出，进而求出； （2）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【详解】（1）服用药物A的动物中，患病的频率为0.2， 故，解得， 故； （2）能认为服用药物A对预防疾病B有效.理由如下： 零假设：药物A对预防疾病B无效， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过， 依据小概率值的独立性检验，能认为服用药物A对预防疾病B有效. 9．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 10．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)存在差异 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论. 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）得， 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 120 80 200 一般 30 70 100 总计 150 150 300 零假设为：该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中不存在差异， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断，该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中存在差异. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 列联表与独立性检验 教学目标 1.理解2×2列联表的结构与含义，能根据实际问题数据构建完整的2×2列联表，提取表中核心统计信息。 2.掌握独立性检验的基本思想，理解卡方统计量的计算公式及意义，熟记临界值表的查阅方法。 3.能按步骤完成独立性检验：提出假设→计算\chi^2值→对比临界值→作出统计推断，解决实际分类变量的独立性检验问题。 4.区分“独立性检验的推断结论”与“实际因果关系”，知晓检验结论的随机性和适用范围。 教学重难点 1.重点 独立性检验的完整解题步骤，能根据\chi^2值与临界值的大小关系，作出“有多大把握认为两个分类变量有关”的统计推断。 2.难点 区分“有统计学意义的关联”与实际因果关系，纠正“独立性检验认为有关就是因果关系”的认知偏差。 知识点01 分类变量及列联表 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 χ2 统计量也可以用来作相关性的度量．χ2 越 说明变量之间越独立，χ2越 说明变量之间越相关 χ2＝ .忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准． 【即学即练】 1．设，为两个变量，每一个变量都可以取两个值，即，，且，，，且，随机调查个样本数据后，得到如下列联表，则（   ） 合计 合计 A．若，则可以认为与独立 B．若变量与独立，则 C．若很大，则变量与不独立 D．若变量与不独立，则很大 2．某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票，按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票，所得统计结果如下表： 暴雨 前后 支持情况 支持 不支持 总计 暴雨后 x y 50 暴雨前 20 30 50 总计 A B 100 已知工作人员从所有投票中任取一张，取到“不支持投入”的投票概率为. (1)求列联表中的数据x，y，A，B的值； (2)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投入有关？ (3)用样本估计总体，在该市全体市民中任意选取4人，其中“支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 附：. 知识点02 独立性检验 1、基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y ，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y ． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence)． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； (3)根据检验规则得出推断结论； (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【即学即练】 1．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 (2)从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 2．某马拉松赛事组委会为研究选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤的关联性，随机抽取了200名参赛选手的相关数据，整理得到如下2×2列联表. 单位：人 比赛中受伤 比赛中未受伤 合计 赛前进行热身训练 10 90 100 赛前未进行热身训练 30 70 100 合计 40 160 200 (1)从这200名参赛选手中随机抽取1人，已知此人赛前进行了热身训练，求此人在比赛中受伤的概率; (2)能否有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： （） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型01 用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【典例1】随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的倍；岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；岁及以下有人基本不用外卖平台点餐． （1）请完善下面列联表（单位：人），并依据的独立性检验，分析经常利用外卖平台点餐是否与年龄有关？ 经常用外卖平台点餐 基本不用外卖平台点餐 总计 岁及以下 岁以上 总计 （2）利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取人，再从以上人中随机抽取人．记被抽取的人中“岁以上”的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：，其中． 临界值表： (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误． (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将与 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣． 【变式1】足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份的对这款App不满意人数： （2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布，求的值； （3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表： 使用App 不使用App 女性 48 12 男性 22 18 能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？ 参考公式：，.附：随机变量：，则，， (其中) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【变式2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人. (1) 完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？ 平均车速超过 平均车速不超过 总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2) 以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为，求的数学期望. 【变式3】为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下： 单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 （1）请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响． （2）身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？ 题型02 用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 【典例1】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： （1）根据箱产量的频率分布直方图填写下面列联表，从等高条形图中判断箱产量是否与新、旧网箱养殖方法有关； （2）根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关？ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 参考公式： （1）给定临界值表 P(K) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）其中为样本容量. 【变式1】为了研究司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系，从死于汽车碰撞事故的司机中随机抽取名，得到如下列联表： 有责任 无责任 总计 血液中含有酒精 650 150 800 血液中无酒精 700 500 1200 总计 1350 650 2000 试利用图形分析司机血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系．根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为二者有关系？ 参考公式和数据：，其中． 【变式2】为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到2×2列联表如表所示． 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没有服用药 20 30 50 合计 30 75 105 试用等高堆积条形图判断服用药与患病之间是否有关联． 【变式3】如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（    ） A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等 B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班 C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的 D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确 题型03 卡方的计算 【典例1】校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【变式1】某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（   ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．80 B．100 C．120 D．150 【变式2】针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（单位：min）和他们的数学成绩（单位：分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据． 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 (1)已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求出关于的线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85min时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） (2)由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生进行学后反思，实施一段时间后，抽样调查了200位学生，按照是否进行学后反思以及成绩是否有进步，统计得到列联表，依据表中数据分析是否有的把握认为“学后反思与成绩进步”有关． 学后反思情况 是否进步 没有进步 有进步 总计 进行学后反思 30 130 160 未进行学后反思 20 20 40 总计 50 150 200 附：线性回归方程中的，的最小二乘估计公式分别为，． 题型04 独立性检验的综合应用 【典例1】随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. (1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； (2)为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中. (1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值，再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握． 【变式1】某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100      62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【变式2】随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式3】为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 1．某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； (2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 2．下列说法正确的是（   ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 3．已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过2小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 周平均服务时长不超过2小时 总计 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ 附录：，其中. 4．随着我国人工智能的突破性发展，近期许多优秀的人工智能应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了人，得到如下列联表： 单位：人 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 (1)求的值； (2)在答题卡中补全列联表，并判断能否有的把握认为用户的年龄段与对该软件的应用体验是否良好有关. 附：，． 5．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 未患病 患病 总计 未服用 100 80 服用 150 70 220 总计 250 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值； (3)能否有99%的把握认为药物A对预防疾病B有效？ 6．部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为50的样本进行电压测试．已知标准电压为，误差绝对值不超过的电子元件为优品，超过的电子元件为良品． (1)已知旧技术生产的50个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布，的近似值为样本均值，的近似值为样本标准差．假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件60000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于的有多少个？ (2)从新技术生产的50个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为．请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 25 附：若随机变量X服从正态分布，则．． 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 8．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 9．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 10．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $