专题05 函数中的构造问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题05 函数中的构造问题 目录 典例详解 类型一、抽象函数的构造 类型二、由数值特征构造具体函数 类型三、同构式下的函数构造 类型四、指对同构问题 压轴专练 类型一、抽象函数的构造 观察， 型的导函数可知， 型导函数中体现的是“＋”法， 型导函数中体现的是“—”法，由此我们可以猜想，当导函数是“＋”法形式时，优先考虑构造 型函数，当导函数是“－”法形式时，优先考虑构造 型函数．具体有以下情形： 1.利用与(或)构造 (1)对于(或)，构造函数； (2)对于(或)，构造函数； (3)对于(或)，构造函数； (4)对于(或)，构造函数. 2.利用与(或)构造 (1)对于(或)，构造函数； (2)对于(或)，构造函数； (3)对于(或)，构造函数； (4)对于(或)，构造函数. 3.利用与，构造 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑这一点. 例1．定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 类型二、由数值特征构造具体函数 由数值特征构造具体函数：仔细观察要比较的各数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 例2．设，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 类型三、同构式下的函数构造 此类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当不同变量移到一起后每个变量的结构相同．在解题过程中，经常会遇到左、右两边结构相似的方程、不等式等，若直接求解难度较大，这时需要应用“同构”思想，通过变形进行合理转化．构造出新函数，并利用新函数的单调性解决问题． (1) ⇔⇔⇔ 为增函数． (2) ⇔⇔⇔ 为减函数． 例3．已知，为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式3-2．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，若，，则的取值范围是_________. 类型四、指对同构问题 在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有和两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称之为“同构”. 1.指对同构的三种常见模型如下： (1)乘积型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数； ③取对数：,进而构造函数. (2)商比型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数； ③取对数：,进而构造函数. (3)和差型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数． 2.五个常见变形 xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln(xex)，x－ln x＝ln . 3.“指对同构”问题中常用六个函数的图象 例4．已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 一、单选题 1．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ）． A．函数在区间的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 8．已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______. 10．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 四、解答题 11．已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 12．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； (3)①比较与的大小；②比较与的大小；其中为自然对数的底数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数中的构造问题 目录 典例详解 类型一、抽象函数的构造 类型二、由数值特征构造具体函数 类型三、同构式下的函数构造 类型四、指对同构问题 压轴专练 类型一、抽象函数的构造 观察， 型的导函数可知， 型导函数中体现的是“＋”法， 型导函数中体现的是“—”法，由此我们可以猜想，当导函数是“＋”法形式时，优先考虑构造 型函数，当导函数是“－”法形式时，优先考虑构造 型函数．具体有以下情形： 1.利用与(或)构造 (1)对于(或)，构造函数； (2)对于(或)，构造函数； (3)对于(或)，构造函数； (4)对于(或)，构造函数. 2.利用与(或)构造 (1)对于(或)，构造函数； (2)对于(或)，构造函数； (3)对于(或)，构造函数； (4)对于(或)，构造函数. 3.利用与，构造 由于sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，所以在构造函数时要充分考虑这一点. 例1．定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造函数，由推得在上单调递增，由条件推得为周期为的周期函数，根据得到，将待求不等式化成，再利用函数单调性即可求解. 【详解】令，可得，所以在上单调递增， 由可得，所以是以为一个周期的周期函数， 则，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 变式1-1．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 变式1-2．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解. 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 变式1-3．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 【答案】D 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 类型二、由数值特征构造具体函数 由数值特征构造具体函数：仔细观察要比较的各数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 例2．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造函数，利用导数求解函数的单调性即可得解. 【详解】由于， 故构造函数，则， 令， 故，因此在上单调递增， 故，故在恒成立，故在上单调递增，因此，即. 变式2-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求出，构造函数，利用导数法得到的单调性，由结合单调性得到在上单调递减，从而得到，继而得到，从而得到． 【详解】令，则． 令，易知在上单调递减，且， 所以在上恒成立，则在上单调递减， 则， 即，所以， 所以，即． 故选：D. 变式2-2．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定单调性比较；构造函数，利用导数确定单调性比较即可. 【详解】令，求导得，函数在上递增， 则，即，因此，即； 令，求导得， 函数在上递增，，即，因此，即， 所以，，的大小关系为. 故选：A 变式2-3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差，构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小关系；再比较出、的大小关系，即可得出结论. 【详解】作差得， 设，， 则， 设，，则， 令，得， 所以函数在上单调递减， 又，所以当时，，则， 此时函数在上单调递增， 又，所以，则，即； 又，从而，即，则，所以. 故选：D. 类型三、同构式下的函数构造 此类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当不同变量移到一起后每个变量的结构相同．在解题过程中，经常会遇到左、右两边结构相似的方程、不等式等，若直接求解难度较大，这时需要应用“同构”思想，通过变形进行合理转化．构造出新函数，并利用新函数的单调性解决问题． (1) ⇔⇔⇔ 为增函数． (2) ⇔⇔⇔ 为减函数． 例3．已知，为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，再利用正弦函数单调性推理得解. 【详解】由，得，即， 令函数，求导得，即函数在上单调递增， 而为锐角，则也为锐角，原不等式等价于，于是， 所以，. 故选：B 变式3-1．已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设，则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，所以. 即的最大值为. 故选：D. 变式3-2．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围. 【详解】因为，所以，则可化为， 整理得，因为，所以， 令，则函数在上递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上递减，所以， 故只需满足：. 故选：A. 变式3-3．已知，若，，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】不妨设，则原不等式等价于，构建新函数，则存在实数，使得为上的增函数，根据在上恒成立可得到在上有解，从而得到的取值范围. 【详解】不妨设，不等式等价于 即， 令，， 则存在实数，使得为上的增函数即恒成立. 又，故不等式在上恒成立. 令，则， 因为，故，所以在上有解， 所以即. 故答案为：. 类型四、指对同构问题 在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有和两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称之为“同构”. 1.指对同构的三种常见模型如下： (1)乘积型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数； ③取对数：,进而构造函数. (2)商比型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数； ③取对数：,进而构造函数. (3)和差型： ①同左：，进而构造函数； ②同右：,进而构造函数． 2.五个常见变形 xex＝ex＋ln x，＝ex－ln x，＝eln x－x，x＋ln x＝ln(xex)，x－ln x＝ln . 3.“指对同构”问题中常用六个函数的图象 例4．已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立，∴，即实数的取值范围是. 故选：C. 变式4-1．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A. 变式4-2．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得且，再由为减函数可得，从而可判断A和D的正误，对于B，利用导数可得时不成立，对于C，利用零点存在定理可判断当时不成立. 【详解】因为且，故， 而，故，所以，故， 设，则， 所以为上的减函数， 而即为，故，故D成立. 由可得即， 故， 所以，所以即，故A错误. 对于B，取，由D的分析可得. 若，则即， 设，， 而均为上的减函数，故为上的减函数， 故， 所以在上为减函数， 所以，故， 所以不成立，故B错误. 对于C，取，则，即， 仍取D分析中的函数，考虑方程的解， 设，因为为上的减函数， 所以为上的减函数，而, 故，故此时不成立，故C错误. 故选：D. 变式4-3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导并因式分解，再根据参数的正负分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间； （2）先求出时函数的最小值，将不等式转化为关于的形式，再通过构造辅助函数，利用函数单调性和最值完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为    ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减，        综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减． （2）证明：时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以，            要证，即证，即证， 因为，即证            ①当时，成立，符合题意；         ②当时，设，则，所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证，             设在上单调递增，上单调递减． 又，所以恒成立，得证． 综上所述，时，． 一、单选题 1．已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则在上递减，由单调性进行求解． 【详解】根据题意，由，得． 令，则在上递减，由单调性知， 当时，必有， 即，移项整理，得． 故选：B 2．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 3．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 4．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式. 【详解】由已知得：因为，所以， 两边同乘以又可得：， 因为，所以有， 再构造，则， 所以在上单调递增， 因为的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 即上面不等式可转化为，根据在上单调递增， 可得，解得， 故选：． 5．对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式变形为，令，利用导数得，问题转化为，恒成立，利用导数求解. 【详解】由，，即， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又时，， 所以的值域为，即. 所以，，即，恒成立， 当时，即为，令，则， 所以函数在上单调递减，故，则， 当时，对任意的成立； 当时，即为，由， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 所以，故； 综上， . 故选：D. 6．已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解. 【详解】由， 设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故，当且仅当，即时取等号； 设，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，当且仅当时取等号， 又，则， 此时，则. 故选：A 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ）． A．函数在区间的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为 D．若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断A；计算出即可判断B；依题意时，都有成立，令，则，从而在上单调递增，在上恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围，即可判断C；将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，即可判断D. 【详解】对于A：，， 则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确； 对于B：因为，则， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：因为时，都有成立， 即时，都有成立， 即时，都有成立， 令，则， 则在上单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，又在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为，故C错误； 对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立，故 ， 当 时， ，此时不等式恒成立； 不等式在上恒成立，即在上恒成立, 而即， 设 ，当 时，， 故是增函数， 则即，故， 设， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 故 ，则 ， 综上可得，实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 8．已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即，则, 由,得, 令,则, 所以在上单调递增，所以, 所以,故C错误； 对于D：又，令，则, 所以在上单调递增,所以， 所以， 又，且， 令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 综上可得，故D正确； 故选:AD. 三、填空题 9．已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求导判断在上单调性，将化简为，进而得到在上单调递增，再利用构造函数法即可求得实数的取值范围 【详解】， 则， 则在上恒成立， 则在上单调递减. 不妨设，则， 则可化为，即 令，则在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立. 令，则 令，， 则在上恒成立 则在上单调递减， 又，则在上恒成立 则在上恒成立 则在上单调递增 则，在上恒成立， 则，又，则 故实数的取值范围是 故答案为：. 10．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调递增性将问题转化为对恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】原不等式移项得：， 令，则，， 设，， 故在上单调递增； ， 原不等式等价于： 又单调递增，则， ，令， 求导：，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 因此， 要使得对所有成立，只需. 故答案为： 四、解答题 11．已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）构造函数，由导数得出单调性并结合零点存在性定理进行求解； （2）由得出，令，构造函数，结合函数的单调性及最值求解即可. 【详解】（1）（）的定义域为. 令得，， 当时，，无零点， 当时，令，则， 令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 当，即时，，函数在上无零点， 当，即时，，函数在上有唯一零点， 当，即时，， 又，， 所以函数在，上各有一个零点. 综上，当时，函数在上无零点， 当时，函数在上有唯一零点， 当时，函数在上有两个零点. （2）由得，， 即，也即， 令，则在上有解， 令， 当时，，不合题意； 当时，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以，即a的取值范围为. 12．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； (3)①比较与的大小；②比较与的大小；其中为自然对数的底数． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. (2) (3)①；② 【分析】（1）对求导，通过导数的正负判断函数的单调性与极值； （2）将零点问题转化为有两个不同的正根，结合函数的图象即可求解. （3）通过在的单调性，将代入可得，对，，与同时取对数，结合不等式放缩即可求解. 【详解】（1）由题意，令，则， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以是极大值点，极大值为，无极小值. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. （2）由题意得在上有两个零点，即有两个不同的正根， 即， 两边取对数得， 即，整理得， 即有两个不同的正根， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 且， 所以当，即时，有两个不同的正根， 故的取值范围是. （3）① 对与同时取对数得，， 比较与等价于比较3与， 由（1）知，当时，单调递增， 故当时，，即， 令，得，即，故， 故， 即，即得证. ②对与同时取对数得，， 比较与等价于比较与， 由上知， 即，即得证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $