2.4 一元一次不等式组（十大题型）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2.4 一元一次不等式组 题型一 求不等式组的解集 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再找两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ∵和没有公共部分， ∴不等式组无解． 2．不等式组的非负整数解为________． 【答案】0，1 【分析】本题主要考查了解不等式组和不等式的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和非负整数的定义是解题的关键． 分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再在解集中找出所有非负整数即可. 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 解不等式 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得 因此不等式组的解集为 该不等式组的非负整数解为， 故答案为：，． 3．解不等式组：． 【答案】 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得； 解②得， 所以不等式组的解集为． 题型二 解特殊不等式组 4．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 5．已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，再由二次根式非负性得到，从而得到的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二次根式非负性是解决问题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，即， ，且， ，解得， 的取值范围是， 故答案为：． 6．有一个关于的二元一次方程组如右： （1）请解出这个方程组（用含有的式子表示）； （2）若的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，请求出的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据x与y为三角形边长求出m的范围，分x为腰和x为底两种情况求出m的值即可． 【详解】解：（1）， ①-②得：y=3-m， 将y=3-m代入②得：x=3m-3， ∴方程组的解为； （2）根据x与y为三角形边长，得到， 即1＜m＜3， 若x为腰，则有2x+y=7，即6m-6+3-m=7， 解得：m=2； 若x为底，则有x+2y=3m-3+6-2m=7， 解得：m=4，不合题意，舍去， 若x，y都为腰，则有3-m=3m-3， 解得：m=1.5，三边为1.5，1.5，4，不能构成三角形，舍去， 综上，m的值为2． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 求一元一次不等式组的整数解 7．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数，计算整数解的和即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该解集范围内的整数解只有， ∴整数解的和为． 8．不等式组的整数解的和为___________． 【答案】 【分析】分别求两个不等式的解集，进而求得整数解，再求和，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为，， ，，，，，，，，，，， 整数解的和为． 9．求不等式组：，并求出所有整数解 【答案】不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为 【分析】先求出每个不等式的解集，进而得出不等式组的解集，即可求出整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 则不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为． 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 10．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的规则，即可确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得∶， 解不等式得∶， ∵不等式组的解集是， ∴， 11．关于的不等式组的解集是，则的值为______． 【答案】3 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集是：， 关于的不等式组的解集是， ， ， 故答案为：3 ． 12．已知关于x的不等式组 的解集为，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查已知不等式组的解集求参数，将不等式组化简为，根据其解集即可解答． 【详解】解：由不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴． 题型五 由不等式组解决的情况求参数 13．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解即解集存在公共部分，列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，； ∵不等式组有解，两个解集存在公共部分， ∴， 解得． 14．若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得． 15．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：由，得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴． 题型六 不等式组和方程组结合的问题 16．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 17．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 18．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了方程组与含参不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键； 将二元一次方程组中两等式相加代入到不等式中，解出的取值范围． 【详解】解：，得 ． ∵方程组中，满足， ∴， 解得． 题型七 列一元一次不等式组 19．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 20．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 21．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键． 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ． 题型八 不等式组的行程问题 22．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 23．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 24．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 题型九 不等式组的经济问题 25．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 26．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 27．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 题型十 一元一次不等式组的其他应用 28．☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． 29．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 30．绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元一次不等式组 题型一 求不等式组的解集 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．不等式组的非负整数解为________． 3．解不等式组：． 题型二 解特殊不等式组 4．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 5．已知，则的取值范围是________． 6．有一个关于的二元一次方程组如右： （1）请解出这个方程组（用含有的式子表示）； （2）若的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，请求出的值． 题型三 求一元一次不等式组的整数解 7．关于x的不等式组的整数解的和为（   ） A． B． C． D． 8．不等式组的整数解的和为___________． 9．求不等式组：，并求出所有整数解 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 10．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．关于的不等式组的解集是，则的值为______． 12．已知关于x的不等式组 的解集为，求a的值． 题型五 由不等式组解决的情况求参数 13．若不等式组有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．若不等式组无解，则的取值范围是______． 15．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围． 题型六 不等式组和方程组结合的问题 16．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 18．已知关于x，y的二元一次方程组若该方程组中x，y满足，求k的取值范围． 题型七 列一元一次不等式组 19．某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 21．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 题型八 不等式组的行程问题 22．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 23．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 24．已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 题型九 不等式组的经济问题 25．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 26．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 27．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 题型十 一元一次不等式组的其他应用 28．☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 29．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 30．绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $