【人教版】期中模拟卷（1）（拓展模块一第5、6章）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学拓展模块一》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学拓展模块一》（人教版）教材第5、6章。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（   ） A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．不共线的三点确定一个平面 D．三点确定一个平面 2．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．三条直线两两相交，可确定的平面的个数是（    ） A．1个 B．1个或2个 C．1个或3个 D．3个 4．若复数，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D．2 5．如果直线平面，直线平面，那么（   ）． A． B． C．与不相交 D．与相交 6．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 7．异面直线m，n分别在平面，内，若，则直线l与直线m，n（    ） A．都相交 B．至少有一条相交 C．至多有一条相交 D．至少有一条平行 8．复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 9．已知，若，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 10．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 13．如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 14．设为三条直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．正四面体中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若复数满足，则复数的虚部为_________ 17．在复平面中，向量对应的复数分别为，则向量对应的复数为_________． 18．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有__________条.    19．已知平面平面，，点，点，则“”是“”的_____条件． 20．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知复数为纯虚数，其中是虚数单位. (1)求实数的值； (2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 22.如图，已知四边形ABCD是菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD． (1)证明：平面PBD； (2)若M为PA的中点，求证：平面MBD． 23．如图，正三棱柱，，，M为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 24．如图，四棱锥中，，，，是等边三角形，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学拓展模块一》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学拓展模块一》（人教版）教材第5、6章。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（   ） A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．不共线的三点确定一个平面 D．三点确定一个平面 【答案】C 【详解】根据平面性质的公理可得结果. 【分析】自行车的前后轮与脚撑分别接触地面，使得自行车稳定， 此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上， 即不共线的三点确定一个平面． 故选：C 2．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求解. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第二象限， 故选：B. 3．三条直线两两相交，可确定的平面的个数是（    ） A．1个 B．1个或2个 C．1个或3个 D．3个 【答案】C 【分析】根据三条直线交点个数判断平面个数即可. 【详解】若三条直线两两相交共有三个交点，则可确定1个平面； 若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定1个平面或3个平面. 故选：C. 4．若复数，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算法则计算即可. 【详解】，所以的虚部为， 故选：D. 5．如果直线平面，直线平面，那么（   ）． A． B． C．与不相交 D．与相交 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的性质即可求解. 【详解】因为直线垂直于平面，而直线位于平面内，根据直线与平面垂直的性质， 直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 故选：A. 6．复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】根据共轭复数的概念可知，复数的共轭复数是． 故选：B. 7．异面直线m，n分别在平面，内，若，则直线l与直线m，n（    ） A．都相交 B．至少有一条相交 C．至多有一条相交 D．至少有一条平行 【答案】B 【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系求解. 【详解】如果直线l与直线m，n都不相交， 因为m,l都在平面内，则， 同理，，则，这与m,n是异面直线矛盾， 所以直线l与直线m，n至少有一条相交， 故选：B 8．复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的计算公式来求解. 【详解】已知复数，可得：. 故选：D. 9．已知，若，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据复数的实部与虚部对应相等列方程组求解即可. 【详解】由可得， ，解得，所以. 故选：A. 10．下列四个命题 ①过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行； ②过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直； ③平行于同一个平面的两个平面平行； ④垂直于同一个平面的两个平面平行. 其中，真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质即可解得 【详解】选项A：过平面外一点，有无数条直线与已知平面平行，错误 选项B：由线面垂直的性质得过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直，正确 选项C：根据平面平行的性质得平行于同一个平面的两个平面平行，正确 选项D：垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能垂直还可能相交，错误 故选：B 11．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中直线的关系，以及充分必要条件的概念解得. 【详解】因为l，m，n是空间中不过同一点的三条直线， 若“l，m，n共面”，它们可以互相平行、不交，也可以两条平行一条相交，不一定两两相交，即充分性不满足； 若“l，m，n两两相交”，即三条不过同一点、两两相交的直线，一定共面，必要性满足， 所以，空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件. 故选：B. 12．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合异面直线所成的角的定义，结合正方体的结构特征，即可求解. 【详解】    因为，所以四边形是平行四边形， 所以直线与所成角为直线与所成角，即， 设正方体的棱长为2，则，，， 因为，所以三角形是直角三角形，且， 解得. 故选：A. 13．如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据两直线公共点个数判断是否平行排除①，根据线面垂直判定定理和性质定理证明②成立，根据线面角定义及三角函数值排除③，根据三棱锥体积公式计算并判断出④正确. 【详解】与有公共点，不平行，①错误； 如图所示，取中点，连接，    因为正三棱锥棱长都是2，所以与为等边三角形， 且为中点，所以有，， 且平面，，所以平面， 且平面，所以，②正确； 如图所示，过作垂直底面的垂线，垂足为，    则由正三棱锥顶点在底面内的射影是底面三角形的中心可知： 在上，且， 在中，， 所以与平面所成的角不是，③错误； ， ，④正确. 故选：D. 14．设为三条直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐个分析即可. 【详解】若，则可能相交，平行或异面，故A错误， 若，则可能相交或平行，故B错误， 若，则或，故C错误， 根据线面垂直下性质，若，则，故D正确， 故选：D. 15．正四面体中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AC的中点E，连接DE、BE，则可证就是BD与SA所成的角，在中求解即可． 【详解】如图所示，取AC的中点E，连接DE、BE，则. 所以或其补角为BD与SA所成角； 设四棱锥的棱长为2，则在中，. 所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．若复数满足，则复数的虚部为_________ 【答案】1 【分析】利用复数除法求出复数即可求得的虚部. 【详解】因为复数满足，所以， 所以复数的虚部为1. 故答案为：1. 17．在复平面中，向量对应的复数分别为，则向量对应的复数为_________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则. 所以向量对应的复数为. 故答案为：. 18．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有__________条.    【答案】 【分析】根据异面直线定义一次列出异面直线即可解得. 【详解】由题，为正方体其中一个面的对角线， 由图可得，正方体所有棱中，与直线成异面直线的有： 共条， 故答案为： 19．已知平面平面，，点，点，则“”是“”的_____条件． 【答案】充要 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，结合充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】因为平面平面，，点，点， 当时，，则充分性成立； 当时，，则，则必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 20．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，利用线面垂直的性质、判定定理判断异面直线与的位置关系. 【详解】连接，由正方体结构特征，有， 又面，面，则， 由且都在平面内，则面， 面，故， 即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知复数为纯虚数，其中是虚数单位. (1)求实数的值； (2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列方程求解即可. （2）首先确定方程的两个根，再由根与系数的关系确定的值即可. 【详解】（1）已知复数为纯虚数， 则，解得. （2）由（1）可得，，则复数， 所以方程的两个根分别为，， ，得， ， 可得. 22.如图，已知四边形ABCD是菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD． (1)证明：平面PBD； (2)若M为PA的中点，求证：平面MBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定，由证明即可. （2）根据线面平行的判定定理，设的交点为，由证明即可. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD． 所以， 因为四边形ABCD是菱形，所以， 平面PBD；， 所以平面PBD. （2）如图，设的交点为，连接， 因为四边形ABCD是菱形， 所以为的中点，又M为PA的中点， 所以，又平面MBD，平面MBD， 所以平面MBD． 23．如图，正三棱柱，，，M为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接与交于点，连接， 由于为正三棱柱， 所以点为与的中点，又M为棱的中点， 所以在中，，不在平面上 且平面，所以平面. （2）由于为正三棱柱， 所以平面，且平面， 所以. 因为M为棱的中点，正三棱柱底面为等边三角形， 所以， 因为为平面两条相交的直线， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 24．如图，四棱锥中，，，，是等边三角形，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）取中点，先证明平面平面，进而由面面平行的性质得出结论； （2）由条件可得是二面角的平面角，且平面，过点作，则平面，从而是直线与平面所成角的平面角，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，．    因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，分别为，的中点，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为，平面， 从而平面平面， 因为平面，所以平面． （2）连接．    由于是等边三角形，为的中点，则， 由于，，则， 则是二面角的平面角，， 因为，，， 所以， 是等边三角形，为的中点，则， 所以是边长为的正三角形， 因为，，,平面, 所以平面， 又平面，则平面平面． 过点作于， 因为平面，平面平面，所以平面， 则是直线与平面所成角的平面角． 因为是边长为的正三角形，， 则分别是的中点，， 由于，分别是，的中点，则， 从而， 即直线与平面所成角的正切值为3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $