【解答题专项】01数列 2026年湖南省对口招生考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生考试 数学 数列专项冲刺练习 解答题专项 （一）数列 一、等差数列与等比数列综合应用 1．已知等差数列，，，…． (1)求该等差数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 2．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 3．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会因故不能举行，届数照算．2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？ 4．甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示．甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场．请您根据提供的信息回答．          (1)第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数； (2)到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 5．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 6．已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 7．已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求； 8．求等差数列5，12，19，26，…，201，208，的各项之和． 9．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 10．已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 11．已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求； 12．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． （1）用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 13．已知等比数列的通项公式为，求首项和公比． 14．在等比数列中． (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an． 15． 已知数列{an}中，a1＝13，且an＋1＝an－2(n∈N×)，求数列{an}前n项和Sn的最大值 16． 已知数列{an}中，an＞0，a1＝1，2 an＋1－an＝0，n∈N×． (1)求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝log2an，求数列{bn}的前90项和S90． 17．设数列{an}是首项为－10的等差数列，且a4＋3，a6，a9－2成等比数列 （1）求数列{an}的通项公式 （2）记数列{an}前n项和为Sn，求Sn的最小值 18． 设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1＝－2，a3＝a2－12． (1)求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn}的首项为1，公差为2，求{an －bn }的前n项和Sn． 19．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1． (1)求数列{an}前10项和S10； (2)在等比数列{bn}中，已知b1＝a1， b2＝a4－a2，求数列{bn}的通项公式 20．在等差数列{an}中，已知a1＝－2，a12＝20． (1)求数列{an}的通项公式，（2）令bn＝，求数列{3bn}的前n项和Tn 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省对口招生考试 数学 数列专项冲刺练习 解答题专项 （一）数列 一、等差数列与等比数列综合应用 1．已知等差数列，，，…． (1)求该等差数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是这个等差数列的第100项． 【分析】（1）根据给定条件，求出该等差数列的通项公式即可求解作答． （2）利用（1）中通项公式，确定方程的解作答． 【详解】（1）设该等差数列为，由，， 得该等差数列的公差， 因此这个等差数列的通项公式为， 所以该等差数列的第20项． （2）假设是这个等差数列中的第项，由（1）得，解得， 所以是这个等差数列的第90项． 2．（1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析 【分析】（1）求出公差，进而得到第20项； （2）求出公差，得到通项公式，得到方程，求出，得到答案． 【详解】（1）可以得到公差，故第20项为 （2）可以得到公差，故通项公式为， 令，解得， 故是等差数列，，，…的第100项． 3．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会因故不能举行，届数照算．2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？ 【答案】第29届，不举行 【分析】根据题意可判断奥运会年数成等差数列，根据等差数列的性质即可求解． 【详解】由题意可知：奥运会的年数成等差数列，且公差为4，首项为1896，故通项为， 当，故2008年是第29届奥运会， 若2050是奥运会年，则，则不是整数，所以2050年不举行奥运会． 4．甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示．甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场．请您根据提供的信息回答．          (1)第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数； (2)到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 【答案】(1)第2年养鸡场的个数是26个，全村出产鸡的总只数是31.2万只 (2)规模缩小了，理由见解析 (3)第2年规模最大，理由见解析 【分析】（1）根据图象，得到第2年养鸡场的个数和每个养鸡场平均出产量，即可求解； （2）根据第1年总共出产鸡的只数和第6年总共出产鸡的只数，比较得到结论； （3）由图得到每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为和每年的养鸡场的个数所满足的数列为，求得的前的和，结合二次函数的额性质，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡， 所以全村出产鸡的总只数是（万只）． （2）解：第1年总共出产鸡的只数是（万只）； 第6年总共出产鸡的只数是（万只）， 由此得出，这说明规模缩小了． （3）解：由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为：． 每年的养鸡场的个数所满足的数列为． 第n年出产的鸡的只数满足的数列为：， 因为，故当时，最大，即第2年规模最大． 5．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解． 【详解】（1） 解得： （2） 解得： 6．已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可． 【详解】（1）因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 7．已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出公差和首项，从而得到通项公式； （2）利用等差数列的求和公式求出答案． 【详解】（1）设公差为，则，解得， 且， 故； （2）． 8．求等差数列5，12，19，26，…，201，208，的各项之和． 【答案】 【分析】求出该数列的公差和项数，即可求出该等差数列的各项之和 【详解】由题意，5，12，19，26，…，201，208是等差数列 ∴该数列公差为7， 设共有项， 则， 解得：． ∴各项之和为：． 9．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解． 【详解】（1） 解得： （2） 解得： 10．已知，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可． 【详解】（1）因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为． （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 11．已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出公差和首项，从而得到通项公式； （2）利用等差数列的求和公式求出答案． 【详解】（1）设公差为，则，解得， 且， 故； （2）． 12．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． （1）用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 【答案】（1）；（2）8.857万元． 【分析】（1）由等比数列定义，知这辆车的价值构成等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，根据等比通项公式即可求解； （2）由（1）中的通项公式，令即可求解． 【详解】（1）从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…． 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9， ∴an＝a1·q n－1＝13.5×(0.9) n－1． ∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9) n－1万元； （2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9) 5－1≈8.857． ∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元． 13．已知等比数列的通项公式为，求首项和公比． 【答案】， 【分析】由等比数列首项、公比的定义即可求解． 【详解】由题意，其首项为，其公比为． 14．在等比数列中． (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an． 【答案】(1)405 (2)5 (3)an＝ 【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可． 【详解】（1）易知，，故． （2）由 ． （3） ．所以． 15． 已知数列{an}中，a1＝13，且an＋1＝an－2(n∈N×)，求数列{an}前n项和Sn的最大值 【答案】． 【分析】考查等差数列的前n项和Sn的最大值 【详解】由（∈N×）， 得， 故数列为等差数列，且公差，又， 所以前项和， 当时，取得最大值． 16． 已知数列{an}中，an＞0，a1＝1，2 an＋1－an＝0，n∈N×． (1)求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝log2an，求数列{bn}的前90项和S90． 【答案】（2） 【分析】考查等比数列的通项公式和等差数列前n项和Sn公式 【详解】（1），， 数列是以1为首项，为公比的等比数列，． （2）， 则， ， 数列是以0为首项，为公差的等差数列，． 17．设数列{an}是首项为－10的等差数列，且a4＋3，a6，a9－2成等比数列 （1）求数列{an}的通项公式 （2）记数列{an}前n项和为Sn，求Sn的最小值 【答案】（2） 【分析】考查等差数列的通项公式以及前n项和Sn公式 【详解】（1）由题知，， 设等差数列的公差为，则有 化简整理得，解得，故的通项公式为； （2）由（1）知，是以首项，公差的等差数列，所以 所以当时，有最小值． 18． 设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1＝－2，a3＝a2－12． (1)求数列{an}的通项公式；（2）设等差数列{bn}的首项为1，公差为2，求{an －bn }的前n项和Sn． 【答案】（2） 【分析】考查等比数列的通项公式以及分组求前n项和Sn公式 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 所以，即所以（舍）或， 所以数列的通项公式为． （2）因为等差数列的首项为1，公差为2， 所以等差数列的前n项和为， 又因为等比数列的前n项和为， 所以数列的前n项和为 19．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1． (1)求数列{an}前10项和S10； (2)在等比数列{bn}中，已知b1＝a1， b2＝a4－a2，求数列{bn}的通项公式 【答案】（2） 【分析】考查等差数列的前n项和Sn公式以及分组求前n项和Sn公式 【详解】因为，所以， 得； 故数列是首项，公差的等差数列， 故前10项和． （2）在等比数列中， 所以． 故， 所以等比数列的通项公式为． 20．在等差数列{an}中，已知a1＝－2，a12＝20． (1)求数列{an}的通项公式，（2）令bn＝，求数列{3bn}的前n项和Tn 【答案】(1) ＝－2＋2(－1)＝2－4．（2） 【分析】考查等差数列的前n项和Sn公式以及分组求前n项和Sn公式 【详解(1)因为为等差数列，所以＝＋11，即20＝－2＋11， 则＝2，所以＝－2＋2(－1)＝2－4． (2)因为＋＋…＋ ＝， 所以，易得数列{}是首项为，公比为3的等比数列， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $