精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

2025-2026学年高一下学期月考 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 ＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（ ）. A. B. C. π D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 8. 是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ） A. 10 B. 13 C. 22 D. 26 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有错选得得0分. 9. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（ ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点在单位圆上第二次重合 10. 下列说法正确是（ ） A. 若是第二象限角，则是钝角 B. 若，则为第三象限角或第四象限角 C. 角与角的终边相同 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题.每题5分，共15分. 12. 求函数的定义域为_________． 13. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 14. 已知函数图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为___________． 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. 16. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则 （1）求关于x的函数关系式； （2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 17. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 18. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若，求t最小值． 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 （1）求实数的值和函数的解析式； （2）若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期月考 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】 . 故选：A. 2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长、半径和圆心角的关系，可求得扇形半径，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，由题意圆心角为， 所以弧长，解得， 则该扇形的面积. 故选：B 3. 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 4. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（ ）. A. B. C. π D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即， 所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即， 因为，所以令，即， 故选：D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度， 可得， 因为函数的对称中心为， 若平移后的图象关于原点对称， 则，得， 因为，故当时，取得最小值. 故选：C. 7. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据图像上两个零点间的距离求出周期，进而得出判断；对B，由图象过点，结合图象在该点附近的单调性求解判断；对C，将代入验证判断；对D，由，解得，可知为奇数. 【详解】对于A：由图，，所以，，A错误； 对于B：图象过点，可得，可得， 解得，B错误； 对于C：由上可知，因为， 所以不是的一条对称轴，C错误； 对于D：若，即，可得，解得， 因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确. 故选：D. 8. 是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ） A. 10 B. 13 C. 22 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解. 【详解】因为对于任意的，都有，， 所以为的一条对称轴，为的一个对称中心， 故 所以为的周期， 由得，又由时，有， 可以画出与的图象，如图： 由于也关于对称，且当时，， 由图象可得，函数共有13个零点，故所有零点之和为. 故选：D 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有错选得得0分. 9. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（ ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点单位圆上第二次重合 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】对于A，由点，可知， 扇形的面积，故A错误； 对于B，经过1s，点转过了2rad，所以点的坐标为，故B正确； 对于C，经过1s，点在的终边上，点在2rad的终边上， 所以扇形的弧长为，故C错误； 对于D，要使得点第二次重合，则点走过的弧长减去点走过的弧长等于， 设经过了，则，解得，故D正确． 故选：BD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是钝角 B. 若，则为第三象限角或第四象限角 C. 角与角的终边相同 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，A错误； 对于B，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，B错误； 对于C，∵，C正确； 对于D，若为第二象限角，则，，所以，， 若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，D正确. 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题.每题5分，共15分. 12. 求函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答. 【详解】函数有意义，则，即， 解，得， 解，得，于是， 所以所求定义域为. 故答案为： 13. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 【答案】. 【解析】 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 14. 已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不等式关系，求解即可． 【详解】因为，所以， 依题意得，解得． 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用诱导公式将角全部化成，再约分化简即可. （2）由条件代入解析式得，利用诱导公式求解即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， ， 故. 16. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则 （1）求关于x的函数关系式； （2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； 【小问2详解】 易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 17. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【小问1详解】 设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； 【小问2详解】 由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 18. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）设函数，若，求t的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【小问1详解】 因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即在上的值域． 【小问3详解】 由（1）知． 因，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 0 （1）求实数的值和函数的解析式； （2）若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象． （i）求的单调递减区间； （ii）当时，方程有解，求的取值范围． 【答案】（1），，，； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可得过点，且其最大值为2，即可求得函数的解析式，再分别由，和求解即可； （2）（i）由图象的平移可得，结合正弦函数的性质求解即可； （ii）求得函数在上的值域为，由求解即可. 【小问1详解】 根据表中已知数据可知：过点， 且其最大值为2，故可得， 由，解得， 故， 所以，解得：， ，解得：， ，解得：． 综上，，，，； 【小问2详解】 （i）， 令，解得：， 即， 所以的单调递减区间为； （ii）当，使得方程有解，即有解， 即， 因为，所以， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以， 解得：． 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $