【江苏专用】期中模拟卷（1）（高教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块下册》（高教版）教材6、7章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括2份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 5．测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材6、7章。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．设数列的前项和，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足，则（   ） A．4 B．9 C．18 D．20 4．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）． A．12 B． C． D．30 5．的内角的对边为．若成等比数列，且，则（   ） A． B． C．12 D． 6．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列，a，b，成等差数列，，，成等比数列，则的值是_______ 9．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，，的对边分别为，，.若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．求值：__________. 12．在中，若，则________ 13．函数的值域是__________. 14．已知数列满足，，则__________． 15．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．（10分）（1）已知，满足，，求 （2）已知，，且满足，，求的值 17．（8分）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前n项和． 18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（10分）已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 20．（12分）已知的三个内角所对边的长分别是，边，且．求： (1)边a的长； (2)的值． 21．（12分）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)若，求的值. 22．（12分）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图象如下图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停多久？ 23．（14分）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)若函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块下册》（高教版）教材6、7章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括2份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中模拟试卷（1）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 5．测试范围：《数学 拓展模块上册》（高教版）教材6、7章。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．设数列的前项和，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据计算即可求得. 【详解】数列的前项和， 则， 故选：D. 2．数列的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察所给数列，寻找与项数的关系，即可得到通项公式. 【详解】因为数列各项正、负交替，故可用来调节， 又因为， 所以通项公式为. 故选：. 3．已知等差数列满足，则（   ） A．4 B．9 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为在等差数列中， 所以. 故选：B. 4．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）． A．12 B． C． D．30 【答案】A 【分析】在等比数列中，先根据求出的值，再判断符号可得解. 【详解】由题可知，与的等比中项为，且 ，解得， 又因为，所以. 故选：A 5．的内角的对边为．若成等比数列，且，则（   ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质结合余弦定理求值即可. 【详解】成等比数列，则， 又因为，所以由余弦定理得， ． 故选：B. 6．已知中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都可能 【答案】B 【分析】利用余弦定理判断的最大内角的大小即可得解. 【详解】因为在中，，，， 所以角是的最大内角，且， 又， 所以，即角为钝角，故为钝角三角形. 故选：B. 7．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】已知，则. 故选：A. 8．已知数列，a，b，成等差数列，，，成等比数列，则的值是_______ 【答案】/ 【分析】根据等差数列的性质可得，由等比中项的性质可得，据此可求解. 【详解】因为数列，a，b，成等差数列，所以； 又，，成等比数列，所以. 所以. 故答案为： 9．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简，再根据正弦型函数的值域求解即可； 【详解】函数， 因为，即， 所以函数的值域是. 故选：D. 10．在中，，，的对边分别为，，.若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角函数的诱导公式及正弦定理，分析化简即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 所以或， 在中，由正弦定理可得： 或， 又因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．求值：__________. 【答案】1 【分析】根据两角和的正弦的公式可求解. 【详解】. 故答案为：1 12．在中，若，则________ 【答案】2 【分析】根据余弦定理可求解. 【详解】由题可得， ， 所以. 故答案为： 13．函数的值域是__________. 【答案】 【分析】根据辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】， 所以值域为， 故答案为：. 14．已知数列满足，，则__________． 【答案】 【分析】变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得到答案. 【详解】由变形为， 等式两边同除以得，， 故为公差为的等差数列， 所以，所以． 故答案为： 15．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 【答案】4 【分析】根据织布尺数满足等比数列，借助等比数列的前n项和与通项公式求解即可； 【详解】某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍， 所以该女子每天织布的尺数满足等比数列，且公比. 因为， 所以， 所以，即第三天织布的尺数为4， 故答案为：4 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16．（10分）（1）已知，满足，，求 （2）已知，，且满足，，求的值 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简求值即可. （2）首先由同角三角函数的平方关系求出，再由两角和的余弦公式求值即可. 【详解】（1）已知，满足，， 则 ， 所以， 所以 . （2）由，，则， ， ， 则 ，由， 得. 17．（8分）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，根据等差数列的前n项和公式计算求得公差，继而求解； （2）根据题意，先表示出数列的通项公式，继而判断出该数列是等比数列，结合等比数列前n项和公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为d，因为， 所以，解得， 所以． 即数列的通项公式是； （2）由（1）可知，， 所以， 所以是首项为4，公比为4的等比数列， 所以． 18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最小值为11 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项得，化简为，从中求出，代入已知可得，据此可求解； （2）利用等比数列的求和公式，可得，讨论的奇偶性，据此可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由成等差数列可知：， 即， 化简得：， 因为，所以，即. 由得：， 故数列的通项公式为； （2）因为，由（1）可得， 不等式可化为：，即， ①当为偶数时，，不符合题意； ②当为奇数时，可化为， 由于，， 故存在正整数，使得，此时的最小值为11. 19．（10分）已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合三角形的性质，诱导公式即可求解. （2）根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，等价于, 则，解得，所以. （2）由余弦定理可得，， 解得，所以的面积为． 20．（12分）已知的三个内角所对边的长分别是，边，且．求： (1)边a的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，利用二倍角公式，再结合正弦定理和余弦定理建立关于的方程求解； （2）先利用余弦定理求出，再求出，最后用两角和的正弦公式展开计算. 【详解】（1）， 由正弦定理得，由余弦定理得， ∴，∵， ∴， ∴，即（负值舍去）， （2）由余弦定理得， ∵，∴ ∴ ． 21．（12分）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的值域； (3)若，求的值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解； （2）利用正弦函数的值域性质即可得解； （3）根据题意求得，再利用余弦函数的倍角公式即可得解. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 令，，得，， 所以的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 当，即时，取最大值1，所以取最大值； 当，即时，取最小值，所以取最小值0； 所以当时，函数的值域为. （3）因为，则， 所以. 22．（12分）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图象如下图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停多久？ 【答案】(1) (2)8小时 【分析】（1）根据函数图象易得A，B和周期T，由周期可求ω，然后代入最高点的坐标可求φ，从而求出函数的解析式； （2）由题意可知，解此不等式即可得解． 【详解】（1）由图象可知：，， 周期，故， 所以， 由，得，即， 则，可得， 因为，所以， 所以 . （2）因为货船需要的安全水深为米， 所以当时，货船可以停留在港口， 由，得，即， 得，即， 当时，；当时，， 所以该船一天之内至多能在港口停留小时. 23．（14分）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)若函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用周期公式求出，进而可求的值； （2）利用函数图像平移规律可得，将当作一个整体，确定其范围后，根据正弦函数的图像和性质可求解. 【详解】（1） . 因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以， 所以； （2）因为函数的图像向右平移个单位长度，可得，且， 所以. 当，则. 根据正弦函数的图像和性质可知， 当，即时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $