大题专项 03数列（讲义）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题3 数列 一、课标解读 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 2.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 16 等比数列，求和公式 5 （1）题型：一个解答题 （2）分值：10分. （3）内容：等差数列，等比数列，数列综合 2024 解答题 16 等比数列，求和公式 10 2023 解答题 17 等比数列，求和公式 10 2022 解答题 17 等差数列，等比数列，求和公式 10 2021 解答题 16 等比数列 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查数列。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列、等比数列、求和公式 四、知识梳理 （一）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N*). (2)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (3)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ (4)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项且A＝. 2.等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． （二）等比数列 1. 等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2. 等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3. 等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 五、10分钟小测验 1．已知等比数列的公比，，. (1)求； (2)设，若，求k的值. 2．已知为等比数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式结合条件求出即可； （2）写出的通项公式，判断出为等差数列，再由等差数列求和公式求k的值即可. 【详解】（1）等比数列的公比，，， 可得，两式相除可得，即， 解得或（舍去），则 所以. （2）由（1）得，， 则，， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 解得或（舍去）， 所以k的值为. 2．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可列式求首项和公比，从而求解； （2）将数列分成等比数列和等差数列两组，分别求和可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题得 ， 解得 得， 故的通项公式为. （2）的前n项和 . 六、经典例题解析 （一）等比数列 【例1】（2020·湖南对口升学高考）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和，若，求n． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比，得到通项公式. （2）根据等比数列的求和公式，计算时，的取值. 【详解】（1）∵数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为，. （2）∵，故. 当时，即，此时，. 故，. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）已知各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可； （2）由，得知是等差数列，接着利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【详解】（1）且，， （2） 【例3】（2025·湖南对口升学高考）在等比数列中，，公比. (1)求； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的通项公式，即可代入求解； （2）根据题意，先求出等比数列的通项公式，继而求得，易判断数列是等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为在等比数列中，，， 所以. （2）因为在等比数列中，，， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （二）数列综合 【例4】（2022·湖南对口升学高考）已知等差数列满足，. (1)求； (2)设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)19 (2)答案见解析 【分析】（1）根据求公差，再根据通项公式求. （2）先根据等差数列前项和公式求，，，再根据等比数列的特征判断是否成等比数列. 【详解】（1）因为是等差数列，， 即，， ∴. （2）因为等差数列的前项和为，， 所以， ， ， ∵，即， ∴，，，成等比数列. 【例5】（2023·湖南对口升学高考）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【详解】（1）已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； （2）由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 【例6】（2024·湖南对口升学高考）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由等差数列的定义结合通项公式即可求解. （2）根据等比数列的定义结合前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 则为等差数列，且， 所以. 即； （2）由题意得，， 则， 所以等比数列，且， 则． 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. 已知 Sn​ 求 an ​利用 验证a1​是否满足n≥2的表达式 2. 数列求和“四大方法” 方法 适用题型 操作要点 公式法 等差、等比数列直接求和 准确选用公式，注意q=1的讨论 分组求和法 通项为几部分可求和的形式 如an=(2n−1)+2n，分组为等差和等比分别求和 裂项相消法 分式型（如） 拆项： 错位相减法 {an⋅bn} 其中一端为等差，另一端为等比 写出Sn和qSn，错位相减后求和 错位相减法口诀： “写和式，乘公比，错位减，化简毕” 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略 n≥2 已知 Sn​ 求an​ 未验证 n=1 a1​=S1​ 可能不满足通项 必写分段形式 公差/公比漏讨论 等比数列求和未讨论q=1 在q=1 时分母为0 先判 q 再选公式 裂项错误 未乘系数 恒等变形错误 裂项后通分验证 错位相减计算失误 减错项、正负号错误、等比项数数错 步骤繁琐易出错 列表对齐书写，步步检验 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 基本量法：等差（首项、公差）、等比（首项、公比）是解决数列问题的核心，树立“知三求二”思想。 计算准确性：针对错位相减、裂项相消进行专项计算训练。 2. 真题演练方向： 题型1：等差等比基本运算 题型2：求通项（已知Sn型） 题型3：求和（公式型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $