专题06 排列组合与二项式定理小题综合（5考点55题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学下学期苏教版

专题06 排列组合与二项式定理小题综合（5考点55题） 5大高频考点概览 考点01 两个基本计数原理 考点02排列 考点03组合 考点04 二项式定理 考点05 二项式系数的性质及应用 地 城 考点01 两个基本计数原理 一、单选题 1．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 2．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)乘积展开后共有（    ）项. A．10 B．24 C．30 D．45 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由于每一项互不相同，展开后共有项. 故选：D. 3．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数. 【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种. 故选：D 4．(24-25高二下·江苏高邮·期中)5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 【答案】D 【分析】分析题意，考虑每名男生报名的方法数，再按分步乘法计数原理即可求得. 【详解】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个， 故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为. 故选：D. 5．(24-25高二下·江苏无锡宜兴·期中)展开后，共有项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘，再结合分步乘法计数原理可解． 【详解】展开后每一项都必须在以及两式中任取一项相乘， 故有项． 故选：C． 6．(24-25高二下·江苏苏州·期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数. 【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学， 则有种报名方法. 故选：D. 二、填空题 7．(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学·期中)集合具有如下性质：若某集合内有n个元素，则该集合共有子集的个数为2n.现有集合M内含有3个元素，则其共有八个子集，分别为.甲、乙两同学依次各取一个子集分别记为，可以相同，中元素的个数为m，则的概率为______ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出试验含有的基本事件总数，的事件含有的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】依题意，甲、乙两同学依次各取一个子集的试验有个基本事件， 设的事件为，中的元素至少2个， 当都只有2个元素时，相同，共有3个情况； 当中一个有2个、另一个有3个元素时，共有种情况； 当都有3个元素时，有1种情况，因此事件含有的基本事件数为种， 所以. 故答案为： 8．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)除数函数（divisor  function）的函数值等于的正因数的个数，例如，，则______；______. 【答案】 15 【分析】由除数函数的定义，利用分类计数求取结果. 【详解】因为的正因数有：，，，…，，共个，所以. 因为， 首先，1是的因数； 从中取1个数，可得的因数，，有2个； 从中取2个数相乘，可得的因数，，，有3个； 从中取3个数相乘，可得的因数，，，有3个； 从中取4个数相乘，可得的因数，，，有3个； 从中取5个数相乘，可得的因数，，有2个； 从中取6个数相乘，可得的因数，有1个. 所以. 故答案为：；15 地 城 考点02 排列 一、单选题 9．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】依次排乙、甲，再将其余四位同学的名次进行排序即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，则乙的名次有种情况， 由于甲不是第一名，则甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四个位次之一，有种， 再将其余四位同学的名次进行排序即可， 所以，第一名到第六名的排列种数为种. 故选：B. 10．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可解题. 【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种， 再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C 11．(24-25高二·江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出六个数的全排列数，再根据条件出现次，出现次，列式求解. 【详解】六个数的全排列共有个， 因为出现次，出现次， 所以不同的密码有个. 故选：C. 二、多选题 12．(24-25高二下·江苏南京·期中)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（   ） A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个 C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个 【答案】BC 【分析】按个位是0或5分类求解判断A；按个位为0或2，4之一分类求解判断B；利用相邻问题列式求解判断C；利用排除法求解判断D. 【详解】对于A，能被5整除的整数，个位为0或5，个位为0的六位数有个； 个位为5的六位数有个，共有（个），A错误； 对于B，个位为0的六位偶数有个，个位为2，4之一的六位偶数有个， 共有（个），B正确； 对于C，视2，4为1个数，相当于5个元素的排列，0不能排首位，有（个），C正确； 对于D，由选项C知，1，3相邻的数有192个，符合条件的六位数有个， 因此1，3不相邻的数有（个），D错误. 故选：BC 13．(24-25高二下·江苏高邮·期中)满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可. 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 三、填空题 14．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________． 【答案】 【分析】先让11个人入坐，再把其余4人插空求任取4人两两不相邻的入坐方法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，两两互不相邻， 先让11个人入坐，再把其余4人插空，共有种不同的围坐方法， 所求概率是． 故答案为： 15．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有________种． 【答案】72 【分析】利用分类计数原理，插空法解决相间问题即可. 【详解】第一个节目是舞蹈类节目，则有种不同演出顺序； 第一个节目是独唱类节目，则有种不同演出顺序； 故一共有：种不同演出顺序， 故答案为：72. 16．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有________种安排方式.（答案用数字表示） 【答案】 【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解. 【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式， 不满足题意的安排方式： 第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式， 综上，满足条件的安排方式共有：种， 故答案为： 17．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知，则______. 【答案】 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 地 城 考点03 组合 一、单选题 18．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)从1，2，3，，10这10个数中任取5个不同的数，，，，，则存在，，，使得的取法种数为（    ） A．176 B．225 C．246 D．252 【答案】C 【分析】由题知，从10个数中任取5个的组合数为：，又5个数均不相邻的有，用总数减去不相邻的即可. 【详解】总情况数：从10个数中任取5个的组合数为：， 不相邻组合数：要求5个数均不相邻，相当于在10个数中插入至少1个间隔， 此时问题等价于从个位置中选5个数，组合数为：， 符合条件的组合数：总情况数减去不相邻的组合数：． 故选：C． 19．(24-25高二下·江苏连云港连云港高级中学·期中)（   ） A．120 B．360 C．720 D．840 【答案】A 【分析】根据组合数公式直接运算即可. 【详解】因为. 故选：A. 20．(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 【答案】C 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 21．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观.现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法有（   ）种.      A．21 B．35 C．70 D．210 【答案】B 【分析】根据组合数的计算，可得答案. 【详解】由图可知从P处运动到Q处的最短路程是向右运动次、向下运动次，共运动次， 则路程最短的不同走法有. 故选：B. 22．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】， 故选：B 23．(24-25高二下·江苏南京·期中)如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（   ）种不同的方案. A．10 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】依题意，要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 所以要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：C 24．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)若，则（    ） A．30 B．120 C．360 D．720 【答案】C 【分析】根据组合数的性质，建立方程求得参数，利用排列数的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，解得，则. 故选：C. 二、填空题 25．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 【答案】120 【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数. 【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有， 故答案为：120 26．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______. 【答案】 39 140 【分析】根据三进制表示规则直接计算可得结果，先将3个0，2个1进行排列，再利用插空法将3个进行排列，然后除去首位为0的所有情况，即可求得结果. 【详解】易知00001110对应的十进制数为； 先将3个0，2个1进行排列，共有种， 再将3个插入到6个空隙中去，共有种， 所以能表示出的不同的三进制数个数共有种， 其中有首位为0时，共有种， 则符合题意的不同的三进制数个数共有种. 故答案为：39；140. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用插空法将将3个插入到6个符合题意的空隙中去，求得总个数，然后减去首位为0时的个数即可得出结果. 27．(24-25高二下·江苏徐州·期中)在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种． 【答案】260 【分析】根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可． 【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类： 若A和C相同，B和D相同时，有种方法； 若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种； 若种四种花，则有种， 则不同的种植方法有种． 故答案为：. 28．(24-25高二下·江苏高邮·期中)已知，则_________．（用数字作答） 【答案】495 【分析】先利用组合数的性质求得的值，再将所求式，利用组合数性质化简成，代入的值计算即可. 【详解】由可得， 故. 故答案为：495. 地 城 考点04 二项式定理 一、单选题 29．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若，则（   ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，结合题意，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 令，则. 故选：B. 30．(24-25高二下·江苏泰州兴化四校·期中)已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（   ） A．6或7 B．6 C．8或9 D．9 【答案】C 【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 展开式的通项为（且）， 若，且，时， 则展开式中含的项为， 依题意可得， 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为； 若，此时，，则无解，故舍去； 若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去）， 此时，则展开式中含的项的系数为； 若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数， 由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去； 综上可得的展开式中含的项的系数是或. 故选：C 31．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)已知，则为（    ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】B 【分析】利用赋值法令计算可得. 【详解】因为， 令可得. 故选：B 32．(24-25高二下·江苏南京·期中)设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，确定各项的正负，再利用赋值法求解. 【详解】依题意，的通项公式为， 则都为负数，都为正数， 因此 ，取，得， 所以. 故选：B 33．(24-25高二下·江苏苏州·期中)的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可. 【详解】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D 34．(24-25高二下·江苏镇江中学·期中)的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 35．(24-25高三下·河南焦作·)展开式中的常数项为（   ） A．3 B．-3 C．7 D．-7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项公式，再分别分析与展开式相乘得到常数项的情况，最后将两部分常数项相加即可得到原式展开式中的常数项． 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）． 与展开式中项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为． 与展开式中常数项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为． 将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为． 展开式中的常数项为． 故选：D． 二、多选题 36．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)已知则（   ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D． 【答案】ACD 【分析】对于ACD，由赋值法验算即可；对于B，由二项式定理验算即可. 【详解】选项A：令A正确. 选项B：，的二项式展开式为， 令 则 令 则 B错误. 选项C：令 则令 则 两式相加得 两式相减得 C正确. 选项D：令 两边同乘得D正确. 故选：ACD. 37．(24-25高二下·江苏南京协同体九校·期中)已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D. 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 38．(24-25高二下·辽宁沈阳同泽高级中学·调研)已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】可先将变形为，然后根据二项式展开式的通项公式求出的值，再分别分析各个选项. 【详解】已知，根据二项式展开式的通项公式， 可得展开式的通项公式为. 因为是的系数，令，则，所以. 已知，即，根据组合数公式可得： 解得或，因为，所以. 对于选项A：由上述计算可知，所以选项A正确. 对于选项B：令，则， 即，所以选项B错误. 对于选项C：令，则， 即，所以选项C错误. 对于选项D：对两边求导， 可得：， 令，则， 即，所以选项D正确. 故选：AD. 39．(24-25高二下·江苏徐州·期中)已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理，结合赋值法，逐项判断即可. 【详解】对于A，，其中，，解得，A正确； 对于B，项的系数为，B错误； 对于C，令，得，令，得， 因此，C正确； 对于D，令，得， 由选项C得，D正确. 故选：ACD 40．(24-25高二下·江苏扬州中学·期中)若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用赋值法分别判断A、B、C，令得，对等式两侧同时求导函数及赋值即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，令，则，故C正确； 对于D，令，则， 对等式两侧同时求导函数得， 令得，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 41．(24-25高二下·江苏无锡第一中学·期中)的展开式中，下列结论正确的是（   ） A．展开式共5项 B．含项的系数为40 C．无常数项 D．所有项的系数之和为 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式和展开式的性质，逐项判定即可求解. 【详解】对A：因为的展开式中有6项，故A错误； 对C：因为， 由无整数解，故展开式无对常数项，故C正确； B：展开式中，的系数为：，故B正确； 对D：令，得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 42．(24-25高二下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知的展开式中，的系数为80，则______________． 【答案】 【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出 【详解】由题意， 在中，通项为， ∵的系数为80， ∴当即时，， ∴，解得， 故答案为：. 43．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)若，则的值为______． 【答案】80 【分析】由，结合二项展开式的通项公式，得解. 【详解】由，则. 故答案为：80. 44．(24-25高二下·江苏连云港灌云县第一中学·期中)若，则展开式中二项式系数和为________ ．（结果用数字作答） 【答案】1024 【分析】先由组合数公式求出n的值，再利用二项式定理求解. 【详解】因为， 所以，且 解得或1（舍去）， 所以二项式的展开式中二项式系数为：． 故答案为： 45．(24-25高二下·江苏邗江中学·期中)已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则实数a的值为______． 【答案】或2 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质及赋值法列式求解. 【详解】由的展开式的二项式系数和为64，得，解得， 由的展开式的各项系数和为729，得，解得或， 所以实数a的值为或2. 故答案为：或2 地 城 考点05 二项式系数的性质及应用 一、单选题 46．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 47．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)被5除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项式的展开式进行求解. 【详解】由题可知，， 则其展开式的通项公式为， 由通项公式可得，只有时，不能被5整除， 其余项均能被5整除.故被5除的余数为1，则被5除的余数为3. 故选：C. 48．(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学·期中)设，且，若能被整除，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出的展开式，即可得到能被整除，从而得解. 【详解】因为 ， 因为能被整除，又，即能被整除， 即能被整除， 所以能被整除，又且，所以. 故选：C 49．(24-25高二下·江苏宿迁沭阳县·期中)若正整数，满足等式，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 50．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列求和公式将将六进制数转换为十进制数，再利用二项展开式可得出这个数被除所得的余数. 【详解】， 因为 ， 因为能被整除， 所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是. 故选：D. 二、多选题 51．(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若展开式中的常数项为60，则（   ） A．展开式中第4项的二项式系数最大 B．实数a的值为4 C．展开式中奇数项的二项式系数和为64 D．展开式中系数最大的项是第5项 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的通项公式，对四个选项进行分析. 【详解】A选项，因为展开式共7项，第4项的二项式系数最大，故A正确； B选项， ，其中为整数，且， 令，解得，此时，所以，B正确； C选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错误； D选项，由得，，又，所以， 且时， ，系数为正， 所以展开式中系数最大的项为是第5项，故D正确. 故选：ABD. 52．(24-25高二下·江苏盐城五校联考·期中)以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（    ）    A．第行中，从左到右看第个数最大 B．第行的所有数的和为 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式系数的增减性可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；利用组合数的性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第行中共有个数， 从左到右看第个数最大，A对； 对于B选项，第行的所有数的和为，B错； 对于C选项，由组合数的性质可得，C对； 对于D选项， ，D对. 故选：ACD. 53．(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用组合数性质求解判断A；确定总个数判断B；根据第行的第个数为，结合二项式定理判定C；利用的展开式的系数的关系判定D. 【详解】对于A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确； 对于B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误； 对于C，第行的第个数为， ，C错误； 对于D，， 则是展开式中项的系数， 而，展开式中项的系数为， 因此，D正确. 故选：AD 54．(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数学中将这种思想方法称为“算两次”．请用此法判断下列等式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二项式定理的展开式中的系数两种求法即可判断A；根据排列数的性质结合分类、分步计算原理从两种不同的角度分析即可判断B，C；根据组合数的意义结合分步乘法原理即可判断D. 【详解】对于A，二项式的展开式中的通项为，则展开式中的系数为， 而二项式的展开式中的通项为， 所以的展开式中得系数为， 因为，所以，故A正确； 对于B，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分步骤考虑： 第一步：从个元素中选一个安排在首位，则安排的个数为； 第二步：剩下个位置可从其余个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为； 故从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 所以，故B正确； 对于C，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 所以，故C不正确； 对于D，从个不同的人中选出个人组成一个团队，且选一个人做队长，可以有两种选法： 第一种，从个不同的人中选出个人组成一个团队有种选法，再从选中的个人中选一人当队长有种选法，则形成的团队方法数为； 第二种，先从从个不同的人中选出一人做队长，有种选法，再从余下的选出个人组成团员有种选法，则形成的团队方法数为； 综上，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 55．(24-25高二下·江苏南京中华中学·期中)杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________．    【答案】 【分析】依题意将锯齿形数列分组找出规律可知第37项是第19组的第一个数，计算可得结果. 【详解】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为； 可得第37项是. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 专题06排列组合与二项式定理小题综合(5 目目 考点01 两个基本计数原理 1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.D 8. n+1 15 目目 考点02 排列 9.B 10.C 11.C 12.BC 13.ABC 15.72 16.504 17.7 目目 考点03 组合 18.C 19.A 20.C 21.B 22.B 23.C 24.C 1/3 让教与学更高效 考点55题) 而学科网 25.120 26. 39 140 27.260 28.495 目目 考点04 29.B 30.C 31.B 32.B 3.D 34.N 35.D ACD 36. 37.ABD AD 38. 39. AcD 40. BCD .BCD 4 42.1 43.80 44.1024 45.-4或2 目目 考点05 46.A 47.c 48.C 49.D 50.D 51.ABD 52.ACD www.zxxk.com 二项式定理 二项式系数的性质及应用 让教与学更高效 命学科网 53.AD 54.ABD 55.190 www zxxk com 3/3 让教与学更高效学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06排列组合与二项式定理小题综合(5考点55题) ☆5大高频考点概览 考点01两个基本计数原理 考点02排非列 考点03组合 考点04二项式启理 考点05二项式系数的性质及应用 目目 考点01 两个基本计数原理 一、单选题 1.(24-25高二下·江苏南京雨花台中学期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四 个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为() ① ③ ④ ② A.5 B.6 C.7 D.8 2.(24-25高二下·江苏南京协同体九校期中)乘积(a,+a2+a)6+b,+b+b+b)(c+c2+c)展开后共有() 项 A.10 B.24 C.30 D.45 3.(24-25高二下江苏盐城五校联考期中)五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每 人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的 游览方法共有() A.40种 B.60种 C.125种 D.243种 4.(24-25高二下·江苏高邮期中)5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中 的一个运动队，不同报法的种数是() A.6 B.120 C.125 D.243 5.(24-25高二下江苏无锡宜兴期中)a1+a2+…+an)(b,+b2+…+bn)展开后，共有项数为() A.2n B.n2-1 C.n2 D.n2+1 6.(24-25高二下·江苏苏州期中)某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球 队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是() A.C B.A C.5 D.45 1/9 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 7.(24-25高二下·江苏沭阳建陵高级中学期中)集合具有如下性质：若某集合内有n个元素，则该集合共有 子集的个数为2n现有集合M内含有3个元素，则其共有八个子集，分别为M,M2,…,Mg.甲、乙两同学依 次各取一个子集分别记为M,M,1≤i,j≤8，j可以相同，M,∩M,中元素的个数为m,则m≥2的概率 为 8.(24-25高二下江苏无锡第一中学.期中)除数函数(divisor function)y=d(n)(neN)的函数值等于n的 正因数的个数，例如d=1,d(4)=3,则d(2”）=；d(2025)=一 目目 考点02 排列 一、单选题 9.(24-25高二下江苏南京六校联合体期中)甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各 不相同.甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你不是最后一名.” 从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况？() A.192种 B.384种 C.480种 D.576种 10.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县期中)已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1,2；3,4；5,6.将这 3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为() A.120 B.60 C.48 D.36 11.(24-25高二江苏江都中学、江苏高邮中学、江苏仪征中学·期中)自然对数ε也称为欧拉数，它是数学上 最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的其中6位数字1,8,2,8,1,8设置一个6位数的 密码，则不同的密码有()个 A.720 B.180 C.60 D.260 二、多选题 12.(24-25高二下江苏南京·期中)由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，则() A.其中能被5整除的数有240个 B.其中偶数有312个 C.其中2,4相邻的数有192个 D.其中1,3不相邻的数有372个 13.(2425高二下江苏高邮期中)满足不等式A。>6A,-2的x的值可能为() A.5 B.6 C.7 D.8 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 14.(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的 概率是 15.(24-25高二下·江苏南京六校联合体期中)在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独 唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有 种. 16.(24-25高二下·江苏盐城五校联考期中)某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排 《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长 空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之 魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有种安排方式.（答案用数字表示） 17.(24-25高二下江苏泰州兴化四校期中)已知A=10×9×…×4,则m= 目目 考点03 组合 一、 单选题 18.(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校期中)从1,2,3，…，10这10个数中任取5个不同的数a, a2,4,a4,a,则存在1≤i<j≤5，i,jeN,使得a,-a上1的取法种数为() A.176 B.225 C.246 D.252 19.(24-25高二下江苏连云港连云港高级中学.期中)C?+C。=() A.120 B.360 C.720 D.840 20.(24-25高二下·江苏沭阳高级中学·期中)某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流， 要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有() A.4320种 B.2640种 C.1560种 D.110种 21.(24-25高二下·江苏泰州兴化四校期中)兴化千垛景区以“垛田”特色地貌享誉全球，勤劳智慧的兴化人民 在湖荡沼泽地带开挖网状深沟或小河的泥土，一方一方使其堆积如垛，成为了可以耕作的垛田，形成了具 有世界自然文化遗产价值的兴化垛田奇观现一名游客从P处沿河道划船到Q处，使得路程最短的不同走法 有()种 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.21 B.35 C.70 D.210 22.(2425高二下江苏宿迁沭阳县·期中C3+C;+C+C=() A.C2 B.C C.C%-1 D.C-1 23.(2425高二下江苏南京期中)如图，湖面上有4个相邻的小岛A,B,C,D,现要建3座桥梁，将这4 个小岛连接起来，共有()种不同的方案 A D B A.10 B.12 C.16 D.24 24.(24-25高二下江苏盐城七校联盟期中)若C=C(x∈N),则A。=() A.30 B.120 C.360 D.720 二、填空题 25.(24-25高二下江苏南京南京外国语学校期中)如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需 要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有 种不同的搬法.（用数字 作答) 26.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码 规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数a,a,aa4a,a2a,ao,转化为 十进制数N=a,×37+a6×36+a,×3+a4×3+a,×33+a2×32+a,×3+a。×3°，其中a,∈{-1,0,1， i=0,1,2,…7,则三进制数00001110对应的十进制数为，现有一个8位三进制数，包含3个-1,3 个0,2个1，若要求首位4，不能为0，且相邻两位不能同时为-1，则这样的不同的三进制数个数共有 27.(24-25高二下·江苏徐州期中)在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A,B,C,D四个区域， 现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则不同的种植方法有种. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D 草坪 B 28.(24-25高二下江苏高邮期中)已知C=C,则C2+C0+C”= (用数字作答) 目目 考点04 二项式定理 一、单选题 29.(24-25高二下-江苏宿迁泗阳县期中)若(2+x=a,+a,(1+x)+a,1+x2++ao(1+x)°，则a,=() A.30 B.45 C.60 D.90 30.(24-25高二下江苏泰州兴化四校期中)已知f(x)=1+x)+(1+2x)”(m∈N,n∈N),f(x)的展开 式中含x2的项的系数为15，则f(x)的展开式中含x的项的系数是() A.6或7 B.6 C.8或9 D.9 31.(2425高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、深水二高等五校联盟·期中已知 (2+x)3=a+ax+a2x2+ax3+a4x4+ax3,则a0-a1+a2-a+a4-a;为（) A.-1 B.1 C.32 D.243 32.(24-25高二下江苏南京期中)设(3x-1)7=a。+ax+a2x2+a3x3+a4x4+ax3+a6x6+a,x,则 ao-la+4-a+a4-as+a。-a的值为（) A.128 B.-128 C.1282 D.-1282 33.(24-25高二下江苏苏州期中)1+x+x2)1-x)°的展开式中x4的系数为a,(x2+x+y)的展开式中xy2的 系数为b,则a+b=() A.-15 B.75 C.135 D.165 34.(24-25高二下江苏镇江中学·期中)C0as-2C305+22C3s-2Cs+…+22024C82-2025C82的值是（) A.-1 B.1 C.0 D.22024 35.2425商三下河育作：+2在】 展开式中的常数项为() A.3 B.-3 C.7 D.-7 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 36.(24-25高二下…江苏南京雨花台中学.期中)已知(2-x)1-2x)°=a+ax+a2x2+ax3+a4x+ax+a6x,则() A.a的值为2 B.4的值为-64 C.(a。+a,+a,+a)2-(a,+a,+a,)2的值为-35D. ∑2-a)=0 37.(2425高二下江苏南京协同体九校·期中)己知fx)=(2x-1)7=a。+a,x+ax2+ax3+a4x+ax3+ax6+a,x, 则下列描述正确的是() A.a+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 B.a3>a C.1a|+|al+|a2|+|a3l+|a4|+a+|a6l+1a,=3'+1 D.a+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a,=14 38.(24-25高二下-辽宁沈阳同泽高级中学调研)已知(x+2)”=a,+a,(x+1+…+a,(x+1),若a,=21,则 () A.n=7 B.a=128 D∑ia,=448 i=0 39.(24-25高二下·江苏徐州期中已知(3x+1)(x-1)”=a。+a,x+a2x2+…+ax8,其中ag≠0，则() A.n=7 B.a5=126 C.a1+a2+…+ag=1 D.a0+a2+a4+a6+ag=128 40.(24-25高二下江苏扬州中学期中)若(1+2x)2025=a,+a,x+a,x2+…+a202sx2025,则下列正确的是（) A.a0=2025 B.a,+a1++a2025=32023 C.a0-a1+a2-a3+…-a2025=-1 D.a1-2a2+3a3-…+2025a202s=4050 41.(24-25高二下·江苏无锡第一中学期中) ，2 的展开式中，下列结论正确的是() A.展开式共5项 B.含x2项的系数为40 C.无常数项 D.所有项的系数之和为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 5 42.(24-25高二下江苏南京师范大学附属实验学校期中)已知 2x+a 的展开式中，x的系数为80，则 a= 43.(24-25高二下江苏南京南京外国语学校·期中)若 (2x-1)3=a。+a,(x-1)+a2(x-1)2+a(x-1)3+a4(x-1)+a,(x-1),则a的值为 4.(24-25高二下江苏连云港灌云县第一中学期中)若C%=5(C,-C)(neN),则(2x-展开式中二项式 系数和为 ·(结果用数字作答) 则实数a的值为 目目 考点05 二项式系数的性质及应用 一、单选题 46。(2425高二下江苏南京雨花台中学期中)若(-二》二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大， 则展开式的常数项的值为() A.840 B.-252 C.-210 D.210 47.(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、深水二高等五校联盟期中)2424+2被5除的余数为() A.1 B.2 C.3 D.4 48.(24-25高二下·江苏淮安马坝高级中学.期中)设aeZ,且-7≤a<0,若2024202s-a能被7整除，则a=() A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 49.(24-25高二下.江苏宿迁沭阳县期中若正整数a,b满足等式2024225=2025a+b,且b<2025,则b的 值为() A.1 B.2 C.2023 D.2024 50.(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数 学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数(2501)。转换为十进制数的算法 为2×6+5×6+0×6+1x6°=613若将六进制数555转换为十进制数，则转换后的数被7除所得的余数 7个5 是() 7/9 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.0 B.1 C.2 D.5 二、多选题 /6 51.(24-25高二下·江苏宿迁泗阳县·期中)若 X- Va 展开式中的常数项为60，则() A.展开式中第4项的二项式系数最大B.实数a的值为4 C.展开式中奇数项的二项式系数和为64D.展开式中系数最大的项是第5项 52.(24-25高二下江苏盐城五校联考·期中)以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有() 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 A.第100行中，从左到右看第51个数最大B.第150行的所有数的和为249 C.C+C=C D.C+Ci+C+…+Ci=C16 53.(24-25高二下·江苏泰州姜堰区·期中)如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确 的是() 第0行 第1行 1 第2行 1 2 第3行 1331 第4行 46 41 第5行 1 5101051 第n行 A.在“杨辉三角”中，当n=9时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B.在“杨辉三角”第n行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则n为12 C.记杨辉三角第n行的第i个数为a,则觉3a=3 isl D.在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 54.(24-25高二下·江苏盐城七校联盟·期中)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，在数 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 学中将这种思想方法称为“算两次”.请用此法判断下列等式中，正确的有(·) A.C1=C阳+Cm- B.(n+1)A:=A C.A+A=A D.mC=nC 三、填空题 55.(2425高二下·江苏南京中华中学期中)杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数C (n∈N,r∈N且r≤n+1),在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》 一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3， 6,4,10,5,,则在该数列中，第37项是 2女1 1331 14641 150105文1 9/9