第三单元：长方体和正方体（期中知识清单）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册 第三单元：长方体和正方体（期中复习讲义） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）定义：一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 ①两个面相交的边叫做棱。 ②三条棱相交的点叫做顶点。 ③相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体的特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长 ①正方体的12条棱的长度都相等。 ②正方体的棱长总和＝棱长×12 ③正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 【易错点】 （1）正方体是特殊的长方体，特殊在长、宽、高都相等。 （2）长方体中，若有2个相对面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形。 （3）数棱时要按组计数，避免重复或遗漏。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 （1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6 （2）用字母表示：S＝6a2 【易错点】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和体积单位 （1）体积定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 （2）体积单位间的进率 ①每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 ②1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （3）体积单位间的换算： ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 2、长方体的体积 （1）长方体的体积＝长×宽×高 （2）如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 3、正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 4、长方体、正方体体积通用公式 （1）长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 （2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 （3）如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 5、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 6、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体和正方体的认识及特征 【典型例题】想一想，围一围。小明要用下面几种规格的纸板（数量足够多）围长方体，他已经选了两个②号纸板，还要再选两个（ ）号纸板和两个（ ）号纸板。 【答案】 ③ ④ 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面积是正方形），相对面的面积相等；据此解答。 【详解】如图： 小明已经选了两个②号纸板，还要再选两个③号纸板和④号纸板。 【练习】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（     ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 【答案】C 【分析】观察第一个图形：从这个角度看，“林”字和“奥”字、“匹”字相邻。 观察第二个图形：从这个角度看，“奥”字和“学”字、“数”字相邻。 观察第三个图形：从这个角度看，“林”字和“数”字、“克”字相邻。“奥”字相邻的面有“林”“匹”“学”“数”，而正方体的六个面分别为“数、学、奥、林、匹、克”，所以“奥”字对面的字只能是“克”。据此解答。 【详解】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是“克”。 故答案为：C 考点2：长方体的展开图和有关棱长的应用 【典型例题】已知一个长方体礼品盒长20厘米，宽20厘米，高15厘米。用丝带对礼品盒进行包扎，接头处长30厘米。至少需要丝带多少米？ 【答案】1.7米 【分析】观察丝带的包扎方式，包扎礼盒所需的丝带长度为2条长、2条宽和4条高，再加上接头处的30厘米，接着分别求出这些棱的长度总和，最后将单位换算成米，即可求出至少需要的丝带长度。 【详解】20×2＋20×2＋15×4＋30 ＝40＋40＋60＋30 ＝170（厘米） 170厘米＝1.7米 答：至少需要丝带1.7米。 【练习1】下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 【答案】 15 6 5 【分析】长方体上下面相对，左右面相对，前后面相对，相对的面完全一样，如图，上下面的长和宽是长方体的长和宽，看图可知，长×2＋高×2＝40cm，因此高＝（40－长×2）÷2，据此解答。 【详解】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 原来这个长方体的长是15cm，宽是6cm，高是5cm。 【练习2】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要（ ）m长的彩灯线。 【答案】170 【分析】根据题意可知，地面的四条棱（两条长、两条宽）不计算，那么彩灯线的长度为剩余长方体的棱的组合，需计算四条高（连接上下底面的垂直棱）和天花板的四条边（两条长、两条宽），即总长度＝4×高＋2×长＋2×宽。 【详解】4×10＋2×40＋2×25 ＝40＋80＋50 ＝120＋50 ＝170（m） 因此，工人叔叔至少需要170m长的彩灯线。 考点2：正方体的展开图和有关棱长的应用 【典型例题】用铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把铁丝重新改装成正方体框架，正方体棱长（ ）厘米。（不计损耗） 【答案】6 【分析】根据题意可知：铁丝的长度不变，也就是长方体框架和正方体框架的棱长总和相等。先根据长方体棱长总和公式：总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入长8厘米、宽6厘米、高4厘米，求出长方体的棱长总和；再根据正方体有12条相等的棱，用棱长总和除以12，求出正方体的棱长。 【详解】（8＋6＋4）×4 ＝（14＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 72÷12＝6（厘米） 所以用铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把铁丝重新改做成正方体框架，正方体棱长6厘米。 【练习1】一个长方体纸箱，从里面量长6dm，宽5dm，高4dm，如果要把棱长为2dm的正方体纸盒（不可拆分）装进纸箱内，最多可以装（     ）个。 A．15 B．12 C．10 【答案】B 【分析】分别计算长方体纸箱的长、宽、高方向上能容纳的正方体纸盒数量，再将三者相乘。长方向：纸箱长6dm，正方体棱长2dm，可装6÷2＝3（个）。宽方向：纸箱宽5dm，5÷2＝2（个）……1（dm），剩余空间不足装1个，即宽方向可装2个。高方向：纸箱高4dm，可装4÷2＝2（个）。最多可装的数量为3×2×2＝12（个）。 【详解】长方向：6÷2＝3（个） 宽方向：5÷2＝2（个）……1（dm） 高方向：4÷2＝2（个） 3×2×2＝12（个） 所以最多可以装12个正方体纸盒。 故答案为：B 【练习2】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体（ ）中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到动物是否可以吃到它喜欢的食物。 【详解】①属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猫和它喜欢的食物鱼在正方体的相对面上，所以①中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ②属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猴子和它喜欢的食物桃子在正方体的相对面上，所以②中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ③属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小兔子和它喜欢的食物胡萝卜不在正方体的相对面上，小兔子相对的面是3，胡萝卜相对的面是1，所以③中的动物不可以吃到它喜欢的食物。 ④属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小狗和它喜欢的食物骨头在正方体的相对面上，所以④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 由此可知，正方体①②④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 考点3：长方体的表面积 【典型例题】用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）平方厘米。长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】 72 360 【分析】减少的表面积等于两个接触面的面积。每个接触面的面积是棱长×棱长。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，代入数据求出一个正方体的表面积，进而得出2个正方体的表面积，再减去减少的面积就是长方体的表面积。 【详解】2×（6×6） ＝2×36 ＝72（平方厘米） 6×（6×6）×2－72 ＝6×36×2－72 ＝432－72 ＝360（平方厘米） 【练习1】一间长方体仓库，长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米（如图）。给仓库四面墙和地面涂上防潮漆，每平方米用漆0.8千克，至少需要买多少千克防潮漆？ 【答案】124.8千克 【分析】根据题意可知，涂漆的面积＝底、左、右、前、后面的面积－门的面积，据此用长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门的宽×门的高即可求出涂漆的面积，再乘0.8即可求出需要买多少千克防潮漆。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2－2×2 ＝48＋（32＋24）×2－4 ＝48＋56×2－4 ＝48＋112－4 ＝160－4 ＝156（平方米） 156×0.8＝124.8（千克） 答：至少需要买124.8千克防潮漆。 【练习2】一根长方体木料，它的横截面面积是10cm2。如果把它截成3段，那么它的表面积增加（ ）cm2。 【答案】40 【分析】把长方体木料截成3段，需要截2次，每截1次会增加2个横截面，因此总共增加4个横截面，已知每个横截面面积为10cm2，用4乘10即可求出增加的表面积。 【详解】2×2×10 ＝4×10 ＝40（cm2） 表面积增加40cm2。 考点4：正方体的表面积 【典型例题】用48分米长的铁丝围成一个正方体铁丝框，它的棱长是（ ）分米，用铁皮给这个正方体框架配上6个面，要准备（ ）平方分米铁皮。 【答案】 4 96 【分析】第①空：正方体有12条长度相等的棱，48分米是棱长总和，根据“棱长＝总棱长÷12”计算出棱长。 第②空：正方体6个面是完全相同的正方形，先依据“棱长×棱长”计算出一个面的面积，然后再用一个面的面积乘6即可得到6个面总面积。 【详解】48÷12＝4（分米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 【练习1】有一个长10cm、宽8cm、高4cm的长方体木块，从中截取一个最大的正方体木块。这个正方体木块的表面积是（     ）cm2。 A．320 B．240 C．192 D．96 【答案】D 【分析】已知一个长10cm、宽8cm、高4cm的长方体木块，从中截取一个最大的正方体木块。正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值，因为4厘米＜8厘米＜10厘米，所以正方体的棱长为4厘米，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式即可解答。 【详解】由分析可知，正方体的棱长为4厘米， 正方体的表面积为（平方厘米） 故答案为：D 【练习2】如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 【答案】150平方分米 【分析】观察图形可知，切去一个长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，所以剩下的表面积等于正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 答：剩下图形的面积是150平方分米。 考点5：体积和体积单位 【典型例题】下面物品中，体积最接近1dm3的是（     ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 【答案】B 【分析】要判断哪个物品体积最接近1dm3，需先对各选项物品的体积大小有基本认知，结合体积单位1dm3（可想象为棱长1dm的正方体体积）的实际大小，对比各物品体积。 【详解】A．校徽很薄，体积远小于1dm3，一般用平方厘米衡量面积，排除。 B．一本《辞海》字典，长、宽、厚大概在几分米的尺度，其体积接近1dm3。 C．橡皮擦体积较小，通常以立方厘米为单位，远小于1dm3，排除。 D．洗衣机体积很大，远大于1dm3，一般用立方米或立方分米衡量，但数值远大于1，排除。 所以体积最接近1dm3的是一本辞海字典。 故答案为：B 【练习】7.05立方米＝（ ）立方分米    2.13立方分米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 【答案】 7050 2 130 【分析】1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，大单位转换为小单位需乘进率，小单位转换为大单位需除以进率。据此解答。 【详解】7.05×1000＝7050（立方分米） 2.13立方分米＝2立方分米＋0.13立方分米，0.13×1000＝130（立方厘米），所以2.13立方分米＝2立方米130立方厘米 考点6：长方体的体积 【典型例题】有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】94 平方厘米 【分析】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。 【详解】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2 ＝ （12＋15＋20）2 ＝ 472 ＝ 94（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。 【练习1】有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【答案】（1）12000立方厘米 （2）20厘米 【分析】（1）长方体容器的长×宽×水深＝水的体积，据此列式解答； （2）根据水深＝水的体积÷容器底面积，列式解答即可。 【详解】（1）50×30×8＝12000（立方厘米） 答：长方体容器中水的体积是12000立方厘米。 （2）12000÷（30×20） ＝12000÷600 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 【练习2】聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是（ ）立方分米。 【答案】120 【分析】把长方体木料沿横截面锯成3段，增加了4个截面，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。 【详解】4米＝40分米 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（平方分米） 3×40＝120（立方分米） 所以这根木料原来的体积是120立方分米。 考点7：正方体的体积 【典型例题】中国木雕艺术起源于新石器时期，七千多年前的浙江余姚河姆渡已有木雕品。李阿姨是一名木雕爱好者，她想雕刻一个物件，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，把长7厘米，宽5厘米，高9厘米的长方体木材削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】125 【分析】把长7厘米，宽5厘米，高9厘米的长方体木材削成一个最大的正方体，则这个正方体的边长为5厘米，再根据正方体体积＝边长×边长×边长，即可求出这个正方体的体积是多少立方厘米。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 即这个正方体的体积是125立方厘米。 【练习1】把一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（只列综合算式不计算） 【答案】8×8×8÷16÷5 【分析】由题可知，正方体钢坯和长方体钢板的体积相等，已知正方体棱长是8厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体钢坯的体积；再根据“长方体体积＝长×宽×高”得“长方体的高＝体积÷长÷宽”计算出长方体的高，即为这块钢板的厚度，据此列式为8×8×8÷16÷5。 【详解】8×8×8÷16÷5 ＝64×8÷16÷5 ＝512÷16÷5 ＝32÷5 ＝6.4（厘米） 答：这块钢板厚6.4厘米。 【练习2】一个正方体玻璃缸，棱长5分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20平方分米的长方体玻璃水槽中，槽内水的深度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】6.25分米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出水的体积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用水的体积除以长方体玻璃水槽的底面积即可求出槽内水的深度。 【详解】5×5×5÷20 ＝125÷20 ＝6.25（分米） 答：槽内水的深度是6.25分米。 考点8：容积和容积单位 【典型例题】中国素有“礼仪之邦”的美誉，待人接物处处有讲究，倒茶便是其中一项，待客时倒茶不宜过满，通常只倒茶杯容量的一多半。乐乐烧了一壶2升的开水，准备泡茶招待客人，如果每次给一个茶杯倒大约300毫升水，这壶开水最多能泡（ ）杯茶。妈妈网购了20个同款茶杯，而每个包装盒最多装6个茶杯，把这些茶杯全部装完，最少需要（ ）个包装盒。 【答案】 6 4 【分析】根据1升＝1000毫升，据此进行单位换算，然后用乐乐烧水的总容量除以每个茶杯的容量，得到理论数量，再结合实际情况，采用去尾法取整数。 不管最后剩下多少个茶杯，只要不够装一盒，也要准备一个盒子，用茶杯的数量÷每盒装杯子的数量，结果用“进一法”解答。 【详解】2升＝2000毫升 2000÷300≈6（杯） 20÷6≈4（个） 所以这壶开水最多能泡6杯茶；把这些茶杯全部装完，最少需要4个包装盒。 【练习】3.34m2＝（ ）dm2         10.8m2＝（ ）dm2 2800mL＝（ ）L＝（ ）dm3 【答案】 334 1080 2.8 2.8 【分析】 再依据“高级单位转低级单位乘进率；低级单位转高级单位除以进率”进行单位的换算。 【详解】 考点9：组合体的表面积和体积 【典型例题】下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 【答案】表面积：1128平方分米；体积：2880立方分米 【分析】（1）据图可知，这个“三级台阶”的表面积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的表面积减去一个长×宽的面再减去2个长是6分米宽是4分米的长方形的面积再减去2个长是（4×2）分米宽是6分米的长方形的面积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽列式计算即可求出表面积； （2）这个“三级台阶”的体积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的体积减去一个长是20分米宽是6分米高是4分米的长方体的体积再减去一个长是20分米宽是6分米高是（4×2）分米的长方体的体积，结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【详解】6×3＝18（分米） 4×3＝12（分米） （20×18＋20×12＋18×12）×2－20×18－6×4×2－4×2×6×2 ＝（360＋240＋216）×2－360－24×2－8×6×2 ＝816×2－360－48－48×2 ＝1632－360－48－96 ＝1272－48－96 ＝1224－96 ＝1128（平方分米） 20×18×12－20×6×4－20×6×（4×2） ＝360×12－120×4－120×8 ＝4320－480－960 ＝3840－960 ＝2880（立方分米） 答：这个“三级台阶”的表面积是1128平方分米，体积是2880立方分米。 【练习】求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：262cm2；体积：236cm3 【分析】观察可知，该图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的侧面积，该图形的体积＝大长方体体积＋小长方体体积，根据，分别代入数据计算即可。 【详解】表面积： （cm2） 体积： （cm3） 考点10：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】如图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4dm，体积为6dm3的假山石，如果以每分钟5L的速度向缸内注水，那么至少需要（     ）分钟才能将假山石完全淹没。 A．13.2 B．14.4 C．16.8 【答案】A 【分析】根据题意，要将假山石完全淹没，那么鱼缸内水面的高度等于假山石的高度4dm，此时鱼缸内水面高4dm的体积等于注入水的体积与假山石的体积之和，则注入水的体积等于鱼缸内水面高4dm的体积减去假山石的体积，结合长方体的体积公式V＝abh，求出注入水的体积；再用注入水的体积除以每分钟的注水量，求出将假山石完全淹没需要的时间。 【详解】5L＝5dm3 6×3×4－6 ＝72－6 ＝66（dm3） 66÷5＝13.2（分钟） 那么至少需要13.2分钟才能将假山石完全淹没。 故答案为：A 【练习】一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，完全浸没在水中的石头假山的体积等于水面上升部分的水的体积，先用水面上升后的高度4.2分米减原来的水面高度3分米，计算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式“长方体体积＝长×宽×高”，用鱼缸的长8分米乘宽5分米乘水面上升的高度，即可求出石头假山的体积，据此解答。 【详解】计算水面上升的高度4.2－3＝1.2（分米） 计算石头假山的体积长方体体积＝长×宽×高 8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这个石头假山的体积是48立方分米。 一、选择题 1．乐乐用一根64cm长的铁丝制成了一个长方体框架（接头处忽略不计），相交于同一个顶点的三条棱的长度之和是（     ）。 A．4cm B．8cm C．16cm 【答案】C 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4即可求出长、宽、高的和，相交于一个顶点的三条棱的长度的和也就是长、宽、高的和，据此解答。 【详解】 相交于同一个顶点的三条棱的长度之和是16cm。 故答案为：C 2．王叔叔的长方体油箱的底面积是15dm2，高是40cm，这个油箱的体积是（     ）。 A．600cm3 B．60 dm3 C．600 dm3 【答案】B 【分析】已知长方体的底面积和长方体的高，根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】40cm＝4dm （dm3） 这个油箱的体积是60dm3。 故答案为：B 3．一个高为5cm的长方体，其底面是一个边长为3cm的正方形，它的体积是（     ）cm3。 A．15 B．45 C．75 【答案】B 【分析】已知长方体的底面是一个边长为3cm的正方形，根据正方形的面积公式，求出长方体的底面积；再根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】长方体的底面积：（cm2） 长方体的体积：（cm3） 故答案为：B 4．如图所示是一个用8个小正方体拼成的大正方体，如果拿走一个小正方体，这个大正方体的表面积将（     ），体积将（     ）（填入“变大，变小，不变”）。 A．变大，不变 B．不变，变小 C．变小，变大 【答案】B 【分析】将8个小正方体拿走1个小正方体后，则体积用8个小正方体的体积减去1个小正方体体积；拿走1个小正方体后并未增加或减少小正方体的面，由此即可选择。 【详解】大正方体体积＝8×小正方体体积，拿走一个正方体后体积＝8×小正方体体积－1×小正方体体积＝7×小正方体体积，则这个大正方体的体积将变小； 拿走1个小正方体后并未增加或减少小正方体的面，即这个大正方体的表面积将不变。 故答案为：B 5．将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（     ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 【答案】C 【分析】先将18L进行单位换算转化为mL，然后用纯净水的总数除以一个小瓶子能装的容量，即可求出所需小瓶子的数量。 【详解】 （个） 最少需要36个这样的小瓶子。 故答案为：C 二、填空题 6．将展开图沿虚线折叠成如图所示的长方体，上面盖住的数是（ ）。 【答案】4 【分析】根据长方体的展开图可知：数字1的右面是数字5，数字1左面是数字6，数字1下面是数字2，数字1上面是数字4，数字1对面是数字3，根据遮盖的位置以及数字的相邻关系即可判断，据此解答。 【详解】根据分析可知： 上面盖住的数是4。 7．在下面括号里填上合适的单位。 （1）一间教室所占空间大约240（ ）。 （2）一瓶酱油大约500（ ）。 （3）一辆小汽车油箱容积是50（ ）。 （4）一张床的占地面积大约是3.2（ ）。 【答案】（1）立方米/m3 （2）毫升/mL （3）升/L （4）平方米/m2 【详解】（1）一间教室是一个长方体，长、宽、高分别用米作为单位，则得到的空间大约占240立方米。 （2）一瓶普通矿泉水的容积大概是500毫升，一瓶酱油的容积与矿泉水相当，则一瓶酱油大约500毫升。 （3）一般家用车的油箱容积在50升左右，则一辆小汽车油箱容积是50升。 （4）一张床的占地面积是一个长方形，则长、宽所用单位是米，则一张床的占地面积大约是3.2平方米。 8．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米。鱼缸的占地面积是（ ）平方分米，至少需要玻璃（ ）平方分米。 【答案】 40 196 【分析】（1）占地面积指的是底面积，用长×宽即可； （2）无盖鱼缸，只有前后左右下面5个面，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2即可。 【详解】（1）8×5＝40（平方分米） （2）40＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝136＋60 ＝196（平方分米） 9．明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米；体积是（ ）立方厘米。 【答案】 40 32 【分析】首先，我们需要理解长方体的特性，即它有12条棱，分为3组，每组4条，相互平行的棱的长度相等。然后，我们需要选择合适的小棒来搭建长方体，可选4根长2厘米，8根长4厘米的小棒，据此计算出长方体的棱长总和和体积。 【详解】 =104 =40（厘米） 10．在（    ）里填上合适的数。 ＝（ ）                  4040mL＝（ ）L 1.65L＝（ ）                        ＝（ ） 5600mL＝（ ）L（ ）mL               4.08L＝（ ）L（ ）mL 【答案】 0.00508 4.04 1650 2.05 5 600 4 80 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以。 11．李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要（ ）平方厘米的牛皮纸。 【答案】1440 【分析】要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼在一起后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 12．一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是（ ）m，放在地面上最小的占地面积是（ ）。 【答案】 60 20 【分析】第①空：棱长之和利用长方体12条棱分成“4条长、4条宽、4条高”，用（长＋宽＋高）×4计算出12条棱的总长度； 第②空：占地面积是底面面积（长×宽），需算出长×宽、长×高、宽×高三个面的面积，找最小值。 【详解】第①空： （6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（m） 第②空： 6×5＝30（） 6×4＝24（） 5×4＝20（）。 30＞24＞20 比较后最小面积是20。 13．一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是（ ）。 【答案】2 【分析】把这个长方体木料沿横截面截成两段，需要锯1次，每锯一次就会多出2个长方体的横截面，由此可得锯成2段后表面积是增加了2个横截面的面积，由此可以求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，即可解答． 【详解】80dm2＝0.8m2 0.8÷2×5 ＝0.4×5 ＝2（m3） 14．科学课上，为了制作火山爆发的模型，万老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物0.6L。将这些混合物装满8个同样的玻璃瓶后还剩24mL，每个玻璃瓶里装入了（ ）mL的混合物。 【答案】72 【分析】因为0.6升＝600毫升，先用600毫升减去24毫升，求出倒入8个同样的玻璃瓶内的混合物的毫升数；再除以8，即可求出每个玻璃瓶里装入了多少毫升的混合物。 【详解】0.6L＝600mL （600－24）÷8 ＝576÷8 ＝72（mL） 15．多功能教室里有一排储物柜（如图），这排储物柜长2米，宽0.4米，高1.2米，它的占地面积是（ ）平方米，每个小储物柜所占空间是（ ）立方米。 【答案】 0.8 0.064 【分析】根据长方形的面积公式：长方形面积＝长×宽，把数据代入公式求出占地面积；根据长方体的体积公式：观察图形可知，储物柜的总个数为5×3＝15个，长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式求出这排储物柜总体积，然后除以储物柜的总个数即可。 【详解】2×0.4＝0.8（平方米） 2×0.4×1.2÷（5×3） ＝2×0.4×1.2÷15 ＝0.8×1.2÷15 ＝0.96÷15 ＝0.064（立方米） 16．壮壮用一根72cm长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个框架的棱长是（ ）cm。如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要（ ）cm2的纸，得到正方体的体积是（ ）cm3。 【答案】 6 216 216 【分析】正方体框架的棱长＝铁丝长÷12，据此求出这个框架的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可解答。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 这个框架的棱长是6厘米，如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要216平方厘米的纸，得到正方体的体积是216立方厘米。 17．一个长方体纸箱长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是（ ）升，做这样一个纸箱至少需要纸板（ ）平方分米。 【答案】 96 128 【分析】根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容积。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体的表面积，即需要纸板的面积，注意单位名数的换算。 【详解】6×4×4 ＝24×4 ＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝（48＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 一个长方体纸箱长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是96升，做这样一个纸箱至少需要纸板128平方分米。 18．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是（ ）立方厘米。 【答案】350 【分析】石头的体积等于它完全浸没后排开的水的体积。水箱是长方体，底面积由长和宽相乘得到，水面上升的高度已知，因此石头的体积可以通过底面积乘上升的高度计算。 【详解】＝140（平方厘米） ＝350（立方厘米） 所以，这块石头的体积是350立方厘米。 19．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有（ ）个。 【答案】 54 24 7 【分析】（1）该模型的表面积等于棱长是3厘米（3个1厘米的小正方体）的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长3厘米，计算即可。 （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出一个小正方体的体积，再数出围成这个立体图形的小正方体的数量。用数量乘每个小正方体的体积，即可算出这个立体图形的体积。此模型比棱长是3厘米的正方体少了3个小正方体，所以此模型的小正方体数量为3×3×3－3＝24（个）。 （3）完整的棱长是3厘米的正方体模型中，三个面涂上红色的小正方体是8个角上的8个小正方体，但在此模型中，正面左上角和右下角的两个小正方体都是四个面涂了红色，中间一个小正方体的三个面涂上了红色，所以用8减去这两个四面涂红的小正方体，再加上中间这个三面涂红的小正方体，就可得到三个面是红色的小正方体的个数。 【详解】（1）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） （2）（3×3×3－3）×（1×1×1） ＝（27－3）×1 ＝24×1 ＝24（立方厘米） （3）8－2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 所以，三个面涂上红色的小正方体有7个。 因此，由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是54平方厘米，体积是24立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有7个。 20．把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 （1）原来的长方体木料的宽是（ ）分米，高是（ ）分米。 （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多（ ）平方分米。 【答案】（1） 4 4 （2）64 【分析】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【详解】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 三、解答题 21．抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？ 【答案】1080微克 【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，把数据代入公式求出这间密闭房间的空间，然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。 【详解】（立方米） （微克） 答：这个房间的细颗粒物一共有1080微克。 22．一间教室长9米，宽8米，高3米，门窗面积合计18平方米，如果每平方米用0.5千克涂料粉刷，地面和门窗除外，共用涂料多少千克？如果每千克卖15元，粉刷这间教室需要多少钱？ 【答案】 78千克；1170元 【分析】先根据“粉刷面积＝长×宽＋宽×高×2＋长×高×2－门窗面积”计算出需要粉刷的面积；用粉刷面积乘每平方米用的涂料质量即可求总共需要的涂料质量；根据“单价×数量＝总价”用总共需要的涂料质量乘每千克的价格即可求粉刷教室需要的费用。 【详解】9×8＋8×3×2＋9×3×2－18 ＝9×8＋24×2＋27×2－18 ＝72＋48＋54－18 ＝120＋54－18 ＝174－18 ＝156（平方米） 156×0.5＝78（千克） 78×15＝1170（元） 答：共用涂料78千克；粉刷这间教室需要1170元。 23．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【答案】表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 24．向阳小学建一个长60米、宽25米、深2米的长方体游泳池。请你算一算。 （1）在游泳池的底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁四周1.5米高处用红漆画一条水位线，水位线的全长是多少米？ 【答案】（1）1840平方米 （2）170米 【分析】游泳池是一个无盖的长方体，抹水泥的部分包括1个底面和4个侧面。根据长方体表面积的计算方法，求出底面积与侧面积之和即可。 水位线是沿游泳池内壁四周画的一条闭合线，其长度等于游泳池底面的周长，与水位线距离底部的高度无关。 【详解】（1）60×25＋（60×2＋25×2）×2 ＝1500＋（120＋50）×2 ＝1500＋170×2 ＝1500＋340 ＝1840（平方米） 答：抹水泥的面积是1840平方米。 （2）（60＋25）×2 ＝85×2 ＝170（米） 答：水位线的全长是170米。 25．万老师用铁皮制作一个环保回收箱（无盖），他已经画出其中的两个面，如图。（每个小方格的边长表示1dm） （1）回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是（ ）dm、（ ）dm、（ ）dm。 （2）要保证制作回收箱所用的铁皮最少，请你在方格纸上画出回收箱的其他三个面。 （3）做这样一个回收箱至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】（1） 6 4 4 （2）见详解 （3）104dm2 【分析】（1）观察给出的两个面，结合长方体棱的特征（相交于同一顶点的三条棱分别对应长、宽、高），可以确定三条棱的长度分别为6dm、4dm、4dm。 （2）无盖回收箱缺少一个顶面，要让铁皮用量最少，需要让最大的面（6×4）作为底面，再围绕底面画出另外两个长×高的面和一个宽×高的面，保证各个面的边长与已知棱长相匹配。 （3）无盖长方体的表面积只需计算5个面的面积之和，即1个底面（6×4）＋2个长×高的侧面（6×4）＋2个宽×高的侧面（4×4）。 【详解】（1）回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是6dm、4dm、4dm。 （2）画图如下： （3）6×4＋（6×4＋4×4）×2 ＝24＋（24＋16）×2 ＝24＋40×2 ＝24＋80 ＝104（dm2） 26．一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高10厘米，先往玻璃缸里注入水，水深9厘米，再把两块棱长为8厘米的正方体石块放入玻璃缸中，溢出的水是多少毫升？ 【答案】274 毫升 【分析】先计算玻璃缸内剩余空间的体积，剩余空间是一个长方体，水深9厘米，剩余空间高10－9＝1厘米，长方体体积＝，把数据代入公式计算即可，再根据正方体体积＝，计算两块正方体石块体积，石块占据玻璃缸的空间，剩余空间不够，水会溢出，所以得到数量关系：溢出水的体积＝两块正方体石块的体积－长方体玻璃缸内剩余空间的体积，据此解答。 【详解】玻璃缸内剩余空间的体积： 30×25×（10－9） ＝30×25×1 ＝750（立方厘米） 两块正方体石块的总体积： 8×8×8×2 ＝64×8×2 ＝512×2 ＝1024（立方厘米） 溢出水的体积： 1024－750＝274（立方厘米） 274立方厘米＝274毫升 答：溢出的水是 274 毫升。 27．要制作一个长1米、宽3分米、高5分米的长方体无盖玻璃容器。 （1）制作这个玻璃容器，至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果向容器中倒入60升的水，这时容器内的水距离容器口还有多少分米？ 【答案】（1）160 平方分米 （2）3 分米 【分析】由题干可知，长方体容器长1米，宽3分米，高5分米。单位不统一，要先换算单位， 1 米＝10 分米。要计算需要多少平方分米的玻璃，因为容器无盖，所以只要计算底面、前面和后面、左面和右面 5 个面的面积之和即可。 将水的体积 60 升换算为 60 立方分米。先求出容器内水的高度，根据长方体体积公式“长方体的体积＝底面积×高”可得，容器内水的高度＝水的体积÷容器的底面积。再用容器的高减去水的高度，就是水距离容器口的高度。 【详解】（1）1米＝10分米 10×3＋（10×5＋3×5）×2 ＝30＋（50＋15）×2 ＝30＋65×2 ＝30＋130 ＝160（平方分米） 答：至少需要玻璃 160 平方分米。 （2）60L＝60 立方分米 60÷（10×3） ＝60÷30 ＝2（分米） 5－2＝3（分米） 答：这时容器内的水距离容器口还有 3 分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册 第三单元：长方体和正方体（期中复习讲义） 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）定义：一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 ①两个面相交的边叫做棱。 ②三条棱相交的点叫做顶点。 ③相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体的特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长 ①正方体的12条棱的长度都相等。 ②正方体的棱长总和＝棱长×12 ③正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 【易错点】 （1）正方体是特殊的长方体，特殊在长、宽、高都相等。 （2）长方体中，若有2个相对面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形。 （3）数棱时要按组计数，避免重复或遗漏。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 （1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6 （2）用字母表示：S＝6a2 【易错点】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和体积单位 （1）体积定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 （2）体积单位间的进率 ①每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 ②1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （3）体积单位间的换算： ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 2、长方体的体积 （1）长方体的体积＝长×宽×高 （2）如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 3、正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 4、长方体、正方体体积通用公式 （1）长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 （2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 （3）如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 5、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 6、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体和正方体的认识及特征 【典型例题】想一想，围一围。小明要用下面几种规格的纸板（数量足够多）围长方体，他已经选了两个②号纸板，还要再选两个（ ）号纸板和两个（ ）号纸板。 【练习】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（     ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 考点2：长方体的展开图和有关棱长的应用 【典型例题】已知一个长方体礼品盒长20厘米，宽20厘米，高15厘米。用丝带对礼品盒进行包扎，接头处长30厘米。至少需要丝带多少米？ 【练习1】下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm。 【练习2】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要（ ）m长的彩灯线。 考点2：正方体的展开图和有关棱长的应用 【典型例题】用铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，把铁丝重新改装成正方体框架，正方体棱长（ ）厘米。（不计损耗） 【练习1】一个长方体纸箱，从里面量长6dm，宽5dm，高4dm，如果要把棱长为2dm的正方体纸盒（不可拆分）装进纸箱内，最多可以装（     ）个。 A．15 B．12 C．10 【练习2】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体（ ）中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 考点3：长方体的表面积 【典型例题】用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）平方厘米。长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【练习1】一间长方体仓库，长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米（如图）。给仓库四面墙和地面涂上防潮漆，每平方米用漆0.8千克，至少需要买多少千克防潮漆？ 【练习2】一根长方体木料，它的横截面面积是10cm2。如果把它截成3段，那么它的表面积增加（ ）cm2。 考点4：正方体的表面积 【典型例题】用48分米长的铁丝围成一个正方体铁丝框，它的棱长是（ ）分米，用铁皮给这个正方体框架配上6个面，要准备（ ）平方分米铁皮。 【练习1】有一个长10cm、宽8cm、高4cm的长方体木块，从中截取一个最大的正方体木块。这个正方体木块的表面积是（     ）cm2。 A．320 B．240 C．192 D．96 【练习2】如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 考点5：体积和体积单位 【典型例题】下面物品中，体积最接近1dm3的是（     ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 【练习】7.05立方米＝（ ）立方分米    2.13立方分米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 考点6：长方体的体积 【典型例题】有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【练习1】有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【练习2】聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是（ ）立方分米。 考点7：正方体的体积 【典型例题】中国木雕艺术起源于新石器时期，七千多年前的浙江余姚河姆渡已有木雕品。李阿姨是一名木雕爱好者，她想雕刻一个物件，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，把长7厘米，宽5厘米，高9厘米的长方体木材削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【练习1】把一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（只列综合算式不计算） 【练习2】一个正方体玻璃缸，棱长5分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为20平方分米的长方体玻璃水槽中，槽内水的深度是多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 考点8：容积和容积单位 【典型例题】中国素有“礼仪之邦”的美誉，待人接物处处有讲究，倒茶便是其中一项，待客时倒茶不宜过满，通常只倒茶杯容量的一多半。乐乐烧了一壶2升的开水，准备泡茶招待客人，如果每次给一个茶杯倒大约300毫升水，这壶开水最多能泡（ ）杯茶。妈妈网购了20个同款茶杯，而每个包装盒最多装6个茶杯，把这些茶杯全部装完，最少需要（ ）个包装盒。 【练习】3.34m2＝（ ）dm2         10.8m2＝（ ）dm2 2800mL＝（ ）L＝（ ）dm3 考点9：组合体的表面积和体积 【典型例题】下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 【练习】求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 考点10：“排水法”求不规则物体体积 【典型例题】如图，一个无水观赏鱼缸中放有一块高为4dm，体积为6dm3的假山石，如果以每分钟5L的速度向缸内注水，那么至少需要（     ）分钟才能将假山石完全淹没。 A．13.2 B．14.4 C．16.8 【练习】一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？ 一、选择题 1．乐乐用一根64cm长的铁丝制成了一个长方体框架（接头处忽略不计），相交于同一个顶点的三条棱的长度之和是（     ）。 A．4cm B．8cm C．16cm 2．王叔叔的长方体油箱的底面积是15dm2，高是40cm，这个油箱的体积是（     ）。 A．600cm3 B．60 dm3 C．600 dm3 3．一个高为5cm的长方体，其底面是一个边长为3cm的正方形，它的体积是（     ）cm3。 A．15 B．45 C．75 4．如图所示是一个用8个小正方体拼成的大正方体，如果拿走一个小正方体，这个大正方体的表面积将（     ），体积将（     ）（填入“变大，变小，不变”）。 A．变大，不变 B．不变，变小 C．变小，变大 5．将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（     ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 二、填空题 6．将展开图沿虚线折叠成如图所示的长方体，上面盖住的数是（ ）。 7．在下面括号里填上合适的单位。 （1）一间教室所占空间大约240（ ）。 （2）一瓶酱油大约500（ ）。 （3）一辆小汽车油箱容积是50（ ）。 （4）一张床的占地面积大约是3.2（ ）。 8．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米。鱼缸的占地面积是（ ）平方分米，至少需要玻璃（ ）平方分米。 9．明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米；体积是（ ）立方厘米。 10．在（    ）里填上合适的数。 ＝（ ）                  4040mL＝（ ）L 1.65L＝（ ）                        ＝（ ） 5600mL＝（ ）L（ ）mL               4.08L＝（ ）L（ ）mL 11．李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要（ ）平方厘米的牛皮纸。 12．一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是（ ）m，放在地面上最小的占地面积是（ ）。 13．一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是（ ）。 14．科学课上，为了制作火山爆发的模型，万老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物0.6L。将这些混合物装满8个同样的玻璃瓶后还剩24mL，每个玻璃瓶里装入了（ ）mL的混合物。 15．多功能教室里有一排储物柜（如图），这排储物柜长2米，宽0.4米，高1.2米，它的占地面积是（ ）平方米，每个小储物柜所占空间是（ ）立方米。 16．壮壮用一根72cm长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个框架的棱长是（ ）cm。如果在这个框架的表面糊一层纸，至少需要（ ）cm2的纸，得到正方体的体积是（ ）cm3。 17．一个长方体纸箱长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是（ ）升，做这样一个纸箱至少需要纸板（ ）平方分米。 18．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是（ ）立方厘米。 19．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有（ ）个。 20．把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 （1）原来的长方体木料的宽是（ ）分米，高是（ ）分米。 （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多（ ）平方分米。 三、解答题 21．抽烟会使密闭的室内（细颗粒物）含量急剧升高。如果在一间长6m、宽6m、高3m的密闭房间里抽烟，会导致室内每立方米的空间内含有10微克（一种质量单位）的细颗粒物。这个房间的细颗粒物一共有多少微克？ 22．一间教室长9米，宽8米，高3米，门窗面积合计18平方米，如果每平方米用0.5千克涂料粉刷，地面和门窗除外，共用涂料多少千克？如果每千克卖15元，粉刷这间教室需要多少钱？ 23．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 24．向阳小学建一个长60米、宽25米、深2米的长方体游泳池。请你算一算。 （1）在游泳池的底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁四周1.5米高处用红漆画一条水位线，水位线的全长是多少米？ 25．万老师用铁皮制作一个环保回收箱（无盖），他已经画出其中的两个面，如图。（每个小方格的边长表示1dm） （1）回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是（ ）dm、（ ）dm、（ ）dm。 （2）要保证制作回收箱所用的铁皮最少，请你在方格纸上画出回收箱的其他三个面。 （3）做这样一个回收箱至少需要铁皮多少平方分米？ 26．一个长方体玻璃缸，从里面量长30厘米，宽25厘米，高10厘米，先往玻璃缸里注入水，水深9厘米，再把两块棱长为8厘米的正方体石块放入玻璃缸中，溢出的水是多少毫升？ 27．要制作一个长1米、宽3分米、高5分米的长方体无盖玻璃容器。 （1）制作这个玻璃容器，至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果向容器中倒入60升的水，这时容器内的水距离容器口还有多少分米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $