22.1 函数的概念精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下精析精练 22.1 函数的概念（解析版） 1. 函数的概念 1．圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 【答案】A 【分析】在变化过程中，数值不变的量是常量，数值改变的量是变量，据此判断选项即可． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在圆周长公式中，是固定不变的常数，属于常量，不是变量，2也是常量，和是变化的量，是变量；故A选项的说法是错误的，符合题意； 是固定不变的常量，、可以发生变化是变量，故B选项说法正确，不符合题意； 随的变化而变化，且是自变量，是因变量，故C选项说法正确，不符合题意； 将代入公式，得，故D选项说法正确，不符合题意． 2．某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价／元 100 110 120 130 140 150 销量／个 80 100 110 100 80 60 下列关于定价与销量的说法中，正确的是（    ） A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量 C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 【答案】C 【分析】本题主要考查常量、变量、自变量和因变量的概念，在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，可以取不同数值的量叫作变量；一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与其对应，我们就称是的函数，其中叫作自变量，叫作因变量． 【详解】因为定价和销量的数值都发生变化， 所以定价与销量都是变量． 因为销量随定价的变化而变化，所以定价是自变量，销量是因变量． 故选：C 3．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【分析】本题考查变量与常量的概念．根据自变量、因变量及常量的定义求解即可． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 4．下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（   ） A．人的身高与年龄 B．光照时间与果树产量 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键． 在一个变化过程中，存在两个变量 对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，我们就说：是的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：人的身高与年龄，不符合函数定义，故A不符合题意； 光照时间与果树产量，不符合函数定义，故B不符合题意； 三角形的底边长与面积，不符合函数定义，故C不符合题意； 速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间，符合函数定义，故D符合题意； 故选：D． 5．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的概念，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．题目中水温的变化是由所晒时间的长短引起的，因此时间为自变量，水温为因变量． 【详解】解：在太阳能热水器加热过程中，水的温度随着所晒时间的增加而变化． 根据函数关系，所晒时间（自变量）是主动变化的量，水的温度（因变量）受时间影响而变化． 选项中只有D正确指出自变量为所晒时间，因变量为水温． 其他选项混淆了变量关系或引入无关量（如太阳光强弱、热水器容积），均不符合题意． 故选D． 2. 用不同方法表示变量间的数量关系 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 7．李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 8．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】A 【分析】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量．根据常量，变量的定义解法即可． 【详解】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，是变量， 故选：A． 9．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 10．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 11．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 3. 函数的解析式 12．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 13．如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 14．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 15．某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 16．有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式的建立，关键在于理解清楚题意，需注意赛制是“单循环形式”，需要两两之间的比赛的总场数除以2． 设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，则每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即可建立函数关系式． 【详解】解：设有x支球队，每队需与其他队比赛一次，每个队的比赛次数为，总共有x个队，则总场数为，即： 故选：． 17．已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 4. 函数自变量的取值范围 18．函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 19．函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】/ 【详解】解：根据题意，分式有意义时分母不为0，可得， 解得， 故自变量的取值范围是． 20．已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 21．某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出每公里耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，得出关系式，并确定自变量的取值范围． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每公里耗油量为， ∴， ∵油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为，． 22．函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：且且， 解得：且且， 即且． 故答案为：且． 23．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是______．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 5. 求自变量的值或函数值 24．已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 【答案】 【详解】解：当时，． 25．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为____________． 【答案】349 【分析】根据表格数据，温度每升高，声速增加，从到增加，故声速增加． 本题考查了自变量与函数值，熟练分辨自变量与函数值是解题的关键． 【详解】解：观察表格，温度从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加； 从到，声速由增至，增加． 因此，温度每升高，声速恒增加6 m/s． 当空气温度为时，声速为，则时声速为． 故答案为：349． 26．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【答案】 【分析】此题考查了函数值，用关系式表示变量间的关系，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 27．小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 【答案】 50 100 38 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 28．某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 【答案】20 【分析】本题考查函数关系式，读懂题意，找到道等量关系是关键； 先找出总售价与售出件数的函数关系，再据此计算总售价为1000元时售出的件数． 【详解】解：观察表格，售出件时总售价50元，售出件时总售价100元， 发现总售价（元）与售出件数（件）满足（为正整数）． 当时，代入，可得， 解得． 所以，若总售价为1000元，则售出的件数为20件． 故答案为：20． 29．若函数，则当自变量时，函数值________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 【答案】B 【分析】先根据输入时输出求出参数的值，确定函数解析式，再判断符合哪个条件，代入计算即可． 【详解】解：当输入时，输出，且， 将代入， 得：， 解得． 当时，函数解析式为． 当输入时，， 将代入， 得：． 2．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 3．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 4．声音在空气中的传播速度 (音速)与气温 x()的关系，如下表． 气温（） 0 5 10 15 20 音速（） 331 334 337 340 343 (1)表格反映了 两个变量之间的关系，其中 是自变量 是因变量 (2)当气温是时，音速y是 (3)当气温是时，估计音速y可能是 【答案】(1)气温和音速；气温；音速 (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据确定自变量和因变量即可； （2）直接从表格中找到气温为时的音速即可； （3）观察表格数据，得到气温每升高音速增加的量进行计算即可． 【详解】（1）解：表格反映了气温和音速两个变量之间的关系， 由表头可得：气温是自变量，音速是因变量； （2）解：当气温是时，音速y是； （3）解：由表格可知，气温每升高音速增加， ， 故当气温是时，估计音速y可能是． 5．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)①P点运动或时，是等腰三角形；②a．不会改变，；b．会改变， 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理解答即可； （2）①根据直角三角形的性质可得，，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可解答；②a． 当时，此时点P在线段上根据题意可得，可得到；b． 当时，此时点P在线段的延长线上，，根据，即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①在中，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， 当点P在线段上时，， ∴点P的运动时间为； 当点P在线段的延长线上时，， ∴点P的运动时间为； 综上所述，P点运动或时，是等腰三角形； ②a．如图：当时， S的大小不会随着P点运动而改变． 此时点P在线段上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； b． 如图：当时， S的大小会随着P点运动而改变． 此时点P在线段的延长线上，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． 6．2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）． (1)试求x，y之间的等量关系； (2)当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）本题根据“总价单价数量”，利用题干给出的两种购买方案总价相等的条件列出等式，整理得到第一问的等量关系， （2）再将8.8万元换算单位后代入等量关系，通过解方程得到和的值即可求解． 【详解】（1）解：已知A材料单价为元/千克，B材料单价为元/千克，两种购买方案的总价相等， 移项计算得： 化简得： 答：和的等量关系是. （2）将代入 得： 即 解得 则 7．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为，即可得出与之间的函数关系式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据等边三角形的性质，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由等腰三角形周长公式可得，移项整理得，即， ， 解得：． 与之间的函数关系式为；自变量x的取值范围为； （2）解：若等腰三角形为等边三角形，则三边长度相等，即底边长等于腰长， ， 将代入周长公式，得， 解得， 所以当时，这个等腰三角形是等边三角形． 8．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 9．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【点睛】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 10．如图，下列图形都是由形状相同的小五角星按照一定规律排列构成的，设图形的序号为，构成对应图形的小五角星的个数为．请解决下列问题． (1)观察图形，总结出与之间的关系式为____________； (2)若某个图形中有2023个小五角星，请问这个图形的序号是多少？ 【答案】(1) (2)674． 【分析】（1）根据与的变化关系，可得函数关系式； （2）将代入函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：①中小五角星个数为：， ②中小五角星个数为：， ③中小五角星个数为：， ④中小五角星个数为：， 故与之间的关系式为． （2）解：由（1）知，，令， 得， 解得， 所以这个图形的序号是． 【点睛】本题考查函数关系式，图形的变化类，发现图形的变化规律是得出函数关系式的关键． 1．综合实践 问题提出 如图1，在四边形中，与互补，与互补，，，，数学兴趣小组在探究与的数量关系时，经历了如下过程： 实验操作 （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： 这里________，________，________． 猜想证明 （2）根据表格，猜想：与之间的关系式为________；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长到，使，连接，……，请你根据其思路将证明过程补充完整． 应用拓广 （3）如图3，若，求四边形的面积．    【答案】（1）55，40，130；（2），证明见解析；（3）128 【分析】（1）由“”可证，可得，，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）由“”可证，可得，，再由三角形内角和定理即可得到答案； （3）由三角形全等的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）延长到E，使，连接，      ∵， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：55，40，130； （2）， 证明：延长到E，使，连接，      ∵， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即； （3）∵，， ∴， 解得， 即， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 2．密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查杠杆平衡的条件，整式的混合运算，函数思想的运用，理解题目中的数量关系，掌握函数思想解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，杠杆平衡时空桶和悬挂物理的情况进行分析即可求解； （2）根据杠杆平衡的条件，得到空桶内注满液体时的数量关系，联立方程组求解即可； （3）根据空桶时杠杆平衡的条件，倒满液体时平衡的条件列方程组求解即可； （4）根据杠杆平衡条件，可得，结合函数的增减性知识即可求解． 【详解】（1）解：将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体在点时，杠杆水平平衡，此时桶中没有液体， ∴密度为， 故答案为：； （2）解：在点悬挂空桶时，杠杆平衡，根据题意，，即， 在点的空桶内注满液体，空桶容积为，则液体的重力， ∵此时移动物体至，杠杆在水平位置平衡， ∴根据杠杆平衡条件得，，即， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：当测量密度为的液体时，由的刻度线与零刻度线之间的距离为，即此时的物体的力臂为：()， ∴，即， 当测量密度为的液体时，此时的物体的力臂为：（）， ∴，即， ∴， 解得，； （4）解：设物体对杆秤的力为动力，则液体和桶对杆秤的力为阻力， ∴，即， 在动力与阻力臂不变的情况下，增大液体重力，即增加空桶的容积，则变大，即该密度秤的精度会增加， ∴应该选择规格的空桶， 故答案为：． 3．综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查两个变量之间的关系，理解题意，正确求得关系式是解答的关键． （1）根据表格，结合已知列关系式即可； （2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， ∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． 故答案为：． （2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在直角中，（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 4．综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． (1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； (2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； (3)求y与x之间的关系式； (4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)自变量是x，因变量是y (2)，时不符合题意，理由见解析 (3) (4)①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3 【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论； （3）根据长方形的面积公式求解即可； （4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值； ②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论； ③根据表格因变量的变化规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y； （2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米， 根据题意，米， 当时，， ∴时不符合题意； （3）解：由题意，得； （4）解：①当时，，即； 当时，，即； ②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）； ③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值， 即y存在的最大值为18，此时x的值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下精析精练 22.1 函数的概念 1. 函数的概念 1．圆周长公式中，下列说法错误的是（    ） A．C、、r是变量，2是常量 B．C、r是变量，是常量 C．r是自变量，C是因变量 D．当自变量时，因变量 2．某品牌的护眼灯的成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价／元 100 110 120 130 140 150 销量／个 80 100 110 100 80 60 下列关于定价与销量的说法中，正确的是（    ） A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量 C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 3．“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 4．下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（   ） A．人的身高与年龄 B．光照时间与果树产量 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间 5．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 2. 用不同方法表示变量间的数量关系 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 7．李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 8．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 9．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 10．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 11．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 3. 函数的解析式 12．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 13．如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 14．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 15．某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 16．有x支球队参加篮球比赛，每两个队之间比赛一场，共比赛了y场，则y与x之间的函数关系正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 4. 函数自变量的取值范围 18．函数中，自变量的取值范围是___________． 19．函数中，自变量x的取值范围是_______． 20．已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 21．某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 22．函数中，自变量x的取值范围是___________． 23．如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是______．（写出自变量的取值范围） 5. 求自变量的值或函数值 24．已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 25．声音在空气中的传播速度与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 声速/（） 319 325 331 337 343 当空气温度为30℃时，声音在空气中的传播速度为____________． 26．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 27．小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 28．某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 29．若函数，则当自变量时，函数值________． 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（    ） A．9 B．11 C．4 D．14 2．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 4．声音在空气中的传播速度 (音速)与气温 x()的关系，如下表． 气温（） 0 5 10 15 20 音速（） 331 334 337 340 343 (1)表格反映了 两个变量之间的关系，其中 是自变量 是因变量 (2)当气温是时，音速y是 (3)当气温是时，估计音速y可能是 5．在一次数学活动课上，小明把两块完全相同且含角的直角三角板和按如图的位置放置，三角板的边长． (1)四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)小明在上放置一动点P，点P从A点出发，沿方向以的速度在射线上运动． ①P点运动几秒时，是等腰三角形？ ②的面积之和记作S，设P点运动了． a．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若会改变，请说明理由，若不会改变，请求出S的值． b．当时， S的大小会随着P点运动而改变吗？若不会改变，请说明理由，若会改变，请写出S随 t变化的函数关系式． 6．2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐．已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为，．某企业购进了这两种原料，，其中购进千克材料和千克材料的总价与购进千克材料和千克材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为，（单位：元/千克）． (1)试求x，y之间的等量关系； (2)当购进千克材料和千克材料的总价为万元时，求x，y的值． 7．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 8．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 9．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 10．如图，下列图形都是由形状相同的小五角星按照一定规律排列构成的，设图形的序号为，构成对应图形的小五角星的个数为．请解决下列问题． (1)观察图形，总结出与之间的关系式为____________； (2)若某个图形中有2023个小五角星，请问这个图形的序号是多少？ 1．综合实践 问题提出 如图1，在四边形中，与互补，与互补，，，，数学兴趣小组在探究与的数量关系时，经历了如下过程： 实验操作 （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： 这里________，________，________． 猜想证明 （2）根据表格，猜想：与之间的关系式为________；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长到，使，连接，……，请你根据其思路将证明过程补充完整． 应用拓广 （3）如图3，若，求四边形的面积．    2．密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 3．综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 4．综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． (1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； (2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； (3)求y与x之间的关系式； (4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $