第13章　数据的分析 习题课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的集中趋势”第1课时，核心内容为平均数与加权平均数，通过生活实例（如小区用水量、体育测试成绩）导入，衔接基础数据收集知识，为后续数据离散程度学习搭建支架。 其亮点在于融入跨学科情境（跳绳成绩统计、体重调查）和实际问题（什锦糖单价比较），以数据观念引导学生用数学眼光观察现实，通过方程思想和逻辑推理培养运算能力与模型意识。学生能提升数据分析应用能力，教师可借助分层练习（基础夯实、能力提升）优化教学效率。

第13章　数据的分析 13.3　数据的离散程度 第1课时　数据的离散程度  　数据的离散程度 1.(2025山东德州禹城期末)甲、乙两人在相同条件下各射击10 次,两人的成绩(单位:环)如图所示,下列说法正确的是 ( )     D A.甲的平均成绩更高,成绩也更稳定 B.甲的平均成绩更高,但乙的成绩更稳定 C.乙的平均成绩更高,成绩也更稳定 D.乙的平均成绩更高,但甲的成绩更稳定 解析　观察折线统计图可知甲的成绩波动比乙小,则甲的成 绩更加稳定.甲的平均成绩在5以下,而乙的平均成绩在5以上, 则乙的平均成绩更高.故选D. 2.甲、乙、丙、丁四位同学近两次月考在班级的名次如下表 所示: 学生 甲 乙 丙 丁 第一次月考排名 1 2 3 4 第二次月考排名 2 4 6 8 这四位同学中,近两次月考在班级的名次波动最大的是 ( ) A.甲　　　    B.乙　　　    C.丙　　　    D.丁 D     解析　观察题表可知,甲退步了1名,乙退步了2名,丙退步了3 名,丁退步了4名,∴近两次月考在班级的名次波动最大的是丁.   3.【学科特色·易错题】(2025山东德州夏津期末,★★☆)某中 学八年级一班和二班各选取了20名学生进行安全教育竞赛答 题,得分情况经统计整理为如图所示的折线图.请结合折线图 分析班级成绩更稳定的是 ( )     A     A.一班　 　　     B.二班 C.一样稳定　　　     D.无法判断 解析　观察折线统计图可知,一班20名学生的成绩分别为1,1, 1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,二班20名学生的成绩分别为 1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,一班的成绩较集中,波动 较小,各数据偏离平均数的范围较小,∴一班的成绩更稳定,故 选A. 易错警示　注意正确理解折线统计图中横、纵坐标表示的实 际意义. 4.(2024河南中考,★★☆)为提升学生体质健康水平,促进学生 全面发展,学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组 织的篮球联赛中,甲、乙两名队员表现优异,他们在近六场比 赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下. 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息,回答下列问题. (1)这六场比赛中,得分更稳定的队员是______(填“甲”或 “乙”);甲队员得分的中位数为27.5分,乙队员得分的中位数 为______分. (2)请从得分方面分析这六场比赛中,甲、乙两名队员谁的表 现更好. (3)规定队员的综合得分为平均每场得分×1+平均每场篮板× 1.5+平均每场失误×(-1),且综合得分越高表现越好.请利用这 种评价方法,比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好. 解析    (1)甲;29. (2)∵甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分,且甲的得分 更稳定,∴甲队员表现更好. (3)甲的综合得分为26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5. 乙的综合得分为26×1+10×1.5+3×(-1)=38. ∵38>36.5,∴乙队员表现更好. $第13章　数据的分析 13.3　数据的离散程度 第2课时　数据的方差  　离差 1.一次数学测验后,随机抽取6名学生的成绩如下:87,88,82,89, 91,97,则这组数据中,最低分82的离差是_______. 　-7     解析　这组数据的平均数是 =89,82-89 =-7,∴最低分82的离差是-7.  　离差平方和与方差 2.已知一组数据3,4,6,7,那么这组数据的离差平方和为 ( ) A.6　　　    B.8　　　    C.10　　　    D.12     C 解析　这组数据的平均数为 =5,∴这组数据的离差 平方和为(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10. 3.(2024黑龙江龙东地区中考)一组数据2,3,3,4,则这组数据的 方差为 ( ) A.1　　　    B.0.8　　　    C.0.6　　　    D.0.5     D     解析　这组数据的平均数是 =3,则这组数据的方差 为 ×[(2-3)2+2×(3-3)2+(4-3)2]=0.5.故选D. 4.(2024四川广元中考)在某文艺晚会节目评选中,某班选送的 节目得分如下:91,96,95,92,94,95,95,分析这组数据,下列说法 错误的是 ( ) A.中位数是95　　　    B.方差是3 C.众数是95　　 　    D.平均数是94     B     解析　把这组数据从小到大排列为91,92,94,95,95,95,96,∴中 位数是95,故选项A说法正确,不符合题意;平均数为 ×(91+92 +94+95×3+96)=94,故选项D说法正确,不符合题意;方差为 × [(91-94)2+(92-94)2+(94-94)2+3×(95-94)2+(96-94)2]= ,故选项B 说法错误,符合题意;95出现的次数最多,∴众数是95,故选项C 说法正确,不符合题意.  　方差的应用 5.(2024上海中考)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花, 它们的开花时间的平均数和方差如表所示.从甲、乙、丙、 丁中选一个开花时间最短并且最平稳的是 ( )     B     种类 甲 乙 丙 丁 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A.甲种类　    B.乙种类 C.丙种类　　   D.丁种类 解析　∵甲、乙两种花开花时间的平均数最小, ∴从甲种类和乙种类中进行选择, ∵甲的方差大于乙的方差, ∴开花时间最短并且最平稳的是乙种类. 6.(2025山东青岛中考)为弘扬传统文化,培养学生的劳动意识, 某校在端午节期间举行了包粽子活动,每个粽子的标准质量 为100 g.甲、乙两名同学各包了5个粽子,每个粽子的质量(单 位:g)如下: 甲:103,99,100,101,97; 乙:99,103,105,95,98. 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是______(填 “甲”或“乙”). 　甲     解析　甲包的粽子质量的平均数为 =100, 甲包的粽子质量的方差为 ×[(103-100)2+(99-100)2+(100-100)2 +(101-100)2+(97-100)2]=4;乙包的粽子质量的平均数为  =100,乙包的粽子质量的方差为 ×[(99- 100)2+(103-100)2+(105-100)2+(95-100)2+(98-100)2]=12.8. ∵4<12.8,∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲.   7.(2025山东烟台福山期中,★★☆)若一组数据13,14,15,16,x的 方差比另一组数据1,2,3,4,5的方差大,则x的值可能是 ( ) A.12　　　    B.16　　　    C.17　　　    D.18 D     解析　数据1,2,3,4,5中,相邻两个数的差为1,数据13,14,15,16,x 中,前四个数据相邻两个数的差也是1,当x=17或x=12时,两组 数据的方差相等,∵数据13,14,15,16,x的方差比数据1,2,3,4,5 的方差大,∴x的值可能是18.故选D. 8.(2025山东烟台中考,★★☆)求一组数据方差的算式为s2=  ×[(6- )2+(8- )2+(8- )2+(6- )2+(7- )2].由算式提供的信息,下列 说法错误的是     ( ) A.n的值是5 B.该组数据的平均数是7 C.该组数据的众数是6 D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小     C     解析　由算式得这组数据为6,6,7,8,8,∴n的值是5,平均数是  =7,故选项A,B说法正确,不符合题意;数据6与8出 现的次数最多,∴众数为6,8,故选项C说法错误,符合题意;若该 组数据加入两个数7,7,则这组新数据的离差平方和不变,数据 个数变多,∴方差变小,故选项D说法正确,不符合题意. 9.(2025山东烟台蓬莱期末,★★☆)如果一组数据x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是2,方差是2,则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5 -2的平均数和方差分别是 ( ) A.2,2　　　    B.2,6　　　    C.4,4　　　    D.4,18     D     解析　∵一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是2,∴x1+x2+ x3+x4+x5=2×5=10,s2= [(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2]=2, ∴另一组数据的平均数为 ×(3x1-2+3x2-2+3x3-2+3x4-2+3x5-2)=  ×[3(x1+x2+x3+x4+x5)-2×5]= ×(3×10-2×5)=4,故另一组数据的方差为 ×[(3x1-2-4)2+(3x2-2-4)2+(3x3-2-4)2+(3x4-2-4)2+(3x5-2-4)2]=  ×[9(x1-2)2+9(x2-2)2+9(x3-2)2+9(x4-2)2+9(x5-2)2]=9×2=18,故选D. 10.(★★☆)一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别标有数 字1,2,3,4,5,6),投掷5次,分别记录每次骰子向上的一面出现的 数字.根据下面的统计结果,能得出记录的这5个数字中一定没 有出现数字6的是( ) A.中位数是3,众数是2 B.平均数是3,中位数是2 C.平均数是3,方差是2 D.平均数是3,众数是2     C     解析　当中位数是3,众数是2时,记录的5个数字可能为2,2,3,4, 5或2,2,3,4,6或2,2,3,5,6,故选项A不合题意;当平均数是3,中位 数是2时,5个数之和为15,记录的5个数字可能为1,1,2,5,6或1,2, 2,4,6或2,2,2,3,6等,故选项B不合题意;当平均数是3时,5个数之 和为15,假设6出现了1次,方差最小的情况下另外4个数字为1, 2,3,3,此时方差为 ×[(1-3)2+(2-3)2+2×(3-3)2+(6-3)2]=2.8>2,∴平 均数是3,方差是2时,一定没有出现数字6,故选项C符合题意; 当平均数是3,众数是2时,5个数之和为15,记录的5个数字可能 为1,2,2,4,6或2,2,2,3,6等,故D选项不合题意.故选C. 11.(2025山东淄博桓台期末,★★☆)有一组数据2,4,5,10,a,其中整数a是这组数据的中位数,则该组数据的方差是____________.     7.2或6.96 解析　将这组数据从小到大排列为2,4,a,5,10,∵a为整数,∴a= 4或a=5.当a=4时,这组数据的平均数为 =5,此时 方差为 ×[(2-5)2+2×(4-5)2+(5-5)2+(10-5)2]=7.2.当a=5时,这组数 据的平均数为 =5.2,此时方差为 ×[(2-5.2)2+(4- 5.2)2+2×(5-5.2)2+(10-5.2)2]=6.96.综上所述,这组数据的方差为 7.2或6.96. 12.(★★☆)学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知 识竞赛,为便于统计成绩,制定了取整数的计分方式,满分10分. 竞赛成绩如图所示: (1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗?通过 计算说明. (2)请根据图表中的信息,回答下列问题. 众数/分 中位数/分 方差/分2 八年级竞赛 成绩 7 8 1.88 九年级竞赛 成绩 a 8 b ①表中的a=_______,b=_______. ②现要给成绩突出的年级颁奖,如果分别从众数和方差两个 角度来分析,你认为应该给哪个年级颁奖? (3)若规定成绩为10分获一等奖,成绩为9分获二等奖,成绩为8 分获三等奖,则哪个年级的获奖率高? 解析    (1)由题意得,八年级成绩的平均数是(6×7+7×15+8×10 +9×7+10×11)÷50=8(分),九年级成绩的平均数是(6×8+7×9+8×14+9×13+10×6)÷50=8(分),∴八、九年级成绩的平均数相同,故用平均数无法判断哪个年级的成绩比较好. (2)①8;1.56. 详解:九年级竞赛成绩中,8分的人数最多,∴众数为8分;九年级 竞赛成绩的方差为 ×[8×(6-8)2+9×(7-8)2+14×(8-8)2+13× (9-8)2+6×(10-8)2]=1.56(分2). ②如果从众数角度看,八年级竞赛成绩的众数为7分,九年级竞 赛成绩的众数为8分,∴应该给九年级颁奖;如果从方差角度 看,八年级竞赛成绩的方差大于九年级竞赛成绩的方差,且两 个年级竞赛成绩的平均数相同,∴九年级的成绩的波动小, ∴应该给九年级颁奖.综上所述,应该给九年级颁奖. (3)八年级的获奖率为(10+7+11)÷50×100%=56%,九年级的获 奖率为(14+13+6)÷50×100%=66%,∵66%>56%,∴九年级的获 奖率高.   13.【新课标·应用意识】元旦假期,小明一家游览某公园,公园 内有一假山,假山上有条石阶小路,其中两段台阶的高度如图1 所示(图1中的数据表示每一级台阶的高度,单位:cm).请你运 用所学的统计知识,解决以下问题. (1)把每一级台阶的高度作为数据,请从统计知识方面(平均数、中位数)说一下这两段台阶有哪些相同点和不同点. (2)在甲、乙两段台阶上行走,哪段会比较舒服?你能用所学知 识说明理由吗? (3)为方便行走,公园决定修整这两段台阶,在不改变台阶数量 和台阶总体高度的前提下,应该怎样修改会比较好(在图2上 填写数据)?并说明你的方案的设计思路. 解析    (1)将甲、乙两段台阶每一级台阶的高度从小到大排 列如下: 甲:10,12,15,17,18,18;乙:14,14,15,15,16,16, 则甲段台阶每一级台阶的高度的中位数是(15+17)÷2=16, 平均数是 ×(10+12+15+17+18+18)=15, 乙段台阶每一级台阶的高度的中位数是(15+15)÷2=15, 平均数是 ×(14+14+15+15+16+16)=15, 故两段台阶每一级台阶的高度的平均数相同,中位数不同. (2)在乙段台阶上行走会比较舒服. 理由: = ×[(10-15)2+(12-15)2+(15-15)2+(17-15)2+(18-15)2+(18 -15)2]= ,  = ×[(14-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(16-15)2] = , ∵ > ,∴乙段台阶每一级台阶的高度波动较小,故在乙段台 阶上行走会比较舒服. (3)修改如下:   甲 乙 $第13章自主检测 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(2025四川泸州合江期末)某班在开展劳动教育课程调查中 发现,第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3,7,5,6,5,4, 则这组数据的平均数为 ( ) A.4　　　    B.5　　　    C.6　　　    D.7     B     解析　这组数据的平均数为 ×(3+7+5+6+5+4)=5,故选B. 2.(2025四川内江中考)某体育用品专卖店在一段时间内销售 了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示: 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 1 3 10 4 2 这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是  ( ) A.24.5,25    B.25,25    C.25,25.5    D.25.5,26     B     解析　由题表可知,这组数据中25出现的次数最多,∴这组数 据的众数为25.将数据按从小到大的顺序排列后,处于最中间 位置的两个数分别是25,25,∴这组数据的中位数为25. 3.(2024四川德阳中考)为了推进“阳光体育”,学校积极开展 球类运动,在一次定点投篮测试中,每人投篮5次,七年级某班 统计全班50名学生投中的次数,并记录如下: 投中次数 0 1 2 3 4 5 人数 1 ● 10 17 ● 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了,下列关于投中次数 的统计量中可以确定的是( ) A.平均数     B.中位数     C.众数     D.方差     C     解析　由题意可知,被墨汁遮盖的两数和为50-1-10-17-6=16, ∴投中3次的人数最多,是17,∴投中次数的统计量中可以确定 的是众数,故选C. 4.阿成全班32人参加学校的英文听力测验,如图所示的是全校 与全班成绩的箱线图.若阿成的成绩恰为全校的中位数,则下 列关于阿成在班上排名的叙述,正确的是 ( ) A.在第2~7名之间　　　     B.在第8~15名之间 C.在第16~21名之间　　　     D.在第21~25名之间     A     解析　∵阿成的成绩恰为全校的中位数, ∴阿成的成绩为70分,在全班成绩箱线图中恰好落在第三四 分位数和最大值之间,32× =8, ∴阿成在班上的排名应在第2~7名之间, 故选A. 5.(2025四川德阳中考)德阳市正积极推进城市轨道交通建设, 假设已经规划的5条线路长度分别为28千米,30千米,30千米, 26千米,32千米.若后续又新增一条线路,使得新增后这6条线路 长度的中位数变为29千米,众数保持不变,那么新增线路长度 可能是 ( ) A.25千米　　　    B.28千米 C.29千米　　　    D.30千米     A     解析　数据28千米,30千米,30千米,26千米,32千米的众数为30 千米.∵后续新增一条线路,使得新增后这6条线路长度的中位 数变为29千米,众数保持不变,∴新增线路长度不可能是28千 米,30千米,故选项B,D不符合题意;当新增线路长度是25千米 时,数据25千米,26千米,28千米,30千米,30千米,32千米的中位 数为 =29(千米),众数为30千米,故选项A符合题意;当新增线路长度是29千米时,数据26千米,28千米,29千米,30千米,30千 米,32千米的中位数为 =29.5(千米),故选项C不符合题意. 6.(2025山东临沂沂南期末)某学习小组5名同学测试成绩如图 所示,拿到试卷后,小刚发现自己的成绩少加了15分,老师加回 分数后,下列说法正确的是 ( )     C     A.小刚的成绩位于组内中上等水平 B.该小组成绩不存在中位数 C.小组的成绩稳定性增加,方差变小 D.小组成绩的平均数增加2 解析　由题图可知,其他4名同学的成绩约为81分,88分,90分, 92分,小刚加分前的成绩约为69分,则小刚加分后的成绩为69+ 15=84(分),将5名同学的成绩数据按从小到大的顺序排列为 81,84,88,90,92,小刚的成绩处于中下等水平,不是中上等水平, 故选项A错误;该小组成绩的中位数为88,故选项B错误;小刚 加分前,小组成绩的平均数为 =84,方差为  ×[(88-84)2+(81-84)2+(69-84)2+(90-84)2+(92-84)2]=70,小刚加分 后,小组成绩的平均数为 =87,方差为 ×[(88 -87)2+(81-87)2+(84-87)2+(90-87)2+(92-87)2]=16,∵16<70,∴方 差变小,小组成绩稳定性增加,故选项C正确;小刚加分前,小组 成绩的平均数为84,加分后小组成绩的平均数为87,平均数增 加了87-84=3,故选项D错误. 二、填空题(每小题5分,共20分) 7.(2025甘肃兰州中考)射箭运动项目中,新手成绩通常不太稳 定.甲和乙同时进行12次射箭练习后,成绩的统计数据如下表, 请根据表中信息估计新手是______.(填写“甲”或“乙”) 　甲     甲 乙 平均成绩 (环) 6.58 7.67 方差s2 6.91 0.72 解析　由题表可知,甲成绩的平均数小于乙,且方差大于乙, ∴甲的平均成绩低于乙,且成绩波动幅度大于乙, ∴估计新手是甲. 8.(2025上海浦东新区模拟)一组数据100,101,99,98,102的离差 平方和是__________.     10     解析　数据100,101,99,98,102的平均数为  =100, ∴离差平方和为(100-100)2+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+ (102-100)2=10. 9.(2025山东烟台期末)某班数学综合与实践活动小组的5位同 学在一次数学测验中的成绩分别为81分,83分,89分,85分,87 分,经过计算,这组数据的方差为m,小红和小明同学也想加入 该小组,并且两人成绩均为85分,若加入后小组成绩的方差 为n,则m和n的大小关系为___________.     m>n     解析　原来这组数据的平均数为 =85,方差 m= ×[(81-85)2+(83-85)2+(89-85)2+(85-85)2+(87-85)2]=8.加入两 个数据后,新数据的平均数为 =85, 方差n= ×[(81-85)2+(83-85)2+(89-85)2+(87-85)2+3×(85-85)2]=  ,∵8> ,∴m>n. 10.已知甲、乙两组按从小到大的顺序排列的数据: 甲组:27,28,37,m,40,50; 乙组:24,n,34,43,48,52. 若这两组数据的第一四分位数、第二四分位数分别对应相 等,则 =_________. 解析　∵6×25%=1.5,∴甲组第一四分位数为28,乙组第一四 分位数为n,∴n=28.∵6×50%=3,∴甲组第二四分位数为  ,乙组第二四分位数为 = ,则 = ,解得m= 40,∴ = = . 三、解答题(共44分) 11.(2025广东广州中考)(22分)为了弘扬中华优秀传统文化,某 校开展主题为“多彩非遗,国韵传扬”的演讲比赛.评委从演 讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分,各项成绩均按 百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列), 他们的单项成绩如表所示: 选手 内容 能力 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制),能否以此 确定两人的名次? (2)如果评委认为“内容”这一项最重要,内容、能力、效果 的成绩按照4∶3∶3的比例确定,以此计算两名选手的平均成 绩(百分制),并确定两人的名次. (3)如果你是评委,请按你认为各项的“重要程度”设计三项 成绩的比例,并解释设计的理由. 解析    (1)甲的平均成绩为 =90(分),乙的平均成绩 为 =90(分),∴不能以平均成绩确定两人的名次. (2)甲的最终成绩为 =90.8(分),乙的最终成 绩为 =89.8(分). ∵90.8>89.8,∴甲排第一,乙排第二. (3)将内容、能力和效果三项的成绩按3∶4∶3的比例确定两 人的测试成绩,理由:能力比内容更重要(答案不唯一). 12.(2024山东泰安中考改编)(22分)某超市打算购进一批苹果. 现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个,测得 它们的直径(单位:mm),并制作统计图如下: 根据以上信息,解答下列问题: (1) 　　　统计量 供应商　  平均数 中位数 众数 甲 80 80 b 乙 m a 76 则m=______,a=______,b=______. (2)苹果直径的方差越小,苹果的大小越整齐,据此判断,_____(填“甲”或“乙”)供应商供应的苹果大小更为整齐. (3)超市规定直径在82 mm以上(含82 mm)的苹果为大果.超市 打算购进甲供应商的苹果2 000个,其中大果约有多少个? 解析    (1)由题意得m=(75+76×3+79+80+81+83+86+88)÷10= 80;把乙供应商的10个苹果的直径按从小到大的顺序排列,排在 最中间位置的两个数分别是79,80,∴中位数a= =79.5;甲 供应商的10个苹果的直径中,83出现的次数最多,∴众数b=83. (2)甲的方差为 ×[(76-80)2+(77-80)2+(78-80)2+(79-80)2+2×(80 -80)2+(81-80)2+3×(83-80)2]=5.8;乙的方差为 ×[(75-80)2+3× (76-80)2+(79-80)2+(80-80)2+(81-80)2+(83-80)2+(86-80)2+(88-80)2] =18.4,∵5.8<18.4,∴甲供应商供应的苹果大小更为整齐. (3)抽取的甲供应商供应的10个苹果中大果有3个, 2 000× =600(个). 答:大果约有600个. $第13章　数据的分析 13.3　数据的离散程度 第3课时　数据的组内离差平方和  　数据的组内离差平方和 1.已知一组数据:10,8,9,8,11.刘丽将这些数据分成了两组,第一 组:8,8;第二组:9,10,11.则此分组情况下的组内离差平方和是  ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     B     解析　第一组数据的平均数为 =8,则其离差平方和为(8- 8)2+(8-8)2=0;第二组数据的平均数为 =10,则其离差平 方和为(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2=2,∴此分组情况下的组内离 差平方和是0+2=2.故选B. 2.在分组时要求“组内离差平方和最小”,其目的是 ( ) A.使每组数据量相等 B.使每组组内数据差异尽可能小,组间数据差异尽可能大 C.减少计算复杂度 D.保证组间均值相等     B 解析　在分组时要求“组内离差平方和最小”,目的是使每 组组内数据差异尽可能小,组间数据差异尽可能大. 3.甲、乙、丙三人分别将同一组数据分成两组并计算出其组 内离差平方和:甲. =5,乙. =1.25,丙. =7.5,则______同学的 分法能使两个组组内数据的离散程度最小. 　乙     解析　∵1.25<5<7.5,∴乙同学的分法能使两个组组内数据的 离散程度最小. 4.为考察某品种小麦的长势,测量了8株麦苗的高度(单位:cm), 数据如下:21,26,22,24,25,24,25,21.按照“组内离差平方和达 到最小”的方法,把这8个数据分成两组. 解析　将8个数据从小到大排列为21,21,22,24,24,25,25,26,不 同分组情况的组内离差平方和如表, 分组情况 第1组数据 第2组数据 组内离差 平方和 第1种 21 21,22,24,24, 25,25,26   第2种 21,21 22,24,24,25, 25,26   分组情况 第1组数据 第2组数据 组内离差 平方和 第3种 21,21,22 24,24,25,25,26   第4种 21,21,22,24 24,25,25,26 8 第5种 21,21,22,24,24 25,25,26   第6种 21,21,22,24,24,25 25,26   第7种 21,21,22,24,24,25,25 26   比较可知,第3种情况的组内离差平方和最小,故把这8个数据 分成的两组是{21,21,22}和{24,24,25,25,26}.   5.(★★☆)将一组数据分成了两组,第一组有5个数据,第二组 有3个数据,其组内离差平方和为 =(x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+ (x4-3)2+(x5-3)2+(x6-4)2+(x7-4)2+(x8-4)2,则这8个数据的平均数是 ____. 解析　根据组内离差平方和计算公式,得第一组5个数据的平 均数是3,第二组3个数据的平均数是4, ∴这8个数据的平均数是 ×(5×3+3×4)= . 6.(★★☆)下面是某校八年级10名学生平均每周的锻炼时长 (单位:小时):9,6,9,7,10,8,6,9,7,9.小明、小红分别将这些时长 数据分成两组,情况如下: 小明 第1组 6,6,7,7 第2组 8,9,9,9,9,10 小红 第1组 6,6,7,7,8 第2组 9,9,9,9,10 若要使组内数据的离散程度小,他们的分组方式谁的更好?请 说明理由. 解析　小明的分组方式更好.理由如下: 小明:第1组数据的平均数为 ×(6×2+7×2)=6.5,第2组数据的平 均数为 ×(8+9×4+10)=9,∴此分组情况的组内离差平方和为2 ×(6-6.5)2+2×(7-6.5)2+(8-9)2+4×(9-9)2+(10-9)2=3. 小红:第1组数据的平均数为 ×(6×2+7×2+8)=6.8,第2组数据的 平均数为 ×(9×4+10)=9.2, ∴此分组情况的组内离差平方和为2×(6-6.8)2+2×(7-6.8)2+(8- 6.8)2+4×(9-9.2)2+(10-9.2)2=3.6. ∵3.6>3, ∴要使组内数据的离散程度小,小明的分组方式更好. $第13章　数据的分析 13.1　数据的集中趋势 第2课时　中位数  　中位数 1.(2024浙江中考)某班有5位学生参加志愿服务的次数分别为 7,7,8,10,13,则这5位学生参加志愿服务次数的中位数为 ( ) A.7　　　    B.8　　　    C.9　　　    D.10 B     解析　将5个数据从小到大排列为7,7,8,10,13,处于最中间位 置的数据是8,∴这5位学生参加志愿服务次数的中位数为8. 2.(2025四川泸州中考)一组数据3,2,6,7,4,6的中位数是______.     5     解析　将这组数据从小到大排列为2,3,4,6,6,7,处于最中间位 置的两个数为4和6, =5,∴这组数据的中位数为5. 3.(2025广东东莞南城一模)某中学举行“宪法伴你我,守护一 生安”的演讲比赛中,有15名学生进入决赛,他们决赛的成绩 各不相同,其中一名学生想知道自己能否进入前7名,不仅要了 解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的________. 　中位数     解析　前15名学生成绩的中位数是将成绩按大小顺序排列后 第8名学生的成绩,该学生想要知道自己能否进入前7名,不仅 要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的中位数,进行 比较即可.  　中位数与平均数 4.(2024江苏无锡中考)一组数据31,32,35,37,35,这组数据的平 均数和中位数分别是 ( ) A.34,34　　　    B.35,35　　　     C.34,35　　　    D.35,34     C     解析     ×(31+32+35+37+35)= ×170=34,则这组数据的平均 数是34.把这组数据从小到大排列为31,32,35,35,37,处于最中 间位置的数是35,则中位数为35. 5.(2025山东淄博桓台期中)一组数据5,6,6,x,7,8,9的平均数是 7,则中位数是 ( ) A.6　　　    B.6.5　　　    C.7　　　    D.8     C     解析　由题意得 =7,解得x=8,∴将这组数 据从小到大排列为5,6,6,7,8,8,9,处于最中间位置的数是7,∴中 位数为7,故选C. 6.(2025山东菏泽定陶期末)已知一组数据-3,x,3,-2,6的中位数 是1,则这组数据的平均数为_______.     1     解析　∵一组数据-3,x,3,-2,6的中位数是1,∴x=1,则这组数据 为-3,-2,1,3,6,∴这组数据的平均数为 ×(-3-2+1+3+6)=1. 7.(2025山东聊城冠县期末)阅读有益的课外书不但有助于学 生开阔视野、培养广泛的兴趣爱好,而且可以帮助学生增长 见识.某校为鼓励学生阅读课外书籍,组织八年级全体同学参 加了假期海量读书活动,随机抽查了部分学生的读书本数,进 行整理后绘制成如图所示的统计图,请根据统计图中的信息, 解答下列问题: (1)被抽取学生读书本数的中位数为_______. (2)求被抽取学生读书本数的平均数. (3)若参加此次读书活动的学生共有200名,请你估计读书本数 不低于6的学生有多少名.   解析    (1)样本容量为1+2+6+6+5=20,根据题意可知,将被抽取 学生的读书本数从小到大排列后,处于最中间位置的两个数 为6,6,∴被抽取学生读书本数的中位数为 =6. (2) =5.6, ∴被抽取学生读书本数的平均数为5.6. (3)200× =110(名). 答:估计读书本数不低于6的学生有110名.   8.(2025山东济南钢城期末,★★☆)第8个全国近视防控宣传 教育月的主题是“有效减少近视发生 共同守护光明未来”. 我校积极响应,开展视力检查.某班45名同学视力检查数据如 下表: 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是 ( ) A.4.6　　　    B.4.7　　　    C.4.8　　　    D.4.9     B     解析　将45个数据从小到大排列后,处于最中间位置的数是 第23个数.∵1+4+4+7=16,1+4+4+7+11=27,∴第23个数为4.7, ∴中位数为4.7. 9.(2024江苏苏州中考,★★☆)某公司拟推出由7个盲盒组成 的套装产品,现有10个盲盒可供选择,统计这10个盲盒的质量 如图所示.序号为1到5的盲盒已选定,这5个盲盒质量的中位数 恰好为100,6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个,7号盲盒从丁、 戊中选择1个,使选定的7个盲盒质量的中位数仍为100,则可以 选择 ( )     C     A.甲、丁　　　    B.乙、戊　　　     C.丙、丁　　　    D.丙、戊 解析　将选定的7个盲盒按质量从小到大排序,则第4个盲盒 的质量为中位数,即100,∴需要使选定的7个盲盒中,有3个质 量超过100克,3个质量低于100克,∴选定的6号盲盒和7号盲盒 的质量应该一个超过100克,另一个低于100克,∴选定的盲盒 可以是甲和戊或乙和丁或丙和丁,故选C. 10.(2025山东淄博高新区期中,★★☆)在一组数据21,30,8,5,20 中插入一个数,恰好得中位数是19,则插入的数是__________.     18     解析　设插入的数是x,则共有6个数据,∵中位数是19,∴6个 数从小到大排列后,处于最中间位置的两个数只能为x,20, ∴(20+x)÷2=19,解得x=18,∴插入的数是18. 11.(2025山东泰安新泰期末,★★☆)在“经典诵读”比赛活 动中,某校甲、乙两班各12名学生的参赛成绩如图所示,那么 甲班12名学生参赛成绩的中位数______乙班12名学生参赛成 绩的中位数(填“>”“<”或“=”).        　>     解析    观察甲班参赛成绩统计图可知,甲班12名学生的参赛 成绩从小到大排列为85分,85分,90分,90分,90分,90分,95分,95 分,95分,95分,95分,100分,∴甲班12名学生参赛成绩的中位数 为 =92.5(分).观察乙班参赛成绩统计图可知,成绩为85 分的学生人数为12× =3,成绩为90分的学生人数为12×  =4,成绩为95分的学生人数为12× =3,∴成绩为100分的学 生人数为12-3-4-3=2,∴乙班12名学生的参赛成绩从小到大排 列为85分,85分,85分,90分,90分,90分,90分,95分,95分,95分,100 分,100分,∴乙班12名学生参赛成绩的中位数为 =90 (分).∵92.5>90,∴甲班12名学生参赛成绩的中位数>乙班12名 学生参赛成绩的中位数. 12.【学科特色·分类讨论思想】(2025山东烟台蓬莱期中,★★★) 一组数据1,3,5,x的平均数与中位数相同,则x的值是__________. -1或3或7     解析　数据1,3,5,x的平均数为 = .当x<1时,这组 数据的中位数为 =2,∴ =2,解得x=-1;当1≤x≤5时,这 组数据的中位数为 ,∴ = ,解得x=3;当x>5时,这组 数据的中位数为 =4,∴4= ,解得x=7.综上所述,x的值是 -1或3或7. 13.(2025山东威海中考,★★☆)为深入实施科教兴国战略,加 快提升广大青少年科技素养,某区市开展了科技素养测评活 动,内容包括知识测试和实践创新两部分.所有参赛学生的总 成绩均不低于70分,总成绩x(单位:分)分为三个等级:优秀(90 ≤x<100),良好(80≤x<90),一般(70≤x<80).总成绩在80分及以 上的人数占总人数的百分比是优良率. 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况,整理了这 次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据,部 分信息如下: 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 30% a 区市 85.3 87 35% 75%   请根据所给信息,解答下列问题: (1)求阳光中学参赛人数及a的值,并补全统计图. (2)请你对比区市测评总成绩,选择两个角度,对阳光中学参赛 学生科技素养测评情况进行评价. (3)每位参赛学生的测评总成绩由知识测试成绩和实践创新 成绩按一定的百分比折合而成.小红同学的知识测试成绩为 80分,实践创新成绩为90分,她的总成绩为87分,求知识测试成 绩和实践创新成绩各占的百分比. 解析    (1)阳光中学参赛人数为30÷30%=100, 优良率a= ×100%=80%, 阳光中学测评总成绩良好的人数为100-20-30=50, 补全统计图如下: (2)从平均数看,区市参赛学生测评总成绩的平均数大于阳光 中学,∴区市参赛学生的平均水平比阳光中学高;从优良率看, 阳光中学参赛学生的测评总成绩的优良率大于区市,∴阳光 中学参赛学生的测评总成绩等级为优秀或良好的百分比大于 区市.(答案不唯一) (3)设知识测试成绩所占百分比为x,则实践创新成绩所占百分 比为1-x,根据题意得80x+90(1-x)=87,解得x=0.3=30%,∴1-x=70%, ∴知识测试成绩所占百分比为30%,实践创新成绩所占百分 比为70%.   14.【新课标·数据观念】有甲、乙两个箱子,其中甲箱内装有 98颗球,分别标记号码1~98,且号码为不重复的整数,乙箱内没 有球.现从甲箱内拿出m颗球放入乙箱,当甲箱内球的号码的 中位数与乙箱内球的号码的中位数都是x时,求x的值. 解析　分析可知,当甲箱、乙箱内球的号码的中位数相同时, 甲箱、乙箱内球的数量应该都是偶数.设在甲箱内号码小于x 的球有c颗,则大于x的球也有c颗;设在乙箱内号码小于x的球 有d颗,则大于x的球也有d颗,于是在全部的98颗球中,号码小 于x的球有(c+d)颗,号码大于x的球也有(c+d)颗,∴x= ×(49+50) =49.5. $第13章　数据的分析 13.1　数据的集中趋势 第1课时　平均数与加权平均数  　平均数 1.(2025湖北孝感安陆期末)样本数据2,8,14,16,20的平均数是  ( ) A.8　　　    B.9　　　    C.12　　　    D.18     C     解析     =12.故选C. 2.某住宅小区6月1日~6月5日每天用水量情况如图所示,那么 这5天平均每天的用水量是 ( )     B     A.25立方米　　　    B.30立方米 C.32立方米　　　    D.35立方米 解析　由题图可知,这5天平均每天的用水量为  =30(立方米),故选B. 3.(2025山东滨州惠民期末)一组数据4,5,5,6,a的平均数为6,则 a的值是 ( ) A.7　　　    B.8　　　    C.9　　　    D.10     D     解析　根据题意得 =6,解得a=10,故选D.  　加权平均数 4.(2025山东聊城阳谷期末)某校举办了以“展礼仪风采,树文 明形象”为主题的演讲比赛.已知某位选手的礼仪服装、语 言表达、举止形态这三项的得分分别为90分,80分,80分,若依 次按照30%,45%,25%的百分比确定成绩,则该选手的成绩是  ( ) A.86分　　　    B.85分　　　    C.84分　　　    D.83分     D     解析　该选手的成绩是90×30%+80×45%+80×25%=83(分), 故选D. 5.【跨体育与健康·跳绳】(2025山东临沂沂水期末)中考体育 测试中,小明选择的考试项目之一是一分钟跳绳,小明10次一 分钟跳绳的成绩记录如下: 成绩/次 160 175 179 180 次数 2 4 2 2 则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是 ( ) A.175次　　　    B.176次　　　    C.177次　　　    D.173.8次     D     解析　小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是 ×(2×160+4× 175+2×179+2×180)=173.8(次). 6.(2025江西赣州期末)体育老师调查了本班同学的体重情况, 画出了如下频数分布直方图,那么全班同学的平均体重是 ________千克. 51.5     解析　全班同学的平均体重是  =51.5(千克). 7.(2025山东淄博高新区期中)某公司办公室欲招聘一名秘书, 现有甲、乙两名应试者,考试包含笔试和面试两个环节,两位 应试者的成绩如下表: 应试者 面试成绩/分 笔试成绩/分 甲 86 90 乙 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试同等重要,那么谁将被录取?说明理由. (2)如果公司认为面试比笔试更重要,并分别赋予它们60%和 40%的权,那么谁将被录取?说明理由. 解析    (1)甲将被录取.理由如下: 甲的成绩为 =88(分),乙的成绩为 =87.5(分). ∵88>87.5,∴甲将被录取. (2)乙将被录取.理由:甲的成绩为86×60%+90×40%=87.6(分), 乙的成绩为92×60%+83×40%=88.4(分). ∵88.4>87.6,∴乙将被录取.  　用样本平均数估计总体平均数 8.(2025河南驻马店上蔡三模)为了解本班同学做家务劳动的 情况,劳动委员小耿随机调查了本班8名同学平均每周做家务 劳动的天数:2,3,5,5,6,6,6,7,据此估计本班同学平均每周做家 务劳动的天数为 ( ) A.6　　　    B.5　　　    C.4　　　    D.3     B     解析　根据题意可知,被调查的8名同学平均每周做家务劳动 的天数为(2+3+5+5+6+6+6+7)÷8=5,故估计本班同学平均每周 做家务劳动的天数为5,故选B.   9.(2025山东淄博张店期末,★★☆)某商家常将单价不同的A, B两种糖混合成“什锦糖”出售,记“什锦糖”的单价为A,B 两种糖的总价与A,B两种糖的总质量的比.现有两种“什锦 糖”:一种是由相同质量的A种糖和B种糖混合而成的“什锦 糖”甲,另一种是由相同总价的A种糖和B种糖混合而成的 “什锦糖”乙,则下列判断正确的是 ( ) A.“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B.“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C.“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D.无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更 便宜 解析　设A种糖的单价为x元,B种糖的单价为y元,x≠y,取质量 均为m千克的A,B两种糖,则混合而成的“什锦糖”甲的单价 为 = (元),取总价均为n元的A,B两种糖,则混合而 成的“什锦糖”乙的单价为2n÷ =2n÷ =  (元).∵ - = ,2(x+y)>0,(x-y)2>0,∴ >0, ∴ > ,∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵. 答案　 A 10.【学科特色·方程思想】(2024湖北武汉东西湖期末,★★☆) 5个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则:每个人心里都想 好一个数,并把自己想好的数如实地告诉相邻的两个人,然后 每个人将与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出 来,若报出来的数如图所示,则报4的人心里想的数是 ( )       C A.7　　　    B.8　　　     C.9　　　    D.10 解析　设报4的人心里想的数是x,报1的人心里想的数是10-x, 报3的人心里想的数是x-6,报5的人心里想的数是14-x,报2的人 心里想的数是x-12,∴有x-12+x=2×3,解得x=9,即报4的人心里 想的数是9. 方法解读　方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关 系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者利用方程的 性质去分析、转化问题,使问题得到解决. 11.(2025山东烟台招远期末,★★☆)已知两组数据x1,x2,…,xn和 y1,y2,…,yn的平均数分别为5和-2,则x1+2y1,x2+2y2,…,xn+2yn的平 均数为_________.     1     解析　∵两组数据x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的平均数分别为5和 -2,∴x1+x2+…+xn=5n,y1+y2+…+yn=-2n,∴x1+2y1,x2+2y2,…,xn+2yn 的平均数为 (x1+2y1+x2+2y2+…+xn+2yn)= [(x1+x2+…+xn)+2(y1 +y2+…+yn)]= [5n+2×(-2n)]= ×(5n-4n)= ×n=1. 12.(★★☆)某小组6名学生的平均身高为a cm,规定超过a cm 的部分记为正数,不足a cm的部分记为负数,他们的身高与平 均身高的差值情况记录如下表: 学生序号 1 2 3 4 5 6 身高差值/cm +2 x +3 -1 -4 -1 据此判断,2号学生的身高为_________cm.(用含a的式子表示)     (a+1)     解析　因为6名学生的平均身高为a cm,所以2+x+3-1-4-1=0, 解得x=1,所以2号学生的身高为(a+1)cm.   13.【新课标·数据观念】某教育局为了了解该地区八年级学 生数学的基本情况,从两所学校分别抽取了一部分学生进行 数学基本功测试,其中A校40人,平均成绩为85分;B校50人,平 均成绩为95分. (1)求抽取的两所学校的学生数学测试的平均成绩.(精确到0.1 分) (2)其他条件不变,当A校抽取的学生人数为多少时,所抽取的 两校学生的平均成绩是90分? (3)根据(1)(2)中的结论,已知两组数据:a1,a2,…,am;b1,b2,…,bn的 平均数分别为a,b(a≠b),当m,n满足什么条件时,将这两组数据 合并为一组(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn)的平均数为 (a+b)?说明理由. 解析    (1)(85×40+95×50)÷(40+50)≈90.6(分),故抽取的两校学 生数学测试的平均成绩约是90.6分. (2)设当A校抽取的学生人数为x时,所抽取的两校学生的平均 成绩是90分,根据题意,得85x+95×50=90(x+50),解得x=50.故当 A校抽取的学生人数为50时,所抽取的两校学生的平均成绩是 90分. (3)当m=n时,将两组数据合并为一组(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn)的 平均数为 (a+b).理由如下: 当m=n时,数据a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn的平均数为 =  = = (a+b). $第13章　数据的分析 13.2　四分位数与箱线图  　四分位数 1.某市6月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125, 111,53,则这组数据的第75百分位数是 ( ) A.84.5　　　    B.85　　　    C.85.5　　　    D.86     D     解析　将10个数据从小到大排列为35,53,54,58,72,80,85,86, 111,125.后一半数据的中位数为86,∴这组数据的第75百分位数 是86,故选D. 2.数据23,76,45,37,58,16,28的第一四分位数是________.     23     解析　将数据从小到大排列为16,23,28,37,45,58,76,共7个数 据,7×25%=1.75, ∴第2个数据是这组数据的第一四分位数, ∴第一四分位数是23. 3.如图所示的是30名学生参加语文竞赛的成绩,求这30名学生 竞赛成绩的四分位数.   解析　∵30×25%=7.5,∴这30名学生竞赛成绩的第一四分位 数是数据从小到大排序后的第8个数据,即65.∵30×50%=15, ∴这30名学生竞赛成绩的第二四分位数是数据从小到大排序 后的第15,16个数据的平均数,即(75+76)÷2=75.5.∵30×75%= 22.5,∴这30名学生竞赛成绩的第三四分位数是数据从小到大 排序后的第23个数据,即85.  　箱线图 4.有一组被墨水污染的数据:8,5,7,★,9,★,★,10,11,其箱线图 如下:   下列说法错误的是 ( ) A.这组数据的中位数是9 B.这组数据中最小的数是5 C.这组数据的第三四分位数是10 D.被墨水污染的数据中有一个数是13     D     解析    A.由题图可得,这组数据的中位数是9,说法正确,故该 选项不符合题意;B.这组数据中最小的数是5,说法正确,故该 选项不符合题意;C.这组数据的第三四分位数是10,说法正确, 故该选项不符合题意;D.由箱线图可知这组数据中最大的数 是12,∴被墨水污染的数据中不可能有13,原说法错误,故该选 项符合题意.故选D. 5.(2024安徽芜湖期末)在箱线图中,位于最下面和最上面的实 横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值),中间箱体的 底端是第一四分位数,箱体中部的“×”表示平均值,箱体的 顶端是第三四分位数.“·”表示明显偏离样本的异常值.已知 一班和二班人数相等,在一次考试中两班成绩的箱线图如图 所示,则下列说法正确的是 ( )   A.一班成绩比二班成绩集中 B.一班成绩的第三四分位数是80 C.一班有同学的成绩超过140分 D.一班的平均分高于二班的平均分 答案　 C 解析　由题图可得二班成绩比一班成绩更集中,故A错误;一 班成绩的第一四分位数是80,故B错误;一班有异常值超过140 分,故C正确;一班的平均分低于二班的平均分,故D错误.故选C.   6.(★★☆)某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a,第50百 分位数为b,则有 ( ) A.a=13.7,b=15.5　　　    B.a=14,b=15 C.a=12,b=15.5　　 　    D.a=14.7,b=15     D     解析　该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15, 16,17,17,17, 其平均数a= ×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,第 50百分位数b= =15. 7.(★★☆)已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法 正确的是 ( ) A.这100个数据中有75个数大于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个 数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第74个数据和第75个 数据的平均数     C     解析　这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3,故选项A 错误;∵100×75%=75,75为整数,∴第75百分位数为第75个数 据和第76个数据的平均数,是9.3,故第75个数据不一定是9.3, 故选项C正确,选项B,D错误. 8.(★★☆)如图所示的是某地区2025年5月和6月的空气质量 指数(AQI)箱线图(箱体中部的“×”表示平均值,箱子外部的 点是数据中的异常值).AQI越小,空气质量越好;AQI超过200, 说明污染严重.则各选项中说法错误的是     ( )   A.该地区2025年5月有严重污染天气 B.该地区2025年6月的AQI比5月的AQI集中 C.该地区2025年5月的AQI比6月的AQI集中 D.从整体上看,该地区2025年5月的空气质量略好于6月 答案　 B 解析    5月有AQI超过200的异常值,∴该地区2025年5月有严 重污染天气,故选项A说法正确,不符合题意;5月AQI的箱体高 度比6月AQI的箱体高度小,说明5月的AQI比6月的AQI集中, 故选项B说法错误,符合题意,选项C说法正确,不符合题意;虽 然5月有严重污染天气,但5月AQI箱体整体上比6月AQI箱体 偏下且箱体高度小,5月AQI整体集中于较小值,说明整体上该 地区2025年5月的空气质量略好于6月,故选项D说法正确,不 符合题意.故选B. 9.(2024广东深圳盐田月考,★★☆)【定义】把一组数据从小 到大排列,用m表示中位数,则m把这组数据分为两部分,依次 记为S和T.用a和b分别表示S和T的中位数.这样a,m,b把所有数 据分成个数相等的四部分,称为四分位数. 【应用】甲、乙两组的测试成绩(单位:分)如下: 甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98; 乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95. (1)求甲组测试成绩的四分位数a,m,b. (2)观察图中乙组的箱线图,根据甲组的四分位数绘制甲组的 箱线图. 【理解】 (3)根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两组测试成绩 的看法. 解析    (1)将甲组的测试成绩从小到大排列为60,70,70,80,89, 91,92,96,98,100,故m= =90,a=70,b=96. (2)如图所示.   (3)根据箱线图和四分位数可知甲组的测试成绩比较分散,乙 组的测试成绩比较集中.(答案不唯一)   10.【新课标·数据观念】【学科特色·教材变式】有甲、乙两 个理财经营团队,2025年上半年这两个团队分别负责经营8项 理财产品,收益率(单位:%)如下: 甲:2.03,4.12,4.12,3.96,4.84,4.88,3.82,3.14. 乙:3.17,3.84,3.40,4.23,3.60,4.15,4.06,4.44. 团队 第25百分位数 第50百分位数 第75百分位数 甲 3.48 4.04 4.48 乙 a 3.95 b 某同学想要利用四分位数分析甲、乙两个团队的经营水平. 下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数. 请根据以上信息回答下列问题: (1)a=_______,b=_______. (2)该同学基于四分位数绘制了甲团队的箱线图,如图所示.请 你根据甲团队的箱线图在图中补全乙团队的箱线图,并根据 箱线图对甲、乙两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健 度方面作出评价. 解析    (1)将乙团队负责经营的8项理财产品的收益率(单 位:%)从小到大排列为3.17,3.40,3.60,3.84,4.06,4.15,4.23,4.44, ∵a为前4个数据的中位数,b为后4个数据的中位数,∴a=  =3.50,b= =4.19. (2)补全乙团队的箱线图,如图所示. 通过箱线图可知,甲团队产品收益率的中位数与乙团队的几 乎相等,故两个团队的总体经营效益基本一样,但乙团队的产 品收益率明显比甲团队更集中,故乙团队的经营水平比甲团 队更平稳. $第13章　数据的分析 13.1　数据的集中趋势 第3课时　众数  　众数 1.(2025四川南充中考)一次体质健康检测中,某班体育委员对 该班20名男生在一分钟内“引体向上”的次数进行了统计, 并制作如下统计表: 次数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的次数的众数是 ( ) A.6　　　    B.9　　　    C.11　　　    D.15     C     解析　这组数据中11出现的次数最多,∴这组数据的众数为11. 2.(2025湖南长沙二模)小明同学将自己前7次数学模拟测试成 绩(单位:分)整理如下表: 次数 1 2 3 4 5 6 7 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为a分,若这8次测试成绩的众数不止一个,则a 的值为 ( ) A.97　　　    B.98 C.99　　　    D.100     C     解析    ∵前7次数学模拟测试成绩中,97和100各出现了1次,98 出现了3次,99出现了2次,8次测试成绩的众数不止一个,∴第8 次测试成绩为99分,∴a=99.  　众数与平均数、中位数 3.(2025四川资阳中考)某年级7名教师某周使用人工智能(AI) 办公的次数分别为5,2,6,9,5,5,3.这组数据的众数和中位数分 别为 ( ) A.6,5　　　    B.5,9　　　    C.5,6　　　    D.5,5     D     解析　将数据从小到大排列为2,3,5,5,5,6,9,出现次数最多的 数是5,∴众数为5.处在最中间位置的数是5,∴中位数为5. 4.(2025广东梅州五华一模)某鞋厂调查了商场一个月内某款 运动鞋不同尺码的销量,在平均数、中位数、众数这三个统 计量中,该鞋厂最关注的是_______. 　众数     解析　由于众数是一组数据中出现次数最多的数,鞋厂最关 注销售量最多的鞋码,∴鞋厂最关注的是众数. 5.(2024河南郑州中原期末)某公司员工的月基本工资如下: 员工 经理 副经理 职员 A 职员 B 职员 C 职员 D 职员 E 职员 F 杂工 G 月工资/元 10 800 7 200 4 800 4 500 4 000 3 600 3 600 3 600 2 900 经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收 入情况,如下: 经理:公司员工收入很高,月平均工资为k元. 职员C:我的工资是m元,在公司算中等收入. 职员D:我们好几个人工资都是n元. 经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收 入情况,如下: 经理:公司员工收入很高,月平均工资为k元. 职员C:我的工资是m元,在公司算中等收入. 职员D:我们好几个人工资都是n元. 设该公司员工的月工资数据的平均数、中位数、众数分别为 k,m,n,请根据上述信息完成下列问题: (1)k=_______,m=_______,n=_______. (2)请结合上面实例,从平均数、中位数、众数这三个统计量 中任选一个,简要说明它们在反映一组数据的集中趋势时的 优缺点. 解析    (1)5 000;4 000;3 600. 详解:k= ×(10 800+7 200+4 800+4 500+4 000+3 600+3 600+ 3 600+2 900)=5 000;把9个员工的月工资数据从小到大排列,排 在中间位置的数是4 000,∴中位数m=4 000;9个员工的月工资 数据中,3 600出现的次数最多,∴众数n=3 600. (2)答案不唯一,如:中位数的优点:有一半以上的员工的月工资 能达到中位数,缺点:没有体现员工的月平均工资水平.   6.(2024山东滨州中考,★☆☆)在一次中学生田径运动会上,参 加男子跳高项目的15名运动员的成绩如下表所示: 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论: ①这些运动员成绩的平均数是1.65 m; ②这些运动员成绩的中位数是1.70 m; ③这些运动员成绩的众数是1.75 m. 上述结论中正确的是 ( ) A.②③　　　    B.①③　　　    C.①②　　　    D.①②③     A     解析　这些运动员成绩的平均数是 ×(1.50×2+1.60×3+1.65 ×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1)≈1.67(m),把15名运动员的成绩按 从小到大的顺序排列后,第8名运动员的成绩是1.70 m,∴这些 运动员成绩的中位数是1.70 m,数据1.75出现的次数最多,∴这 些运动员成绩的众数是1.75 m.故结论正确的是②③,故选A. 7.(2024黑龙江牡丹江中考,★★☆)已知一组正整数a,1,b,b,3 有唯一众数8,中位数是5,则这一组数据的平均数为_______.     5     解析　∵一组正整数a,1,b,b,3有唯一众数8,∴b=8.∵数据a,1, b,b,3的中位数是5,∴a=5,∴这一组数据的平均数为  =5. 8.(2025山东威海文登二中期中,★★☆)一组数据2,3,5,6,a的 众数与中位数相等,则a=___________.     3或5     解析　当a=2时,这组数据为2,3,5,6,2,众数是2,中位数是3,不 符合题意;当a=3时,这组数据为2,3,5,6,3,众数是3,中位数是3, 符合题意;当a=5时,这组数据为2,3,5,6,5,众数是5,中位数是5, 符合题意;当a=6时,这组数据为2,3,5,6,6,众数是6,中位数是5, 不符合题意. 综上,当众数与中位数相等时,a=3或5. 9.【新课标·中华优秀传统文化】(★★☆)下列装在相同的透 明密封盒内的古钱币,其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及 质量,例如:钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8 mm, 24.4 g”是指该枚古钱币的直径为45.4 mm,厚度为2.8 mm,质 量为24.4 g.已知这些古钱币的材质相同.     文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉    连中三元 根据图中信息,解决下列问题. (1)这5枚古钱币所标直径的平均数是_____mm,所标厚度的众 数是______mm,所标质量的中位数是_______g. (2)由于古钱币无法从密封盒内取出,为判断密封盒上所标古 钱币的质量是否有错,桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密 封盒的总质量如下: 名称 文星 高照 状元 及第 鹿鹤 同春 顺风 大吉 连中 三元 总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8 盒标质 量/g 24.4 24.0 13.0 20.0 21.7 盒子质 量/g 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1 请你应用所学的统计知识,判断哪枚古钱币所标的质量与实 际质量差异较大,并计算该枚古钱币的实际质量约为多少. 解析    (1)45.74;2.3;21.7. 详解:这5枚古钱币所标直径的平均数是 ×(45.4+48.1+45.1+ 44.6+45.5)=45.74(mm);这5枚古钱币所标厚度分别为2.8 mm, 2.4 mm,2.3 mm,2.1 mm,2.3 mm,其中2.3 mm出现了2次,出现的 次数最多,∴这5枚古钱币所标厚度的众数为2.3 mm;将这5枚 古钱币所标质量按从小到大的顺序排列为13.0 g,20.0 g,21.7 g, 24.0 g,24.4 g,处于最中间位置的是21.7 g,∴这5枚古钱币所标质 量的中位数为21.7 g. (2)“鹿鹤同春”古钱币的密封盒的质量异常,∴“鹿鹤同 春”古钱币所标的质量与实际质量差异较大.其余四个盒子 质量的平均数为 =34.2(g),55.2-34.2= 21.0(g). 故“鹿鹤同春”古钱币的实际质量约为21.0 g.   10.【新课标·数据观念】在学校组织的“学习强国”知识竞 赛中,每班参加比赛的人数相同.成绩分为A,B,C,D四个等级, 其中相应等级的得分依次记为10分,9分,8分,7分,学校将某年 级的一班和二班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图. 请根据以上提供的信息解答下列问题: (1)在本次竞赛中,二班成绩在C级以上(包括C级)的人数有多 少? (2)请你将表格补充完整. 平均数/分 中位数/分 众数/分 B级及以上的人数 一班 　     9 　     18 二班 8.76 　     10 　     (3)请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析: ①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩; ②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩; ③从B级及以上的人数的角度来比较一班和二班的成绩. 解析    (1)一班参加比赛的人数为6+12+2+5=25,∵每班参加 比赛的人数相同,∴二班有25人参赛,∴二班成绩在C级以上 (包括C级)的人数为25×(36%+4%+44%)=21. (2)一班成绩的平均数=10× +9× +8× +7× =8.76(分), 一班成绩中数据9出现了12次,出现的次数最多,∴众数为9分. 二班成绩等级为A级的有25×44%=11(人),成绩等级为B级的 有25×4%=1(人),成绩等级为C级的有25×36%=9(人),成绩等级 为D级的有25×16%=4(人).将二班成绩按从小到大的顺序排 列,处于中间位置的数据是8,∴二班成绩的中位数为8分,二班 成绩等级为B级及以上的人数为11+1=12. 补全表格如下: 平均数/分 中位数/分 众数/分 B级及以上的人数 一班 8.76 9 9 18 二班 8.76 8 10 12 (3)①从平均数的角度看,两班成绩一样.从中位数的角度看,一 班的成绩比二班的成绩好,∴一班成绩较好. ②从平均数的角度看,两班成绩一样.从众数的角度看,二班的 成绩比一班的成绩好,∴二班成绩较好. ③从B级及以上的人数看,一班人数是18,二班人数是12,∴一 班成绩较好. $第13章　数据的分析 13.4　随机现象的变化趋势  　随机现象的变化趋势 1.如图所示的是根据变量x,y的对应值绘制的一些点,其中可 以判断变量x,y具有相关关系的图是 ( )                  A.①②　　　    B.①④　　　    C.②③　　　    D.③④     D     解析　由题图③可知,各点整体呈下降趋势,x与y有明显的相 关关系,由题图④可知,各点整体呈上升趋势,x与y有明显的相 关关系.故选D. 2.如图所示,从人体脂肪含量与年龄的数据图中,能近似地反 映人体脂肪含量与年龄的相关关系的直线为 ( ) A.l1　　　    B.l2　　　    C.l3　　　    D.l4     A     解析　由数据图可以看出,各点大致分布在直线l1两侧,则能近 似地反映人体脂肪含量与年龄的相关关系的直线为l1,故选A. 3.1月1日到1月12日某地流感患者数量及根据这些数据绘制 的图表如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 感染 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法:①根据此图,可以判断日期与感染人数具有相关关系; ②根据此图,可以判断日期与感染人数不具有相关关系; ③根据此图,可以判断日期与感染人数具有一次函数关系.其 中正确的个数为 ( ) A.0　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.3     B     解析　由题图中的点的分布情况可知,感染人数随日期的变 化呈增长趋势,∴日期与感染人数具有相关关系,故①正确,② 错误;观察各点,发现这些点并没有在同一条直线上,∴日期与 感染人数不具有一次函数关系,故③错误.故选B.   4.(★★☆)某数学兴趣小组随机调查了某校10名八年级男生 的身高和体重,整理如下: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 体重/kg 49 43 65 46 62 56 60 52 48 69 身高/cm 170 165 177 167 176 172 175 171 168 183 (1)在平面直角坐标系中,以体重为横坐标,身高为纵坐标,描出 各点. (2)在坐标系中画一条适当的直线,使它近似地表示这10名男 生身高与体重之间的变化趋势. (3)估计该校身高为180 cm的八年级男生的体重情况. 解析    (1)根据题意描点如图所示.   (2)如图所示. (3)如图,在直线上取纵坐标为180的点,这个点的横坐标约为 66,∴该校身高为180 cm的八年级男生的体重约为66 kg. $