江苏省苏北七市（徐、连、淮、宿、通、扬、泰）2026届高三第二次调研测试数学试卷

2026届高三第二次调研测试 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指 定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x0<x<2},B={x‖x-1>1},则 A.A∈B B.B∈A C.A∩B=☑ D.AUB=R 2.已知1+i)z=i,则川z= A号 B.2 C.1 D.√ 3.已知向量a与b均为非零向量，则“aWb”是“(a+b)/(a-b)”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)=x3-3x2的所有极值的和为 A.-4 B.-2 C.0 D.2 5.已知锐角a,B满足c0sa= 10 tmB=号，则a+B= A.平 B.号 c.号 D. 6.随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高.该技术下生产第一件产品的工时 为k,生产x件产品的平均工时y=“,其中a=-log2s（s为产品工时递减速率).现 有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工 时之比为 A.0.6 B.0.8 C.1.25 D.1.6 数学试卷第1页（共4页） a 7.已知(x-√2)2+0-V22=1,(62+3V2)2+0y,+32}=100,则(：+x)+0+2)2 的最小值为 A.1 B.9 C.16 D.25 &.已知二面角a-AB-B的大小为牙，OeAB,P∈a,且∠POA=若，2为B内异于 O的任意一点，则sin∠POg的最小值为 A分 B. C.2 2 3 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组数据2,3,3,4，m,7的80百分位数是5，则 A.该组数据的极差为5 B.该组数据的中位数为3.5 C.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为1.过F 的直线与C交于A,B两点，过A作1的垂线，垂足为P,PF与x轴交于点，则 A.APHAF B.PF⊥Ag C.∠AOB可能为锐角 D.P,O,B三点共线 .已知函数f=层 中<x≤分GN,则下列说法正确的是 n n,n≤x<n+l,neN° A.若a,b为正数，ab=1,则f(a)f(b)=1 B.若a,b为正数，f(a)f(b)=1,则ab=1 C.若a∈(1，+∞)，则函数g(x)=f(x)-x“有唯一零点 D.若a∈(0，)，则函数g(x)=f(x)-x“的零点个数为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等差数列{an}中，已知a=-3,11a=5ag,则该数列前n项和Sn的最小值为 数学试卷第2页（共4页） 13.已知函数f(x)=(x-1)sin(x+p),写出满足“曲线y=f(x)关于点1,0)对称”的p的 一个值 14,已知双曲线C:号茶-1a>0,6>0的右焦点为F,A是C右支上一点，4关于原点 和x轴对称的点分别为D,E,EF∥AD,∠AFE=I20°，则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b<c,besin号=号 (1)求si血C_sinB的值： sin A (2)证明：B< 6 16.(15分) 已知函数f(x)=alnx+x-2a(a∈R) (1)讨论f(x)的单调性； (2)若曲线y=f(x)经过点A(,-),且在A处的切线为1.证明：除切点A外，曲线 y=f(x)在直线1的下方. 17.(15分) 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成A,B两组进行集训.每 天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长， (1)求甲、乙两人同在A组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率： (3)记X为连续两天至少担任一次组长的人数，求X的概率分布列和数学期望， 数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起 止位置的两个面叫作椭圆柱的底面.如图，在椭圆柱00中，椭圆O的长轴长为4，短轴长 为2，OO'=2.A,B是椭圆O上关于O对称的两点，C,D是椭圆0上关于O'对称的两 点，且AB⊥CD. (1)证明：CD⊥平面AO'B; (2)若AB=CD,求直线AC与底面所成角的正弦值： (3)求四面体ABCD的内切球半径的最小值， 19.(17分) 已知有穷等比数列{a}的项数为N(N≥3)，a>0,公比9∈(0，).将{a,}的所有项按 照某种顺序排成一列，得到数列{bn},使得1≤i<j≤N时，ab≥a,b. (1)若N=3,写出所有满足条件的{b}: (2)是否存在{b,},使得对任意3≤k≤N,≠b-2b都成立，并说明理由； (3)从满足条件的所有数列b,}中随机抽取一个，求抽到的b}为等比数列的概率， 数学试卷第4页（共4页） 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A c A D B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 AB ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-4 13.号（形如：kπ+于，keZ) 14.5+1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】（)由csm号子，得cl上s4=} 2 整理，得2bc-2 bccosA=1. …3分 在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 得2bc-(b2+c2-a2)=1. …5分 把a=2代入上式，得(b-c)2=3, 因为b<c,所以c-b=√5. …6分 在△ABC中，由正弦定理品4品B品C,得 b sinc-sin B=c-b …8分 sin A a 2 (2)在△ABC中，由余弦定理，得 cosB-a'tc-b=4+c-b_4+c'-(c-3y …10分 2ac 4c 4c +4c 2 …12分 2 因为0<B<π， 参考答案与评分建议第1页（共6页） 所以B< 61 …13分 16.(15分) 【解】(1)因为f(x)的定义域为(0，+∞)， fw的导函数f"(x)=g+1=X+a …2分 ①当a≥0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增， …4分 ②当a<0时，令f'(x)>0,得x>-a: 令f'(x)<0,得x<-a: 所以，f(x)在(-a,+∞)上单调递增，在(0，一a)上单调递减. …6分 (2)因为曲线y=f(x)经过点A1,-1), 所以1-2a=-1,解得a=1. 所以f)=lhx+x-2,fx)=1+l. 因为")=2，所以1的方程为y=2x-3. …9分 下证：nx+x-2<2x-3x>0,x≠1)， 只需证：nx-x+1<0(x>0,x≠) …11分 设gx)=lhx-x+1(x>0,x≠1)，则g'x)=-x, 令g'(x)>0,得0<x<1:令g'(x)<0,得x>1, 所以g(x)在(0，I)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)<g)=0. …14分 所以当x>0,x≠1时，nx+x-2<2x-3, 所以原命题得证， …15分 17.(15分) 【解】(1)8名运动员分成A,B两组共有C=70种不同方法 记事件M为“甲、乙两人同在A组”，则事件M共有C=15种不同方法， 所以PM=亮=音 3 答：甲、乙两人同在A组的概率为4· …4分 参考答案与评分建议第2页（共6页） (2)甲每天担任组长的概率为 $$\frac { 1 } { 4 } ，$$ ，记事件N为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则 $$P \left( N \right) = 1 - \left( 1 - \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 3 } = \frac { 3 7 } { 6 4 } ，$$ 答：甲在三天内至少担任一次组长的概率为 $$\frac { 3 7 } { 6 4 } .$$ .…7分 (3)X的可能取值为2，3，4， $$P \left( X = 2 \right) = \frac { C _ { 4 } ^ { 1 } } { C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 1 } } \cdot \frac { C _ { 4 } ^ { 1 } } { C _ { 4 } ^ { 4 } } _ { 4 } = \frac { 1 } { 1 6 } ，$$ $$P \left( X = 3 \right) = 2 \times \frac { C _ { 4 } ^ { 1 } } { C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 1 } } \cdot \frac { A _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 4 } ^ { 1 } } = \frac { 3 } { 8 }$$ $$P \left( X = 4 \right) = \frac { A _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 4 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 2 } } \cdot \frac { A _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 4 } ^ { 2 } } = \frac { 9 } { 1 6 } ，$$ ....13分 所以X的分布列为 X 2 3 4 P $$\frac { 1 } { 1 6 }$$ $$\frac { 9 } { 1 6 }$$ $$E \left( X \right) = \frac { 1 } { 1 6 } \times 2 + \frac { 3 } { 8 } \times 3 + \frac { 9 } { 1 6 } \times 4 = \frac { 7 } { 2 } .$$ ...15分 18.(17分) c 【解】(1)证明：记圆 O' 所在平面为 α， 由椭圆柱定义可知， OO'⊥α， 因为 CD⊂α， ，所以 OO'⊥CD.⋯ 2分 $$\overrightarrow { A }$$ 因为 AB⊥CD，AB，OO'⊂ 平面 O'AB，AB∩OO'=O， 所以 CD⊥ 平面 AO'B .....4分 (2)设C，D在下底面射影分别为 $$C _ { 1 } ， D _ { 1 } ，$$ y 则 $$A B \bot { C _ { 1 } } D _ { 1 } .$$ $$C _ { 1 }$$ B x 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆的方程为 $$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 ，$$ $$D _ { 1 }$$ A 设 $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， C _ { 1 } \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ 参考答案与评分建议第3页(共6页) 若AB与坐标轴不垂直，设直线AB的方程为y=:,k≠0， 联立直线B与稀圆方程，得=吸 所以04=民+开=2+ …6分 √4k2+1 同理，可得0C=V居+巧-2 Vk2+4 由AB=CD得， 4+_4+,解得2=1， V4k2+1V2+4 所以o4=oc=2.…8分 所以4cf-1o4f+locf=oof+1of+ocf=9, 所以4G=9 设直线4C与底面所成角为a,则sina= C 所以直线AC与底面所成角的正弦值为 …10分 3 (3)因为四面体ABCD的体积V='c-o+',-oB =号S.lCDl=×3loo1H4l-CDl=等lo4-oC Sc-Sc=CD=0C- SJBc =S =xJOCx=0MOC P4. …12分 设四面体ABCD的内切球半径为R,则 V=(ScD+Smc+Sc+Sup)-R 所以R=2Sm+SC）} 3Ψ 2040C G+4+04-OG+4 参考答案与评分建议第4页（共6页） 8.+1.+ √4k2+1√k2+4 4Wk2+1 +出+1+4+ 2+1+1 Vk2+4V4k2+1 V4k2+1Vk2+4 2W2+1 …14分 √5k2+2+V2k2+5 2√2+1 V2[5k+2+(2k2+5】4 当且仅当5k2+2=2k2+5,即k=1时，等号成立. …16分 若AB与坐标轴垂直，不妨设AB为长轴，CD1为短轴，即OA=2,OC=1, 此时内切球半径R=一 2 2 2+54 所以四面体ABCD的内切球半径最小值为4 7 …17分 19.(17分) 【解】(1)当N=3时，满足条件的b}有4个，分别为 a1,a2a3;a1a3a2:a2,a1,a3:a3a2a1 …4分 (2)存在{b},使得对任意3≤k≤N,,≠b-b都成立.理由如下： 当N为偶数时，设b}为a2,a,a,a,aw,aw-1,① 因为a,a≥a,a,≥a,a,≥a,a≥…≥aw-aw≥avak-1' 即a≥a,b,≥a,h≥a,b,≥…≥aw-bw-≥a,bw,所以①满足条件， k为奇数时，k+3为偶数，a>a2=aa3,a<aa2,1≤k≤N-3, 所以N为偶数时，存在{b},使得对任意3≤k≤N,≠b-b都成立. …7分 当N为奇数时，设{b.}为a,a,a2,a5,a4,aw,aw-4,② 因为a>≥a,a,≥a,a,≥.…≥av-aw≥awaw4,所以②满足条件， 参考答案与评分建议第5页（共6页） 同理可验证②中，对任意3≤k≤N,b1≠bb都成立， 即N为奇数时，存在{b,},使得对任意3≤k≤N,1≠b-b都成立. 综上，存在{b,},使得对任意3≤k≤N,≠b-b都成立. …9分 (3)因为an=ag,0<q<1,所以a,>a2>…>aw· 由a,b≥ab,得，b≥b,q，1≤i<j≤N,即b≥b9,1≤iN-l. …10分 记b=a,≤k≤N时，满足题意的b}的个数为cw4 当2≤k≤N时，因为b-≥bq=a,g=4,又b≤a,所以b=a: 依次类推，{b,}的第1项至第k项的排列确定，为a,,4,4, 所以当b=a时，{b.}个数等于a1,a2,aw的重新排列个数，即cw-k个. 当k=N时，满足条件的b,}有1个：aw,a、-4,a,a,即c。=1 综上分析，Cw=Cw1+Cx-2+…+G+1, 所以cw4=cw-2+C-3+…+G+l, 所以cw=cw1+(cw-2+Cw-3+…+G+)=2cw4 …15分 由(1)可知，C=4, 所以{c、}从第3项开始是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以cw=4×23=2(N≥3). 由上述分析，仍为等比数列的b}只有两个： ay,a,,,,,a,ax, 所以从所有{b}中随机抽取一个，抽到b}为等比数列的概率 P= 2 22· …17分 参考答案与评分建议第6页（共6页）