专题04 平面向量与复数（7大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 平面向量与复数 7大考点概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积、投影向量的运算 题型03 有关平面向量的夹角、模的运算 题型04 有关平面向量的垂直、共线的运算 题型05 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 题型06 有关复数的基本概念及几何意义 题型07 有关复数的基本运算 ( 平面向量的线性运算 考点1 ) 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 2．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 4．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·贵州安顺·一模）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． ( 平面向量的数量积、投影向量的运算 考点 2 ) 1．（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 9．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 11．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 13．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 14．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）（2026·山西大同·一模）已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 17．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 19．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北邯郸·一模）已知均为单位向量，则______． 21．（2026·山东淄博·一模）平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 22．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 23．（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． ( 有关 平面向量的 夹角 、 模 的运算 考点 3 ) 1．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（   ） A． B．5 C． D．25 7．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 10．（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 12．（多选）（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 13．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 14．（2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. ( 有关平面向量的垂直、共线的运算 考点 4 ) 1．（2026·河北张家口·一模）已知向量，，若与共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 3．（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北襄阳·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 7．（2026·广东茂名·一模）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 8．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 9．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北邢台·一模）已知，向量，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 14．（2026·河北保定·一模）已知向量，若，则________． ( 平面向量 与圆、三角函数等内容交汇的问题 积、投影向量的运算 考点 5 ) 1．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 2．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·一模）已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 4．（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·一模）已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 8．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 9．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 12．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 14．（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 16．（2026·内蒙古赤峰·一模）在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（   ） A．18 B．36 C． D． 17．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 18．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 19．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 20．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（2026·安徽淮北·一模）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 23．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 24．（2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 25．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 26．（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 27．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 28．（2026·山东聊城·一模）已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． ( 有关复数的基本概念及几何意义 考点 6 ) 1．（2026·山东临沂·一模）的虚部是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京平谷·一模）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·广东江门·一模）已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（    ） A．2 B．2 C． D． 4．（2026·河北唐山·一模）表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 7．（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 8．（2026·陕西商洛·一模）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北荆州·一模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 12．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 13．（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 14．（多选）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 15．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. ( 有关复数的基本运算 考点 7 ) 1．（2026·河北邢台·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 2．（2026·安徽安庆·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·一模）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 5．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 6．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）复数，则（   ） A． B． C．2 D． 8．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 10．（2026·辽宁抚顺·一模）若复数的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河北保定·一模）若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 12．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 13．（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 14．（2026·山东聊城·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·湖北黄石·一模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（   ） A．1 B． C． D．2 18．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 19．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2026·山西朔州·一模）（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 22．（多选）（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 23．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 24．（2026·四川宜宾·一模）若复数z满足，则复数______． 25．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量与复数 7大考点概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积、投影向量的运算 题型03 有关平面向量的夹角、模的运算 题型04 有关平面向量的垂直、共线的运算 题型05 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 题型06 有关复数的基本概念及几何意义 题型07 有关复数的基本运算 ( 平面向量的线性运算 考点1 ) 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】 设是的中点，则.所以. 因为，所以，因此. 2．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可. 【详解】 .因为，，三点共线，根据向量共线定理可知，，解得. 3．（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以，， 所以. 4．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以，所以， 故选：C. 5．（2026·江西·一模）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的平行四边形法则及定点到圆上的距离求解即可. 【详解】取线段的中点（如图所示）.因为，所以为等边三角形，，所以点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，即.所以.故选：B. 6．（多选）（2026·贵州安顺·一模）我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据数量积的定义求，判断A，根据向量的线性运算判断BC，利用基底表示，根据投影向量的定义计算在上的投影向量，判断D. 【详解】对于A，由已知，即向量的夹角为， 又，则，A正确， 对于B，，，B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，又为的角平分线， 由平行四边形法则可得，所以，C正确， 对于D，因为，， 则，又， 所以在上的投影向量为，D正确. 7．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则. ( 平面向量的数量积、投影向量的运算 考点 2 ) 1．（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.故选：A. 3．（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意知是等边三角形，所以，则． 4．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】，∴.故选：A. 5．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以.所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 6．（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为，所以在上的投影向量为. 7．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义及计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：D. 8．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以. 9．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即可求解. 【详解】由向量，可得粒子相对粒子的位移为， 可得且， 所以在上的投影向量为.故选：B. 10．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为，则，则， 则.故选：B. 11．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】根据向量投影相等的条件，推导出，再利用向量垂直的数量积为列方程求解. 【详解】由题意得，即，整理得， 所以，解得. 13．（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 14．（2026·重庆·一模）已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，.则向量在方向上的投影向量为. 15．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则，，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，，， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 16．（多选）（2026·山西大同·一模）已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确；对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 17．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 18．（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可知，，所以. 19．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点， 所以，，则. 所以，.所以 . 20．（2026·河北邯郸·一模）已知均为单位向量，则______． 【答案】/ 【详解】因为均为单位向量，所以， 所以，则． 21．（2026·山东淄博·一模）平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 【答案】 【详解】由，，得，， 则在上的投影向量为. 22．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以.根据向量数量积的几何意义 。 23．（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. .，，. ，. 当时，取得最小值，最小值为. ( 有关 平面向量的 夹角 、 模 的运算 考点 3 ) 1．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】依题意得，则. 2．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平面向量的模和夹角的问题，通过平方展开计算即可。 【详解】因为,，又因为向量为单位向量，代入可得，得，又，所以, 因为,所以.故选：D 3．（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模及数量积的公式即可求解. 【详解】因为 是夹角 的单位向量，所以， .故答案为：C 4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 5．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量，显然，所以. 6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（   ） A． B．5 C． D．25 【答案】C 【分析】根据已知条件可知是相反向量，从而可得的坐标，根据向量减法的坐标运算可得的坐标，最后可求出模；也可以根据向量数量积的性质求解. 【详解】方法一：因为，所以， 所以，所以. 方法二：因为，所以，， 所以，又，所以， 所以. 7．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即，所以. 8．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知，则，所以， 则.设与的夹角为，则，又，故，所以与的夹角为.故选：C 9．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，，又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 10．（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，，所以与的夹角为. 11．（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两夹角为或，当夹角为时，；当夹角为时，，则 ；综上所述：或. 12．（多选）（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 13．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】，所以，设向量与的夹角为，则，由于，所以，所以. 14．（2026·广东江门·一模）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系，，，，， ，，所以. ( 有关平面向量的垂直、共线的运算 考点 4 ) 1．（2026·河北张家口·一模）已知向量，，若与共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】，因为与共线，故，故. 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，若，则， 解得，故选：D. 3．（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出的值. 【详解】由题可知，，解得.故选：D. 4．（2026·湖北襄阳·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由得，故. 5．（2026·陕西铜川·一模）已知向量为单位向量，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得，解得， 因，则.故选：C. 6．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理列式求解即得. 【详解】由可知，存在，使得，因不共线， 则有，解得.故选：D. 7．（2026·广东茂名·一模）已知向量，且，则（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】直接根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且，所以，解得，故选：A 8．（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，，则，又因为与平行，所以，化简：，即，解得. 9．（2026·吉林白城·一模）已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，则，解得，则，， 则与的夹角的余弦值为. 10．（2026·河北邢台·一模）已知，向量，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，故，故； 若，则，故或，故“”是“”的充分不必要条件. 11．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 12．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，，，，故充分性成立；必要性分析：，，，，，，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件 13．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使，则， ，当时，，故充分性不成立， 由，则，故，所以， 即，故，所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 14．（2026·河北保定·一模）已知向量，若，则________． 【答案】 【分析】利用向量平行求出，再计算 【详解】由，则，解得，，． ( 平面向量 与圆、三角函数等内容交汇的问题 积、投影向量的运算 考点 5 ) 1．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量，则， 当时，取最小值. 2．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以，所以.故选：A 3．（2026·浙江·一模）已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数，则，所以，故.故选：B 4．（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 又，得，则， 故选：A. 5．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 6．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设.已知，，所以. 则，即.因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大，所以的取值范围是. 7．（2026·江苏·一模）已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由，即， 解得，所以，则， 所以． 8．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，，，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为.因为，所以，的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2.，.故选：A. 9．（2026·湖南株洲·一模）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D. 【详解】因为，所以，所以， 对于A，，所以 ，当时，即时，，故A错误； 对于B，由A可知， 又， 当时，，可得，故B错误； 对于C，当，，可得，所以，故C错误；对于D，因为， 所以，故D正确.故选：D. 10．（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解. 【详解】因， 由定义可知，，则，     . 11．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，，在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为.取，所以， 所以.同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上，如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时，易知， 所以，即的最大值为. . 12．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，，因为面积为，故， 得，即，将代入椭圆方程：，解得.，，则 . 13．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，设，则，， 因为，所以，所以点的轨迹方程为， 直线方程为，联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，，此时直线方程为， 令，解得，所以，设，其中， 则，， 所以 ，其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 14．（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点；直线：，所以直线过定点.又，所以.所以点的轨迹是以线段为直径的圆.因为的中点为，，所以点的轨迹方程为：.因为直线与圆交于两点，且，所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则.如图： ，且,所以，即的最大值为. 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积求出，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，坐标原点为 ，则，，即 ，即，当最小时W最小，原点到直线的距离为，所以，所以. 16．（2026·内蒙古赤峰·一模）在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，求得，分别求得以为直径的圆的方程，得到的最大值，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为梯形中，，且，过点作于点，所以，且，所以， 设，可得，则， ①当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为，可得以为直径的圆方程为，可得，所以的最大值为； ②当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为，可得以为直径的圆方程为，可得，所以的最大值为； ③当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为，可得以为直径的圆方程为，可得，所以的最大值为； ④当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为，可得以为直径的圆方程为，可得，所以的最大值为, 综上可得，的最大值为. 17．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 18．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和列出方程组，利用代入消元法，可得的关系. 【详解】由题意得.由①得：， 将其代入②得：， 即.因为，所以，即.又，所以. 将其再代入①得：. 因为该式对都成立，所以.所以. 19．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】计算出,再根据,两边平方化简即可求解. 【详解】由题可得，因为，所以 即， 即， 即，得到.故选：B. 20．（2026·湖南永州·一模）设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标. 【详解】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.因为， 所以.又， 所以.所以.即， 解得.所以.故选：B. 21．（多选）（2026·安徽淮北·一模）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B，需要根据向量旋转的定义判断等式是否成立；对于选项C，要根据已知条件逐步计算出，再与右边式子进行比较；对于选项 D，需要找出的规律，进而求出. 【详解】对于选项A， 向量绕起点逆时针旋转角的变换是线性变换， 对应复数乘法中的旋转因子，两次旋转角相当于旋转角，即，故选项A正确； 对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设，， 则，则， ，， ，即，故选项B正确； 对于选项C，， ，，，故选项C错误； 对于选项D，，， ，， ，， ， ， ，，， 故是周期为的数列，，又，，故选项D正确. 故选：ABD. 22．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解. 【详解】因为，所以，故. 由，得， 所以有，即，. 由题不妨可设，，， 由，知,由可得， 同理可得，可得，所以， 所以， 而，所以，即. 23．（2026·河北唐山·一模）已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 【答案】 【分析】设与轴正向夹角为，可得到，由此求得；代入可求得，进而得到点坐标. 【详解】，，设与轴正向夹角为，则，即，∴ 由题意得： 设，则，∴，，∴. 24．（2026·山东滨州·一模）已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 25．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点.则有， ，.因为的面积为，， 所以，解得.所以 .解得，即. 26．（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为，则，，设，，，代入坐标化简得：，故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，，故. 27．（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时，所以的最小值为. 28．（2026·山东聊城·一模）已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 【答案】3 【分析】设为边中点，化简已知得，由余弦定理得，再利用二次函数的最大值的解法求解. 【详解】由.所以. 如图： 取中点为，连接，则.所以. 因为为的外心，所以. 由. 又根据余弦定理，. 因为，所以 . 当时，取得最大值，为，所以的最大值为. ( 有关复数的基本概念及几何意义 考点 6 ) 1．（2026·山东临沂·一模）的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念求解. 【详解】，的虚部为. 2．（2026·北京平谷·一模）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可知：，即， 所以z在复平面对应的点为在第四象限. 3．（2026·广东江门·一模）已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（    ） A．2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 4．（2026·河北唐山·一模）表示复数z的共轭复数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 5．（2026·宁夏银川·一模）若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数，所以，且，所以. 6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若复数满足，则复数虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以复数虚部为. 7．（2026·福建龙岩·一模）已知复数，则的模为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】由题意，则.故选：D 8．（2026·陕西商洛·一模）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，.所以的虚部是． 9．（2026·湖北荆州·一模）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 10．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 11．（多选）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得，所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限，故选：AD 12．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【分析】由已知计算出，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误；对于C：因为，所以，所以，又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 13．（多选）（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 14．（多选）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A：根据题意可得，即可得虚部；对于B：根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C：根据题意结合诱导公式分析判断；对于D：由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，所以的虚部为，故A正确； 对于选项B：因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于选项C：因为，则，可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，，则在复平面内分别对应点，可得，， 则面积为，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 15．（2026·广东茂名·一模）已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴，又是等边三角形， 高为2，则，解得，则；则. ( 有关复数的基本运算 考点 7 ) 1．（2026·河北邢台·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】，故. 2．（2026·安徽安庆·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 3．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以. 4．（2026·江苏·一模）已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 5．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，则，所以. 6．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则，所以. 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）复数，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因，则. 8．（2026·广东广州·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则，所以. 9．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】设复数，则，所以， 所以，解得或，所以或. 10．（2026·辽宁抚顺·一模）若复数的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，所以. 11．（2026·河北保定·一模）若复数z满足 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法法则和共轭复数的定义可得. 【详解】由，所以，所以. 12．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】复数z满足,故，故. 13．（2026·内蒙古包头·一模）若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】，，． 14．（2026·山东聊城·一模）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以. 15．（2026·河北邯郸·一模）已知复数的共轭复数为，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由，得，解得， 结合选项可知可能为． 16．（2026·湖北黄石·一模）若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以，所以. 17．（2026·辽宁抚顺·一模）若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 18．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由复数可得， 因此，所以. 19．（2026·广东深圳·一模）复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 20．（2026·山西朔州·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简得. 21．（多选）（2026·山西运城·一模）已知复数，且（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 即，所以，解得. 22．（多选）（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ，所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，，此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根，根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 23．（2026·天津河西·一模）已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【答案】 【详解】，故. 24．（2026·四川宜宾·一模）若复数z满足，则复数______． 【答案】 【详解】由，得，则. 25．（2026·天津河东·一模）已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $