河南郑州市第九十六中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

河南省郑州九十六中2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一.选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．买一张彩票，一定会中奖 B．经过十字路口，遇到绿灯 C．任意画一个平面三角形，内角和是 D．打开电视机，正在播放《新闻联播》 2．（3分）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示，则为（　　） A． B． C．5 D．6 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列能用平方差公式计算得是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 6．（3分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）下列说法错误的是 （　　） A．一个角的补角一定大于这个角 B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．三角形的三条角平分线相交于一点 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等 9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．（3分）若，，则的值为 　　． 12．（3分）若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为 　　． 13．（3分）已知，，则代数式的值为 　　． 14．（3分）学习了“设计自己的运算程序”一课后，马老师带领数学兴趣小组同学继续进行探究：任意写一个3的倍数（非零）的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数字，我们称它为数字“黑洞”．这个数字　　． 15．（3分）如图，的两条高与交于点，，．是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则　　秒． 三、解答题（共7小题，共55分） 16．（9分）计算： （1）； （2）； （3）用简便算法计算：． 17．（6分）先化简，再求值：，其中，． 18．（6分）填充证明过程和理由 如图，，，平分，求证． 证明：， 　　 ． 又， 　　 ． 平分， 　　 　　 ． ． 　　 　　 ． ． 19．（7分）某水果公司以2元千克的成本购进10000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下面问题： （1）柑橘损坏的概率估计值为 　　，柑橘完好的概率估计值为 　　； （2）估计这批柑橘完好的质量为 　　千克； （3）如果公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在出售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适？ 20．（8分）现定义了一种新运算“⊗”，对于任意有理数a，b，c，d，规定（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． 请解答下列问题： （1）填空：（﹣2，3）⊗（4，5）＝ 　 　 ； （2）若（2x2+1，nx﹣1）⊗（5，x﹣2）的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）求（3x+1，x﹣2）⊗（x+2，x﹣3）的值，其中x2﹣4x+1＝0． 21．（9分）在综合与实践课上，老师让同学们以“一副直角三角尺”为主题开展数学活动．小华同学在操作过程中让两个三角尺的直角顶点重合，，，． 【操作发现】 （1）如图1，，当和恰好落在和上时，求的度数． 【迁移运用】 （2）如图2，，将三角尺和三角尺绕点转动，在转动过程中，两块三角板无重叠部分，且点在直线上方，点在直线和直线之间，与相交于点，与相交于点，若，，求的度数． 【拓展创新】 （3）在（2）的基础上，若其他条件不变，，，请直接写出的度数（用含，的式子表示）． 22．（10分）在△中，，是直线上一点，以为一条边在的右侧作△使，，连接． （1）如图，当点在延长线上移动时，若，则　　 ，　　 ，、、之间的数量关系为 　　 ； （2）设，． ①如图，当点在延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由； ②当在线段上时和点在线段反向延长线上时（不与，两点重合）移动时，之间有什么数量关系？请直接写出你的结论，并在备用图上画出相应图形． 2024-2025学年河南省郑州九十六中七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B A D A B D 一.选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．买一张彩票，一定会中奖 B．经过十字路口，遇到绿灯 C．任意画一个平面三角形，内角和是 D．打开电视机，正在播放《新闻联播》 【答案】 【考点】三角形内角和定理；随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意； 、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； 、任意画一个平面三角形，内角和是，是必然事件，符合题意； 、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（3分）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示，则为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】 【考点】科学记数法—表示较小的数 【分析】将0.0000084的小数点向右移动6位，则． 【解答】解：， 则为． 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】整式的混合运算 【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、平方差公式分别化简得出答案． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，正确； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（3分）下列能用平方差公式计算得是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】平方差公式 【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故正确； 、属于多项式乘以多项式，故本选项错误； 、属于多项式乘以多项式，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键． 5．（3分）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】 【考点】平行线的判定 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解：①， ； ②， ； ③， ， ④ ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（3分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】解：如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7．（3分）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，得到点落在白色阴影的概率为0.4，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【解答】解：经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右， 点落在白色阴影的概率为0.4， 黑色阴影的面积占整个面积的0.6， 估计此二维码中黑色阴影的面积为． 故选：． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 8．（3分）下列说法错误的是 （　　） A．一个角的补角一定大于这个角 B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．三角形的三条角平分线相交于一点 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等 【答案】 【考点】余角和补角；平行公理及推论；全等三角形的性质 【分析】由补角的定义，全等三角形的性质，平行公理，三角形角平分线的概念，即可判断． 【解答】解：、一个角的补角不一定大于这个角，故符合题意； 、、中的说法都正确，故、、不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形的有关概念，全等三角形的性质，补角，平行公理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】平行线的性质 【分析】由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【解答】解：由于平行，， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键． 10．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【考点】全等三角形的应用 【分析】利用全等三角形判定，证得△与△全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【解答】解：， ， ，， ，， ，， 在△和△， ， △△， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，理解题意及熟知三角形的判定与性质是解题关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．（3分）若，，则的值为 　18　． 【答案】18． 【考点】同底数幂的乘法 【分析】根据已知条件，逆用同底数幂的乘法法则把所求代数式写成含有，的形式，再整体代入计算即可． 【解答】解：，， ， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 12．（3分）若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为 　7　． 【答案】7． 【考点】三角形三边关系 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，又知道第三边长为奇数，就可以知道第三边的长度． 【解答】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系，得 ，即． 又第三边长是奇数，则． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，难度适中． 13．（3分）已知，，则代数式的值为 　5　． 【答案】5． 【考点】多项式乘多项式 【分析】利用多项式乘法法则化简后，代入条件即可． 【解答】解： ， 把，，代入得， 原式 ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了多项式乘法法则的应用，整体代入条件是解题关键． 14．（3分）学习了“设计自己的运算程序”一课后，马老师带领数学兴趣小组同学继续进行探究：任意写一个3的倍数（非零）的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数字，我们称它为数字“黑洞”．这个数字　153　． 【考点】33：代数式求值；37：规律型：数字的变化类；：有理数的混合运算 【分析】根据数字的变化规律取符合条件的数按规律计算即可求出一个固定数字． 【解答】解：例如：， ， ． 故答案为153． 【点评】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解题意进行计算． 15．（3分）如图，的两条高与交于点，，．是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则　或　秒． 【答案】或． 【考点】全等三角形的判定 【分析】依据题意，先由证明，求出，然后再分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【解答】解：由题意，，， ． ． 又，， ． ． ①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键． 三、解答题（共7小题，共55分） 16．（9分）计算： （1）； （2）； （3）用简便算法计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）4． 【考点】多项式乘多项式；负整数指数幂；有理数的混合运算；零指数幂 【分析】（1）利用零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则计算； （2）利用多项式的运算法则计算； （3）利用有理数的混合运算计算． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）． ． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握多项式乘多项式，有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则． 17．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将，代入化简后的式子求值即可． 【解答】解： ． 将，代入得：． 【点评】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键． 18．（6分）填充证明过程和理由 如图，，，平分，求证． 证明：， 　两直线平行，同旁内角互补　． 又， 　　 ． 平分， 　　 　　 ． ． 　　 　　 ． ． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行． 【考点】平行线的性质 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，由此可判定，再由平行线的性质求解即可． 【解答】证明：， （两直线平行，同旁内角互补）． 又， （同角的补角相等）． 平分， （角平分线的定义）． ． （内错角相等，两直线平行）． ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键． 19．（7分）某水果公司以2元千克的成本购进10000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下面问题： （1）柑橘损坏的概率估计值为 　0.1　，柑橘完好的概率估计值为 　　； （2）估计这批柑橘完好的质量为 　　千克； （3）如果公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在出售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适？ 【考点】一元一次方程的应用；利用频率估计概率 【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率； （2）根据（1）所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可； （3）先设出每千克柑橘大约定价为元比较合适，根据题意列出方程即可求出答案． 【解答】解：（1）根据所给的图可得： 柑橘损坏的概率估计值为：0.1， 柑橘完好的概率估计值为； （2）根据（1）可得： 这批柑橘完好的质量为：（千克）， （3）设每千克柑橘大约定价为元比较合适，根据题意得： ， 解得：， 答：每千克柑橘大约定价为5元比较合适． 故答案为：0.1，0.9，9000． 【点评】此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 20．（8分）现定义了一种新运算“⊗”，对于任意有理数a，b，c，d，规定（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2． 请解答下列问题： （1）填空：（﹣2，3）⊗（4，5）＝ 　﹣22．　 ； （2）若（2x2+1，nx﹣1）⊗（5，x﹣2）的代数式中不含x的一次项时，求n的值； （3）求（3x+1，x﹣2）⊗（x+2，x﹣3）的值，其中x2﹣4x+1＝0． 【考点】有理数的混合运算；多项式．版权所有 【答案】（1）﹣22； （2）n＝； （3）﹣1． 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）先列式化简，再令一次项系数为1，即可得出答案； （3）根据题意列出算式，再化简，最后代入即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2×5﹣3×4 ＝﹣10﹣12 ＝﹣22． 故答案为：﹣22． （2）原式＝（2x2+1）（x﹣2）﹣5（nx﹣1） ＝2x3﹣4x2+x﹣2﹣5nx+5 ＝2x3﹣4x2+（1﹣5n）x+3， ∵（2x2+1，nx﹣1）⊗（5，x﹣2）的代数式中不含x的一次项， ∴1﹣5n＝0， ∴n＝． （3）（3x+1，x﹣2）⊗（x+2，x﹣3） ＝（3x+1）（x﹣3）﹣（x﹣2）（x+2） ＝3x2﹣9x+x﹣3﹣x2+4 ＝2x2﹣8x+1 ＝2（x2﹣4x）+1， ∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1， ∴原式＝2×（﹣1）+1 ＝﹣2+1 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算及多项式，理解题意是解题的关键． 21．（9分）在综合与实践课上，老师让同学们以“一副直角三角尺”为主题开展数学活动．小华同学在操作过程中让两个三角尺的直角顶点重合，，，． 【操作发现】 （1）如图1，，当和恰好落在和上时，求的度数． 【迁移运用】 （2）如图2，，将三角尺和三角尺绕点转动，在转动过程中，两块三角板无重叠部分，且点在直线上方，点在直线和直线之间，与相交于点，与相交于点，若，，求的度数． 【拓展创新】 （3）在（2）的基础上，若其他条件不变，，，请直接写出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】（1），过程见解答；（2）过程见解答；（3），过程见解答． 【考点】余角和补角；平行线的性质；等腰直角三角形 【分析】（1）过点作，结合直角三角尺中锐角度数，利用两直线平行，内错角相等解答； （2）过点作，过点作，利用两直线平行，同位角相等以及两直线平行，内错角相等特殊锐角度数解答； （3）需要分两种情况：①当点在直线的下方时，过点作；②当点在直线的上方时，过点作．综合运用（1）（2）的思路与方法，特殊值、分别用，代替，推广到一般式即可解答． 【解答】解：（1）如图1， 过点作， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，过点作， 同理可得， ，， ， ； （3） 如图3，过点作，分两种情况： ①当点在直线的下方时，过点作， 同理可得， ，， ， ； ②当点在直线的上方时，如图4， 过点作，同理可得， ，，， ． 综上所述，． 【点评】本题考查等腰直角三角形、含锐角的直角三角形性质，还重点考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握、运用平行线的判定和性质；还考查了分类讨论思想． 22．（10分）在△中，，是直线上一点，以为一条边在的右侧作△使，，连接． （1）如图，当点在延长线上移动时，若，则 ，　　 ，、、之间的数量关系为 　　 ； （2）设，． ①如图，当点在延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由； ②当在线段上时和点在线段反向延长线上时（不与，两点重合）移动时，之间有什么数量关系？请直接写出你的结论，并在备用图上画出相应图形． 【答案】（1）；；； （2）①当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由如下： ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，， ； ②当点在上移动时，或． 【考点】三角形综合题 【分析】（1）证△△，推出，根据三角形外角性质求出即可； （2）①证△△，推出，根据三角形外角性质求出即可； ②分三种情况：（Ⅰ）当在线段上时，证明△△，则，，推出，即； （Ⅱ）当点在线段反向延长线上时，，同理可证明△△，则，推出，即； （Ⅲ）当点在线段的延长线上时，由①得． 【解答】解：（1）如图1所示：， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；；； （2）①当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由如下： ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，， ； ②分三种情况： （Ⅰ）当在线段上时，，如图2所示，理由如下： 同理可证明：△△， ，， ， ， ， ，， ； （Ⅱ）当点在线段反向延长线上时，，如图3所示，理由如下： 同理可证明：△△， ， ，， ， ， ，， ； （Ⅲ）当点在线段的延长线上时，如图1所示，； 综上所述，当点在上移动时，或． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $