专题09 二项式定理归类（十大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题09 二项式定理归类 目录 典例讲解 类型一、二项展开式的特定项问题 类型二、二项式系数和及最值问题 类型三、二项展开式的有理项问题 类型四、二项展开式系数最值问题 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 类型六、三项式展开式问题 类型七、各项系数和及奇（偶）次项的系数和 类型八、近似计算问题 类型九、整除和余数问题 类型十、杨辉三角问题 压轴专练 类型一、二项展开式的特定项问题 处理方式：①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算 【例1】在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【例2】已知为常数，若的展开式中的系数是，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】二项式 的展开式中常数项是_____． 【变式1-2】已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 【变式1-3】若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 类型二、二项式系数和及最值问题 处理方式：求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 【例3】的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【例4】已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【变式2-1】已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【变式2-2】若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2-3】在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为______． 类型三、二项展开式的有理项问题 处理方式：对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. 【例5】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6】的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【变式3-1】已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【变式3-2】已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 【变式3-3】已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 类型四、二项展开式系数最值问题 【例7】在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 【例8】二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【变式4-1】在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是______． 【变式4-2】已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是_______． 【变式4-3】已知的展开式的所有二项式系数之和为64． (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 处理方式：①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 【例9】在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【例10】的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式5-1】在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【变式5-2】的展开式中的系数为___________. 【变式5-3】的展开式中常数项为__________． 类型六、三项式展开式问题 处理方式：根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 【例11】已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 【例12】的展开式中的系数为______． 【变式6-1】在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【变式6-2】的展开式中的系数为_________________. 【变式6-3】的展开式中的系数是__________.（用数字填写） 类型七、各项系数和及奇（偶）次项的系数和 处理方式：（1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 【例13】记，则（    ） A． B． C． D． 【例14】若，则________． 【变式7-1】（多选）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【变式7-2】已知，若．则实数________． 【变式7-3】若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 类型八、近似计算问题 处理方式：在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 【例15】实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【例16】的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 【变式8-3】求精确到0.001的近似值． 类型九、整除和余数问题 处理方式：求使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 【例17】若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【例18】除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式9-1】今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【变式9-2】在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-3】若能被7整除，则正整数的最小值为____. 类型十、杨辉三角问题 【例19】（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【例20】观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式10-1】定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（   ）（多选） A．记第行中从左到右的第个数为，则； B．第行所有数的和是 C．第行共有个数 D．8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 【变式10-2】（多选）杨辉三角第行，第1行为1的元素为组合数，满足，且具有对称性、递推性.下列关于杨辉三角与组合数的结论中，正确的有（    ） A．对任意正整数 B．对任意非负整数 C．第2026行中，奇数的个数为16 D．对任意正整数 【变式10-3】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 1．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 2．记，若，则（   ） A．1 B． C． D． 3．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 4．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 8．（多选）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．的展开式中，不存在连续三项成等比数列 9．（多选）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 10．（多选）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 11．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 12．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二项式定理归类 目录 典例讲解 类型一、二项展开式的特定项问题 类型二、二项式系数和及最值问题 类型三、二项展开式的有理项问题 类型四、二项展开式系数最值问题 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 类型六、三项式展开式问题 类型七、各项系数和及奇（偶）次项的系数和 类型八、近似计算问题 类型九、整除和余数问题 类型十、杨辉三角问题 压轴专练 类型一、二项展开式的特定项问题 处理方式：①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算 【例1】在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【答案】A 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 当时，，， 当时，，，所以， 令，则，所以. 【例2】已知为常数，若的展开式中的系数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由展开式的通项得： 当，，又的系数是， 故. 故选：A 【变式1-1】二项式 的展开式中常数项是_____． 【答案】7 【详解】由题知，展开式的通项公式为：， 令，则， 于是常数项为. 【变式1-2】已知的展开式中常数项为，则的展开式中的系数为__________. 【答案】 【详解】的展开式为， 令，得， 由题意可得，解得， 令，得，则 所以的展开式中的系数为. 【变式1-3】若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【详解】, ． 故选：B 类型二、二项式系数和及最值问题 处理方式：求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 【例3】的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 【例4】已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 【变式2-1】已知的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则其展开式中的系数是（ ） A．48 B．64 C．40 D．80 【答案】D 【详解】因为展开式中二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 又因为的展开式中各项系数之和为243， 令可得，解得，即二项式为， 其展开式的通项公式为，， 令，可得1，所以展开式中的系数是. 【变式2-2】若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 【变式2-3】在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为______． 【答案】 【详解】的展开式中，所有项的二项式系数和为，， ，， 设展开式中的常数项为项， 则， 故，解得， 则常数项为. 故答案为：. 类型三、二项展开式的有理项问题 处理方式：对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. 【例5】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 【例6】的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 【变式3-1】已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 【变式3-2】已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有_____项． 【答案】6 【详解】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 故答案为：6. 【变式3-3】已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． (1)求； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】 【详解】（1）解：因为展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 所以，即， 整理得，解得或（舍） 所以 （2）解：由（1）知，展开式的通项公式为： ， 令，则，即展开式的第1,3,5项为有理项， ，， 所以展开式中的有理项有：，， 类型四、二项展开式系数最值问题 【例7】在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 【答案】. 【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：. 【例8】二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 【变式4-1】在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】， 由，且. 即当时，既是常数项又是系数最大的项，故， 即， 由，； 由，，. 所以：． 故答案为： 【变式4-2】已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是_______． 【答案】 【详解】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 【变式4-3】已知的展开式的所有二项式系数之和为64． (1)求该二项式及其展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，常数项为15； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意，可得，所以二项式为， 则二项式通项公式得，， 令，则，则常数项为 （2）由（1）知，当时，系数最大项为. 类型五、两个多项式积的展开特定项问题 处理方式：①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 【例9】在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 【例10】的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【详解】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 【变式5-1】在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 【变式5-2】的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 【变式5-3】的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 类型六、三项式展开式问题 处理方式：根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 【例11】已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 【答案】B 【详解】展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2， 由组合知识可知，展开式中常数项为， 故选：B. 【例12】的展开式中的系数为______． 【答案】 【详解】因为的项可以由展开式中含的项与1的乘积构成， 又展开式中的项为； 因为的项可以由展开式中含的项与的乘积构成， 又的展开式中含的项为， 所以的展开式中的项为. 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 【变式6-1】在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【答案】264 【详解】因为，所以展开式中的系数是． 故答案为：264. 【变式6-2】的展开式中的系数为_________________. 【答案】 【详解】因为， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得或或或， 因此，展开式中的系数为 . 故答案为：. 【变式6-3】的展开式中的系数是__________.（用数字填写） 【答案】 【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或. 故含的项为 ， 故答案为： 类型七、各项系数和及奇（偶）次项的系数和 处理方式：（1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 【例13】记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1. 【例14】若，则________． 【答案】3124 【详解】由题设，含的项中，当为奇数，系数为负，而当为偶数，系数为正， 所以， 令，则； 令，得， 所以． 【变式7-1】（多选）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【答案】ABD 【详解】对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，的展开式中含项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以，即，故D正确． 【变式7-2】已知，若．则实数________． 【答案】1或 【详解】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 【变式7-3】若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 【答案】 【详解】， 令，得①， 令，得②， ①②相减得，则， 因为的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则，解得. 类型八、近似计算问题 处理方式：在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 【例15】实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 【例16】的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 【变式8-1】的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故分别为. 故选：A. 【变式8-2】某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 【答案】1.13 【详解】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ． 故答案为：1.13 【变式8-3】求精确到0.001的近似值． 【答案】0.951 【详解】依题意， . 所以精确到0.001的近似值为. 类型九、整除和余数问题 处理方式：求使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 【例17】若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】 ， 对照得. 【例18】除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】， 因为，所以除以7所得的余数为，即， 故， 而， 故除以7所得的余数为， 故原式除以7所得的余数与除以7所得的余数相等均为. 【变式9-1】今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【答案】A 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 【变式9-2】在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0~7这八个数字来表示数值.例如，八进制数2051换算成十进制数是.那么八进制数换算成十进制数m，则十进制数m的个位数字为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】方法一：由题意知， 设，因为的个位数字分别为， 所以的个位数字之和为， 所以的个位数字为5， 所以的个位数字为5. 方法二：由题意知 ， 又由二项式定理知是7的倍数， 所以是10的倍数. 又由二项式定理知， 所以的个位数字与的个位数字相同， 同理，， 所以的个位数字与的个位数字相同， 可得的个位数字为5. ，且是10的倍数，其个位数字为0，所以的个位数字与的个位数字相同，即为5. 综上，十进制数m的个位数字为5. 【变式9-3】若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【答案】6 【详解】， 要使能被7整除，则能被7整除.又是正整数，所以的最小值为6. 类型十、杨辉三角问题 【例19】（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 【例20】观察图中的数所形成的规律，则a所表示的数是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】由图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以，得． 故选：B. 【变式10-1】定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（   ）（多选） A．记第行中从左到右的第个数为，则； B．第行所有数的和是 C．第行共有个数 D．8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 【答案】BCD 【详解】第行各个数是的展开式的二项式系数， 则数列的通项公式为，故A错误； 各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第行各个数的和是，故B正确； 第行共有个数，故C正确； 8阶“杨辉三角”的所有数的和是，故D正确, 【变式10-2】（多选）杨辉三角第行，第1行为1的元素为组合数，满足，且具有对称性、递推性.下列关于杨辉三角与组合数的结论中，正确的有（    ） A．对任意正整数 B．对任意非负整数 C．第2026行中，奇数的个数为16 D．对任意正整数 【答案】ABD 【详解】对于A项，根据二项式定理，令， 得到，有正整数满足题意，故A正确； 对于B项，把个元素分成两组，每组个元素， 从第一组中选取个元素，有种选法； 从第二组中选取个元素，有种选法， 所以选法种数为，故B正确； 对于C项，根据题干定义，第2026行的元素为， 在杨辉三角中，与组合数对应的行中奇数个数为， 其中为的二进制表示中1的个数，2025的二进制表示为， 其中的个数，因此奇数个数为，故C错误； 对于D项，因为，又， 所以， 又， 可得，故D正确. 故选：ABD 【变式10-3】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 1．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 2．记，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由， 得， 则， . 3．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 4．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【详解】， ， ， 所以 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除，，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以，所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项. 故选：A 5．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 令，则，代入原式得：， 因此：， 根据二项式定理：， 我们需要项的系数，即时：， 计算得：， 所以. 故选：A. 6．（多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 7．（多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 8．（多选）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．的展开式中，不存在连续三项成等比数列 【答案】ACD 【详解】由，得，得， 解得或（舍），所以A正确； 由，可以在二项展开式中令， 有，所以或0，故B错误； C.在二项展开式中令，有，故C正确； D.，其展开式的通项为，， ①若，则显然D正确； ②若，展开式中存在连续三项成等比数列， 则必存在整数使得 ， 矛盾，故假设错误， 综上，D正确. 9．（多选）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【详解】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 10．（多选）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题中只有最大可知，是唯一的最大的二项式系数，因此展开式的中间项为第六项，可得，故A正确； 令，代入等式中可得，故B正确； 由，故C正确； 令，代入可得， 移项可得， 两边同乘，故，故D错误. 故选：ABC. 11．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【详解】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即的展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 12．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 【答案】四 【详解】由， 令，得，即， 令，得， 则 ， 其中，除了都能被7整除， 而 ， 其中，除了4都能被7整除，因此除以7余3，则除以7余3， 若今天是星期一，则天后是星期四. 故答案为：四. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $