5.3.2.3 利用导数研究函数的综合问题课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 学习目标 学科素养 1.能熟练运用导数工具研究复杂函数的单调性、极值、最值、零点等性质.(重点) 2.能突破导数综合题型（恒成立、零点个数问题）（能成立问题），掌握分类讨论、参数分离等核心方法.(难点) 数学运算 逻辑推理 人教A版2019选择性必修第二册 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第3课时 利用导数研究函数的综合问题 复习导入 极小值： 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0 . 极大值： 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. f ′(b)=0，且在点x=b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 . x y O x y O b f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(b) a f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(a) f ′(a)=0 一、函数y=f (x)的极大值、极小值： f ′(x0)=0 x0左右 导数异号 x0是极值点 f (x0)是极值 f ′(b)=0 x y O x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(x0) x y O x0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(x0) (1)求f(x)的定义域; (2)求f '(x)的零点(x0)，即解方程f '(x)=0， 当f ′(x0)=0时： ①如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值. 求函数y=f (x)的极值的步骤： 复习导入 f ′(x0)=0 f ′(x0)=0 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： 2.求函数 y=f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； 1.求 y=f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 3.将 y=f(x) 的各极值与f(a)，f(b)(端点处) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值. 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. (最值在极值点或区间端点取得) 复习导入 二、函数y=f (x)的最大值、最小值： 探究新知 利用导数研究函数的零点或方程的解 探究新知 x=-2 探究新知 利用导数研究函数的零点或方程的解 探究新知 利用导数研究函数性质的步骤： 画出函数y=f (x)的大致图象步骤： 利用导数研究函数的零点或方程的解 探究新知 利用导数研究函数的零点或方程的解 C 探究新知 B 利用导数研究不等式恒成立问题(求参) 探究新知 利用导数研究不等式恒成立问题(求参) 探究新知 B 利用导数研究不等式恒成立问题(求参) 探究新知 利用导数研究不等式恒成立问题(求参) 探究新知 利用导数研究不等式能成立问题(求参) 探究新知 利用导数研究不等式能成立问题(求参) 探究新知 利用导数研究不等式能成立问题(求参) 课堂小结 利用导数研究函数的零点或方程的解 课堂小结 利用导数研究不等式恒成立问题(求参) 利用导数研究不等式能成立问题(求参) 课堂小结 作业布置 1.导学案:P84-P86. 2.课时作业（周练卷四、培优课4）. 解：(1)函数的定义域为． ． ∴当时,有极小值,无极大值. 例7.给出函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 解：(2)令,解得.当时,;当时,． ∴的图象经过特殊点，，． 当时，与一次函数相比， 当时，，． 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示． 指数函数呈爆炸性增长， 从而； 例7.给出函数．(1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； 解：(3)方程的解的个数为函数的 图象与直线的交点个数． 由(1)可知,当时,有最小值． ∴关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个． 例7.给出函数．(2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 2.用导数研究函数的单调性、极值； 3.利用函数的单调性、极值等性质画出的大致图象； 4.利用函数的图象进一步研究函数的最大(小)值,值域,零点等性质. 1求出函数的定义域； 2.求导数及函数的零点； 4.在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； 3.用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出 5.确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； 6.画出的大致图象． 1.求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围； 解：由,,可得:,令， 依题意，函数存在两个零点， 又,当时,,单调递增； 故时,取得极大值,且当时,,当时,， 故的大致图象如图所示. 等价于函数与函数的图象有两个交点. 当时,,单调递减， 需使，解得. 例.已知函数存在两个零点,则实数t的取值范围为( ) A． B． C． D． 解：设,则恒成立,,, 所以,当时,;当时,, 在上单调递减,在上单调递增， ,解得,即实数的取值范围为. 例.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 注意：此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. 解：等价于,令,则, 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以,所以只需,即. 练习1.已知函数,若,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 解：因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围为. 练习2.已知函数,若恒成立,求实数的取值范围； 注意：此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. 注意：此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. 注意：此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. $