数学期中复习讲义（三角计算）（高教版）-2025-2026学年高二下学期《期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块下册》（高教版）教材6、7章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括2份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第一部分《三角计算》。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—三角计算 核心考点 复习目标 考情规律 和角公式 能熟练运用公式进行求值、化简和证明 基础考点，考查形式：单项选择题、判断题；常与诱导公式、倍角公式结合考查 二倍角公式 理解二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式；能熟练运用公式进行求值、化简和证明 常考考点，出现在选择题、填空题中，直接求值型；化简求值型；给值求值型 辅助角公式 能熟练将asinx+bcosx化为正弦型函数, 能利用辅助角公式研究函数性质 常考考点，单项选择题、判断题，偶有解答题中的小问；直接化简型；求周期型；求最值型 三角函数的周期、奇偶性 知道周期性和奇偶性的概念；理解正弦、余弦函数的周期性和奇偶性；能求周期、判断奇偶性 常考考点，单项选择题、判断题；直接求周期型； 复合周期型；判断奇偶型 三角函数的单调性与最值 掌握单调区间的规律和最值的求法；会求给定函数的单调区间和最值 必考考点，单项选择题、判断题，直接判断型；求最值型；复合函数型 正弦定理、余弦定理、面积公式 理解边角对应关系和几何意义；已知边角条件能求其他元素；能综合运用面积公式解决问题 必考考点，单项选择题、判断题，解答题，直接求解型；边角互化型；面积计算型；多解讨论型 第6章 三角计算 知识点1 三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) (S2α)． (2) (C2α)． (3) (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 知识点2 正弦型函数的图象与性质 1. 周期函数的定义及周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 . 2．正弦函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x 图象 定义域 {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　，k∈Z上递增； 在 　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 最小 正周期 2π　 3．五点作图法 函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 　、 (π，0) 、 　、 (2π，0) . 4. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 知识点3 解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 一、单选题 1．（22-23高二下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·河北·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，，则等于（   ）． A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）函数（）（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．既是奇函数，也是偶函数 二、填空题 8．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在中，已知，则__________． 9．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知中，，则边__________． 10．（22-23高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，若，则________ 答案 1．【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式展开即可. 【详解】. 故选：D. 2．【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式代入即可得解. 【详解】. 故选：B. 3．【答案】B 【分析】根据正弦的二倍角公式计算即可. 【详解】 . 故选：B. 4．【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式，结合题意，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5．【答案】B 【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案. 【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标， 故选：B. 6．【答案】B 【分析】根据正弦函数单调性即可解得. 【详解】由题，函数为正弦函数， 又， 则函数在上单调递减， 故选：B 7．【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义判断正弦函数的奇偶性. 【详解】设， 则， 所以函数为奇函数. 故选：A. 8．【答案】或 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，已知， 根据正弦定理， ， 又因为， 所以或， 故答案为：或 9．【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】已知中，， 由余弦定理，得， ∴. 故答案为：. 10．【答案】6 【分析】根据三角形的面积公式求解即可； 【详解】在中，， 所以， 故答案为：6 题型一 和角公式 【典例1】（23-24高三上·浙江·期中）求值：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦角的和角公式即可求解. 【详解】， 故选：D 【典例2】（20-21高三·山东济南·一模）已知角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角三角函数的定义结合两角和与差的正弦公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为角终边上一点， 所以， . 则 . 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·河北石家庄·期末）设，是方程的两个根则值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系和两角和的正切公式求解. 【详解】已知，是方程的两根，根据根与系数关系， 有，; 因此，. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1．拆角法（直接求值）——“非特殊角拆成特殊角和差”． 2．逆用法——“见和差形式，想和角公式”． 3．给值求值法——“已知单角值，求角和差”. 【变式1】（23-24高二下·全国·期中）（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（2024高三·专题练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·专题练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 答案 1、【答案】B 【分析】利用差角的余弦公式即可求值. 【详解】解：原式. 故选：B. 2、【答案】A 【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A. 3、【答案】B 【分析】将1变为，再利用正切的两角差的公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 题型二 二倍角公式 【典例1】（21-22高三·河北·模拟预测）设点在角α的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角α终边上一点可求出，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为点在角α的终边上，所以 ， 故选：B 【典例2】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式可得，由可求解. 【详解】由得， . 故选：C 【典例3】（23-24高二上·河南洛阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求，再求，最后用二倍角公式求即可. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1．正向应用——“已知单角，求倍角” 2．逆用（化简求值）——“见倍角想单角” 3．降幂法（次数转化）——“高次化低次” 【变式1】（23-24高二下·全国·单元测试） 的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高三·河北·二模）（    ） A． B． C． D． 【变式3】（20-21高二上·浙江·期末）（    ） A． B． C．1 D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】． 故选：A． 2、【答案】A 【分析】逆用余弦的倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：A. 3、【答案】A 【分析】根据二倍角的正切公式求解. 【详解】∵， ∴. 故选：A. 题型三 辅助角公式 【典例1】（23-24高三下·四川·模拟预测）已知函数，则的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式化简的解析式，在根据正弦函数的周期性即可得到的最小正周期. 【详解】， 则的最小正周期为. 故选：C． 【典例2】（22-23高三·重庆·模拟预测）函数的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】运算辅助角公式将函数化为正弦型函数，据此可求解. 【详解】 , （当时取得最大值）. 故选：C 解｜题｜技｜巧 1．标准化简——“先提取系数平方和，再定辅助角” 2．特殊值化简——“一眼看出特殊角” 3．求最值（值域）——“化为正弦型，直接得范围” 【变式1】（20-21高三·安徽·自主招生）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·山东济宁·期中）等于（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】先应用辅助角公式将函数化成正弦形函数即可求值域. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以值域为. 故选:D. 2、【答案】C 【分析】结合辅助角公式，和差角正弦公式及诱导公式化简式子即可. 【详解】 . 故选：C. 题型三 三角函数的周期、奇偶性 【典例1】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数，其中，若其最小正周期为，则（   ）． A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】因为函数， 所以 ，可得. 故选：A. 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）把函数的图像向左平移个单位长度，所得函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数左右平移变换易得答案. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度， 所以. 故选：D. 【典例3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数、余弦函数奇偶性进行判断. 【详解】四个函数的定义域都是. 是奇函数； 是非奇非偶函数； 是偶函数； 是偶函数. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 1．直接套公式——“一眼看出周期” 2．直接判断基本函数——“正弦奇、余弦偶、正切奇” 3．利用诱导公式化简——“先化简，再判断” 【变式1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）函数的周期为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数的图像可由函数的图像（    ）得到． A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【变式3】（2020高三·安徽·学业考试）下列函数中，为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以， 由三角函数的性质得， 所以函数的周期为. 故选：C. 2、【答案】C 【分析】根据三角函数图像变换的规律求解． 【详解】∵函数， ∴函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到． 故选：C． 3、【答案】B 【分析】根据偶函数的定义即可求解. 【详解】对A，的定义域为， 且. 所以是奇函数. 即A错误. 对B，的定义域为， 且. 所以是偶函数. 即B正确. 对C，的定义为为， 且，即， 又，即. 所以是非奇非偶函数. 即C错误. 对D，的定义域为， 且. 所以是奇函数. 即D错误. 故选：B. 题型五 三角函数的单调性 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）函数在上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可解得. 【详解】，则， 因为在上单调递减， 故在上是减函数. 故选：B 【典例2】（22-23高一下·河北邢台·期中）若函数的最大值为，则a的值等于（　　） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的值域分析求值. 【详解】∵的值域是，故的值域是. 即的值域是. 而题目已知的最大值为，所以，. 得到：. 故选：D. 【典例3】（23-24高三下·河北邯郸·一模）已知函数，则函数有（    ） A．最大值是3，周期是 B．最大值是2，周期是 C．最大值是2，周期是 D．最大值是1，周期是 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的性质和最小正周期公式易得答案. 【详解】因为函数，所以. 当时，得到， 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1．直接法（基本函数）——“直接套用单调区间” 2.．整体换元法（核心技巧）——“设t=ωx+φ，解不等式” 3．有界性法（最常用）——“直接利用-1 ≤ sin ≤ 1” 4.．辅助角法——“化一求最值” 【变式1】（20-21高三上·上海·期中）在区间上，函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）函数的最大值（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的最小正周期和最小值是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据正弦函数的增区间与所给区间重合的区间为答案可解. 【详解】函数在递增， 所以在区间上，函数的单调递增区间为； 故选：. 2、【答案】C 【分析】由正弦函数的值域求函数的值域，即可得到其最大值. 【详解】由正弦函数的值域为，可得函数的值域为， 所以函数的最大值为. 故选：C. 3、【答案】A 【分析】先由正弦的二倍角公式化简，再求其最小正周期和最小值即可. 【详解】由正弦函数的二倍角公式得， 函数， 所以函数的最小正周期为，最小值为. 故选：A. 题型七 正弦定理与面积公式 【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期末）在中，，，，那么的值是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由根据正弦定理即可解得. 【详解】由题，在中，， 则由正弦定理可得， 即， ， 解得，又， 则或， 故选：C 【典例2】（24-25高二上·全国·单元测试）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知三角形两角可求出第三角，并已知三角形一条边长，可利用正弦定理代入即可. 【详解】在中，已知、，所以, 又已知边长，由正弦定理代入得，， 解得. 故选：C. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，，则一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合已知条件求出角B的值，然后进行判断即可． 【详解】因为在中，， 由正弦定理可得， 角A为三角形的内角，所以， 同除以可得， 又，则， 一定是直角三角形. 故选：B. 【典例4】（2024高三·专题练习）已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则△的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】， 则， 故选：. 解｜题｜技｜巧 1．直接应用（已知两角一边）——“AAS或ASA型” 2．边角互化（判断三角形形状）——“统一边或角” 3．SSA型多解判断——“已知两边及一边对角，解的个数判断” 4．边角互化求值（已知边角关系，求边或角） 5．与正弦定理结合（已知两边及对角）——“先求夹角，再用面积公式” 6．与余弦定理结合（已知三边或两边夹角）——“先用余弦求角，再求面积” 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·期末）在中，,则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（21-22高一下·内蒙古呼伦贝尔·期中）在中，已知，则  （    ） A． B．或 C． D．或   【变式3】（2024高三·专题练习）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·山东济宁·期中）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】由正弦定理即可求解的值. 【详解】因为在中，， 所以有， 所以有， 解得， 因为作为的内角，且， 所以. 故选:A. 2、【答案】D 【分析】根据正弦定理易得答案. 【详解】因为在中，， 所以， 解得， 因为， 所以或. 故选：D. 3、【答案】A 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】根据正弦定理可知，，， 则，得. 故选：A 4、【答案】A 【分析】套用三角形面积公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 题型八 余弦定理 【典例1】（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知的内角所对的边为，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由余弦定理可得c的值. 【详解】由可得：， 代入已知数值：， 即得，. 故选：C. 【典例2】（22-23高三·山东·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的应用即可得解. 【详解】因为. 根据余弦定理得. 又因为为三角形内角. 所以. 故选:. 解｜题｜技｜巧 1．直接应用（已知两边及夹角）——“SAS型求第三边” 2.．已知三边求角——“SSS型求角” 3．判断三角形形状——“比较a²与b²+c²” 4.．边角互化（已知混合关系）——“统一边或角” 【变式1】（20-21高三下·山西太原·月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（2024高三·专题练习）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案 1、【答案】B 【分析】根据已知条件结合余弦定理即可求解. 【详解】在中,，，， 根据余弦定理得：， 整理为 解得或（舍去）. 故选：B. 2、【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可. 【详解】设中，角对应的边分别是， 由正弦定理得:，即， 所以， 因为，所以为钝角，即为钝角三角形. 故选:C. 题型九 三角函数的解答题 【典例1】（24-25高三下·河北·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，进而得到角C的正切值，从而得解； （2）利用三角形面积公式及角C可得，再利用余弦定理与整体法求得，从而得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，， ，，则， ， 又，. （2）因为的面积为， 所以，得， 又，， 所以，解得（负值舍去）， 所以的周长为. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）已知的内角所对的边长分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可得解； （2）由正弦定理即可得解； （3）由同角三角函数的平方关系式、二倍角公式和两角和与差的正弦公式即可得解. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 又因为，所以； （2）在中，由（1）知，，， 由正弦定理可得； （3）由知，所以角A为锐角， 因为，所以， 所以，， 所以 . 解｜题｜技｜巧 1．已知两角及一边（AAS/ASA型）——“正弦定理优先” 2.．已知两边及夹角（SAS型）——“余弦定理优先” 【变式1】（24-25高三下·河北·对口/高职单招）记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)求. 答案 1、【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解. （）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解. 【详解】（1）的内角的对边分别为， 由正弦定理可知，， 由题意可知，所以， 因为，则当时，此时（舍）； 当时，， 综上所述，. （2）因为，，， 由余弦定理可知，， 整理可得，， 解得或（舍）， 由正弦定理可知，，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $