专项提升训练：三角形、平行四边形和梯形解决问题（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年四年级下册数学苏教版

专项提升训练：三角形、平行四边形和梯形解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、三角形三边关系 1 考点二、三角形的内角和 2 考点三、三角形的分类 2 考点四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 3 考点五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 3 考点六、平行四边形和梯形的概念及特点 3 考点七、画三角形、平行四边形和梯形的高 4 考点八、画三角形、平行四边形和梯形 4 例题讲解 5 题型一、三角形三边关系 5 题型二、三角形的内角和 5 题型三、三角形的分类 6 题型四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 6 题型五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 7 题型六、平行四边形和梯形的概念及特点 7 题型七、画三角形、平行四边形和梯形的高 7 题型八、画三角形、平行四边形和梯形 8 考点练习 8 练习一、三角形三边关系 8 练习二、三角形的内角和 9 练习三、三角形的分类 10 练习四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 12 练习五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 13 练习六、平行四边形和梯形的概念及特点 14 练习七、画三角形、平行四边形和梯形的高 15 练习八、画三角形、平行四边形和梯形 16 考点梳理 考点一、三角形三边关系 1. 定义 三角形任意两边长度的和大于第三边，任意两边长度的差小于第三边。 2. 核心要点 (1)判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段的和大于最长线段，则能组成三角形；反之不能。 (2)三边关系的延伸：已知三角形两边长度，第三边长度的取值范围为“两边之差＜第三边＜两边之和”。 3. 适用场景 (1)判断给定线段能否构成三角形； (2)已知两边长度，确定第三边的可能取值范围。 考点二、三角形的内角和 1. 定义 三角形三个内角的度数之和为180°。 2. 核心要点 (1)固定结论：无论三角形的形状、大小如何，内角和恒为180°。 (2)角度计算：已知三角形两个内角的度数，可通过“180°-已知两角之和”求出第三个内角的度数。 3. 适用场景 (1)已知两角求第三角； (2)判断三角形的类型（锐角、直角、钝角三角形）。 考点三、三角形的分类 1. 按角分类 (1)锐角三角形：三个角均为锐角（小于90°）； (2)直角三角形：有一个角为直角（等于90°），另外两个角为锐角； (3)钝角三角形：有一个角为钝角（大于90°且小于180°），另外两个角为锐角。 2. 按边分类 (1)不等边三角形：三条边长度均不相等； (2)等腰三角形：有两条边长度相等； (3)等边三角形（正三角形）：三条边长度均相等（特殊的等腰三角形）。 3. 核心要点 (1)三角形按角和按边可同时分类（如“等腰直角三角形”）； (2)等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 考点四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1. 等腰三角形 (1)定义：有两条边相等的三角形，相等的边称为“腰”，第三边称为“底边”，两腰的夹角称为“顶角”，腰与底边的夹角称为“底角”。 (2)特征：两腰长度相等，两个底角度数相等；顶角=180°-2×底角；底角=(180°-顶角)÷2。 2. 等边三角形 (1)定义：三条边长度都相等的三角形。 (2)特征：三条边长度相等，三个内角均为60°；等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。 考点五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 1. 三角形的稳定性 (1)定义：三角形的三条边确定后，其形状和大小固定不变，具有稳定性。 (2)应用场景：自行车车架、屋顶桁架、起重机吊臂、高压电线杆支架等。 2. 平行四边形的不稳定性 (1)定义：平行四边形的四条边确定后，形状和大小可发生变化（易变形），具有不稳定性。 (2)应用场景：伸缩门、升降架、折叠衣架、绘图用的缩放支架等。 考点六、平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1)定义：两组对边分别平行的四边形。 (2)特点： ①　对边平行且相等； ②　对角相等，邻角互补（和为180°）； ③　对角线互相平分； ④　内角和为360°。 2. 梯形 (1)定义：只有一组对边平行的四边形，平行的两边称为“底”（上底、下底），不平行的两边称为“腰”，两底之间的距离称为“高”。 (2)特殊梯形： ①　等腰梯形：两腰长度相等，同一底上的两个底角相等； ②　直角梯形：有一个角是直角的梯形，其中一条腰与两底垂直（可作为高）。 考点七、画三角形、平行四边形和梯形的高 1. 高的定义 (1)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。 (2)平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向对边作垂线，这点和垂足之间的线段（有无数条高，同一底上的高长度相等）。 (3)梯形的高：从梯形一条底边上的一点向另一条底边作垂线，这点和垂足之间的线段（有无数条高，长度均相等）。 2. 画法步骤 三角形： （1）确定底边和对应的顶点； （2）用直角三角板的一条直角边与底边重合，另一条直角边过顶点； （3）从顶点向底边画垂线，标出垂足和“高”。 平行四边形： （1）选择一条边作为底； （2）用直角三角板的一条直角边与底边重合，另一条直角边与对边相交； （3）从交点向底边画垂线，标出垂足和“高”。 梯形： （1）确定上底和下底； （2）用直角三角板的一条直角边与下底重合，另一条直角边与上底相交； （3）从交点向下底画垂线，标出垂足和“高”。 3. 关键要点 (1)三角形有三条高，锐角三角形的高在内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形的两条高在外部； (2)平行四边形和梯形的高需标注垂直符号和“高”字样。 考点八、画三角形、平行四边形和梯形 1. 画三角形 (1)已知三边：用直尺依次连接三条线段的端点； (2)已知两边及夹角：先画一条边，用量角器确定夹角，再画另一条边，连接端点； (3)已知两角及夹边：先画夹边，分别在两端用量角器画角，延长角的边交于一点。 2. 画平行四边形 (1)已知一组邻边和夹角：先画一条边，用量角器确定夹角，画另一条边，再根据对边平行且相等的性质完成图形； (2)已知底和高：先画底边，在底边上确定一点画高，根据高的长度确定对边，连接各点。 3. 画梯形 (1)已知上底、下底和高：先画下底，在底边上确定一点画高，根据高的长度确定上底的一个端点，再根据上底长度确定另一个端点，连接各点； (2)画等腰梯形：确保两腰长度相等，同一底上的底角相等。 4. 关键要点 (1)使用直尺、量角器等工具，确保图形规范； (2)标注各部分名称（底、腰、高、顶点等）。 例题讲解 题型一、三角形三边关系 【例题1】一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 【练习1】如果三角形的两条边的长分别是7厘米和4厘米，第三条边的长度是整厘米数，那么第三条边可能是几厘米？（写出全部答案） 题型二、三角形的内角和 【例题2】如下图，∠1＝80°，∠2＝60°，∠3＝( )。 【练习2】算出每个三角形中未知角的度数。 题型三、三角形的分类 【例题3】分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 【练习3】如图，一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是多少度？原来这张纸片的形状是什么三角形？ 题型四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【例题4】爸爸做了一个等腰三角形钢架，底角是62°，这个三角形钢架的顶角是多少度？ 【练习4】如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 题型五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 【例题5】下面不是利用三角形稳定性的是（    ）。 A．伸缩门 B．房顶钢架 C．固定树木 D．人字梯 【练习5】乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有( )性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中( )也是运用了这一特性。 题型六、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题6】小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 【练习6】一个高2厘米的梯形的下底是上底的3倍，将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形的上底是多少？下底呢？ 题型七、画三角形、平行四边形和梯形的高 【例题7】画出每个图形底边上的一条高。 【练习7】画出下面各图形给定底边上的高。 题型八、画三角形、平行四边形和梯形 【例题8】在方格纸上按要求画图。（每小格边长表示1厘米） (1)底是2厘米，高是3厘米的平行四边形。 (2)底是2厘米，高是2厘米的三角形。 (3)上底是2厘米，下底是4厘米，高是2厘米的等腰梯形。 【练习8】已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请在方格纸上画图。 （1）画一个一组对边分别是6厘米的平行四边形。 （2）画一个上底为3厘米，下底为5厘米的梯形，并把这个梯形画上一条线段，分成一个钝角三角形和一个梯形。 考点练习 练习一、三角形三边关系 1．长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有( )种选法。 2．现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为( )厘米。（取整厘米数） 3．毛毛要用长9厘米和5厘米的两根小棒与第三根小棒围成一个三角形，那么第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（填整厘米数） 4．有两根小棒分别长4厘米和8厘米，如果再增加一根小棒围成一个三角形（取整厘米数），增加的这根小棒可以有( )种不同的长度，其中最长可以是( )厘米。 5．把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是( )cm、( )cm和( )cm，还可能分别是( )cm、( )cm和( )cm。 6．小宇想给他的小狗做一个房子，房顶的框架要用木条做成三角形，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？你认为最有可能是哪种？为什么？（木条取整分米数） 练习二、三角形的内角和 1．在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )。 2．一个三角形的内角和是( )°，从其一个顶点向对边画一条线段，把它分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 3．写出下面各三角形中未知角的度数。 (1)     ∠1＝( ) (2)     ∠2＝( ) (3) ∠3＝( ) 4．三角形中，是的3倍，是的2倍。那么( )°，( )° ( )°。 5．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 6．如图，求的度数。 7．写出下面各个未知角的度数。 8．求下面未知角的度数。 练习三、三角形的分类 1．一个三角形中最大的一个角是91°，这个三角形是( )角三角形。 2．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 3．一个三角形中，一个角是45°，另一个角是35°，则第三个角是( )°，这是一个( )三角形。 4．如果在一个三角形中，两个内角之和是89°，那么这个三角形一定是( )。 5．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 6．先填一填下面每个三角形中最大的角是什么角，再分一分。（填序号） （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角 （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 7．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 8．在一个三角形中，其中两个内角的度数和等于第三个角的度数，这个三角形按角分是什么三角形？请说明理由。 练习四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1．等腰三角形的一个底角是55°，顶角是( )°。等边三角形的每个内角都是( )°。 2．一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是( )°，底角是( )°，按角分，这是( )三角形。 3．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 4．春天是放风筝的好季节，向善小学四（1）班的老师要求每个学生制作一个风筝。小明做了一个等腰三角形的风筝，已知其中的两条边分别是11cm和5cm，这个等腰三角形风筝的周长是多少厘米？ 5．金字塔被誉为“世界七大奇迹之一”，是古埃及劳动人民智慧的结晶。金字塔每个侧面都是一个等腰三角形，顶角是76°，底角是多少度？ 6．在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 7．一面彩旗的形状是一个等腰三角形，其中一个角是70°，另外两个角分别是多少度？请列出所有情况。 8．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 练习五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 1．油纸伞是中国国家级非物质文化遗产，其伞骨结构巧妙运用了数学原理。观察图中油纸伞的伞骨展开图，伞骨设计成许多小三角形的原因是（    ）。 A．三角形数量多显得更精致 B．竹条只能做成三角形形状 C．三角形图案更符合传统审美 D．三角形具有稳定性，能让伞面牢固不易变形 2．学校数学节纸桥承重比赛中，滨滨制作的纸桥放上重物后总是摇摆晃动，按下面选项（    ）的方法进行加固比较合理。 A． B． C． D． 3．如图，西安浐灞2号桥（彩虹桥）的斜拉钢丝与桥面呈三角形结构，这是因为三角形具有( )。 4．电动门是利用( )的特性制造的。 5．乐乐要为爷爷的菜园设计篱笆，她想到了几种方案。为了使篱笆更牢固，她应该用下面哪种方案？为什么？ 练习六、平行四边形和梯形的概念及特点 1．两只蚂蚁从平行四边形（如图）中的点A出发，大蚂蚁从点A经过点D爬向点C，小蚂蚁从点A经过点B爬向点C。大蚂蚁的速度是30厘米/分，爬了5分钟到达点C。小蚂蚁爬了6分钟到达点C，速度是多少厘米/分？ 2．一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 3．如图，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 4．如图，一个四边形被遮住了一部分。小明说：“这个四边形一定是一个梯形。”你同意他的说法吗？请写出你的理由。 5．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 练习七、画三角形、平行四边形和梯形的高 1．画出下面图形给定底边上的高。 2．画出下面图形中指定底边上的高。 3．画出下面图形已知底边上的高。 4．画出下面图形指定底边上的高。 5．画出下面图形指定底边上的高。 练习八、画三角形、平行四边形和梯形 1．画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 2．按要求在方格纸上画图。 (1)画一个等腰梯形，并画出它的一条高。 (2)画一个平行四边形，再画一条线段将这个平行四边形分成一个三角形和一个直角梯形。 3．在下面方格纸中画一个底5厘米，高3厘米的平行四边形和一个上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。（每小格边长看作1厘米） 4．按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 5．按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 6．按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：三角形、平行四边形和梯形解决问题 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、三角形三边关系 1 考点二、三角形的内角和 2 考点三、三角形的分类 2 考点四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 3 考点五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 3 考点六、平行四边形和梯形的概念及特点 3 考点七、画三角形、平行四边形和梯形的高 4 考点八、画三角形、平行四边形和梯形 4 例题讲解 5 题型一、三角形三边关系 5 题型二、三角形的内角和 6 题型三、三角形的分类 7 题型四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 8 题型五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 9 题型六、平行四边形和梯形的概念及特点 10 题型七、画三角形、平行四边形和梯形的高 11 题型八、画三角形、平行四边形和梯形 12 考点练习 14 练习一、三角形三边关系 14 练习二、三角形的内角和 16 练习三、三角形的分类 21 练习四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 24 练习五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 28 练习六、平行四边形和梯形的概念及特点 30 练习七、画三角形、平行四边形和梯形的高 33 练习八、画三角形、平行四边形和梯形 35 考点梳理 考点一、三角形三边关系 1. 定义 三角形任意两边长度的和大于第三边，任意两边长度的差小于第三边。 2. 核心要点 (1)判断三条线段能否组成三角形：若较短两条线段的和大于最长线段，则能组成三角形；反之不能。 (2)三边关系的延伸：已知三角形两边长度，第三边长度的取值范围为“两边之差＜第三边＜两边之和”。 3. 适用场景 (1)判断给定线段能否构成三角形； (2)已知两边长度，确定第三边的可能取值范围。 考点二、三角形的内角和 1. 定义 三角形三个内角的度数之和为180°。 2. 核心要点 (1)固定结论：无论三角形的形状、大小如何，内角和恒为180°。 (2)角度计算：已知三角形两个内角的度数，可通过“180°-已知两角之和”求出第三个内角的度数。 3. 适用场景 (1)已知两角求第三角； (2)判断三角形的类型（锐角、直角、钝角三角形）。 考点三、三角形的分类 1. 按角分类 (1)锐角三角形：三个角均为锐角（小于90°）； (2)直角三角形：有一个角为直角（等于90°），另外两个角为锐角； (3)钝角三角形：有一个角为钝角（大于90°且小于180°），另外两个角为锐角。 2. 按边分类 (1)不等边三角形：三条边长度均不相等； (2)等腰三角形：有两条边长度相等； (3)等边三角形（正三角形）：三条边长度均相等（特殊的等腰三角形）。 3. 核心要点 (1)三角形按角和按边可同时分类（如“等腰直角三角形”）； (2)等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 考点四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1. 等腰三角形 (1)定义：有两条边相等的三角形，相等的边称为“腰”，第三边称为“底边”，两腰的夹角称为“顶角”，腰与底边的夹角称为“底角”。 (2)特征：两腰长度相等，两个底角度数相等；顶角=180°-2×底角；底角=(180°-顶角)÷2。 2. 等边三角形 (1)定义：三条边长度都相等的三角形。 (2)特征：三条边长度相等，三个内角均为60°；等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。 考点五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 1. 三角形的稳定性 (1)定义：三角形的三条边确定后，其形状和大小固定不变，具有稳定性。 (2)应用场景：自行车车架、屋顶桁架、起重机吊臂、高压电线杆支架等。 2. 平行四边形的不稳定性 (1)定义：平行四边形的四条边确定后，形状和大小可发生变化（易变形），具有不稳定性。 (2)应用场景：伸缩门、升降架、折叠衣架、绘图用的缩放支架等。 考点六、平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1)定义：两组对边分别平行的四边形。 (2)特点： ①　对边平行且相等； ②　对角相等，邻角互补（和为180°）； ③　对角线互相平分； ④　内角和为360°。 2. 梯形 (1)定义：只有一组对边平行的四边形，平行的两边称为“底”（上底、下底），不平行的两边称为“腰”，两底之间的距离称为“高”。 (2)特殊梯形： ①　等腰梯形：两腰长度相等，同一底上的两个底角相等； ②　直角梯形：有一个角是直角的梯形，其中一条腰与两底垂直（可作为高）。 考点七、画三角形、平行四边形和梯形的高 1. 高的定义 (1)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。 (2)平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向对边作垂线，这点和垂足之间的线段（有无数条高，同一底上的高长度相等）。 (3)梯形的高：从梯形一条底边上的一点向另一条底边作垂线，这点和垂足之间的线段（有无数条高，长度均相等）。 2. 画法步骤 三角形： （1）确定底边和对应的顶点； （2）用直角三角板的一条直角边与底边重合，另一条直角边过顶点； （3）从顶点向底边画垂线，标出垂足和“高”。 平行四边形： （1）选择一条边作为底； （2）用直角三角板的一条直角边与底边重合，另一条直角边与对边相交； （3）从交点向底边画垂线，标出垂足和“高”。 梯形： （1）确定上底和下底； （2）用直角三角板的一条直角边与下底重合，另一条直角边与上底相交； （3）从交点向下底画垂线，标出垂足和“高”。 3. 关键要点 (1)三角形有三条高，锐角三角形的高在内部，直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形的两条高在外部； (2)平行四边形和梯形的高需标注垂直符号和“高”字样。 考点八、画三角形、平行四边形和梯形 1. 画三角形 (1)已知三边：用直尺依次连接三条线段的端点； (2)已知两边及夹角：先画一条边，用量角器确定夹角，再画另一条边，连接端点； (3)已知两角及夹边：先画夹边，分别在两端用量角器画角，延长角的边交于一点。 2. 画平行四边形 (1)已知一组邻边和夹角：先画一条边，用量角器确定夹角，画另一条边，再根据对边平行且相等的性质完成图形； (2)已知底和高：先画底边，在底边上确定一点画高，根据高的长度确定对边，连接各点。 3. 画梯形 (1)已知上底、下底和高：先画下底，在底边上确定一点画高，根据高的长度确定上底的一个端点，再根据上底长度确定另一个端点，连接各点； (2)画等腰梯形：确保两腰长度相等，同一底上的底角相等。 4. 关键要点 (1)使用直尺、量角器等工具，确保图形规范； (2)标注各部分名称（底、腰、高、顶点等）。 例题讲解 题型一、三角形三边关系 【例题1】一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 10 6 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【详解】8＋3＝11（cm） 8－3＝5（cm） 5cm＜第三条边＜11cm （cm） （cm） 所以一个三角形两条边的长分别是8cm和3cm，第三条边最长是10cm，最短是6cm。 【练习1】如果三角形的两条边的长分别是7厘米和4厘米，第三条边的长度是整厘米数，那么第三条边可能是几厘米？（写出全部答案） 【答案】第三条边可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。 【分析】根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边分别为7厘米和4厘米，第三条边需满足：7－4＜第三边＜7＋4，即3＜第三边＜11。由于第三条边是整厘米数，因此取4至10之间的整数。 【详解】根据三角形三边关系： 7厘米－4厘米＜第三边＜7厘米＋4厘米，即3厘米＜第三边＜11厘米； 因为第三条边为整厘米数，所以第三边可能的长度为： 4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。 答：第三条边可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。 题型二、三角形的内角和 【例题2】如下图，∠1＝80°，∠2＝60°，∠3＝( )。 【答案】40° 【分析】三角形的内角和是180°，，，则。 【详解】由分析可得： 。 【练习2】算出每个三角形中未知角的度数。 【答案】30°；120°；50° 【分析】已知三角形的三个内角和是180°，三个内角有两个已经知道，要求第三个内角用180°连续减去两个内角的度数即可。 【详解】（1） 所以未知角的度数是30°； （2） 所以未知角的度数是120°； （3） 所以未知角的度数是50°。 题型三、三角形的分类 【例题3】分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 【答案】(1)①②④ (2)③⑦⑨ (3)⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据三角形的分类：锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°）的三角形；直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。 据此解答。 【详解】（1）根据分析可知： 锐角三角形有：①②④ （2）根据分析可知： 钝角三角形有：③⑦⑨ （3）根据分析可知： 直角三角形有：⑤⑥⑧⑩ 【练习3】如图，一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是多少度？原来这张纸片的形状是什么三角形？ 【答案】82°；锐角三角形 【分析】结合题中信息，已知一个三角形纸片被撕去一个角后，剩下的两个角分别是64°和34°，根据三角形内角和是180°可以求出被撕去的角的度数是多少，再进一步判断这个三角形是什么三角形。 三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 【详解】被撕去的角的度数：180°－64°－34° ＝116°－34° ＝82° 所以原来三角形的三个角的度数分别是82°、64°和34°，是锐角三角形。 答：撕去的角是82°，原来这张纸片的形状是锐角三角形。 题型四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【例题4】爸爸做了一个等腰三角形钢架，底角是62°，这个三角形钢架的顶角是多少度？ 【答案】56° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数和，即可求出顶角的度数。 【详解】 答：这个三角形钢架的顶角是56度。 【练习4】如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 题型五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 【例题5】下面不是利用三角形稳定性的是（    ）。 A．伸缩门 B．房顶钢架 C．固定树木 D．人字梯 【答案】A 【分析】平行四边形容易变形，三角形具有稳定的特性，据此找出图中的三角形即可。 【详解】A．伸缩门利用了平行四边形容易变形； B．房顶钢架利用了三角形稳定性； C．固定树木利用了三角形稳定性； D．人字梯利用了三角形稳定性。 不是利用三角形稳定性的是。 故答案为：A 【练习5】乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有( )性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中( )也是运用了这一特性。 【答案】 不稳定 伸缩门 【分析】平行四边形具有不稳定性，因为当拉伸或压缩时，它的形状会改变，但边长保持不变。在实际生活中，伸缩门利用平行四边形的不稳定性来实现伸缩功能。 【详解】由分析可知， 乐乐通过拉伸平行四边形的框架，发现平行四边形具有不稳定性（填“稳定”或“不稳定”），在实际生活中伸缩门也是运用了这一特性。（第二空答案不唯一） 题型六、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题6】小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 【答案】 400厘米；260元 【分析】根据题意，平行四边形的相邻两边的长度分别为140厘米和60厘米，根据平行四边形的周长等于相邻两边的长度之和乘2，即可求得平行四边形的广告牌的长度，即为铝条长度。先将铝条长度转换为米，再用铝条长度乘每米铝条的成本65元，即可得出总成本。 【详解】（140＋60）×2 ＝200×2 ＝400（厘米） 1米＝100厘米，所以400厘米＝4米； 4×65＝260（元） 答：至少需要400厘米的铝条，这块广告牌围一圈铝条需要260元。 【练习6】一个高2厘米的梯形的下底是上底的3倍，将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形的上底是多少？下底呢？ 【答案】3厘米；9厘米 【分析】由题意可知：下底是上底的3倍，下底比上底长2倍；将上底延长6厘米，就变成一个平行四边形了，说明上底、下底相差6厘米；因此6厘米也就是上底的2倍，据此求出上底是（6÷2）厘米，再用上底乘3，求出下底。 【详解】上底：6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） 下底：3×3＝9（厘米） 答：这个梯形的上底是3厘米，下底是9厘米。 题型七、画三角形、平行四边形和梯形的高 【例题7】画出每个图形底边上的一条高。 【答案】见详解 【分析】从三角形一个顶点向它的对应边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段称为三角形这条边上的高，这条边叫做底； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； 梯形的高，过梯形上底的一个顶点向下底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形的一条高；据此解题即可。 【详解】画出每个图形底边上的一条高，如下图： （画法不唯一） 【练习7】画出下面各图形给定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底。从平行四边形的一条边上的任意一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。据此作图即可。 【详解】给定底边上的高如下所示： 题型八、画三角形、平行四边形和梯形 【例题8】在方格纸上按要求画图。（每小格边长表示1厘米） (1)底是2厘米，高是3厘米的平行四边形。 (2)底是2厘米，高是2厘米的三角形。 (3)上底是2厘米，下底是4厘米，高是2厘米的等腰梯形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底，由此画出符合条件的平行四边形； （2）从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，由此画出符合条件的三角形； （3）梯形中互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做梯形的高，两条腰长相等的梯形是等腰梯形，由此画出符合条件的等腰梯形，据此作图。 【详解】（1）作图如下： （作图方法不唯一） （2）作图如下： （作图方法不唯一） （3）作图如下： （作图方法不唯一） 【练习8】已知方格纸中每个小正方形的边长为1厘米，请在方格纸上画图。 （1）画一个一组对边分别是6厘米的平行四边形。 （2）画一个上底为3厘米，下底为5厘米的梯形，并把这个梯形画上一条线段，分成一个钝角三角形和一个梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）画两组对边分边平行的四边形，且有一组对边为6厘米即可； （2）只有一组对边平行的四边形为梯形；画一个梯形，且这个梯形的上底为3厘米，下底为5厘米；要想将梯形分成一个梯形和一个钝角三角形，可过上底的一个顶点，往下作直线，并保证分割的三角形为钝角三角形即可。 【详解】根据分析作图如下： 考点练习 练习一、三角形三边关系 1．长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有( )种选法。 【答案】2 【分析】三角形的三边关系：三角形的两边之和一定大于第三边。需要分别计算每两边之和，并与第三边比较。 【详解】每三根组合，有10，7，5；10，7，3；10，5，3；7，5，3四种情况。 根据三角形的三边关系，得其中的10，7，3；10，5，3不能组成三角形。 能够组成三角形的有2种选法，它们分别是10，7，5；7，5，3。 长为、、、的四根木条，选其中三根组成三角形，有2种选法。 2．现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为( )厘米。（取整厘米数） 【答案】13 【分析】根据三角形三边关系，第三边必须小于另外两边之和，且大于两边之差。已知两边为6厘米和8厘米，8－6＝2（厘米），8＋6＝14（厘米），则第三边长度范围为2厘米＜第三边＜14厘米。取整厘米数时，最长应为13厘米。 【详解】8－6＝2（厘米） 8＋6＝14（厘米） 2厘米＜第三边长度＜14厘米 14－1＝13（厘米） 现有6厘米和8厘米长的小棒各一根，再找一根围成一个三角形，这根小棒最长为13厘米。（取整厘米数） 3．毛毛要用长9厘米和5厘米的两根小棒与第三根小棒围成一个三角形，那么第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（填整厘米数） 【答案】 5 13 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第三条边需满足大于两边之差且小于两边之和，据此找出第三根小棒，最短和最长是多少厘米。 【详解】两边之和：9＋5＝14（厘米） 两边之差：9－5＝4（厘米） 4＜第三根小棒长＜14 毛毛要用长9厘米和5厘米的两根小棒与第三根小棒围成一个三角形，那么第三根小棒最短是（5）厘米，最长是（13）厘米。（填整厘米数） 4．有两根小棒分别长4厘米和8厘米，如果再增加一根小棒围成一个三角形（取整厘米数），增加的这根小棒可以有( )种不同的长度，其中最长可以是( )厘米。 【答案】 7 11 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以确定第三边的取值范围，又因为第三边取整厘米数，可以列举出能取的值，据此作答。 【详解】8－4＝4（厘米） 8＋4＝12（厘米） 因此第三边大于4厘米，小于12厘米，取整厘米数可以是5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米和11厘米。 因此增加的这根小棒可以有7种不同的长度，其中最长可以是11厘米。 5．把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是( )cm、( )cm和( )cm，还可能分别是( )cm、( )cm和( )cm。 【答案】 3 4 5 4 4 4 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，且三边总长为12cm。最长边必须小于12÷2＝6cm，即不超过5cm。列举满足条件的整厘米数组合，验证每组是否满足三角形的三边关系。 【详解】总长12cm，最长边必须小于12÷2＝6cm，因此最长边小于6cm。 组合一（3cm、4cm、5cm），3＋4＋5＝12（cm），且3＋4＞5，满足三角形三边关系； 组合二（4cm、4cm、4cm），4＋4＋4＝12（cm），且4＋4＞4，满足三角形三边关系； 组合三（2cm、5cm、5cm），2＋5＋5＝12（cm），且2＋5＞5，满足三角形三边关系。 有三种可能，题目要求两组可能的组合，因此可任选两组。 即： 这个三角形三条边的长度可能分别是3cm、4cm和5cm，还可能分别是4cm、4cm和4cm。（答案不唯一） 6．小宇想给他的小狗做一个房子，房顶的框架要用木条做成三角形，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？你认为最有可能是哪种？为什么？（木条取整分米数） 【答案】第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【详解】（分米）     （分米） 2分米＜第三根木条＜8分米 答：第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。 练习二、三角形的内角和 1．在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是( )。 【答案】55° 【分析】先明确直角三角形内角和为180°，其中一个角是90°，用内角和减去直角和已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。 【详解】由分析可知， 因此，在直角三角形中，一个锐角是35°，另一个锐角是55°。 2．一个三角形的内角和是( )°，从其一个顶点向对边画一条线段，把它分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【答案】 180 180 【分析】三角形的内角和是固定的180°，这是三角形的基本性质。当从一个顶点向对边画一条线段分成两个小三角形时，每个小三角形依然满足内角和是180°的性质。 【详解】三角形内角和定理表明，任意三角形的内角和都是180°。无论三角形的大小、形状如何，其内角和恒定为180°。所以一个三角形的内角和是180°，分成的每个小三角形内角和也是180°。 所以一个三角形的内角和是180°，每个小三角形的内角和是180°。 3．写出下面各三角形中未知角的度数。 (1)     ∠1＝( ) (2)     ∠2＝( ) (3) ∠3＝( ) 【答案】(1)80° (2)48° (3)35° 【分析】（1）（2）（3）根据三角形内角和是180°，用180°减去另外两个已知角的度数，即可求出未知角的度数。据此解答。 【详解】（1） （2） （3） 4．三角形中，是的3倍，是的2倍。那么( )°，( )° ( )°。 【答案】 120 20 40 【分析】已知，∠1是∠3的3倍，，所以∠1＝3×∠3；∠3是∠2的2倍，所以∠3＝2×∠2；即∠1＝3×2×∠2＝6×∠2。再根据三角形内角和是180°求解。 【详解】∠3＝2×∠2 ∠1＝3×2×∠2＝6×∠2 ∠1＋∠2＋∠3＝6×∠2＋∠2＋2×∠2＝9×∠2＝180°。 ∠2＝180°÷9＝20°。 ∠3＝2×20°＝40°。 ∠1＝3×40°＝120°。 所以，∠1＝120°，∠2＝20°，∠3＝40°。 5．如图，∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 45 45 【分析】∠2和135°的角拼成一个平角，平角＝180°，180°减去135°，可以算出∠2的度数。三角形内角和是180°，这是一个直角三角形，180°减去90°，再减去∠2的度数，即可算出∠1的度数。 【详解】180°－135°＝45° 180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° ∠1＝45°，∠2＝45° 6．如图，求的度数。 【答案】55° 【分析】三角形内角和是180°，用180°减去两个已知内角的度数，即可求出∠C。 【详解】180°－60°－65° ＝120°－65° ＝55° 所以，∠C＝55°。 7．写出下面各个未知角的度数。 【答案】38°；27° 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，分别用180°减去已知两个角的度数，求出各个图形中第三个角的度数。 【详解】180°－90°－52° ＝90°－52° ＝38° 180°－108°－45° ＝72°－45° ＝27° 8．求下面未知角的度数。 【答案】65°；77°；65° 【分析】直角是90°，平角是180°，三角形内角和是180°。第一张图和第二张图，用180°减去已知角就是未知角；第三张图，首先用180°－125°求出与125°相邻的角的度数，再用180°减去这个角再减去60°即可解题。 【详解】图一： 180°－90°－25° ＝90°－25° ＝65° 图二： 180°－48°－55° ＝132°－55° ＝77° 图三： 180°－125°＝55° 180°－60°－55° ＝120°－55° ＝65° 练习三、三角形的分类 1．一个三角形中最大的一个角是91°，这个三角形是( )角三角形。 【答案】钝 【分析】根据在一个三角形中只有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，从而可以判断这个三角形的形状。 【详解】因为在这个三角形中最大的角是，它是钝角。 所以这个三角形是钝角三角形。 2．红领巾的形状，按角分类，它属于( )三角形；按边分类，它属于( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形按角可分为锐角三角形（三个角都是锐角），直角三角形（有一个角是直角），钝角三角形（有一个角是钝角）。红领巾的三个角中，有一个角是钝角，另外两个角是锐角，因此按角分类属于钝角三角形。 三角形按边可分为不等边三角形（三条边都不相等），等腰三角形（至少有两条边相等），等边三角形（三条边都相等）。红领巾有两条边长度相等，底边较长，因此按边分类属于等腰三角形。 【详解】由分析可知，红领巾的形状，按角分类，它属于钝角三角形；按边分类，它属于等腰三角形。 3．一个三角形中，一个角是45°，另一个角是35°，则第三个角是( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】三角形的内角和为180°，用180°减去另外两个角即可求出第三个角的度数； 三角形的三个角都是锐角，是锐角三角形；三角形有一个直角，是直角三角形；三角形有一个钝角，是钝角三角形，据此解答。 【详解】第三个角： 100°是钝角，故这是一个钝角三角形。 一个三角形中，一个角是45°，另一个角是35°，则第三个角是100°，这是一个钝角三角形。 4．如果在一个三角形中，两个内角之和是89°，那么这个三角形一定是( )。 【答案】钝角三角形 【分析】三角形内角和是180°，用180°减89°即可求出这个三角形第三个内角的度数，这个差是91°。大于90°而小于180°的角是钝角，判断三角形属于什么类型的三角形，看这个三角形中最大的内角，这个角属于什么角，这个三角形就属于什么三角形。 【详解】180°－89°＝91° 如果在一个三角形中，两个内角之和是89°，那么这个三角形一定是钝角三角形。 5．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 【答案】 钝角 锐角 【分析】根据题意，三角形按角的大小，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。仔细观察图形，可以延长露着的三角形的两条边，观察角度的大小进行判断，①是钝角三角形；②是锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 图①被挡住的角是钝角，所以①是钝角三角形；图②被挡住的角是锐角，所以②是锐角三角形。 6．先填一填下面每个三角形中最大的角是什么角，再分一分。（填序号） （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角      （    ）角 （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 【答案】锐；直；锐；锐；钝；直；（1）①③④；②⑥；⑤；（2）①③⑥；④ 【分析】根据三角形的最大内角和边的长度对三角形进行分类。锐角三角形的最大角小于90度，直角三角形有一个角等于90度，钝角三角形有一个角大于90度。有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形。由此可解答。 【详解】如图： （1）按角分。 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ①③④ ②⑥ ⑤    （2）按边分。 等腰三角形 等边三角形 ①③⑥ ④ 7．在一个三角形中，其中一个内角是36°，比另一个内角少20°，第三个内角是多少度？这个三角形是什么三角形？ 【答案】88°；锐角三角形 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，三角形的一个内角是36°，比另一个内角少20°，那么另一个内角的度数比36°多20°，直接用36°加上20°算出另一个内角的度数，接着用180°减去两个角的度数即可算出第三个内角的度数。最后根据三个内角的大小来判断三角形的类型即可。 【详解】36°＋20°＝56° 180°－56°－36° ＝124°－36° ＝88°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 答：第三个内角是88°，这个三角形是锐角三角形。 8．在一个三角形中，其中两个内角的度数和等于第三个角的度数，这个三角形按角分是什么三角形？请说明理由。 【答案】 直角三角形；理由见详解 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。因为“三角形其中两个角的度数和等于第三个角的度数”，所以用180度除以2，即可得到三角形中最大的那个内角，则可判断三角形属于什么三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 180°÷（1＋1） ＝180°÷2 ＝90° 答：“三角形其中两个角的度数和等于第三个角的度数”，所以用180度除以2，即可得到三角形中最大的那个内角是90°，这个三角形有一个直角，按角分是直角三角形。（答案不唯一） 练习四、等腰三角形和等边三角形的认识及特征 1．等腰三角形的一个底角是55°，顶角是( )°。等边三角形的每个内角都是( )°。 【答案】 70 60 【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角是55°，则另一个底角也是55°，根据三角形内角和等于180°，用180°连续减去两个底角的度数即可求出顶角。等边三角形的三个内角都相等，根据三角形内角和等于180°，可求出每个内角。 【详解】180°－55°－55°＝125°－55°＝70° 180°÷3＝60° 等腰三角形的一个底角是55°，顶角是70°。等边三角形的每个内角都是60°。 2．一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是( )°，底角是( )°，按角分，这是( )三角形。 【答案】 90 45 直角 【分析】等腰三角形的顶角度数是底角的2倍，那可以把顶角想成2底角，再加上等腰三角形中2个底角，相当于4个底角，内角和是180°，所以180°÷4＝45°，求出底角，然后45°×2＝90°，求出顶角。有一个角是90°的三角形是直角三角形，据此解答。 【详解】2底角＋2底角＝4底角＝180° 底角＝180°÷4＝45° 顶角＝45°×2＝90° 一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，这个三角形的顶角是90°，底角是45°，按角分，这是直角三角形。 3．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【分析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【详解】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【点睛】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 4．春天是放风筝的好季节，向善小学四（1）班的老师要求每个学生制作一个风筝。小明做了一个等腰三角形的风筝，已知其中的两条边分别是11cm和5cm，这个等腰三角形风筝的周长是多少厘米？ 【答案】 27厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，两条边相等，第三条边不等。需验证两种情况是否符合三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。若两条边为11厘米，则第三边5厘米满足条件；若两条边为5厘米，则第三边11厘米不满足条件。因此周长由前一种情况得出。以此列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 11＋11＝22（厘米） 22＞5 11＋5＝16（厘米） 16＞11 11＋11＋5 ＝22＋5 ＝27（厘米） 5＋5＝10（厘米） 10＜11（不成立） 答：等腰三角形风筝的周长为27厘米。 5．金字塔被誉为“世界七大奇迹之一”，是古埃及劳动人民智慧的结晶。金字塔每个侧面都是一个等腰三角形，顶角是76°，底角是多少度？ 【答案】52° 【分析】已知每个侧面是等腰三角形，顶角是76°，用三角形内角和减去顶角的度数再除以2得到一个底角的度数。 【详解】 答：底角是52°。 6．在学校“变废为宝”活动中，小明用铁丝围成边长6厘米的正方形当作品底座的外边。老师建议改成更稳的等边三角形，且铁丝长度不变，那改成后的等边三角形边长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，据此将数据带入求出铁丝的长度，再根据等边三角形三边相等，用铁丝的长度除以3即可求出等边三角形的边长。 【详解】6×4＝24（厘米） 24÷3＝8（厘米） 答：改成后的等边三角形边长是8厘米。 7．一面彩旗的形状是一个等腰三角形，其中一个角是70°，另外两个角分别是多少度？请列出所有情况。 【答案】55°和55°或者70°和40° 【分析】等腰三角形，两底角相等，要分情况讨论：70°可能是顶角也可能是底角。据此解答即可。 【详解】如果顶角是70°： （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则另外两个角是55°和55°； 如果底角是70°： 180°－70°－70°＝40° 则另外两个角是70°和40°。 答：一面彩旗的形状是一个等腰三角形，其中一个角是70°，另外两个角是55°和55°或者70°和40°。 8．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【点睛】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 练习五、三角形的稳定性及应用、平行四边形的不稳定性及应用 1．油纸伞是中国国家级非物质文化遗产，其伞骨结构巧妙运用了数学原理。观察图中油纸伞的伞骨展开图，伞骨设计成许多小三角形的原因是（    ）。 A．三角形数量多显得更精致 B．竹条只能做成三角形形状 C．三角形图案更符合传统审美 D．三角形具有稳定性，能让伞面牢固不易变形 【答案】D 【分析】根据题意，三角形具有稳定性，不容易变形。据此解答。 【详解】根据分析，伞骨设计成许多小三角形的原因是三角形具有稳定性，能让伞面牢固不易变形。 故答案为：D 2．学校数学节纸桥承重比赛中，滨滨制作的纸桥放上重物后总是摇摆晃动，按下面选项（    ）的方法进行加固比较合理。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的特性，三角形结构具有不易变形的特性。四边形具有不稳定性。据此分析各选项，进而确定符合题意答案。 【详解】A．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 B．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 C．加固结构形成了三角形，能有效增强纸桥的稳固性，减少摇晃。 D．加固结构均为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 所以用选项C的方法进行加固比较合理。 故答案为：C 3．如图，西安浐灞2号桥（彩虹桥）的斜拉钢丝与桥面呈三角形结构，这是因为三角形具有( )。 【答案】稳定性 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、不易变形的特点；据此解答。 【详解】如题图，西安浐灞2号桥（彩虹桥）的斜拉钢丝与桥面呈三角形结构，这是因为三角形具有稳定性。 4．电动门是利用( )的特性制造的。 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】平行四边形易变形，具有不稳定性，电动门是利用平行四边形具有不稳定性的特性制造的；据此解答。 【详解】根据分析可知： 电动门是利用平行四边形具有不稳定性的特性制造的。 5．乐乐要为爷爷的菜园设计篱笆，她想到了几种方案。为了使篱笆更牢固，她应该用下面哪种方案？为什么？ 【答案】选方案③。因为三角形具有稳定性。 【分析】根据三角形具有稳定性和四边形不具有稳定性，解答此题即可。 【详解】因为①和②中是平行四边形和正方形，它们具有不稳定性，易变形，所以①②不可以； 因为③中，围成的图形为三角形，三角形具有稳定性， 所以③的围法更牢固些，她应该用第③种方案。 练习六、平行四边形和梯形的概念及特点 1．两只蚂蚁从平行四边形（如图）中的点A出发，大蚂蚁从点A经过点D爬向点C，小蚂蚁从点A经过点B爬向点C。大蚂蚁的速度是30厘米/分，爬了5分钟到达点C。小蚂蚁爬了6分钟到达点C，速度是多少厘米/分？ 【答案】25厘米/分 【分析】平行四边形对边平行且相等，首先根据图示，可得AB＝CD，AD＝BC，所以AB＋BC＝AD＋CD，即两只蚂蚁到达点C时爬行的路程相等；然后根据速度×时间＝路程，用大蚂蚁的速度乘到达点C用的时间，求出大蚂蚁爬行的路程是多少，再用它除以小蚂蚁到达点C用的时间，求出小蚂蚁的速度即可解答。 【详解】30×5÷6 ＝150÷6 ＝25（厘米/分） 答：速度是25厘米/分。 2．一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍。它的上、下底分别是多少厘米？ 【答案】上底4厘米；下底16厘米 【分析】根据一个平行四边形的一条边缩短12厘米，就成了一个梯形，且这个梯形下底是上底的4倍可知，缩短的长度是梯形上底的（4－1）倍，用缩短的长度除以这个倍数即可求出梯形上底的长度，再乘4即可求出梯形下底的长度，据此解答即可。 【详解】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 答：它的上底是4厘米，下底是16厘米。 3．如图，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】由题意得，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，那么长方形的长就是20厘米，宽是8厘米。长方形的面积＝长×宽，那么直接将数据代入即可算出长方形的面积。 【详解】20×8＝160（平方厘米） 答：这个长方形的面积是160平方厘米。 4．如图，一个四边形被遮住了一部分。小明说：“这个四边形一定是一个梯形。”你同意他的说法吗？请写出你的理由。 【答案】不同意；这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形 【分析】根据梯形是只有一组对边平行的四边形；长方形对边平行且相等，四个角都是直角，已知未被遮住部分2个角都是直角，所以这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形。。 【详解】根据图示，图中一个四边形被遮住了一部分。这个四边形可能是一个梯形，有可能是是一个长方形。所以不同意小明的说法。 5．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 【答案】25米 【分析】等腰梯形特征：两条腰相等，这里下底＋两条腰长＝85米，所以一条腰长＝（85－下底）÷2。 【详解】（85－35）÷2 ＝50÷2 ＝25（米） 答：这个梯形的一条腰长25米。 练习七、画三角形、平行四边形和梯形的高 1．画出下面图形给定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。从平行四边形的一条边上的任意一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此作出给定底边上的高。 【详解】给定底边上的高如下图所示： 2．画出下面图形中指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】根据题意，确定底边：先找到题目指定作为“底”的那条边（或它的延长线）。寻找顶点：从与该底边相对的顶点出发；画垂线：用三角尺或直尺，经过该顶点，向所选底边画一条与底边垂直的直线，这条直线就是“高”。如果顶点的垂足不落在原底边上，可以适当延长底边并将垂线落在延长线上。标出高：垂线与底边（或其延长线）的交点到顶点的线段就是所要求的高。以此画图即可。 【详解】根据分析画图如下： （画法不唯一） 3．画出下面图形已知底边上的高。 【答案】见详解 【分析】画平面图形的高，本质上是过顶点向底边作垂线，步骤为：确定底边，用三角板的一条直角边与底边重合，平移三角板使另一条直角边通过对应顶点，然后从顶点向底边画垂线段并标注垂足。 【详解】画图如下： 4．画出下面图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从梯形的上底任取一点向下底所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是梯形的高。 从平行四边形任一顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是平行四边形的高。 【详解】 5．画出下面图形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段，就是三角形的高； 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高； 梯形上下底的距离就是梯形的高，在梯形的上底上任取一个点作垂直于下底的线段，就是梯形的高，据此解答即可。 【详解】如下图： 练习八、画三角形、平行四边形和梯形 1．画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）绘制上底为4厘米、下底为6厘米的梯形：在方格纸上先确定梯形的上下两条水平线。在上边线上量取4格（表示4厘米），在下边线上量取6格（表示6厘米）。连接上下边线两侧的端点，即可得到一个梯形。 （2）绘制“高比对应的底少2厘米”的平行四边形：先在方格纸上画出一条水平线作为底边，设定长度为B格。因为高比底少2厘米，所以高＝B－2（格）。在底边上方竖直向上量出（B－2）格，再画一条与底边等长（B格）且平行的线段作为顶边。将顶边与底边的左右端点用斜线相连，即可得到一个平行四边形。 【详解】（1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形如下： （2）5－2＝3（厘米） 在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形（底是5厘米，高是3厘米）如下： （画法不唯一） 2．按要求在方格纸上画图。 (1)画一个等腰梯形，并画出它的一条高。 (2)画一个平行四边形，再画一条线段将这个平行四边形分成一个三角形和一个直角梯形。 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】（1）有一组对边平行的四边形叫做梯形，等腰梯形的两条腰相等，据此画出等腰梯形；梯形上底到下底的距离叫做梯形的高，从上底任意一点作下底的垂线即可。 （2）平行四边形两组对边平行且相等，有一个角是直角的梯形是直角梯形。从平行四边形任意1个顶点向对边画垂线段即可把它分成一个直角梯形和一个三角形。据此作图。 【详解】（1）根据分析完成作图： （2）根据分析完成作图： （画法不唯一） 【点睛】 3．在下面方格纸中画一个底5厘米，高3厘米的平行四边形和一个上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。（每小格边长看作1厘米） 【答案】见详解 【分析】平行四边形的定义是两组对边分别平行且相等。已知底是5厘米，在方格纸上每个小方格边长为1厘米，所以底占5个小方格长度；高是3厘米，那么在与底平行的方向上距离底3个小方格的位置画出另一条平行且等长的线段，连接端点就能画出符合要求的平行四边形。 梯形的定义是一组对边平行、另一组对边不平行的四边形。上底2厘米则占2个小方格长度，下底4厘米占4个小方格长度，高3厘米即两条平行边之间垂直距离为3个小方格长度，先确定上底位置，再根据高确定下底位置，最后连接非平行边端点得到梯形。 【详解】如图： （画法不唯一） 4．按要求在点子图上作图。（相邻两点之间的距离表示1cm） (1)画一个底是4cm、高是3cm的平行四边形，并作出它的高。 (2)画一个上底是5cm，下底是6cm，高是4cm的梯形，并画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的特征，先画AB＝4厘米，再过这一线段的C点作AB垂直线段CD＝3厘米，过点C作AB的平行线段CE＝4厘米，再分别连接AC、BE，四边形ABEC就是所画的底为4厘米，高为3厘米的平行四边形。 （2）根据梯形的特征，先画线段AB∥线段CD且线段AB＝6厘米，线段CD＝5厘米，高＝4厘米，再分别连接AC、BD，四边形ABCD就是梯形，过点C作线段BD的平行线，交线段AB在点K，就把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【详解】（1）作图如下： （2）作图如下： 5．按要求在方格中画图。（每小格的边长表示1cm） （1）以线段AB为底，画一个高4厘米的三角形。 （2）以线段CD为底，画一个高3厘米的平行四边形。 （3）以线段EF为上底，画一个高4厘米的梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）因为三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。所以从AB上方（或下方）的某一点，向AB作一条垂直于AB的线段，长度为4厘米（即4个小格的长度）。连接这个点与A、B两点，就得到了以AB为底，高4厘米的三角形。（答案不唯一） （2）平行四边形的对边平行且相等，高是从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是平行四边形的高。从CD上方（或下方）的某一点，向CD作一条垂直于CD的线段，长度为3厘米（3个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，作CD的平行线段，长度与CD相等，然后连接各点，就得到了以CD为底，高3厘米的平行四边形。（答案不唯一） （3）梯形是只有一组对边平行的四边形，高是两底之间的距离。从EF下方的某一点，向EF作一条垂直于EF的线段，长度为4厘米（4个小格的长度）。过这条垂线段的另一个端点，画一条与EF平行的线段作为下底，下底的长度可以根据需要确定（只要与EF平行且不相等即可），然后连接各点，就得到了以EF为上底，高4厘米的梯形。（答案不唯一） 【详解】 （答案不唯一） 6．按要求作图。 （1）以线段EF为一条边，画一个平行四边形。 （2）画出这个平行四边形的一条高。 （3）找出点D，使四边形ABCD是直角梯形，画出这个梯形。 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形和梯形的特点画图。 （1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，找到线段EF（并数出长度），在网格中任意找一点G，从G点出发作一条与EF平行且长度相等的线段GH，连接E到G，F到H，这样四边形EFHG就是平行四边形。（答案不唯一） （2）高是指从平行四边形的一条边上的任意一点，向它的对边作垂线，这点和垂足之间的线段即为高。以画出的平行四边形EFHG的一条边，选择EF为底边，在它的对边GH上任意找一点，向底边EF作一条垂线，标出直角符号，即为平行四边形的高。 （3）有一个角是直角，并且只有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是直角梯形。观察图中给出三个点A、B、C，需要构造出一个直角，所以从A点出发向上作一条垂直于AB的线段AD，连接D和C，形成四边形ABCD，并且AB和DC是平行的，并且AD垂直于AB，所以ABCD是一个直角梯形。 【详解】（1）（2）（3）画图如下： （答案不唯一） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $