专题03 带电粒子在匀强磁场中的运动（6大考点）专项训练 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

专题03 带电粒子在匀强磁场中的运动 【全国通用】 目录 第一部分 培优专练 【题型1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式】 1 【题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 3 【题型3 带电粒子在直边界磁场中运动】 4 【题型4 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动】 7 【题型5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 9 【题型6 临界状态的不唯一形成多解】 10 第二部分 压轴突破 【题型1 】 1．如图所示，MN 表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿e→d→c→b →a方向运动 C．穿越金属板后，粒子运动的周期变大 D．穿越金属板后，所受洛伦兹力变大 2．如图所示，电荷量为q的带正电粒子（不计重力）以水平向右、大小为v的速度射入垂直于纸面向里的匀强磁场中，粒子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动。该粒子形成的等效电流大小和方向分别为（　　） A．，沿顺时针方向 B．，沿逆时针方向 C．，沿顺时针方向 D．，沿逆时针方向 3．（多选）正方形容器abcd内部充满如图所示的匀强磁场，一束速度相同的质子从a孔沿ab方向垂直磁场射入容器内。当磁感应强度B=B1时，质子打在d点；当B=B2时，质子打在c点，质子重力及质子间作用力不计。下列说法正确的是（　　） A．打在d和c的质子在磁场中的周期比为2:1 B．打在d和c的质子在磁场中的运动时间比为1:1 C．B1和B2的大小之比为2:1 D．打在d和c的质子在磁场中运动的加速度大小之比为1:2 4．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量大小为q（电性未知），，不计重力。根据上述信息： (1)判断带电粒子所带电荷的种类； (2)求带电粒子在磁场中运动的速率v； (3)求带电粒子在磁场中运动的时间t。 【题型2 】 5．如图所示，质量为的带电小物块从半径为的固定绝缘光滑半圆槽顶点由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg 6．如图所示，长为m的平直挡板AB和半径为1m的半圆挡板BC相切于B，空间存在垂直于纸面向里的大小为B0=1.0×10-3T的匀强磁场，位于A点的粒子源向AB右侧180°范围发射速度大小均为30m/s的相同的带正电粒子，粒子的比荷=1.0×104C/kg，粒子重力忽略不计，则打到挡板内表面的粒子运动的最长时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 7．（多选）在扇形OAB区域内存在垂直于平面向里的匀强磁场，扇形的半径为R，。O点处有一粒子源，向扇形区域内各个方向均匀放射出比荷为k、速率为v的带负电的粒子，如图所示。从圆弧AB和OB边射出粒子的个数之比为，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．从圆弧AB射出的粒子在磁场中运动时间都相同 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 8．有一粒子源位于边长为2L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为。质量为m，电荷量为+q的相同带电粒子，忽略粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)若只加竖直向下的匀强电场，为使垂直于平面ABCD射出的粒子能打在F点，求所加电场的场强E的大小； (2)若只加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度，粒子运动到正方体侧面的最短时间t； (3)当所加竖直向下的匀强电场时，再在竖直方向加一竖直向下的匀强磁场，使所有粒子都能汇聚于正方体底面的中心O1，求所加磁场的磁感应强度B2。 【题型3 】 9．如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小。磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是。已知α粒子的电荷量与质量之比。若只考虑在图纸平面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是（　　）（不计粒子的重力） A．20cm B．32cm C．40cm D．48cm 10．分别带正负电荷的、两个粒子，比荷之比为，从匀强磁场的直线边界上的、点分别以和（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从、两点之间的点射出，已知与PN长度之比为，如下图所示。设边界上方的磁场方向垂直纸面向外且范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则A、B两粒子的速率之比为（　　） A． B． C． D． 11．（多选）如图所示，坐标系所处空间中存在着平行于轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场。质量为的带电粒子从坐标原点处以方向与轴正方向夹角为、大小为的速度射入平面，粒子恰好能经过坐标为（未知）的点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电荷量为 B．粒子一定经过坐标为的点 C．粒子从点运动到点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为 D．可能为 12．如图所示，纸面内竖直边界1、2之间有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，边界1的左侧（紧挨边界1）放置极板垂直边界1的平行板电容器，一电子紧贴下极板水平向右射入电容器，经板间电场偏转后从电容器右上端点沿与边界1夹角（斜向上）的方向射入磁场，电子从点射出磁场时的速度方向与边界2的夹角（斜向下）。电子的质量为、电荷量为，电容器的极板长度以及磁场的宽度均为，不计电子所受的重力，取，。求： (1)电子通过点时的速度大小； (2)电容器两极板间的电压以及两极板间的距离。 13．如图所示，在直角坐标系的平面空间内，第一象限区域分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，第二象限区域分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。长为的光滑空心绝缘细管平行轴，端位于坐标原点处，管内端有一质量为、重力可忽略的带负电的微粒，当细管以速度沿轴正方向匀速移动，微粒离开管口端射入磁场时速度的方向与轴的正向夹角为。求： (1)微粒离开端时的速度大小； (2)微粒所带电荷量； (3)微粒离开细管后，第二次经过轴时与坐标原点的距离。 【题型4 】 14．如图所示，真空中有一圆形区域的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。在磁场边界的点设置粒子源，可沿圆形区域平面的各个方向发射速率相同的电子。这些电子射出磁场的位置均处于上，其所对圆心角为。现将电子的发射速率增大，射出范围变为，其所对圆心角为。若要将电子射出范围调回到上，则磁感应强度大小要调节为（　　） A． B． C． D． 15．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（    ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 16．（多选）在芯片制备中会用到磁聚焦和磁约束来改变一束平行带电粒子的宽度。如图所示，半径分别为r₀、2r₀的圆Ⅰ、Ⅱ相切于O点，两圆内均存在着垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），圆Ⅰ内磁场的磁感应强度大小为B。一束由质量为m、电荷量为q的同种带电粒子形成的粒子流（宽度为r₀）以水平向右的速度从圆Ⅰ的下半部分射入圆Ⅰ中，并全部从O点进入圆Ⅱ区域，最终均以水平向右的速度射出圆Ⅱ区域，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子流射入磁场的速度大小为 B．圆Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为2B C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子流在圆Ⅱ内经过区域的面积为 17．如图所示，平面直角坐标系中，有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心坐标为，磁感应强度大小为，方向垂直平面向外。在直线上放置长度为的线状粒子源，粒子源一端在轴上，该粒子源沿方向均匀发射速度大小为的相同带电粒子，所有粒子经磁场偏转后从坐标原点处射出，其中指向圆心射入的粒子恰好从点沿轴正方向射出。处有与轴平行的荧光屏，荧光屏足够大。粒子的重力及粒子间的相互作用忽略不计，取。 (1)求粒子的比荷； (2)若轴与荧光屏之间存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，求打到荧光屏上的粒子数占粒子总数的比例； (3)若轴与荧光屏之间存在垂直平面向外的磁场，磁感应强度大小与横坐标满足（为常量），所有粒子均不能打到荧光屏上，（不考虑轴上的入射粒子）求的取值范围。 【题型5 】 18．如图，平面内有大量电子（质量为、电荷量为）从原点连续以相同速率向各个方向发射，右侧远处放置与平面垂直且足够大的荧光屏。现在各象限施加面积最小的垂直于该平面、磁感应强度大小为的匀强磁场，使第1、4象限的电子最终平行于轴并沿轴正向运动，第2、3象限的电子最终平行于轴并沿轴负向运动。忽略电子间的相互作用，则（　　） A．第1、4象限磁场方向垂直平面向外 B．整场的最小总面积为 C．电子在磁场中运动的最长时间为 D．电子在光屏上形成的光斑长度为 19．（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 20．如图所示，在边长为的正方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电粒子从点以不同大小的初速度由到射入磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)若粒子从的中点射出，求粒子的带电属性以及在磁场中运动的时间； (2)若粒子从的中点射出，求粒子的初速度大小； (3)若正方形中只有某个区域内存在上述磁场，粒子以相同大小、不同方向的初速度从A射入时，均能垂直边射出（整条边都有粒子射出），求该磁场区域的最小面积。 【题型6 】 21．如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 22．（多选）如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷的带正电粒子经过电压为的加速电场后，沿平行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P 离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为K的粒子恰好落在F点。已知偏转电场两板间的电压，，，，不计重力作用。 (1)求比荷为K的粒子经过P 点时的速度大小和与板AG的夹角θ； (2)求磁感应强度的大小B； (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 1．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 2．如图所示，竖直面内固定一光滑绝缘大圆环，半径为，为竖直直径，为水平直径，一轻弹簧的一端固定在点，另一端与穿在圆环上的带正电小球相连，空间有垂直圆环平面向外的匀强磁场，已知小球在、两点时弹簧的形变量大小相等，重力加速度为，现将小球由点静止释放，下列说法正确的是（　　） A．刚释放时小球加速度大小为 B．小球不可以到达点 C．小球到达弹簧原长位置时速度最大 D．小球到达点时速度大小为 3．如图所示，宽为的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为为磁场边界。为磁场左边界上的一点，大量质子以各种速率经过点，在纸面内沿相同的方向连续射入磁场，质子的质量为电荷量为的方向与左边界成角。不计质子的重力以及质子间相互作用力，忽略相对论效应，下列说法中正确的是（   ） A．速率的质子在磁场中运动的时间均为 B．速率的质子离开磁场时速度方向与的夹角为 C．速率的质子离开磁场时速度方向与垂直 D．边界上有质子射出区域的长度为 4．如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。时刻，位于坐标原点O的粒子源沿xOy平面向各个方向均匀持续发射速度大小为的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为，不计粒子重力及粒子间相互作用。在时间内，磁场中可探测到粒子区域的最大面积为（　　） A． B． C． D． 5．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要的装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点发射两个粒子，都恰好到达磁场外边界。已知粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，粒子沿内圆的切线方向发射，、都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。则（   ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 6．如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 7．圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，具有相同比荷的两个带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子1射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90，磁场中运动时间为t1；若粒子2射入磁场时的速度大小为v2，偏转情况如图所示，运动时间为t2，不计重力，则下列说法正确的是（　　） A．v2=v1 B．t2>t1 C．只改变粒子1从M点射入磁场时的速度方向，则该粒子离开磁场时一定与直径MON垂直 D．只改变粒子2从M点射入磁场时的速度方向，当该粒子从N点射出时，运动时间最短 8．（多选）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成角（），以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．若v一定，越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 B．若v一定，越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 C．若一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度大小不变 D．若一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 9．（多选）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l>>a）。一位于管道一端中心的粒子源向管道内各方向均匀发射出大量速度为v的相同带电粒子，粒子在磁场力作用下打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，且沿轴线进入管道的粒子恰好垂直打在管壁上，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为 D．粒子束对管道的平均作用力大小为 10．（多选）如图甲所示是洛伦兹力演示仪，其简化模型如图乙所示。某次实验中励磁线圈在以O点为球心、半径为R的真空球状玻璃泡内产生垂直于纸面的匀强磁场。固定在球心O正下方处P点的电子枪，沿水平向左射出某一速率的电子（电子只在图中平面内运动）。当磁感应强度大小为，电子射出速率为时，电子做圆周运动经过玻璃泡上与球心等高的M点。已知电子质量为m，电荷量为e，不计重力，不考虑出射电子间的相互作用，下列结论正确的（　　） A．玻璃泡内匀强磁场垂直纸面向外 B．若只调整磁场大小，使电子能在玻璃泡内做完整的圆周运动，则磁感应强度最小值为 C．若只调整电子速率，使电子在玻璃泡内能做完整的圆周运动，则电子最大速率为 D．若只将匀强磁场反向，调整其大小，使电子恰好垂直打到玻璃泡上，则磁感应强度大小为 11．（多选）在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，纸面内有一矩形，其长为、宽为，P、Q为边上的点，。在矩形外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为的粒子，从P点垂直以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图所示，宽为L、长为2L的长方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在AB的中点O处有一个离子源，沿图示的与AB成60°角的方向发射速度大小为的相同带正电粒子，其中在磁场中运动时间最短的粒子的运动时间为其做圆周运动周期的六分之一，不计粒子重力及粒子间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．从AB边射出的粒子运动时间均为 C．从CD边射出的粒子速度范围为 D．从AD边射出的粒子速度范围为 13．（多选）如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的比荷； (3)粒子穿过圆形区域所用的时间。 14．（多选）如图甲所示为某一粒子控制装置的原理图。平行金属板水平放置，两板的长度及两板间距均为，在两板间加有如图乙所示的交变电压（图中纵轴上已知、横轴上未知），两板左侧有一放射性粒子源，沿两板中线向右不断射出比荷为的正电粒子，所有粒子穿过两板间电场的时间均为，两板右侧较远地方有一直径为的圆形磁场区域点为圆心，为竖直直径）和一足够长、宽为的矩形磁场区域，极板的延长线与矩形区域的边界重合，与圆形区域在点相切。圆形区域与矩形区域内磁场的方向均垂直纸面向里、磁感应强度大小分别为（未知量）、（未知量）。已知时刻从两板左侧飞入的粒子刚好从板右端边缘射出电场，时刻射入的粒子经圆形区域偏转后刚好从点进入矩形区域，之后从边界飞出，经过矩形区域过程其速度方向改变了，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，求： (1)交变电压的周期及粒子射入两板间的初速度大小； (2)与的比值； (3)在矩形区域内有粒子经过的区域的面积。 15．（多选）如图所示，半环状区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，内半环壁的半径为，外半环壁的半径为。分布均匀的线状粒子源发射出质量为、电荷量为的负粒子，经加速电场加速后由口射入，粒子在磁场中运动碰到内壁或外壁则立即被吸收，为粒子的出口。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用和相对论效应。 (1)若某个粒子从点垂直射入磁场从点射出，则该粒子速度的大小； (2)若粒子以不同的速度大小和方向从入口射入磁场，则能够从出口射出的粒子在磁场中运动时间的最大差值； (3)若出口在图乙所示的环状处，以相同速度垂直进入的所有粒子在出口处射出率与粒子速度的关系式。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 带电粒子在匀强磁场中的运动 【全国通用】 目录 第一部分 培优专练 【题型1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式】 1 【题型2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 4 【题型3 带电粒子在直边界磁场中运动】 8 【题型4 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动】 13 【题型5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 19 【题型6 临界状态的不唯一形成多解】 23 第二部分 压轴突破 【题型1 】 1．如图所示，MN 表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子（　　） A．带正电荷 B．沿e→d→c→b →a方向运动 C．穿越金属板后，粒子运动的周期变大 D．穿越金属板后，所受洛伦兹力变大 【答案】B 【详解】B．带电粒子穿过金属板时会损失动能，速度减小。根据洛伦兹力提供向心力，推导得轨道半径，减小则减小，因此粒子从半径大的下方（下半圆）运动到半径小的上方（上半圆），运动方向为，B正确； A．由上一选项分析可知，粒子由下向上穿过金属板，穿越前后受到的洛伦兹力向左，根据左手定则可知，粒子带负电，A错误； C．带电粒子在磁场中运动的周期，周期与粒子速度无关，均不变，因此穿越后周期不变，C错误； D．洛伦兹力，穿越后速度减小，因此洛伦兹力变小，D错误。 故选 B。 2．如图所示，电荷量为q的带正电粒子（不计重力）以水平向右、大小为v的速度射入垂直于纸面向里的匀强磁场中，粒子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动。该粒子形成的等效电流大小和方向分别为（　　） A．，沿顺时针方向 B．，沿逆时针方向 C．，沿顺时针方向 D．，沿逆时针方向 【答案】B 【详解】根据左手定则可知，带正电的粒子做圆周运动的方向为逆时针，即等效电流的方向为逆时针；粒子做圆周运动的周期为 则等效电流为 故选B。 3．（多选）正方形容器abcd内部充满如图所示的匀强磁场，一束速度相同的质子从a孔沿ab方向垂直磁场射入容器内。当磁感应强度B=B1时，质子打在d点；当B=B2时，质子打在c点，质子重力及质子间作用力不计。下列说法正确的是（　　） A．打在d和c的质子在磁场中的周期比为2:1 B．打在d和c的质子在磁场中的运动时间比为1:1 C．B1和B2的大小之比为2:1 D．打在d和c的质子在磁场中运动的加速度大小之比为1:2 【答案】BC 【详解】A．根据粒子运动周期公式 根据几何关系可知打在d和c的质子在磁场中运动的半径之比为 则打在d和c的质子在磁场中的周期比为1:2，故A错误； B．打在d的质子在磁场中的运动时间为 打在c的质子在磁场中的运动时间为 可得，故B正确； C．根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 根据，可得，故C正确； D．根据牛顿第二定律，有 解得 可得打在d和c的粒子在磁场中运动的加速度大小之比为，故D错误。 故选BC。 4．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量大小为q（电性未知），，不计重力。根据上述信息： (1)判断带电粒子所带电荷的种类； (2)求带电粒子在磁场中运动的速率v； (3)求带电粒子在磁场中运动的时间t。 【详解】（1）根据粒子的偏转方向可知，粒子所受洛伦兹力方向垂直初速度斜向左上方，磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可知粒子带正电。 （2）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 （3）带电粒子周期为，圆周的圆心角为 则带电粒子在磁场中运动的时间为 解得 【题型2 】 5．如图所示，质量为的带电小物块从半径为的固定绝缘光滑半圆槽顶点由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg 【答案】D 【详解】物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大且不变，列式得 解得 物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等 此时物块受到向上的洛伦兹力，根据受力分析得 物块第二次经过圆槽最低点时，物块在半圆槽内做往复运动，此时物块受到向下的洛伦兹力，根据受力分析得 联立解得 故选D。 6．如图所示，长为m的平直挡板AB和半径为1m的半圆挡板BC相切于B，空间存在垂直于纸面向里的大小为B0=1.0×10-3T的匀强磁场，位于A点的粒子源向AB右侧180°范围发射速度大小均为30m/s的相同的带正电粒子，粒子的比荷=1.0×104C/kg，粒子重力忽略不计，则打到挡板内表面的粒子运动的最长时间为（　　） A．s B．s C．s D．s 【答案】C 【详解】带电粒子所受洛伦兹力提供向心力，即，代入数据，解得，带电粒子运动时间最长时，要使粒子打到挡板的内表面，运动轨迹为劣弧，因此弦长越长，弧长越长，运动时间越长，则打到AO延长线上的D点时弦长最长，时间最长，计算可得，轨迹对应的圆心角为60°，则运动时间，C项正确。 故选C。 7．（多选）在扇形OAB区域内存在垂直于平面向里的匀强磁场，扇形的半径为R，。O点处有一粒子源，向扇形区域内各个方向均匀放射出比荷为k、速率为v的带负电的粒子，如图所示。从圆弧AB和OB边射出粒子的个数之比为，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨迹半径为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．从圆弧AB射出的粒子在磁场中运动时间都相同 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BCD 【详解】A．从圆弧AB和OB边射出粒子的个数之比为，说明与OB边界成30°角射入的粒子刚好能够从B点出射，根据几何关系可知有 可解得粒子运动的轨迹半径为，故A错误； B．由洛伦兹力充当向心力，有 可解得，故B正确； C．能从AB弧射出的粒子入射点与出射点的距离均是R，粒子做圆周运动时弦长刚好与半径相等，说明转过的圆心角为60°，时间都是，故C正确； D．粒子转过的最大角度是60°，所以，故D正确。 故选BCD。 8．有一粒子源位于边长为2L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为。质量为m，电荷量为+q的相同带电粒子，忽略粒子重力及粒子间相互作用。求： (1)若只加竖直向下的匀强电场，为使垂直于平面ABCD射出的粒子能打在F点，求所加电场的场强E的大小； (2)若只加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度，粒子运动到正方体侧面的最短时间t； (3)当所加竖直向下的匀强电场时，再在竖直方向加一竖直向下的匀强磁场，使所有粒子都能汇聚于正方体底面的中心O1，求所加磁场的磁感应强度B2。 【详解】（1）粒子水平方向匀速直线运动 竖直向下做匀加速直线运动，其中 解得： （2）粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得，周期 粒子从O点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O点到侧面垂足P的最短弦长，由几何关系可知，弦长OP=L，圆心角 最短时间。 （3）同时加上电场和磁场，粒子运动可以分解为竖直向下的匀加速直线运动，水平方向的匀速圆周运动。 水平方向洛伦兹力提供向心力 周期 竖直向下匀加速运动， 联立解得 【题型3 】 9．如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小。磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是。已知α粒子的电荷量与质量之比。若只考虑在图纸平面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是（　　）（不计粒子的重力） A．20cm B．32cm C．40cm D．48cm 【答案】C 【详解】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得α粒子的轨道半径为 由于 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点； 再考虑N的右侧。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点； 粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系可得， 则感光板ab上被α粒子打中区域的长度为 故选C。 10．分别带正负电荷的、两个粒子，比荷之比为，从匀强磁场的直线边界上的、点分别以和（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从、两点之间的点射出，已知与PN长度之比为，如下图所示。设边界上方的磁场方向垂直纸面向外且范围足够大，不计两带电粒子相互作用，则A、B两粒子的速率之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，两粒子在磁场中均做匀速圆周运动，轨迹如图 由几何关系可得， 又 根据两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得， 联立解得 则A、B两粒子的速率之比为1：1，故选D。 11．（多选）如图所示，坐标系所处空间中存在着平行于轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场。质量为的带电粒子从坐标原点处以方向与轴正方向夹角为、大小为的速度射入平面，粒子恰好能经过坐标为（未知）的点，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电荷量为 B．粒子一定经过坐标为的点 C．粒子从点运动到点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为 D．可能为 【答案】BC 【详解】A．将粒子的初速度分解为垂直y方向和平行y方向，则有， 垂直于y方向粒子做匀速圆周运动，由题可知，粒子圆周运动的半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得粒子的电荷量为，故A错误； B．由题可知，粒子沿z方向做匀速圆周运动，沿y方向做匀速直线运动，半个周期后粒子沿y方向的位移为，总位移为，因此粒子一定经过坐标为的点，故B正确； C．根据动量定理可知，粒子运动过程中，只受到洛伦兹力的作用，因此洛伦兹力的冲量等于粒子动量的变化量，结合上述分析可知，粒子沿y方向的动量不变，选取初始速度方向为正方向，则沿垂直y方向的动量变化量为 因此粒子从点运动到点的过程中受到洛伦兹力的冲量大小为，故C正确； D．由题可知，粒子圆周运动的周期为 沿y方向则有， 结合上述结论 整理可得 因此不可能为，故D错误。 故选BC。 12．如图所示，纸面内竖直边界1、2之间有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，边界1的左侧（紧挨边界1）放置极板垂直边界1的平行板电容器，一电子紧贴下极板水平向右射入电容器，经板间电场偏转后从电容器右上端点沿与边界1夹角（斜向上）的方向射入磁场，电子从点射出磁场时的速度方向与边界2的夹角（斜向下）。电子的质量为、电荷量为，电容器的极板长度以及磁场的宽度均为，不计电子所受的重力，取，。求： (1)电子通过点时的速度大小； (2)电容器两极板间的电压以及两极板间的距离。 【详解】（1）设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 解得 洛伦兹力提供向心力可得 解得电子通过点时的速度大小 （2）电子射入电容器时的速度大小 解得 对电子在电容器中运动的过程，根据动能定理有 解得 电子在电容器中运动的时间 解得 又 解得 13．如图所示，在直角坐标系的平面空间内，第一象限区域分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，第二象限区域分布着磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。长为的光滑空心绝缘细管平行轴，端位于坐标原点处，管内端有一质量为、重力可忽略的带负电的微粒，当细管以速度沿轴正方向匀速移动，微粒离开管口端射入磁场时速度的方向与轴的正向夹角为。求： (1)微粒离开端时的速度大小； (2)微粒所带电荷量； (3)微粒离开细管后，第二次经过轴时与坐标原点的距离。 【详解】（1）微粒离开时的速度与轴的正向夹角为，则速度大小 （2）微粒在细管中运动的过程中，沿y轴方向受到正方向的洛伦兹力，大小恒为，则微粒P沿y轴方向的分运动为初速度为零的匀加速直线运动，有，， 联立解得 （3）设微粒P在细管中运动的时间为t，则有 该过程中微粒P沿x轴方向的位移大小 解得 即粒子离开N端时的坐标为，设粒子在第一象限和第二象限做匀速圆周运动的半径分别为和，根据洛伦兹力提供向心力分别有， 解得， 根据题意作出粒子射出细管后的运动轨迹，如图所示 第二次经过y轴时与坐标原点O的距离 【题型4 】 14．如图所示，真空中有一圆形区域的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。在磁场边界的点设置粒子源，可沿圆形区域平面的各个方向发射速率相同的电子。这些电子射出磁场的位置均处于上，其所对圆心角为。现将电子的发射速率增大，射出范围变为，其所对圆心角为。若要将电子射出范围调回到上，则磁感应强度大小要调节为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆形磁场的半径为，电子的质量为，电荷量为，电子的射出范围变为时，电子运动的轨迹圆直径等于弦长PN，由几何关系可得弦长 轨迹圆半径。 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 要将电子射出范围调回到上，电子运动的轨迹圆直径等于弦长PM，由几何关系可知，弦长 轨迹圆半径 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 代入，，解得 故选A。 15．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点发射a、b两个粒子，都恰好经过磁场外边界。已知a粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，b粒子沿内圆的切线方向发射，a、b都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受重力和相互作用。则（    ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 【答案】C 【详解】A．已知，根据洛伦兹力提供向心力 可得 。​ a沿径向发射，速度方向沿，因此轨道圆心​在与垂直的直线上，运动轨迹如图 由几何关系可得 解得，A错误； B．a从到外边界切点，转过的圆心角，由图可知, 可得 运动时间，B错误； C．b沿切线方向发射，速度方向垂直于，因此轨道圆心在直线上，粒子轨迹与外圆相切，运动轨迹如图所示。设b轨道半径为​，外圆半径满足 又 可得 ， 因此b速度，C正确； D．b从到外边界切点，和切点分别在圆心的两侧，转过圆心角 运动时间 ​，D错误。 故选C 。 16．（多选）在芯片制备中会用到磁聚焦和磁约束来改变一束平行带电粒子的宽度。如图所示，半径分别为r₀、2r₀的圆Ⅰ、Ⅱ相切于O点，两圆内均存在着垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），圆Ⅰ内磁场的磁感应强度大小为B。一束由质量为m、电荷量为q的同种带电粒子形成的粒子流（宽度为r₀）以水平向右的速度从圆Ⅰ的下半部分射入圆Ⅰ中，并全部从O点进入圆Ⅱ区域，最终均以水平向右的速度射出圆Ⅱ区域，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子流射入磁场的速度大小为 B．圆Ⅱ内磁场的磁感应强度大小为2B C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子流在圆Ⅱ内经过区域的面积为 【答案】AD 【详解】A．平行入射的粒子全部汇聚到O点，这是磁聚焦现象，可知粒子在圆Ⅰ中运动的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力，有 解得，故A正确； B．粒子从O点进入圆Ⅱ后，全部以水平向右速度射出，为磁发散现象，可知粒子在圆Ⅱ中轨迹半径等于圆Ⅱ的半径，即 同理 代入，得 解得，故B错误； C．粒子在圆Ⅰ中周期为 圆Ⅱ中周期为 最上端入射的粒子偏转角最大，在圆Ⅰ中偏转角 在圆Ⅱ中偏转角为 总运动时间为，故C错误； D．所有粒子从O点出发，轨迹半径均为，速度方向范围为竖直向下到水平向右，如图所示 经过的区域为两圆重合的部分，面积为，故D正确。 故选AD。 17．如图所示，平面直角坐标系中，有一个半径为的圆形磁场区域，其圆心坐标为，磁感应强度大小为，方向垂直平面向外。在直线上放置长度为的线状粒子源，粒子源一端在轴上，该粒子源沿方向均匀发射速度大小为的相同带电粒子，所有粒子经磁场偏转后从坐标原点处射出，其中指向圆心射入的粒子恰好从点沿轴正方向射出。处有与轴平行的荧光屏，荧光屏足够大。粒子的重力及粒子间的相互作用忽略不计，取。 (1)求粒子的比荷； (2)若轴与荧光屏之间存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，求打到荧光屏上的粒子数占粒子总数的比例； (3)若轴与荧光屏之间存在垂直平面向外的磁场，磁感应强度大小与横坐标满足（为常量），所有粒子均不能打到荧光屏上，（不考虑轴上的入射粒子）求的取值范围。 【详解】（1）由题可知，粒子在磁场中运动的轨道半径 粒子所受洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）由于轴与荧光屏之间存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 故带电粒子在第一象限顺时针圆周运动，轨道半径 打在荧光屏上的粒子的两个临界为轨迹①和②，如图所示 根据临界轨迹①，并结合几何关系有 解得 由几何知识可得临界①对应的粒子在发射源上距离轴的距离为 解得 临界②对应的粒子在发射源上位于轴，故打到荧光屏上的粒子数占粒子总数的比例 解得 （3）由题意可知，所有粒子均不能打到荧光屏上，则临界方向入射第一象限的粒子在变化后的磁场中运动的轨迹刚好与荧光屏相切 则沿轴方向根据动量定理有 整理得 由于 所以 解得 故的取值范围为 【题型5 】 18．如图，平面内有大量电子（质量为、电荷量为）从原点连续以相同速率向各个方向发射，右侧远处放置与平面垂直且足够大的荧光屏。现在各象限施加面积最小的垂直于该平面、磁感应强度大小为的匀强磁场，使第1、4象限的电子最终平行于轴并沿轴正向运动，第2、3象限的电子最终平行于轴并沿轴负向运动。忽略电子间的相互作用，则（　　） A．第1、4象限磁场方向垂直平面向外 B．整场的最小总面积为 C．电子在磁场中运动的最长时间为 D．电子在光屏上形成的光斑长度为 【答案】B 【详解】A．第1、4象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向运动，根据左手定则可知第1象限磁场方向垂直平面向里，第4象限磁场方向垂直平面向外，故A错误； B．电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为 在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界，设某电子做匀速圆周运动的圆心与O点的连线与y轴正方向夹角为，如图所示 若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得 消去参数可知磁场区域的下边界满足的方程为（x>0，y>0） 这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积，磁场的最小面积为 根据对称性可知，整场的最小总面积为 故B正确； C．电子在磁场中运动的最长时间对应的圆心角为90°，时间为 故C错误； D．几何关系可知，电子在光屏上形成的光斑长度为电子运动半径之和，即 故D错误。 故选 B。 19．（多选）如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．磁场区域中有粒子通过的面积为 【答案】AD 【详解】A．粒子速度与OB边夹角为60°时从E点射出，根据左手定则，粒子带负电，A正确； B．由几何关系，OE间距为d，粒子做圆周运动的圆心角，轨道半径 根据洛伦兹力提供向心力 可得 B错误； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此磁场中运动的轨迹越长，时间越长，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，故C错误； D．粒子通过的区域由两部分组成，一部分是矩形和扇形的组合，则 D正确。 故选AD。 20．如图所示，在边长为的正方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的带电粒子从点以不同大小的初速度由到射入磁场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)若粒子从的中点射出，求粒子的带电属性以及在磁场中运动的时间； (2)若粒子从的中点射出，求粒子的初速度大小； (3)若正方形中只有某个区域内存在上述磁场，粒子以相同大小、不同方向的初速度从A射入时，均能垂直边射出（整条边都有粒子射出），求该磁场区域的最小面积。 【详解】（1）由左手定则可知，粒子带负电； 在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 粒子做圆周运动的周期为 粒子在磁场中运动了半个周期，则时间为 （2）从N点射出的粒子在磁场运动的轨迹如图1所示，根据几何关系可知 解得 则粒子的初速度大小为 （3）若粒子均能平行于AD边射出，粒子在磁场中运动了四分之一圆周，可能运动的轨迹如图2所示，图中半径为的四分之一，即： 图中三角形ADC的面积为 磁场区域的最小面积为 解得 【题型6 】 21．如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直指向右下方。 当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，所以粒子运动的半径 由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间，故B错误； D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线上方处； 当θ增大时，粒子打在PQ上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ相切时。 如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线下方处； 当θ继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ不相交，直接从MN上射出，且在MN上的出射点不断上移直到O点。 所以若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为，故D正确； C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期不变。 所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。 由D的分析可知，当粒子的出射点在PQ上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值； 当粒子的出射点在MN上时，粒子的弦长可取[0，]的任意值； 所以粒子运动轨迹的弦长最大可取，此时对应的中心角φ=120°。 所以粒子在磁场中运动的最长时间，故C错误。 故选 D。 22．（多选）如图所示，间距为的两竖直虚线、边界内（含边界）有竖直向上的匀强磁场，点到边界、的距离相等。一带正电的粒子（重力不计）从点射入磁场中，速度方向与竖直方向的夹角。若粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，经历一段时间后，粒子到达点正上方的点（图中未画出）处，则、两点间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】将粒子的速度分别沿水平与竖直方向分解，粒子在竖直方向以速度做匀速直线运动，在水平面内以速度做匀速圆周运动，则有 运动周期为 由于粒子在运动过程中恰好没有越过边界、，所以有 解得 经历一段时间后，粒子到达点正上方的点处，则有（），当n=1时，O、A两点间的距离 当n=2时，O、A两点间的距离，无论n取其他任何整数AD都不可能。 故选BC。 23．如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷的带正电粒子经过电压为的加速电场后，沿平行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P 离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为K的粒子恰好落在F点。已知偏转电场两板间的电压，，，，不计重力作用。 (1)求比荷为K的粒子经过P 点时的速度大小和与板AG的夹角θ； (2)求磁感应强度的大小B； (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理 解得 在偏转电场中，由动能定理 联立，解得 由几何关系，则 解得 （2）由几何关系，可知粒子以速度 垂直于GF进入磁场，在磁场中做圆周运动，且可知轨道半径 由 解得 （3）设比荷为 则可得经加速电场加速后速度 偏转后速度 则由类平抛运动的几何关系可知，粒子仍在P 点以相同偏转角度射出，从M点垂直于GF进入匀强磁场， 则半径 解得 粒子落在FH上，可知 运动轨迹如图所示 半径最小时为，粒子打在F点，则 半径最大时为，运动轨迹与GH相切于点Q，则由几何关系 则 即 解得 1．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计。下列说法中正确的是（　　） A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0 B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为 C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为 D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为 【答案】C 【详解】A．由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时，如图所示，作出从ab边射出的临界轨迹①，该带电粒子从ab边射出经历的时间一定不大于，故A错误； B．作出从bc边射出的临界轨迹②，由图可知，从bc边射出经历的时间一定不大于，故B错误； C．作出从cd边射出的临界轨迹③，由图可知，从cd边射出经历的时间一定是，故C正确； D．作出从ad边射出的临界轨迹④，由图可知，从ad边射出经历的时间一定不大于，故D错误。 故选C。 2．如图所示，竖直面内固定一光滑绝缘大圆环，半径为，为竖直直径，为水平直径，一轻弹簧的一端固定在点，另一端与穿在圆环上的带正电小球相连，空间有垂直圆环平面向外的匀强磁场，已知小球在、两点时弹簧的形变量大小相等，重力加速度为，现将小球由点静止释放，下列说法正确的是（　　） A．刚释放时小球加速度大小为 B．小球不可以到达点 C．小球到达弹簧原长位置时速度最大 D．小球到达点时速度大小为 【答案】D 【详解】A．释放时小球受重力，弹簧向右下方的弹力，圆环水平向左的弹力，合力大于，故加速度大于，故A错误； B．洛伦兹力和圆环弹力不做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故可以达到点，故B错误； C．小球达到原长位置时，洛伦兹力和圆环弹力的方向均沿半径方向，小球还受重力，可知切线方向合力不为零，要继续加速，故C错误； D．小球在、两点时弹簧的形变量大小相等，可知弹簧弹性势能在、两点相等，从到由机械能守恒 解得，故D正确。 故选D。 3．如图所示，宽为的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为为磁场边界。为磁场左边界上的一点，大量质子以各种速率经过点，在纸面内沿相同的方向连续射入磁场，质子的质量为电荷量为的方向与左边界成角。不计质子的重力以及质子间相互作用力，忽略相对论效应，下列说法中正确的是（   ） A．速率的质子在磁场中运动的时间均为 B．速率的质子离开磁场时速度方向与的夹角为 C．速率的质子离开磁场时速度方向与垂直 D．边界上有质子射出区域的长度为 【答案】D 【详解】 A．根据牛顿第二定律可知，当时，轨道半径 质子从左边界离开磁场区域，运动轨迹如图1所示，在磁场中轨迹的圆心角，在磁场中的运动时间，A错误； BC．当，轨迹半径，粒子运动轨迹如图2所示，由几何关系可知，此时质子垂直于右边界离开磁场区域，B错误，C错误； D．质子速度较大时才能从磁场右边界PQ离开，在PQ边上，质子离开磁场区域的最低点为C点，最高点为A点，如图3所示 由几何关系可得， 质子射出区域的长度 故选D。 4．如图所示，平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在垂直平面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场。时刻，位于坐标原点O的粒子源沿xOy平面向各个方向均匀持续发射速度大小为的粒子。已知粒子质量为m、电荷量为，不计粒子重力及粒子间相互作用。在时间内，磁场中可探测到粒子区域的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据洛伦兹力提供向心力有 解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 将代入上式解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的最大半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 所以 在时间段内，0时刻射入磁场的粒子在磁场中转过的圆心角均为，磁场中可探测到粒子最远点落在一段圆弧上，该圆弧以O为圆心、以为半径、对应的圆心角为，如图所示 所以可探测到粒子区域的最大面积为 故选A。 5．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要的装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，内圆半径为。在内圆上点发射两个粒子，都恰好到达磁场外边界。已知粒子沿同心圆的径向发射，其速度大小，粒子沿内圆的切线方向发射，、都带正电且比荷均为。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。则（   ） A．外圆半径等于 B．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 C．粒子速度大小为 D．粒子恰好到达磁场外边界所用时间为 【答案】C 【详解】A．由题意，作出粒子运动轨迹图，如图所示 粒子恰好到达磁场外边界，粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，根据粒子的速度大小为 由洛伦兹力提供向心力 可得 设外圆半径等于，由几何关系得 则，故A错误； B．粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间，故B错误； C．作出粒子运动轨迹图，如图所示 由几何关系可得粒子轨道半径 由洛伦兹力提供向心力 联立解得,故C正确； D．粒子做匀速圆周运动的周期 在磁场中运动的时间，故D错误； 故选C。 6．如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】D 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C错误； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D正确。 故选D。 7．圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，具有相同比荷的两个带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子1射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90，磁场中运动时间为t1；若粒子2射入磁场时的速度大小为v2，偏转情况如图所示，运动时间为t2，不计重力，则下列说法正确的是（　　） A．v2=v1 B．t2>t1 C．只改变粒子1从M点射入磁场时的速度方向，则该粒子离开磁场时一定与直径MON垂直 D．只改变粒子2从M点射入磁场时的速度方向，当该粒子从N点射出时，运动时间最短 【答案】C 【详解】A．两粒子运动轨迹如图所示 设粒子1的半径为r1，粒子2的半径为r2，设圆形磁场区域的半径为R，根据 可得 可以根据几何关系可以得到 所以粒子1的速度可以建立起与圆形磁场半径有关的关系式，但因粒子2的偏转角度未知，无法得到r2与R的关系，所以不能建立起v2与R的关系式，所以二者速度无法进行精确的比较，A错误； B．根据 ， 可以得到 即周期仅与比荷有关，但因二个粒子比荷相同，所以两个粒子周期相同，根据两个粒子的运动轨迹图可以看出，粒子1的偏转角为90°，而粒子2的偏转角为锐角，所以粒子2的运动时间要小于粒子1的运动时间，B错误； C．随意选一条运动轨迹，其中带×的圆为圆形磁场，另一个圆为粒子1的运动轨迹，但此运动轨迹仅取在圆形磁场中的那部分，圆形磁场外的那部分为方便观察画出，且O1为运动轨迹的圆心，连接O1，O，射入点和射出点，因粒子1半径r1与圆形磁场半径相同，则连接起来的图案为菱形，如图所示 因为是菱形，且射入点和圆形磁场圆心的连线在直径MON上，根据几何关系，出射点与O1点的连线必定与直径MON保持平行，所以出射方向会与O1与出射点组成的连线垂直，则出射时的速度方向一定垂直于直径MON。若选取别的入射方向，同样也会组成菱形，且入射点和O的连线依旧保持水平方向，所以出射的方向也必定会与直径MON保持垂直，C正确； D．对粒子2，连接入射点和出射点组成一条弦，如果出射点在N点，此时的弦最大，为圆形磁场的直径，而弦越大对应的偏转角也就越大，而偏转角越大运动时间也就越长，所以当该粒子从N点射出时，运动时间最长，D错误。 故选C。 8．（多选）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成角（），以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计），则下列说法正确的是（　　） A．若v一定，越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 B．若v一定，越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 C．若一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度大小不变 D．若一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 【答案】BC 【详解】BD．粒子在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示 由几何关系可知轨迹对应的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为 则粒子在磁场中的运动时间与粒子速率无关，若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短；若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间相等；故B正确，D错误； A．由，可得粒子的轨迹半径为 由图中几何关系可得 若v一定，若θ是锐角，θ越大，AO越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；若θ是钝角，θ越大，AO越小，粒子离开磁场的位置距O点越近，故A错误； C．由， 可得粒子在磁场中运动的角速度为 若一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度大小不变，故C正确。 故选BC。 9．（多选）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l>>a）。一位于管道一端中心的粒子源向管道内各方向均匀发射出大量速度为v的相同带电粒子，粒子在磁场力作用下打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，且沿轴线进入管道的粒子恰好垂直打在管壁上，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a B．粒子质量为 C．管道内的等效电流为 D．粒子束对管道的平均作用力大小为 【答案】ABD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由于沿轴线进入管道的粒子恰好垂直打在管壁上，根据几何关系可知，粒子在磁场中运动的圆弧半径为a，故A正确； B．结合上述，粒子在磁场中运动的圆弧半径为a，则有 解得，故B正确； C．单位时间进入管道的粒子数为n，根据电流的定义式有，故C错误； D．由于l>>a，则粒子束对管道的平均作用力大小在宏观上等于磁场对电流的安培力，则有 结合上述解得，故D正确。 故选ABD。 10．（多选）如图甲所示是洛伦兹力演示仪，其简化模型如图乙所示。某次实验中励磁线圈在以O点为球心、半径为R的真空球状玻璃泡内产生垂直于纸面的匀强磁场。固定在球心O正下方处P点的电子枪，沿水平向左射出某一速率的电子（电子只在图中平面内运动）。当磁感应强度大小为，电子射出速率为时，电子做圆周运动经过玻璃泡上与球心等高的M点。已知电子质量为m，电荷量为e，不计重力，不考虑出射电子间的相互作用，下列结论正确的（　　） A．玻璃泡内匀强磁场垂直纸面向外 B．若只调整磁场大小，使电子能在玻璃泡内做完整的圆周运动，则磁感应强度最小值为 C．若只调整电子速率，使电子在玻璃泡内能做完整的圆周运动，则电子最大速率为 D．若只将匀强磁场反向，调整其大小，使电子恰好垂直打到玻璃泡上，则磁感应强度大小为 【答案】CD 【详解】A．根据左手定则可知，玻璃泡内匀强磁场垂直纸面向里，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 可得 所以当电子的轨迹半径最大时，磁感应强度最小，由题意可知，电子的轨迹半径最大为 当磁感应强度大小为时，电子的轨迹如图 由几何关系可知，设电子的轨迹半径为，则 解得 根据牛顿第二定律可得 联立，可得，故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 可得 所以，当电子的轨迹半径最大时，电子的速率最大，解得，故C正确； D．若只将匀强磁场反向，调整其大小，使电子恰好垂直打到玻璃泡上，运动轨迹如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系可得 解得，，故D正确。 故选CD。 11．（多选）在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图所示，纸面内有一矩形，其长为、宽为，P、Q为边上的点，。在矩形外存在范围足够大的匀强磁场（图中未画出磁场），磁感应强度大小为。一质量为m、带电荷量为的粒子，从P点垂直以速度向外射入磁场，粒子从Q处进入无场区。现在将入射速度变为，粒子从P点垂直射入磁场，粒子的重力不计，粒子离开P点至回到P点的运动路程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 根据粒子从P点垂直ab射入磁场，从Q处进入无场区，可判断粒子做圆周运动的半径，粒子在磁场中做圆周运动，有 解得 则粒子在磁场中运动的半径 由几何关系可知，粒子先以Q为圆心做个圆周运动到ad的中点M，再沿直线MN运动到N（）再经过个圆周运动到P点，沿直线PM运动到M,再经过半个圆周运动到N点，沿直线NP 运动到P，之后重复上述运动，粒子运动轨迹如图所示，可知粒子在一个周期内经过P点两次。由P点沿圆弧运动到M点所用时间 由M点沿直线运动到N点所用时间 粒子以垂直ab向外经过P，则粒子运动的时间，其中粒子运动的路程，其中当时，故A正确； 粒子以大小与ab方向成30°角经过P,则其中粒子运动的路程其中当时，D项正确；无论k取何值，都不能得出B、C两项。 故选AD。 12．（多选）如图所示，宽为L、长为2L的长方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在AB的中点O处有一个离子源，沿图示的与AB成60°角的方向发射速度大小为的相同带正电粒子，其中在磁场中运动时间最短的粒子的运动时间为其做圆周运动周期的六分之一，不计粒子重力及粒子间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．从AB边射出的粒子运动时间均为 C．从CD边射出的粒子速度范围为 D．从AD边射出的粒子速度范围为 【答案】ABD 【详解】A．根据题意，运动时间最短的粒子的运动轨迹如图甲所示 由图可得，轨迹半径，该粒子的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有 解得，故A正确； B．从AB边射出的粒子运动时间均为三分之二个周期，即，故B正确； C．若粒子恰好从CD边射出，轨迹如图乙所示，由图可得，解得 由，解得 因此从CD边射出的粒子的速度范围为，故C错误； D．若粒子恰好从AD边射出，轨迹如图丙所示，由图可得，解得 由，解得 因此从AD边射出的粒子的速度范围为，故D正确。 故选ABD。 13．（多选）如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的比荷； (3)粒子穿过圆形区域所用的时间。 【详解】（1）粒子沿直线通过cdef区域，可知 解得 （2）由逆向思维可知，粒子在左侧电场中做类平抛运动，可知， 解得 （3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，则 解得 则粒子转过的圆心角为 可得 则时间为 14．（多选）如图甲所示为某一粒子控制装置的原理图。平行金属板水平放置，两板的长度及两板间距均为，在两板间加有如图乙所示的交变电压（图中纵轴上已知、横轴上未知），两板左侧有一放射性粒子源，沿两板中线向右不断射出比荷为的正电粒子，所有粒子穿过两板间电场的时间均为，两板右侧较远地方有一直径为的圆形磁场区域点为圆心，为竖直直径）和一足够长、宽为的矩形磁场区域，极板的延长线与矩形区域的边界重合，与圆形区域在点相切。圆形区域与矩形区域内磁场的方向均垂直纸面向里、磁感应强度大小分别为（未知量）、（未知量）。已知时刻从两板左侧飞入的粒子刚好从板右端边缘射出电场，时刻射入的粒子经圆形区域偏转后刚好从点进入矩形区域，之后从边界飞出，经过矩形区域过程其速度方向改变了，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，求： (1)交变电压的周期及粒子射入两板间的初速度大小； (2)与的比值； (3)在矩形区域内有粒子经过的区域的面积。 【详解】（1）粒子在电场中运动的加速度大小 所有粒子穿过两板间电场的时间均为，从时刻射出的粒子刚好从板右端边缘射出电场，沿电场方向有 解得 粒子射入两板间的初速度大小 （2）时刻射出的粒子，由图乙可知粒子沿电场方向的分运动在时间内向下先加速后减速，在时间内向上先加速后减速，根据运动的对称性分析可知粒子刚好从点进入圆形区域，速度方向沿方向、大小为，粒子在两个磁场中的运动轨迹如图甲所示 粒子在圆形区域中由洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 联立解得 粒子在矩形区域中由洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 联立解得 则 （3）所有粒子穿过两板间电场的时间均为，由题图乙结合对称性可知，所有粒子离开电场时的速度均为、方向均平行于方向，射出电场的粒子刚好分布于两板之间，由于所有粒子进入圆形区域的运动轨迹半径等于圆形区域的半径，根据磁聚焦原理可知，所有粒子均从点进入矩形磁场，进入范围在内，在矩形区域中的临界轨迹为圆弧及圆弧，阴影区域为有粒子经过的区域，如图乙所示 其面积 解得 15．（多选）如图所示，半环状区域中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，内半环壁的半径为，外半环壁的半径为。分布均匀的线状粒子源发射出质量为、电荷量为的负粒子，经加速电场加速后由口射入，粒子在磁场中运动碰到内壁或外壁则立即被吸收，为粒子的出口。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用和相对论效应。 (1)若某个粒子从点垂直射入磁场从点射出，则该粒子速度的大小； (2)若粒子以不同的速度大小和方向从入口射入磁场，则能够从出口射出的粒子在磁场中运动时间的最大差值； (3)若出口在图乙所示的环状处，以相同速度垂直进入的所有粒子在出口处射出率与粒子速度的关系式。 【详解】（1）若某个粒子从点垂直射入磁场从点射出，由洛伦兹力提供向心力 由几何关系可知 联立解得该粒子速度的大小为 （2）设粒子在磁场中运动的最短时间为，其粒子运动的轨迹如图所示 由几何关系可知 代入数据解得 其中 解得 粒子在磁场中运动的周期为 所以粒子在磁场中运动的最短时间为 设粒子在磁场中运动的最长时间为，其粒子运动的轨迹如图所示 由几何关系 解得 其中 可得 所以粒子在磁场中运动的最长时间为 则能够从出口射出的粒子在磁场中运动时间的最大差值为 （3）由洛伦兹力提供向心力 当粒子的轨迹半径为时可得 如图所示 同理当粒子的轨迹半径满足 解得 可得 则当或时， 如图所示 当粒子的轨迹半径满足 解得 可得 当粒子的轨迹半径满足 可得 当时， 当时，如图所示 之间的粒子能从射出，根据几何关系有， 解得 则 当时，如图所示 之间的粒子能从射出，根据几何关系有， 解得 则 综上所述可得 （或） （） （） （） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $