精品解析：山东济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

嘉祥一中2024—2025学年度第二学期收心考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案. 【详解】， 则虚部为． 故选：C． 2 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解二次不等式和对数函数性质化简集合,再取交集即可得解. 【详解】由，可得，所以， 由对数函数的性质得， 则. 故选：C. 3. 设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方，化简后即可得，由此即可选出答案. 【详解】因为 ， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 4. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，小圆锥半径为、高为，大圆锥半径为，高为，根据侧面积之比可得，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到，利用勾股定理得到关于的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成的表达式，求出它们的比值即可. 【详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为， 侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、， 则，得， 因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆， 所以，得， 再由勾股定理，得， 同理可得， 所以两个圆锥的体积之比为： . 故选：A. 5. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 各项的系数和为64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断. 【详解】对于A，的展开式通项为， 当时，常数项为，选项A正确； 对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误； 对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误； 对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误. 故选：A. 6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，且，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为四边形为正方形，可知， 若使得四边形为正方形的点有且只有一个，可知， 则，解得或（舍去）， 所以正实数. 故选：C. 8. 已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数，当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，研究的奇偶性、单调性，从而比较大小得解. 【详解】令，因为时，， 所以当时，，则在上单调递减， 因为的定义域为，又，则， 所以，所以为偶函数， 故在上单调递增， 又，， ， 而，所以，即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可. 【详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确； 对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确； 对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85，故D项正确. 故选：ACD项. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调，且，则的最小正周期为 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，利用平移后函数关于轴对称，整体角取值进而得到的取值；B项，由整体角范围结合正弦函数图象可得不等式求解可得；C项，利用整体意识求出零点表达式，设出零点，再根据已知区间建立不等式求解可得；D项，由单调区间估计周期范围，再根据条件等式分析出对称轴与对称中心，从而得到周期. 【详解】A项，向在平移个单位长度后，得到的函数为，由所得图象关于轴对称， ，即，不可能取，故A错误. B项，时，， 故，即，故B正确. C项，由得，的所有零点为. 不妨设是在上的三个零点， 则，， 解得且. 由得，由得， 故. 当时，且； 当时，且，. 综上可知，或，故C错误. D项，因为在区间上单调， ，故. 由，且在区间上单调， 为的一个对称中心. 又，且， 为的一条对称轴. 而，故D正确. 故选：BD. 11. 已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹围成的图形面积为 B. 的最小值为 C. 是的任意两个位置点，则 D. 过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得，计算面积可判断A；结合图象可知，当共线的时候取值最小值，可判断B；过A向圆引切线，用两条切线夹角来可判断C；分别用斜率存在和不在两种情况写出过点的直线方程，然后由圆的几何性质求，进而结合基本不等式可得的最小值，即可判断D. 【详解】由得：，即， 点的轨迹为圆心，半径的圆. 对于A：面积为，故A正确； 对于B：点B在圆内，由图知，当共线的时候等号成立， 所以最小值为，故B正确， 对于C：因为，，所以过A向圆引切线，切线长等于，则两条切线夹角为，故C不正确. 对于D：斜率不存在时，过点的直线方程为，此时； 斜率存在时，过点的直线方程为，即， 则圆心到该直线的距离， 由圆的几何性质，， 当时，； 当时， ； 当时，，当且仅当即时取等号， 综上所述，的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 设， 联立方程，消去x得， 则，可得， 所以. 故答案为：5. 13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用给定的区间的单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得. 【详解】函数，求导得，由在上单调递减， 得，，即，令， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长，可得，由双曲线的定义得PF1＝PF2＋2，这样就可表示为的函数，于是可利用基本不等式求得最小值 【详解】设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c， 则c＝＝＝2， 故椭圆的离心率e1＝＝， 从而双曲线的离心率，可得a＝1， 根据双曲线的定义有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2， 故＝＝＝PF2＋＋4， 由双曲线的范围可得PF2≥c－a＝1， 根据基本不等式可得PF2＋＋4≥2＋4＝8， 当且仅当PF2＝， 即PF2＝2时取“＝”， 所以的最小值为8. 故答案为：8． 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，解题关键是由双曲线定义得PF1＝PF2＋2，把表示为的函数． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求内角B的大小； （2）若的面积为，，，求线段BM的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理边角互化，正弦的和角公式即可求出，进而得答案； （2）结合（1），根据面积公式得，进而得，进而由余弦定理得，为直角三角形，再结合题意，借助勾股定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理边化角得， 所以 因为 所以， 因为，所以， 因，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，所以． 因为，所以，， 所以， 所以，即为直角三角形， 因为，所以， 所以． 16. 设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. （参考公式：） 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造常数列求通项； （2）利用参考公式以及分组求和求出，再利用裂项相消求出即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，所以数列为常数列， 又，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 结合参考公式可得 ， 所以， 所以 ， 因为，所以，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点M在棱上，点N为中点. （1）证明： 若， 直线平面； （2）是否存在点M，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出 值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存，或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行，得到面面平行，再由面面平行证明线面平行； （2）利用坐标法，设，可表示点与，再根据线面夹角求得的值. 【小问1详解】 如图所示，在线段上取一点，使，连接，， ， ， 平面，平面. ∴平面， 又，， ，四边形为平行四边形， ， 平面，平面. ∴平面， 又，平面平面, ∴平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是中点，则， 假设存在点，设，即，， 则，， 则， ， 设平面的法向量， 则，令，则， ， 解得或， 故存在点，此时或. 18. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值； （2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，求出，再由导数的几何意义求出参数代入函数，对其求导，求出函数的单调性即可得出答案； （2）记，将题意转化为证明，对求导可得即，代入，分类讨论和，由，即可求出的范围，则，由二次函数的性质结合的范围即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，且的定义域为，且， 依题意即，从而，故，， 从而函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 【小问2详解】 依题意，，其中，记，则， 因为，，即是的极小值也是最小值，故， 而，所以，解得， 此时， 若，则趋近时，趋近，趋近负无穷，趋近， 即趋近负无穷，与矛盾！ 若，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，符合题意. 故. 所以，其中. 若即时，则函数在上最小值为， 依题意，解得，符合题意； 若即时，则函数在上最小值为， 依题意，即，无解，不符合题意. 所以，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，. （1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值； （3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81. 【答案】（1） （2）证明见解析，定值为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义求解即可. （2）设，，由题意可得，再由，，在椭圆上化简可得，，则，即可证明. （3）以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，先证明，则，则，中至少有一个小于81，即可得证. 【小问1详解】 依题意，，， 所以. 【小问2详解】 设，，由题意，矩形和矩形的面积相等， 所以， 即，而，（*） 从而上式化为， 整理可得， 代入（*）式，， 故， 即为定值，且该定值为. 【小问3详解】 如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接， 则. 因而，中至少有一个小于81， 同理，中至少有一个小于81， 故，，，中至少有两个小于81. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥一中2024—2025学年度第二学期收心考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 各项的系数和为64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 8. 已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数，当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调，且，则的最小正周期为 11. 已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹围成的图形面积为 B. 的最小值为 C. 是的任意两个位置点，则 D. 过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________． 13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________． 14. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求内角B的大小； （2）若面积为，，，求线段BM的长． 16. 设首项为2数列的前n项和为，前n项积为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. （参考公式：） 17. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，其中，平面，且，点M在棱上，点N为中点. （1）证明： 若， 直线平面； （2）是否存在点M，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出 值；若不存在，说明理由. 18. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值； （2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数. 19. 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，. （1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值； （3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $