专题8.2 一元线性回归模型及其应用（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题8.2 一元线性回归模型及其应用 教学目标 1.解一元线性回归模型的结构，区分线性回归直线方程与函数解析式的本质差异，掌握最小二乘法的核心思想。 2.能运用公式求解线性回归方程的系数和截距，会用回归方程进行简单的预测分析。 3.了解残差、残差图的含义，能通过残差判断模型的拟合效果，知晓线性回归模型的适用范围。 教学重难点 1.重点 用线性回归方程对实际问题进行预测，能解释回归系数的实际意义。 2.难点 区分线性回归直线与散点图中近似直线的差异，理解回归方程的统计意义（非确定函数关系）。 知识点01 一元线性回归模型 我们称 为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 【即学即练】 1．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ．（参考数据：．） 2．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 线性回归方程与最小二乘法 1、回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将 称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )， 其中 2、残差的概念：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 3、刻画回归效果的方式 (1)残差图法：作图时纵坐标为 ，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2，残差平方和越 ，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． (3)利用R2刻画回归效果：决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力． R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越 ，模型拟合效果越差． 【即学即练】 1．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 2．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 题型01 求回归直线方程 【典例1】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出线性回归方程＝x＋. 【变式1】茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量.某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 14 17 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)若某户家庭人口数为8，预测该户茶产业年收入. 参考公式：经验回归方程，其中，. 【变式2】某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 题型02 利用回归直线方程对总体进行估计 【典例1】相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 【变式1】某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为 百元. 【变式2】某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表. 广告支出x/万元 1.2 2.6 4 5.4 6.8 销售量y/万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法中正确的是（    ） A．第三个样本点对应的残差 B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C．销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D．用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 【变式3】某人统计了2020—2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 (1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度；（样本相关系数保留三位小数，统计中用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.相应于变量的取值，变量的观测值为，两个变量的样本相关系数的计算公式为.统计学认为，对于变量，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱） (2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，. 题型03 线性回归分析 【典例1】网购是当前社会重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计，得到如下数据： 1 2 3 4 5 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 (1)当相关系数满足时，线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，并加以说明； (2)试用最小二乘法求出与的回归方程，并预测当时的利润额. 附：， 参考数据：. (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 【变式1】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下折线图.（附：年份代码分别对应的年份是）经计算得，，，. (1)用线性回归模型拟合与的关系，求出样本相关系数（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程（，精确到0.01）； (3)若2025年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（ⅰ）相关系数：； （ⅱ）经验回归方程：，其中. 【变式2】根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克． 附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：． 【变式3】某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 (1)计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） (2)若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 题型04 残差分析与相关指数的应用 【典例1】现有下表中数据，下列四个函数中，拟合效果最好的为（　　） x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 A． B． C． D． (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差1，2，…，n来判断模型拟合的效果． (2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B．当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 C．若随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【变式2】2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 B．若随机变量，则 C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率 题型05 非线性回归分析 【典例1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.      根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：，，，） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 求非线性回归方程的步骤 (1)确定变量，作出散点图． (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数． (3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是4和0.3 D．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大． 【变式2】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【变式3】某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 1．下列命题中正确的是（　　） A．已知随机变量，则 B．若随机事件满足：，则事件与相互独立 C．若事件与相互独立，且，则 D．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据的拟合效果越好 2．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2020年 2021年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%） 11 13 16 15 20 21 (1)用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？ (2)求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%? (3)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的月产量X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为．假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 回归直线方程为，其中：，． 3．2023年10月6日，哈三中举行百年校庆活动，在活动期间统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校仅开放1号门和2号门，校友从中随机等可能选择一个进入，且出学校与进学校选择相同门的概率为．假设校友从1号门、2号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月6日回母校参加活动，设为4人中从2号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：． 参考公式：回归直线方程，其中． 相关系数． 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 5．下列说法错误的是（   ） A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小 6．某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； (2)已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 7．某种产品2020年到2024年的年份代码x与年利润y（万元）的数据统计如下， 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2020-2024年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； (2)求回归直线方程并预测该产品2026年的年利润. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 样本相关系数，. 8．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 9．2024年1月24日，云南省统计局发布数据，2023年度云南省生产总值（GDP）为30021亿元，年度GDP首次突破3万亿元．以下是2020年至2024年云南省生产总值表． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代码x 1 2 3 4 5 生产总值y（亿元） 24555 27146 28954 30021 31534 (1)根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？ (2)建立生产总值y（亿元）关于年份代码x的经验回归方程（，精确到1），并预测2025年度云南省生产总值． 参考公式：． 10．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越．为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．结合近12年的年研发资金投入和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，e为自然对数的底数．经对数据的初步处理，得到散点图如图．令，，计算得到如下数据． 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500    (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型． (2)（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入． 附：，． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 一元线性回归模型及其应用 教学目标 1.解一元线性回归模型的结构，区分线性回归直线方程与函数解析式的本质差异，掌握最小二乘法的核心思想。 2.能运用公式求解线性回归方程的系数和截距，会用回归方程进行简单的预测分析。 3.了解残差、残差图的含义，能通过残差判断模型的拟合效果，知晓线性回归模型的适用范围。 教学重难点 1.重点 用线性回归方程对实际问题进行预测，能解释回归系数的实际意义。 2.难点 区分线性回归直线与散点图中近似直线的差异，理解回归方程的统计意义（非确定函数关系）。 知识点01 一元线性回归模型 我们称 为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 【即学即练】 1．某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示． x 3 4 5 6 6 7 8 9 y 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示）， ．（参考数据：．） 【答案】 【详解】， ， 由条件可知， 得，所以，故答案为：． 2．若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得.故选：D． 知识点02 线性回归方程与最小二乘法 1、回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )， 其中 2、残差的概念：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 3、刻画回归效果的方式 (1)残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． (3)利用R2刻画回归效果：决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力． R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 【即学即练】 1．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】(1)①； (2) 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可； （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【详解】（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则． ， ， 则关于的线性回归方程为，即， 产卵数关于温度的回归方程为． 2．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)，线性相关性很强 (2)，8.5万元 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 题型01 求回归直线方程 【典例1】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 【答案】(1)，与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合 (2)，4.4千件 【分析】（1）由表中数据易计算得到，再利用相关系数公式计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合. （2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式来进行计算求出线性回归方程，当时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值. 【详解】（1）由已知得，， 则样本相关系数为， 因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合. （2）由题意得，所以， 所以关于的经验回归方程：， 当时，， 故估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为4.4千件. 求线性回归方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出线性回归方程＝x＋. 【变式1】茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量.某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 14 17 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)若某户家庭人口数为8，预测该户茶产业年收入. 参考公式：经验回归方程，其中，. 【答案】(1) (2)25.7万元 【分析】（1）由已知表格中的数据结合给定公式求得的值，代入回归直线方程即可； （2）在（1）求得的线性回归方程中，将代入，求得值即可. 【详解】（1）由题知，. ，. 所以， ， 所以关于的经验回归方程为. （2）当时，， 故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元. 【变式2】某同学研究两个变量与的关系，收集了以下5组数据： 1 2 3 4 5 1 4 1 9 10 根据上表数据，求得相关系数为，经验回归方程为，决定系数为．后经检查发现当时记录的有误，实际值应为，修正数据后，求得新相关系数为，新回归方程为，新决定系数为，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合给定条件，求出数据修正前后的相关统计数据，再比较大小，即可得到答案． 【详解】由题意知，数据修正前：， ，， ， ，， 数据修正后：， ，， ， ，，， 因此，，，而，则， 所以ABD正确，C错误． 故选：ABD． 【变式3】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表： 价格x（元/kg） 日需求量y（kg） 8 6 5 (1)求y关于x的线性回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，当价格元/kg时，日需求量y的预测值为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】(1)； (2)kg. 【分析】（1）直接根据最小二乘法估计求回归方程； （2）直接根据回归方程计算预测值. 【详解】（1）由题知，， ， . ，. 综上，y关于x的线性回归方程为：. （2）由（1）知回归方程为. 所以当时，. 故当价格元/kg时，日需求量y的预测值为kg. 题型02 利用回归直线方程对总体进行估计 【典例1】相关变量的样本数据如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 a 5 经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，下列说法正确的是（   ） A．当每增加1时，一定增加1.5 B．当每增加13时，一定增加8 C． 与呈负相关 D． 【答案】D 【分析】根据回归方程的意义可判断AB的正误，根据回归系数的正负可判断C的正误，根据回归方程过样本中心可求，从而可判断D的正误. 【详解】对于A，因为回归直线方程为，故当每增加1时，增加约为 ， 故A错误； 对于B，因为回归直线方程为，故当每增加13时，增加约为， 故B错误； 对于C，因为，故与呈正相关，故C错误； 对于D，，故，故，故， 故D正确； 故选：D. 【变式1】某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为 百元. 【答案】 【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即得. 【详解】由已知数据 因为，则，代入，则， 则， 令，则. 故答案为：. 【变式2】某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表. 广告支出x/万元 1.2 2.6 4 5.4 6.8 销售量y/万件 1.4 6 7.3 11.8 13.5 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法中正确的是（    ） A．第三个样本点对应的残差 B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中 C．销售量的变化有97%是由广告支出费引起的 D．用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量 【答案】AC 【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，求解残差判断A与B；由相关系数的意义判断C：由样本的取值范围会影响回归方程的使用范围判断D. 【详解】，， 将其代入回归方程中得，得， 故回归直线方程为，所以，A正确； 由于，所以该回归模型拟合的效果比较好，故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，B错误； 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量的贡献率，，则销售量的变化有97%是由广告支出费引起的，C正确； 由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而20万元远大于表格中广告支出费的值，故用该回归方程不能准确地预测广告支出费为20万元时的销售量，故D错误. 故选：AC 【变式3】某人统计了2020—2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 (1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度；（样本相关系数保留三位小数，统计中用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.相应于变量的取值，变量的观测值为，两个变量的样本相关系数的计算公式为.统计学认为，对于变量，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱） (2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，. 【答案】(1)变量与的线性相关程度很强 (2)，38.5百亿元 【分析】（1）求出，，从而代入公式计算出，得到结论； （2）代入公式求出y关于x的经验回归方程为，代入，预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得，， 则， ， ， 故， 所以， 非常接近，说明变量与的线性相关程度很强. （2）由（1）可得， 所以， 则. 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元. 题型03 线性回归分析 【典例1】网购是当前社会重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计，得到如下数据： 1 2 3 4 5 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 (1)当相关系数满足时，线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合与的关系，并加以说明； (2)试用最小二乘法求出与的回归方程，并预测当时的利润额. 附：， 参考数据：. 【答案】(1)可用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析． (2)，万元． 【分析】（1）先利用公式计算出相关系数r，再按要求进行比较，进而得到结果； （2）先利用公式求得，得到利润y与时间t的回归方程，进而预测当时的利润额． 【详解】（1）可以用线性回归模型拟合；由题表，， 因为，，， 所以． 故y与t的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合． （2），， 所以．当时，． 预测该专营店在时的利润为万元． (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好． 【变式1】近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下折线图.（附：年份代码分别对应的年份是）经计算得，，，. (1)用线性回归模型拟合与的关系，求出样本相关系数（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程（，精确到0.01）； (3)若2025年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（ⅰ）相关系数：； （ⅱ）经验回归方程：，其中. 【答案】(1) (2) (3)5.556万元 【分析】（1）结合题目所给数据，计算出，，，，代入相关系数的表达式得出相关系数的值，再说明相关性强弱； （2）结合题目所给数据，计算出和，代入经验回归方程表达式即可； （3）依题意，将代入经验回归方程计算出的即为2025年该家庭教育支出的预测值. 【详解】（1）， ， ， 所以，故相关性较强. （2）， ， . （3）当时，， 故家庭教育支出为（万元）. 【变式2】根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克． 附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：． 【答案】(1)0.95，与线性相关性很强． (2)，6.1 【分析】（1）根据题意，结合相关系数的公式，求得，即可得到结论； （2）根据最小二乘法的公式，求得，得出的值，求得回归方程，令，求得的值，即可得到预测值. 【详解】（1）根据题意，可得， 且， ， ， 可得， 因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强． （2）由，则， 所以线性回归方程为， 当时，， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 【变式3】某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表： x 5 5.5 6 6.5 7 y 13 11 10 9 7 (1)计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．） (2)若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归．关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01） 参考公式：对于一组数据， 其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 参考数据：，． 【答案】(1)答案见解析 (2)预测销售价格为6.79万元/吨 【分析】（1）由相关系数的公式，根据表中数据，求得相关系数，结合其性质，可得答案； （2）由回归直线方程公式求得回归直线方程，代入数据，可得答案. 【详解】（1）由题意，，， ， ， ． 所以， 所以，故与的线性相关程度较高，可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）， 所以关于的经验回归方程为． 由题意，销售利润为， 当时，取得最大值， 所以预测销售价格为6.79万元/吨时，该产品销售利润最大． 题型04 残差分析与相关指数的应用 【典例1】现有下表中数据，下列四个函数中，拟合效果最好的为（　　） x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个点代入各个选项，看接近程度即可. 【详解】将代入可得； 将代入可得； 将代入可得； 将代入可得； 发现函数函数值与表格数据最接近，模拟效果最好. 故选：C. (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差1，2，…，n来判断模型拟合的效果． (2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B．当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 C．若随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】BC 【分析】根据中位数概念判断A，根据条件概率公式及相互独立事件判断B，根据正态分布的对称性判断C，根据残差概念判断D. 【详解】对A，数据由小到大排列为，其中位数为，故A错误； 对B，当时，，即，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对C，随机变量X服从正态分布，且，所以，由正态分布的对称性知，，故C正确； 对D，由可知，与的残差分别为，， 所以由可得，故D错误. 故选：BC 【变式2】2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【答案】(1)， 0.27秒，； (2)成立，证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案； （2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.。 【详解】（1），， ，， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒． （2）根据（1）得到，； ，； ，； ，； ，， 所以，即步长残差和为0． 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： ． 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 B．若随机变量，则 C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率 【答案】AC 【分析】由残差的概念即可判断A；由二项分布的方差公式及方差的性质即可判断B；根据正难则反思想，求出满足条件的安排方法种数，即可判断C；求出至少有一名女生的对立事件的概率，即可得出至少有一名女生的概率，从而判断D． 【详解】对于A：由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B：由随机变量得， 则，故B错误； 对于C：由题可知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种， 所有工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，故C正确； 对于D：从10名男生、5名女生中随机选取4人，没有女生的概率为， 故至少有一名女生的概率为， 又，故D错误， 故选：AC． 题型05 非线性回归分析 【典例1】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.      根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：，，，） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析 (2)；250个 【分析】（1）由模型①的残差点比较均匀落在水平的带状区域以及带状区域的宽度窄，所以选择模型①比较合适； （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，利用公式和数据求出和，则可以得到y关于温度x的回归方程，当时，可求出产卵数y的预报值. 【详解】（1）应该选择模型①. 由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适 （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则. ， 所以， 则z关于x的线性回归方程为. 于是有， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 当时，（个）. 所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个 求非线性回归方程的步骤 (1)确定变量，作出散点图． (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数． (3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是4和0.3 D．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大． 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图的特征判断样本的分布特征，即可判断A，根据残差的意义，即可判断B，根据转化关系，即可判断C，比较概率，列出不等式，即可判断D. 【详解】A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故A正确； B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确；， C.由，设，则，即， 所以，，即，故C错误； D.由题意可知，， 设答对道题的概率最大，所以 ，解得：， 得，所以答对7题的概率最大，故D正确. 故选：ABD 【变式2】近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 【变式3】某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】(1) (2)，约为万元 【分析】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 1．下列命题中正确的是（　　） A．已知随机变量，则 B．若随机事件满足：，则事件与相互独立 C．若事件与相互独立，且，则 D．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据的拟合效果越好 【答案】BC 【分析】由二项分布的性质可得，从而可求出可判断A；由独立事件的定义和条件概率公式可判断B，C；利用残差的意义可判断D. 【详解】对于选项A：因为，则，故A错误； 对于选项B：， 解得：，所以事件与相互独立，故B正确； 对于选项C：若事件与相互独立，且， ，，所以C正确； 对于选项D：残差平方和越小，则回归模型对一组数据，，…，的拟合效果越好，故D错误. 故选：BC. 2．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2020年 2021年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%） 11 13 16 15 20 21 (1)用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？ (2)求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%? (3)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的月产量X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为．假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 回归直线方程为，其中：，． 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合两变量y与x之间的关系； (2)，2021年7月； (3)分布列见解析，3148万元． 【分析】（1）应用相关系数公式求值判断即可； （2）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间； （3）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）因，， 则， 即两变量y与x之间具有较强的线性相关关系， 故可以用线性回归模型拟合两变量y与x之间的关系； （2）由题意得，而， 于是得，所以y关于x的线性回归方程为， 令，即，解得，又，所以， 故从2021年7月开始，该种产品的市场占有率超过； （3）设该产品平均每月利润为Z万元，则，，，， 所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000， 故，， ，， 所以的分布列为： 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 故万元． 3．2023年10月6日，哈三中举行百年校庆活动，在活动期间统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校仅开放1号门和2号门，校友从中随机等可能选择一个进入，且出学校与进学校选择相同门的概率为．假设校友从1号门、2号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月6日回母校参加活动，设为4人中从2号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：． 参考公式：回归直线方程，其中． 相关系数． 【答案】(1)，认为与的线性相关性很强；回归方程为； (2)分布列见解析，期望值为2，方差为1. 【分析】（1）计算出相关系数，作出判断，并得到和，得到回归方程； （2）设出事件，利用全概率公式得到“甲从2号门出学校”的概率，从而确定，利用二项分布的知识求出分布列，期望和方差. 【详解】（1）， 所以认为与的线性相关性很强， ，， 故求出关于的线性回归方程为； （2）记“甲从2号门出学校”为事件，“甲从2号门进学校”为事件， “甲从1号门进学校”为事件， 由题意得，， 由全概率公式可得， 同理，乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为， 故， 所以，， ，， ， 所以分布列如下； 0 1 2 3 4 期望值为，方差为. 4．已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A．18 B．3.6 C．2.4 D．1.2 【答案】B 【分析】先根据条件求出样本点中心为，再将其代入经验回归方程中即可. 【详解】根据题意可得，，， 则5对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则.故选：B. 5．下列说法错误的是（   ） A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B．可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小 【答案】B 【分析】利用决定系数、相关系数、残差图、正态分布的相关概念与性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好， 相反若越小，则说明模型拟合的效果越差，故A正确； 对于B，相关系数r的绝对值越接近1，说明两个变量的相关程度越强，故B错误； 对于C，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小，即对数据的预测误差越小，故C正确； 对于D，越大，则正态分布的曲线越扁平，数据的离散程度越大， 根据正态分布的对称性，某物理量的测量结果服从正态分布， 越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故D正确.故选：B 6．某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； (2)已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 【答案】(1) (2)杯 【分析】（1）根据题意，分别求得和，利用公式求得的值，进而求得回归直线方程； （2）由（1）中的回归方程，当时，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，可得， 且， 所以，， 所以关于的回归直线方程是. （2）解：由（1）知当时，可得， 所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是（杯）. 7．某种产品2020年到2024年的年份代码x与年利润y（万元）的数据统计如下， 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2020-2024年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； (2)求回归直线方程并预测该产品2026年的年利润. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 样本相关系数，. 【答案】(1) (2)回归直线方程为，年利润万元 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可得解； （2）先利用最小二乘法求出回归直线方程，再将代入计算，即可求解. 【详解】（1）由，， ， ， ， 所以． （2），， 所以关于的回归直线方程为． 2026年对应代码为7，当时，，由此预测该产品2026年的年利润为万元. 8．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 物流成本 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5 利润 114 116 106 122 132 114 132 残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 根据最小二乘法公式求得经验回归方程为. (1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值； (2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好. 参考公式及数据：，，. 【答案】(1)，； (2)，拟合程度更好. 【分析】（1）根据经验回归方程过样本中心点，先由经验回归方程和的平均数，求出的平均数，再根据平均数的定义求出；然后根据残差定义计算8月份的残差. （2）先求出残差平方和，再代入公式计算，最后与非线性回归模型的比较大小，即可判断. 【详解】（1）因为，，， 则，解得； 8月份对应的残差值. （2）因为， 所以， 所以，所以线性回归模型拟合程度更好. 9．2024年1月24日，云南省统计局发布数据，2023年度云南省生产总值（GDP）为30021亿元，年度GDP首次突破3万亿元．以下是2020年至2024年云南省生产总值表． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代码x 1 2 3 4 5 生产总值y（亿元） 24555 27146 28954 30021 31534 (1)根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？ (2)建立生产总值y（亿元）关于年份代码x的经验回归方程（，精确到1），并预测2025年度云南省生产总值． 参考公式：． 【答案】(1)答案见解析，正线性相关关系 (2)，33490亿元． 【分析】（1）由题，作出散点图，根据散点图及线性相关的概念判断； （2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果. 【详解】（1）画出成对数据的散点图，从散点图看生产总值y（亿元）与年份代码x的数据呈现出正线性相关关系，且相关程度很强. （2）， ， ， 所以. 所以生产总值关于年份代码的经验回归方程为. 当时，. 所以根据预测2025年云南省生产总值的估计值为33490亿元. 10．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越．为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．结合近12年的年研发资金投入和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，e为自然对数的底数．经对数据的初步处理，得到散点图如图．令，，计算得到如下数据． 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500    (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型． (2)（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入． 附：，． 【答案】(1)模型中与的相关性较强 (2)（ⅰ）；（ⅱ）27.1亿元． 【分析】（1）分别将表中数据代入样本相关系数公式求出，比较大小即可判断； （2）（ⅰ）由两边取对数，换元得，由表中数据分别求和，得线性回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ⅱ）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入． 【详解】（1）由题意知， ． 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强． （2）（ⅰ）由，得，即． 因为， 所以，故关于的线性回归方程为， 即，所以． （ⅱ）将代入，得，又， 故得，解得，故预测下一年的研发资金投入是27.1亿元． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $