第二单元 圆柱和圆锥（期中复习讲义）培优版（导图+15个考点真题讲练+提优练 共65题）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 圆柱的认识及特征 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 考点讲练二 圆锥的认识及特征 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练三 圆柱的展开图 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 考点讲练四 圆柱的侧面积 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练五 圆柱的表面积 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 考点讲练七 圆柱的体积 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练八 圆柱的容积 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）同学们，我们推导圆柱的体积公式时，会将圆柱转化为一个近似的长方体。将图1所示的圆柱沿底面半径r分成16等份，拼成一个近似的长方体（图2）。通过观察找到图1、图2各部分的对应关系，推导出圆柱的体积公式。你有没有这样思考过：如果将这个近似的长方体翻转摆放（图3），我们会得到怎样的体积公式呢？请你先找出图1、图3各部分的对应关系，试着推导出圆柱的体积公式。 【答案】见详解 【思路引导】观察可知图3的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的高，高是圆柱的底面半径，根据长方体体积＝长×宽×高，采用转化的思想，把长方体的长、宽、高转化为圆柱的相关部分即可。 【规范解答】因为长方体体积＝长×宽×高， 所以圆柱的体积＝底面周长的一半×高×底面半径 ＝圆周率×底面半径×高×底面半径 ＝圆周率×底面半径的平方×高 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西赣州·期中）如图是一个圆柱的表面展开图，求围成圆柱的体积。 【答案】395.64cm3 【思路引导】观察可知，圆柱底面直径是6cm，用20减直径6可得圆柱的高，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 （cm3） 圆柱的体积是395.64cm3。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）小明为了做实验，把一段长1米、横截面直径是20厘米的木头放在水里，小明发现它正好是一半露出水面（如图）。这段木头与水面接触的面积是多少平方米？露出水面部分的体积是多少立方米？ 【答案】0.3454平方米；0.0157立方米 【思路引导】从图中可以看出，这段木头与水面接触的部分是圆柱的两个半圆和侧面的一半；所以与水面接触的面积是圆柱的底面积加上圆柱侧面积的一半，其中S底＝πr2，S侧＝πdh；圆柱露出水面部分的体积是圆柱体积的一半，根据V＝πr2h求出圆柱的体积，再乘即可。 【规范解答】1米＝100厘米   20÷2＝10（厘米） 3.14×102＋3.14×20×100× ＝3.14×100＋3.14×1000 ＝314＋3140 ＝3454（平方厘米） 3454平方厘米＝0.3454平方米 3.14×102×100× ＝3.14×100×100× ＝3.14×5000 ＝15700（立方厘米） 15700立方厘米＝0.0157立方米 答：这段木头与水面接触的面积是0.3454平方米，露出水面部分的体积是0.0157立方米。 【考点剖析】灵活运用圆柱的表面积、体积计算公式是解题的关键。 考点讲练二 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃临夏·期中）一个平面图形经过平移或旋转可以得到立体图形。例如：分别将长方形、圆作为底面向上平移可以得到长方体、圆柱，它们的体积均可以用“底面积×高”来计算（如图①）。将一个长4厘米、宽3厘米的长方形绕着长旋转一周，也可以得到一个圆柱（如图②）。 (1)图②中的圆柱也可以看作将一个底面直径为( )厘米的圆向上平移( )厘米得到。 (2)将面积为18平方厘米的三角形作为底面，向上平移5厘米，形成一个立体图形（如图③），它的体积是( )立方厘米。 (3)将一个直角三角形绕着较长的那条直角边旋转一周得到一个立体图形（如图④），它的体积是( )立方厘米。（取3.14） 【答案】(1) 6 4 (2)90 (3)47.1 【思路引导】（1）将一个长4厘米、宽3厘米的长方形绕着长旋转一周，得到的圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米。将底面半径乘2，求出底面直径。高是几厘米，说明是由底面向上平移几厘米得到的圆柱。 （2）根据“底面积×高”求出这个立体图形的体积。 （3）圆锥体积＝×底面积×高，看图可知这个圆锥的底面半径是3厘米，高是5厘米，将数据代入公式，求出圆锥的体积。 【规范解答】（1）3×2＝6（厘米） 所以，图②中的圆柱也可以看作将一个底面直径为6厘米的圆向上平移4厘米得到。 （2）18×5＝90（立方厘米） 所以，它的体积是90立方厘米。 （3）×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝47.1（立方厘米） 所以将一个直角三角形绕着较长的那条直角边旋转一周得到一个立体图形（如图④），它的体积是47.1立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东聊城·期中）传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 【答案】28.26立方分米 【思路引导】从顶点向下垂直切开，纵切片是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥高的三角形，三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的容积＝底面积×高×，据此求出这个斗笠的容积。 【规范解答】9÷3×2 ＝3×2 ＝6（分米） 3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 答：这个斗笠的容积是28.26立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥（如图），如果圆的直径为，扇形的半径为，那么等于（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长即小圆的周长，分别用含a和b的式子表示出扇形的弧长和圆锥的底面周长，进而找出a和b的比。 【规范解答】扇形圆弧的长：×2πb＝πb； 小圆周长：πa 则有πb＝πa 所以a∶b＝1∶2 故选择：A 【考点剖析】此题考查了比的意义以及对圆锥的认识，找出小圆和扇形之间的关系是解题关键。 考点讲练三 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）新新准备用如图的长方形硬纸板做成一个无盖笔筒的侧面，他可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计）。 A．②④ B．②③④ C．①②③ 【答案】B 【思路引导】圆柱或长方体侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽是圆柱或长方体的底面周长，据此分别计算圆和正方形的周长，等于长方形硬纸板的长或宽即可。 【规范解答】①2×3.14×4＝25.12（cm） ②3.14×4＝12.56（cm） ③3.14×4＝12.56（cm） ④2×3.14×3＝18.84（cm） 他可以选用②③④作底面。 故答案为：B 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）下图是一块长16.56分米的长方形铁皮，按照图中的涂色部分裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），这个油桶的体积是( )立方分米。 【答案】100.48 【思路引导】圆柱是由一个侧面和两个底面组成，由图可知长方形的长等于底面圆的周长加上底面圆的直径，长方形的宽等于圆柱的高。设圆的直径为d分米，根据周长公式：C＝πd，则周长为3.14d分米，则d＋3.14d＝16.56，解出方程即可求出圆的直径，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，代入数据计算，即可求出这个油桶的体积，据此解答。 【规范解答】解：设圆的直径为d分米。 d＋3.14d＝16.56 4.14d＝16.56 4.14d÷4.14＝16.56÷4.14 d＝4 即圆的直径为4分米。 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 即这个油桶的体积是100.48立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）李老师用一张面积为828cm2的长方形纸板制作一个圆柱形教具，剪裁如图，所要做的圆柱的底面半径是多少厘米？ （1）通过李老师的提示：长方形纸板的长是（    ）个圆柱底面半径的长度，宽是（      ）个圆柱底面半径的长度。 （2）求出圆柱的底面半径。 【答案】（1）；4 （2）5cm 【思路引导】由图可知，长方形纸板的宽为两个底面圆的直径之和，故阴影长方形的宽是圆柱的高，而长是圆柱的底面周长，可设底面圆半径为r，则长方形纸板的宽为4r，长为底面圆周长＋2r，即2πr＋2r。又已知大长方形面积，即可求出半径。 【规范解答】（1）长方形纸板的长就是圆柱的底面圆周长＋两个圆半径，即2πr＋2r，化简得： （2π＋2）r，就是有（2π＋2）个圆柱底面半径的长度，宽就是有4个圆柱底面半径的长度。 （2）设圆柱底面半径为r，长方形纸板面积为828cm2，可列方程： 答：圆柱的底面半径为5cm。 【考点剖析】本题主要考查的是圆柱的展开图及列方程解答实际问题，解题的关键是理解圆柱展开图，进而得出答案。 考点讲练四 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西玉林·期中）一台春晚机器人的圆柱形零件，底面直径是8厘米，高是10厘米，它的侧面积是（    ）平方厘米。 A．80π B．160π C．240π 【答案】A 【思路引导】圆柱的侧面积＝πdh，据此代入数据列式计算即可。 【规范解答】π×8×10 ＝8π×10 ＝80π（平方厘米） 一台春晚机器人的圆柱形零件，底面直径是8厘米，高是10厘米，它的侧面积是80π平方厘米。 故答案为：A 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）华华爷爷的茶杯放在桌上（如图），底面直径是8厘米，高10厘米。 （1）怕爷爷烫手，华华特意给这个茶杯贴上一条装饰带，宽4厘米。这条装饰带的面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯壁的厚度忽略不计） 【答案】（1）100.48平方厘米 （2）502.4毫升 【思路引导】（1）装饰带是圆柱侧面的一部分，其面积可根据圆柱侧面积公式求解。根据圆柱的侧面面积公式：S＝πdh（d是直径，π取3.14，h为高），已知底面直径为8厘米，装饰带宽4厘米（即高），把数据代入计算即可。 可得装饰带面积25.12×4＝100.48平方厘米。 （2）茶杯容积即圆柱体积，茶杯底面直径为8厘米，那么半径为8÷2＝4厘米，茶杯高是10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h是高），把数据代入公式计算即可得出茶杯的容积。 【规范解答】（1）3.14×8×4＝100.48（平方厘米） 答：这条装饰带的面积是100.48平方厘米。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10＝3.14×16×10＝502.4（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 502.4立方厘米＝502.4毫升 答：这个茶杯的容积502.4毫升。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一根10分米长的圆柱形钢材，截去2分米的一段后，表面积减少了25.12平方分米。原来这根钢材的体积是( )立方分米。 【答案】125.6 【思路引导】表面积减少的部分就是截去2分米一段的侧面积，根据侧面积＝底面周长×高，可求出圆柱的底面周长，进而求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据计算即可。 【规范解答】25.12÷2÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 3.14×22×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方分米） 【考点剖析】此题考查了有关圆柱体的综合应用，根据减少的表面积求出底面半径是解题关键。 考点讲练五 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北石家庄·期中）王大爷要制作一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶的底面半径是20厘米，高是30厘米。 （1）制作这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）5024平方厘米 （2）37.68升 【思路引导】（1）无盖圆柱形水桶的表面积由一个底面圆的面积和侧面的面积组成。公式为：S＝πr2＋2πrh（π取3.14，r为半径，d为直径，h为高），已知水桶的底面半径是20厘米，高是30厘米，把数据代入公式计算即可求出制作这个水桶需要多少平方厘米的铁皮。 （2）求这个水桶最多能盛多少水，就是求这个水桶的容积，已知底面半径为20厘米，高是30厘米。根据公式V＝πr2h，把数据代入公式计算即可解答。 【规范解答】（1）3.14×202＋2×3.14×20×30 ＝3.14×400＋2×3.14×20×30 ＝1256＋3768 ＝5024（平方厘米） 答：制作这个水桶至少需要5024平方厘米的铁皮。 （2）3.14×202×30 ＝3.14×400×30 ＝37680（立方厘米） 1升＝1000立方厘米 37680÷1000＝37.68（升） 答：这个水桶最多能盛水37.68升。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 【答案】25.12 【思路引导】如图2所切，增加4个底面，增加的面积（50.24平方厘米）＝底面面积×4，则底面面积＝50.24÷4＝12.56（平方厘米）。根据圆的面积：S＝πr2，那么r2＝12.56÷3.14＝4＝22，r＝2厘米。如图1所切，增加4个长方形的面，增加的面积是48平方厘米，则1个长方形面积（直径×高）＝48÷4＝12（平方厘米）；用12÷直径即可求出高。若削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的。圆柱的体积：V＝sh，圆柱的体积：V＝sh，代入数据计算，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相减即可求出减少的体积。 【规范解答】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（平方厘米） 4＝22 这个圆柱的底面半径是2厘米。 48÷4÷（2×2） ＝48÷4÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 【考点剖析】掌握圆柱切割的特点，通过增加的面积，求出圆柱的底面半径和高是解题关键。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【答案】7.85平方分米 【思路引导】设圆的直径是d分米，大长方形的长是4.14分米，等于小长方形的长加上圆的直径；小长方形的宽等于两个等圆直径之和，也就是圆柱的高；小长方形是圆柱侧面展开图，所以长应等于圆周长，根据“大长方形的长等于圆的周长与直径的和”求出圆的直径，进而求出圆柱的高，根据“圆柱的表面积＝侧面积十底面积×2”进行解答即可。 【规范解答】解：设圆的直径是d分米，则： 所以圆柱的底面直径是1分米，高是1×2＝2分米 圆柱的表面积： （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是7.85平方分米。 【考点剖析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，解答本题的关键是掌握根据圆柱表面积和侧面积计算公式。 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·江西南昌·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积533.8cm2；体积665.68cm3 【思路引导】图形的表面积就是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，根据圆的周长公式、、圆的面积公式、，图形的体积就是大圆柱的体积加上小圆柱的体积，根据半径＝直径÷2、圆柱的体积公式，据此代入数据计算即可。 【规范解答】表面积： （cm2） （cm2） （cm2） 体积： （cm3） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖南常德·期中）计算下面空心圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：345.4cm2；体积：157cm3 【思路引导】空心圆柱的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋（大圆柱底面积－小圆柱底面积）×2；空心圆柱的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】（cm） 表面积： （cm2） 体积： （cm3） 表面积是：345.4cm2；体积是：157cm3。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北黄冈·期中）求下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：533.8cm2； 体积：665.68cm3 【思路引导】组合图形的表面积等于下面大圆柱的表面积加上上面小圆柱的侧面积。小圆柱的下底面与大圆柱接触，不计入表面积，上底面正好抵消大圆柱被遮挡部分，所以小圆柱只算侧面积，大圆柱计算两个底面积和侧面积。已知下面大圆柱的直径是14cm，高是4cm，用直径长度除以2计算出半径长度，根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出下面大圆柱的表面积；已知上面小圆柱的直径是4cm，高是4cm，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出上面小圆柱的侧面积；最后将两者相加。 组合图形的体积等于下面大圆柱的体积加上上面小圆柱的体积。已知下面大圆柱的直径是14cm，高是4cm，用直径长度除以2计算出半径长度；已知上面小圆柱的直径是4cm，高是4cm，同样用直径长度除以2计算出半径长度；根据圆柱的体积公式分别计算出大小圆柱的体积，最后将两者相加。 【规范解答】表面积：14÷2＝7（cm） 3.14×14×4＋2×3.14×72 ＝3.14×14×4＋2×3.14×49 ＝43.96×4＋6.28×49 ＝175.84＋307.72 ＝483.56（cm2） 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（cm2） 483.56＋50.24＝533.8（cm2） 所以该图形的表面积是533.8cm2。 体积：3.14×（4÷2）2×4＋3.14×（14÷2）2×4 ＝3.14×22×4＋3.14×72×4 ＝3.14×4×4＋3.14×49×4 ＝12.56×4＋153.86×4 ＝50.24＋615.44 ＝665.68（cm3） 所以该图形的体积是665.68cm3。 考点讲练七 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一根长为2m的圆木切成两小段圆木后，表面积增加了，这根圆木的体积是( )。 【答案】62.8 【思路引导】把圆木切成两小段后，增加了2个底面的面积，因为切割一次会多出两个横截面，也就是圆木的底面。已知表面积增加了6.28dm2，因此1个底面的面积为：6.28÷2＝3.14dm2。圆木的长度（即圆柱的高）为2m，1m＝10dm，那么2m为2×10＝20dm，根据圆柱的体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高），把数据代入公式计算即可。 【规范解答】把圆木切成两小段后，增加了2个底面的面积。 6.28÷2＝3.14（dm2） 1m＝10dm 2×10＝20（dm） 3.14×20＝62.8（dm3） 这根圆木的体积是62.8dm3。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】211.95立方厘米 【思路引导】由图可知，陀螺的圆柱部分和圆锥部分底面相等，设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米，则圆锥的高是75%h，根据圆柱的体积＝Sh＝169.56立方厘米，圆锥的体积＝×底面积×高，可得：圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh，再把Sh用169.56代替即可求出圆锥的体积，再加上圆柱的体积即可解答。 【规范解答】设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米。 圆柱的体积Sh＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh＝×Sh＝×169.56＝42.39（立方厘米） 169.56＋42.39＝211.95（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是211.95立方厘米。 【考点剖析】掌握圆锥和圆柱的体积公式，是解答本题的关键。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）8厘米 （2）13厘米 （3）3.2厘米 【思路引导】（1）已知装满水的圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 再将这些水全部倒入一个长方体水槽中，则水的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出这个长方体水槽中水的深度。 （2）根据题意，放入圆柱形铁块A后，铁块仍有露出水面的部分；那么长方体水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去圆柱形铁块的底面积，根据长方体的底面积S＝ab，圆柱的底面积S＝πr2，代入数据计算，求出此时水槽内水的底面积；水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度，也就是铁块浸入水中的长度； 把圆柱形铁块的全长看作单位“1”，露出水面的部分占全长的，则铁块浸入水中的部分占全长的（1－），单位“1”未知，用铁块浸入水中的长度除以（1－），求出圆柱形铁块的全长。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分；仿照（2）的解法，此时水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去2个圆柱形铁块的底面积，水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度；再与圆柱形铁块的高度进行比较，得出两个铁块没有露出水面的部分，即是完全浸入。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出两个铁块的体积之和，再加上原来水的体积，即是两个铁块完全浸入水中的总体积；用总体积除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的高度，再减去（2）的水深，求出水面上升的高度。 【规范解答】（1）水的体积： ×3×42×30 ＝×3×16×30 ＝480（立方厘米） 水的深度： 480÷（10×6） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：这个长方体水槽中水的深度是8厘米。 （2）放入圆柱形铁块A后水的深度： 480÷（10×6－3×22） ＝480÷（10×6－3×4） ＝480÷（60－12） ＝480÷48 ＝10（厘米） 铁块A的高度： 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝13（厘米） 答：圆柱形铁块A的高度是13厘米。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，此时水的深度为： 480÷（10×6－3×22×2） ＝480÷（10×6－3×4×2） ＝480÷（60－24） ＝480÷36 ＝（厘米） ＞13，两个铁块没有露出水面的部分。 两个铁块的体积： 3×22×13×2 ＝3×4×13×2 ＝312（立方厘米） 放入两个铁块后水槽内水的深度： （480＋312）÷（10×6） ＝792÷60 ＝13.2（厘米） 水面上升了： 13.2－10＝3.2（厘米） 答：此时两个铁块没有露出水面的部分。长方体水槽中的水面上升了3.2厘米。 【考点剖析】（1）本题考查圆锥、长方体的体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 （2）因为往长方体水槽内放入1个圆柱形铁块后，铁块有露出水面的部分；此时水的底面积不再是长方体水槽的底面积，而是水槽的底面积减去圆柱的底面积的差，因为水的体积不变，根据公式h＝V÷S即可求出此时水槽内水的深度，再根据分数除法的意义求出铁块的高度。 （3）先假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，仿照上一题的算法，求出此时水的深度，与圆柱形铁块的高度进行比较，确定铁块没有露出水面，即完全浸入。根据完全浸入时水的深度的求法，用原来水的体积加上2个铁块的体积，再除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的深度。 考点讲练八 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不含瓶颈），现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是12厘米，倒放时空余部分高6厘米。这种饮料瓶的容积是多少毫升？ 【答案】1413毫升 【思路引导】饮料瓶正放与倒放空余部分的体积相等，则饮料瓶的容积等于底面直径是10厘米，高是（12＋6）厘米的圆柱的体积。根据圆柱的体积公式：，代入数据计算，最后将体积换算成毫升数即可。 【规范解答】3.14×（）2×（12＋6） ＝3.14×52×18 ＝3.14×25×18 ＝1413（立方厘米） 1413立方厘米＝1413毫升 答：这种饮料瓶的容积是1413毫升。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）大连某农场新建了一个圆柱形蓄水池（如图）。（单位：米，底的厚度与壁的厚度相同） （1）这个圆柱形蓄水池的容积约是多少立方米？ （2）给蓄水池的内、外壁以及内底面全部抹水泥（外底面和阴影部分不抹），如果每平方米抹4千克水泥，大约需要多少千克水泥？ 【答案】（1）197.82立方米 （2）2147.76千克 【思路引导】（1）已知圆柱蓄水池外部直径12米，内部空心直径6米，那么壁厚为（12－6）÷2＝6÷2＝3米，所以内部底面直径6米，半径为6÷2＝3米。因为底的厚度和壁的厚度相同，所以内部的高度为10－3＝7米。根据圆柱容积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算即可。 （2）抹水泥的面积包括内壁的侧面积、外壁的侧面积和内底面的面积。内壁底面直径为6米，内部高度为7米，圆柱侧面积公式为S＝πdh（π取3.14，d为直径，h为高），把数据代入公式计算即可得出内壁侧面积。外壁底面直径为12米，高度为10米，把数据代入公式计算得出外壁侧面积。内底面半径为3米，根据圆的面积公式S＝πr2，把数据代入计算可得出内底面面积。然后把内壁侧面积、外壁侧面积与内底面积相加即可得出需要抹水泥的面积，然后再乘4即可解答。 【规范解答】（1）（12－6）÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 6÷2＝3（米） 10－3＝7（米） 3.14×32×7 ＝3.14×9×7 ＝197.82（立方米） 答：这个圆柱形蓄水池的容积约是197.82立方米。 （2）3.14×6×7＝131.88（平方米） 3.14×12×10＝376.8（平方米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 131.88＋376.8＋28.26＝536.94（平方米） 536.94×4＝2147.76（千克） 答：大约需要2147.76千克水泥。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，一种水稳磨米机的漏斗由圆柱和圆锥两部分组成。其中底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4dm。每立方分米稻谷重0.65kg。 （1）这个漏斗大约能装多少千克稻谷？（得数保留两位小数） （2）如果稻谷的出米率是70%，那么一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ 【答案】（1）27.22kg （2）19.054kg 【思路引导】（1）这个漏斗能装多少千克稻谷，可先计算出这个漏斗的容积，漏斗的容积等于底面直径4分米高2分米的圆柱的容积和高4分米的圆锥的容积之和，圆柱的容积公式：底面积×高；圆锥的容积公式：底面积×高×，把数代入即可求出漏斗的容积，再用漏斗的容积×0.65即可； （2）用这个漏斗装的稻谷重量乘出米率即可求出大约能磨出多少千克大米。 【规范解答】（1）4÷2＝2（分米） 3.14×22×2＋3.14×22×4× ＝25.12＋12.56×4× ＝25.12＋50.24× ≈25.12＋16.75 ＝41.87（立方分米） 41.87×0.65＝27.2155≈27.22（千克） 答：这个漏斗大约能装27.22千克稻谷 （2）27.22×70%＝19.054（千克） 答：一漏斗稻谷大约能磨出19.054千克大米 【考点剖析】本题主要考查圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式并灵活运用。 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【思路引导】根据题意，表面积增加的是两个长方形的截面，长是圆柱体的高，宽是圆柱体的底面直径。用80÷2就是一个截面的面积为40平方厘米，再根据长方形面积＝长×宽，则宽＝长方形面积÷长，所以用40÷10可得圆柱体的底面直径。圆柱的体积＝，代入数据计算即可解答。 【规范解答】底面直径： 80÷2÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 底面半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×22×10 ＝3.14×2×2×10 ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 答：原来这个圆柱体的体积是125.6立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 【答案】B 【思路引导】根据题意，把一个圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，表面积增加60平方分米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面的长、宽分别等于圆柱的底面直径和高；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】圆柱的底面直径： 60÷2÷5 ＝30÷5 ＝6（分米） 圆柱的表面积： π×6×5＋π×（6÷2）2×2 ＝π×6×5＋π×9×2 ＝30π＋18π ＝48π（平方分米） 这根圆柱形木料原来的表面积是48π平方分米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成两个半圆柱时，增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面直径和高为长、宽的长方形。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【思路引导】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【规范解答】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【考点剖析】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）将一个直径是6分米、高1分米的圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米，削去部分的体积是圆柱体积的( )%。 【答案】 9.42 66.67 【思路引导】圆柱的体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是高），已知圆柱直径是6分米，则半径为6÷2＝3分米，高为1分米，π取3.14。把数据代入计算即可得出圆柱的体积。把圆柱削成最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以圆锥体积就是用圆柱体积乘得出。 求削去部分体积占圆柱体积的百分比，用圆柱体积减去圆锥体积后再除以圆柱的体积，把所得的结果乘100%计算即可解答。 【规范解答】6÷2＝3分米 3.14×32×1 ＝3.14×9×1 ＝28.26×1 ＝28.26（立方分米） 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 28.26×＝9.42（立方分米） （28.26－9.42）÷28.26×100% ＝18.84÷28.26×100% ≈0.6667×100% ＝66.67% 圆锥的体积是9.42立方分米，削去部分的体积是圆柱体积的66.67%。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邢台·期中）一个圆柱和一个圆锥拼接后的图形如图所示，其表面积减少了平方厘米，体积变成了立方厘米，已知圆柱与圆锥的高之比是，那么圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】169.56立方厘米；84.78立方厘米 【思路引导】圆柱和圆锥拼接后，减少的表面积是两个底面圆的面积，所以底面积。总体积是圆柱加圆锥的体积，根据体积公式，和已知圆柱与圆锥的高之比是，可以把圆柱的高记作，圆锥的高记作，即，得出，再代入总体积为，可分别求出圆柱圆锥的高，再根据圆锥圆柱体积公式即可求出它们的体积。 【规范解答】（平方厘米） 设圆柱的高为，圆锥的高为 因为，将代入可得： 即 可得（厘米） （厘米） 所以 （立方厘米） （立方厘米） 答：圆柱的体积是169.56立方厘米，圆锥的体积是84.78立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 【答案】7厘米 【思路引导】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以先把圆锥内6厘米深的水倒入圆柱中，即为高6÷3＝2厘米的水的体积，原来圆柱内水的高度为11－6＝5厘米，当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是5＋2＝7（厘米）。据此解答。 【规范解答】6÷3＋（11－6） ＝2＋5 ＝7（厘米） 答：容器里的液面高是7厘米。 【考点剖析】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆锥内高6厘米的水的是指在圆柱内高度为2厘米的水的体积。 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃天水·期中）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是( )cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是( )dm。 【答案】 54 4 【思路引导】一个圆柱削成一个最大的圆锥，说明这个圆锥和圆柱等底等高。等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，那么削去部分是圆柱体积的（1－）。将圆锥的体积乘3，先求出圆柱的体积，再将圆柱的体积乘（1－），求出削去部分的体积。 如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。将圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高。 【规范解答】27×3×（1－） ＝81× ＝54（cm3） 12÷3＝4（dm） 一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是54cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是4dm。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱形水杯中盛有2.4cm高的水（如图，图中的单位：cm）。若把这个水杯中的水全部倒入一个圆锥形容器中，则恰好倒满。已知圆锥底面积是圆柱底面积的2倍，那么圆锥形容器的高是（    ）cm。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 D．7.2 【答案】B 【思路引导】分析题目，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×；假设圆柱底面积是S，圆锥的高是h，则圆锥的底面积就是2S，根据题意可得：2.4S＝2Sh×，进一步计算即可得到圆锥的高。 【规范解答】假设圆柱底面积是S，则圆锥的底面积就是2S，圆锥的高是h。 2.4S＝2Sh× 2.4S÷S＝Sh÷S h＝2.4 h÷＝2.4÷ h＝2.4× h＝3.6 因此，圆锥形容器的高是3.6cm。 故答案为：B 【考点剖析】明确水的体积是不变的，所以两种形状水的体积是相等的，据此列出关系式，即可求解。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，已知水面半径和容器口半径的比为1∶2，则这个容器还能装（    ）升水。 A．28 B．32 C．16 D．20 【答案】A 【思路引导】由于水面半径和容器口半径的比是1∶2，可以设水面半径为r，容器口的半径为2r，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即水的体积是：πr2×h＝πr2h，由于水有4L，由此即可知道πr2h＝4÷＝4×6＝24，再把半径是2r和高是h代入圆锥的体积公式，求出此时圆锥的容积，再减去4即可求出还能装多少升。 【规范解答】设水面半径为r，。容器口的半径为2r。 πr2×h＝πr2h πr2h＝4÷＝4×6＝24（升） 容器的容积：×π×2r×2r×h＝πr2h＝×24＝32（升） 32－4＝28（升） 则这个容器还能装28升水。 故答案为：A 【考点剖析】本题主要考查圆锥的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【答案】（1）50% （2）6厘米 【思路引导】（1）根据酒瓶正放或倒放时，空气的体积是一样的，即可将正放时的空气部分，替换成倒放时的空气部分，即10厘米高的圆柱，则整个容器，可以看成是一个底面直径是8厘米，高是20厘米的圆柱，其中酒占10厘米，即可算出酒的体积占酒瓶的百分之几。 （2）先计算出酒的体积，然后除以20，即可得出这个圆锥形酒杯一杯的容积。结合圆锥的体积公式：，即可得出酒杯的高度。 【规范解答】（1）30－20＝10（厘米） 10÷（10＋10）＝50% 答：酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的50%。 （2）8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 502.4÷20＝25.12（立方厘米） 4÷2＝2（厘米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥形酒杯的高是6厘米。 【考点剖析】第一题找到前后两种摆放，空气体积相同，将不规则的部分进行等积转化，转化成规则的圆柱体，是解决此题的关键，同时，需要熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【答案】396毫升 【思路引导】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【规范解答】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2） ＝462÷14 ＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 【考点剖析】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）有两个圆柱形容器，容器A的底面半径是10分米，容器B的底面半径是8分米，容器A有一些水，水面高度为16.4分米，将A中的一部分水倒入容器B中，使两个容器的水面高度一样，这时水面高度是多少？ 【答案】10分米 【思路引导】先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出容器A中水的体积；已知把A中的一部分水倒入容器B中，使两个容器的水面高度一样，可以把此时的这两个容器看作一个组合容器，这个组合容器的底面积是容器A和B的底面积之和，根据圆柱的高h＝V÷S，求出这时水面的高度。 【规范解答】容器A中水的体积： 3.14×102×16.4 ＝3.14×100×16.4 ＝5149.6（立方分米） 水面高度： 5149.6÷（3.14×102＋3.14×82） ＝5149.6÷（314＋200.96） ＝5149.6÷514.96 ＝10（分米） 答：这时水面高度是10分米。 【考点剖析】本题考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，抓住水的体积不变，理解两个容器水面高度一样时，两个容器可以看作一个底面积相加的新的圆柱形容器。 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【思路引导】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【规范解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【答案】226.08立方厘米/226.08cm3 【思路引导】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【规范解答】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【考点剖析】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 216 56.52 【思路引导】根据正方体体积公式V＝a3（a为正方体棱长），已知正方体棱长为6厘米，可直接代入计算。要在正方体中削出最大圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高也等于正方体的棱长。再根据圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是底面半径，h是高），r＝6÷2＝3厘米。带入数据计算即可。 【规范解答】正方体体积：63＝6×6×6＝216（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 圆锥体积：×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 所以如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是216立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是56.52立方厘米。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）计算下面图形的体积。 【答案】15.7dm3 【思路引导】由图可知，图形的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，，，将数值代入公式，即可计算出答案。 【规范解答】2÷2＝1（dm） 3.14×12×6 ＝3.14×6 ＝18.84（dm3） （dm3） 18.84－3.14＝15.7（dm3） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·辽宁鞍山·期中）计算如图图形以不同轴旋转一周后所得到的立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】3052.08立方厘米或8393.22立方厘米 【思路引导】以18厘米为轴得到的立体图形上部是圆锥，下部是圆柱体，圆柱体的底面半径是9厘米，高是9厘米，圆锥的高是9厘米，利用圆柱的体积公式V＝Sh，和圆锥的体积公式V＝Sh，分别求出它们的体积合并起来即可； 还有一种情况，若以9厘米为轴旋转一周就得到半径是18厘米，高9厘米的圆柱的体积减去底面半径是9厘米，高9厘米的圆锥的体积，据此利用减法求出体积即可。 【规范解答】以18厘米为轴得到的立体图形体积： 3.14×92×9＋×3.14×（18－9）2×9 ＝3.14×81×9＋×3.14×92×9 ＝3.14×81×9＋×3.14×81×9 ＝3.14×729＋3.14×243 ＝2289.06＋763.02 ＝3052.08（立方厘米） 以9厘米为轴得到的立体图形体积： 3.14×182×9－3.14×92×（18－9）× ＝3.14×324×9－3.14×81×9× ＝3.14×2916－3.14×243 ＝3.14×（2916－243） ＝3.14×2673 ＝8393.22（立方厘米） 所得到的立体图形的体积3052.08立方厘米或8393.22立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【答案】197.82立方厘米 【思路引导】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 【规范解答】由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【考点剖析】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）有四个完全相同的圆柱体容器，底面半径都是，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如图所示。一个大球的体积是( )立方厘米，现在容器④中的水面高度是( )厘米。 【答案】 50.24 13 【思路引导】根据容器①和容器②可知，水面上升部分体积，就是大球的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出大球的体积；根据容器①和容器③可知，水面上升部分的体积就是四个小球的体积；代入圆柱的体积公式，求出4个小球的体积，再除以4，求出1个小球的体积；用大球的体积加上小球的体积，求出大球和小球的体积和，再除以容器的底面积，再加上容器①水的高度，即可求出容器④水的高度，据此解答。 【规范解答】3.14×22×（12－8） ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（立方厘米） 3.14×22×（12－8）÷4 ＝3.14×4×4÷4 ＝12.56×4÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（立方厘米） （50.24＋12.56）÷（3.14×22）＋8 ＝62.8÷（3.14×4）＋8 ＝62.8÷12.56＋8 ＝5＋8 ＝13（厘米） 一个大球的体积是50.24立方厘米，现在容器④中的水面高度是13厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）如图，一个封闭的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为12平方厘米，根据图中标记的数据，计算出水的体积是( )毫升，瓶子的容积是( )毫升。 【答案】 48 72 【思路引导】水的形状可看作圆柱体，根据圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是水的高度），由图知水的高度是4厘米，底面积12平方厘米，1立方厘米＝1毫升，计算后根据进率转换单位； 瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，空的部分可看作圆柱体，其高度为7－5＝2（厘米），同样用圆柱体积公式计算，再加上水的体积；据此解答。 【规范解答】根据分析： 12×4＝48（立方厘米） 48立方厘米＝48毫升 所以水的体积是48毫升。 空的部分体积： 12×（7－5） ＝12×2 ＝24（立方厘米） 瓶子容积：48＋24＝72（立方厘米） 72立方厘米＝72毫升 所以瓶子的容积是72毫升。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·山东德州·期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）235.5毫升 【思路引导】（1）水面上升的体积就是土豆A的体积，圆柱形玻璃容器的底面积×水面上升的高度＝土豆A的体积，据此列式解答。 （2）土豆B的体积等于把土豆B取出后下降部分水的体积，溢出水的体积＝土豆B 的体积－图②中无水部分的体积。 【规范解答】（1）3.14×（10÷2）2×（11－9） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：土豆的体积是157立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×4－3.14×（10÷2）2×1 ＝3.14×（10÷2）2×（4－1） ＝3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） ＝235.5（毫升） 答：溢出了235.5毫升水。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的圆柱进行计算。 1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则物体放入圆柱形容器后（物体完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将物体从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 【答案】A 【思路引导】根据题意得：放入容器中的不规则物体，溢出容器的水与水面上升的体积之和即为不规则物体的体积。不规则物体放入容器后溢出20毫升，取出后水面下降3厘米，根据圆柱的体积公式V＝，两者相加可计算得出答案。 【规范解答】20毫升＝20立方厘米 3.14×62×3＋20 ＝3.14×36×3＋20 ＝339.12＋20 ＝359.12（立方厘米） 这个物体的体积是359.12立方厘米。 故答案为：A 2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）一个圆柱与圆锥的体积相等，高也相等，圆锥的底面积是圆柱底面积的（    ）。 A．3倍 B． C．9倍 D．6倍 【答案】A 【思路引导】假设它们的体积和高，由“”可知“”，由“”可知“”，分别表示出圆锥的底面积和圆柱的底面积，最后求出圆锥的底面积除以圆柱底面积的商，据此解答。 【规范解答】假设圆柱与圆锥的体积是，高是。 ＝ ＝ ＝3 所以，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 故答案为：A 3．（24-25六年级下·山东德州·期中）一个圆柱和一个圆锥等底，等体积，它们的高之和是24厘米，则圆柱的高是（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．18厘米 D．20厘米 【答案】A 【思路引导】圆柱的体积公式为：V＝Sh（V是圆柱体积，S是圆柱底面积，h是圆柱的高）。圆锥的体积公式为：V＝Sh（V是圆锥体积，S是圆锥底面积，h是圆锥的高）。已知圆柱和圆锥等底，即S柱＝S锥；等体积，即V柱＝V锥。所以Sh柱＝Sh锥，根据等式的性质2解答即可。 【规范解答】圆柱的体积：Sh柱 圆锥的体积：Sh锥 Sh柱＝Sh锥 解：Sh柱÷S＝Sh锥÷S h柱＝h锥 h锥＝3h柱 h锥＋h柱＝24 解：3h柱＋h柱＝24 4h柱＝24 h柱＝24÷4 h柱＝6 所以圆柱的高是6厘米。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·河南南阳·期中）用下面的3个图形分别卷成圆柱，体积最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】用长方形卷圆柱，有两种卷法（把长方形的长或宽当圆柱底面周长，另一条边当圆柱的高）。根据圆柱体积公式V＝sh（s圆柱底面积，h为高），先由底面周长算出底面半径，再代入公式算体积，最后比较体积大小，据此解答。 【规范解答】A．长方形长8厘米、宽3厘米，分两种卷法： 把长8厘米当底面周长，宽3厘米当高： 算底面半径：r1＝≈1.27（厘米） 算体积：V1＝3.14×1.272×3 ≈3.14×1.61×3 ≈5.06×3 ＝15.18（立方厘米） 把宽3厘米当底面周长，长8厘米当高： 算底面半径：r2＝≈0.48（厘米） 算体积：V2＝3.14×0.482×8 ≈3.14×0.23×7 ≈0.72×8 ＝5.76（立方厘米） 比较：15.18＞5.78，A卷成圆柱最大体积约15.18立方厘米。 B．长方形长12厘米、宽2厘米，分两种卷法： 把长12厘米当底面周长，宽2厘米当高： r1＝≈1.91（厘米） 算体积：V3＝3.14×1.912×2 ≈3.14×3.65×2 ≈11.46×2 ＝22.92（立方厘米） 把宽2厘米当底面周长，长12厘米当高： 算底面半径：r4＝≈0.32 算体积：V4＝3.14×0.322×12 ≈3.14×0.10×12 ＝0.314×12 ≈3.77（立方厘米） 比较：22.92＞3.77，B卷成圆柱的最大体积约22.92立方厘米。 C．长方形长6厘米，宽4厘米，分两种卷法： 把长6厘米当底面周长，宽4厘米当高： 算底面半径：r5＝≈0.96（厘米） 算体积：V5＝3.14×0.962×4 ≈3.14×0.92×4 ≈2.89×4 ＝11.56（立方厘米） 把宽4厘米当底面周长，长6厘米当高： 算底面半径：r6＝≈0.64（厘米） 算体积：V6＝3.14×0.642×6 ≈3.14×0.41×6 ≈1.29×6 ＝7.74（立方厘米） 比较：11.56＞7.79，C卷成圆柱最大的体积约11.56立方厘米。 比较三个选项最大体积： 22.92＞15.18＞11.56，所以B卷成圆柱的体积最大。 故答案为：B 【考点剖析】解决这类题，要清楚长方形卷圆柱的两种卷法，按步骤用公式算体积，找出体积最大的情况。 5．（24-25六年级下·江苏连云港·期中）如下图，以长方形的长作底面周长，宽作高分别围成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们配上两个底面。它们的体积相比，结果是（    ）。 A．长方体的体积最大 B．正方体的体积最大 C．圆柱的体积最大 D．它们的体积一样大 【答案】C 【思路引导】根据题意，比较长方体、正方体和圆柱的体积大小，需依据它们各自的体积公式，结合底面周长与高的关联来进行。首先，明确长方体体积公式为V长＝S长底×h，其中S长底是长方体的底面积，h是高；正方体体积公式为V正＝S正底×h，S正底是正方体的底面积，h是高；圆柱体积公式为V柱＝S柱底×h，S柱底是圆柱的底面积，h是高。因为这三个立体图形都是由同一张长方形纸围成，且宽作为高，所以它们的高h是相等的。同时，长方形的长作为底面周长，所以三个立体图形的底面周长C也相等。接下来比较底面积，在周长相等的情况下，圆的面积最大。而正方形是特殊的长方形，在周长相等时正方形的面积大于长方形的面积，所以圆柱的底面积S柱底大于正方体的底面积S正底，正方体的底面积S正底又大于长方体的底面积S长底，即S柱底＞S正底＞S长底。最后，由于三个立体图形的高h相同，根据体积公式，当高相等时，底面积越大，体积就越大。据此解答。 【规范解答】体积公式：长方体体积公式V长＝S长底×h，其中S长底是长方体的底面积，h是高。正方体体积公式V正＝S正底×h，其中S正底是正方体的底面积，h是高。圆柱体积公式V柱＝S柱底×h，其中S柱底是圆柱的底面积，h是高。 体积比较：由于三个图形的高h相同，根据体积公式，底面积越大，体积越大，所以V柱＞V正＞V长。 故答案为：C 【考点剖析】本题关键在于利用周长相等时圆的面积最大这一性质，结合体积公式来比较三者体积大小。 6．（22-23六年级下·浙江杭州·期中）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 【答案】B 【思路引导】长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，所形成的立体图形是一个圆柱体，圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，图形乙旋转一周是一个圆锥体，底面半径是2厘米，高是6厘米，甲部分的体积就是圆柱的体积减去圆锥的体积，再利用比的意义解答即可。 【规范解答】π×42×6－π×22×6× ＝16π×6－4π×2 ＝96π－8π ＝88π（立方厘米） 乙部分形成的立体图形的体积： π×22×6× ＝4π×6× ＝24π× ＝8π（立方厘米） 88π∶8π ＝（88π÷8π）∶（8π÷8π） ＝11∶8 所以，甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是11∶1。 故答案为：B 【点评】解答此题的关键是理解平面图形旋转后的立体图形是什么图形，再根据圆柱和圆锥的体积公式解答。 7．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体，根据题目中的信息，瓶子的容积是( )毫升。 【答案】 25 圆柱 1256 【思路引导】对于饮料瓶，正放时空余部分是不规则形状，难以直接计算其体积，但当把饮料瓶倒置后，饮料的体积并没有发生变化，空余部分的体积同样也没有改变，但空余部分转化为了规则形状圆柱体。从图中可以看到，正放时饮料高度为7厘米，倒置时空余部分高度是18厘米，那么转化后的圆柱体的高，就是正放时饮料的高度与倒置时空余部分高度相加。根据圆柱的体积公式，代入数据计算并把单位转化为毫升即可。 【规范解答】（厘米） （立方厘米） ＝1256（毫升） 解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是25厘米的圆柱体，根据题目中的信息，瓶子的容积是1256毫升。 8．（24-25六年级下·吉林松原·期中）一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了( )千克液体。 【答案】22.608 【思路引导】根据圆锥的容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形容器的容积，也就是液体的容积，再用液体的容积×0.8，即可求出这个容器装的液体的重量，注意单位名数的换算。 【规范解答】3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 28.26立方分米＝28.26升 28.26×0.8＝22.608（千克） 一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了22.608千克液体。 9．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个直角三角形，一条直角边长是6cm，另一条直角边长是4cm，以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是( )cm3。 【答案】100.48 【思路引导】根据圆锥的定义，一个直角三角形以它的较长的直角边为轴旋转一周后形成一个立体图形，这个立体图形是圆锥，圆锥的底面半径等于三角形的较短的直角边4厘米，高等于较长的直角边6厘米，根据圆锥的体积：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】3.14×42×6× ＝3.14×16×6× ＝50.24×6× ＝301.44× ＝100.48（cm3） 以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是100.48cm3。 10．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱的底面直径是8厘米，高是6厘米。它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 301.44 100.48 【思路引导】已知圆柱的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的体积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱的体积乘，即可求出圆锥的体积。 【规范解答】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 301.44×＝100.48（立方厘米） 它的体积是301.44立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是100.48立方厘米。 11．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【答案】2747.5立方厘米/2747.5cm3 【思路引导】当钢材露出水面15厘米时，露出部分钢材的体积与水桶中水面下降3厘米的水的体积相等。利用圆柱体积公式V＝Sh，用钢材底面积（3.14×52）乘露出长度（15厘米），得到露出钢材体积；再结合水面下降高度（3厘米），用“露出钢材体积÷水面下降高度”可求出水桶的底面积。当钢材完全浸没时，钢材的体积与水桶中水面上升7厘米的水的体积相等。用前面求出的水桶底面积乘水面上升高度（7厘米），就能算出钢材的体积。 【规范解答】计算露出钢材的体积（即水面下降3厘米的水的体积）： 钢材底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 露出钢材的长度为15厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，露出钢材的体积为78.5×15＝1177.5（立方厘米） 计算水桶的底面积：1177.5÷3＝392.5（平方厘米） 计算钢材的体积（即水面上升7厘米的水的体积）： 根据圆柱体积公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米） 水面又会下降3厘米这段钢材的体积是2747.5立方厘米。 【考点剖析】利用 “水面升降体积＝钢材对应体积”，结合圆柱体积公式求解，关键是找体积对应关系。 12．（2024·广东河源·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥底面半径比是2∶1，它们的体积之和是26cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 24 2 【思路引导】假设圆柱和圆锥的高都是h，根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，确定圆柱和圆锥的体积比，化简，将比的前后项看成份数，圆柱和圆锥的体积和÷总份数＝一份数，一份数分别乘圆柱和圆锥的对应份数，即可求出圆柱和圆锥的体积。 【规范解答】假设圆柱和圆锥的高都是h。 （3.14×22×h）∶（3.14×12×h÷3） ＝22∶（12÷3） ＝4∶（1÷3） ＝4∶ ＝（4×3）∶（×3） ＝12∶1 26÷（12＋1） ＝26÷13 ＝2（cm3） 2×12＝24（cm3） 2×1＝2（cm3） 圆柱的体积是24cm3，圆锥的体积是2cm3。 【考点剖析】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，确定圆柱和圆锥的体积比。 13．（23-24六年级下·江苏南通·期中）如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是( )厘米。 【答案】11 【思路引导】根据等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，所以上面圆锥的体积可转化成等底但高为6÷3＝2（厘米）的圆柱，再用7－2＝5（厘米），即可求出倒过来后圆柱水柱的高度，再用5＋6＝11（厘米），即可求出圆锥的顶点到液面的距离。 【规范解答】由分析可知： 6÷3＝2（厘米） 7－2＝5（厘米） 5＋6＝11（厘米） 所以圆锥的顶点到液面的距离是11厘米。 【考点剖析】本题考查等底等体积的圆柱和圆锥的高的关系，学生需熟练掌握。 14．（24-25六年级下·河北保定·期中）从一段底面半径1分米，长20分米的圆柱形木材上锯下一段长6分米的小圆柱木材，圆柱形木材的表面积就减少了37.68平方分米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】圆柱形木材锯下一段小圆柱后，表面积减少的部分是锯下小圆柱的侧面积。运用圆柱侧面积公式S＝2πrh（r为底面半径，h为高）计算减少的侧面积，据此解答。 【规范解答】已知底面半径r＝1分米，锯下小圆柱的高h＝6分米，根据圆柱侧面积公式S＝2πrh，可得减少的侧面积为： 2×3.14×1×6 ＝6.28×1×6 ＝6.28×6 ＝37.68（平方分米），与题目中表述一致，所以该说法正确。 故答案为：√ 15．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）圆锥的体积是圆柱体积的。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】圆锥的体积是否等于圆柱体积的，需满足两者等底等高。题干未说明这一条件，因此结论不一定成立，据此判断。 【规范解答】根据圆锥体积公式和圆柱体积公式，当且仅当圆锥与圆柱的底面积和高相等时，圆锥体积是圆柱体积的。若底面积或高不等，则体积关系不成立。例如：若圆锥的底面积是圆柱的3倍且高相等，则圆锥体积等于圆柱体积。因此题干说法错误。 故答案为：× 16．（24-25六年级下·江西抚州·期中）如图，下面半圆柱的底面直径是8厘米，高10厘米，求它的表面积和体积。 【答案】255.84平方厘米；251.2立方厘米 【思路引导】半圆柱的两个底面可以拼成1个完整的圆，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，切面长方形的长＝半圆柱的高，长方形的宽＝半圆柱的底面直径，长方形面积＝长×宽，半圆柱的表面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2＋长方形的面积，侧面积＝底面周长×高；半圆柱的体积＝底面积×高÷2，据此列式计算。 【规范解答】3.14×（8÷2）2＋3.14×8×10÷2＋10×8 ＝3.14×42＋125.6＋80 ＝3.14×16＋125.6＋80 ＝50.24＋125.6＋80 ＝255.84（平方厘米） 3.14×（8÷2）2×10÷2 ＝3.14×42×10÷2 ＝3.14×16×10÷2 ＝251.2（立方厘米） 它的表面积和体积分别是255.84平方厘米、251.2立方厘米。 17．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）李老师做了一个无盖的圆柱形水桶，底面直径为40厘米，高50厘米。 （1）做这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）往做好的圆柱形水桶中倒入一些水，水面距桶口3分米，桶中装了多少升的水？ 【答案】（1）7536平方厘米 （2）25.12升 【思路引导】（1）无盖的圆柱形水桶少上面，求做这个水桶至少需要铁皮的面积，就是求圆柱的侧面积和一个底面积之和；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算，再相加即可。 （2）已知圆柱形水桶中的水面距桶口3分米，用桶高减去距桶口的距离，求出水面高度；再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米，1立方分米＝1升。 【规范解答】（1）3.14×40×50＋3.14×（40÷2）2 ＝3.14×40×50＋3.14×202 ＝3.14×40×50＋3.14×400 ＝6280＋1256 ＝7536（平方厘米） 答：做这个水桶至少需要7536平方厘米的铁皮。 （2）40厘米＝4分米，50厘米＝5分米 3.14×（4÷2）2×（5－3） ＝3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（立方分米） 25.12立方分米＝25.12升 答：桶中装了25.12升的水。 18．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米。如果每立方米沙子重1.6吨，这堆沙子大约重多少吨？ 【答案】 37.68吨 【思路引导】根据圆的周长公式的逆运算，可求出半径，再根据圆锥的体积公式，代入数据可得圆锥的体积，再乘1.6即可。 【规范解答】18.84÷3.14÷2＝3（米） （立方米） 23.55×1.6＝37.68（吨） 答：这堆沙子大约重37.68吨。 19．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 【答案】 1.8厘米 【思路引导】结合圆锥的体积公式：，先计算出圆锥的体积，取出圆锥后，则下降的水的体积就等于取出的圆锥的体积，而下降的水的形状和容器的形状相同，是一个底面直径是20厘米的圆柱，结合圆柱的体积公式：，下降的高度＝下降的体积÷圆柱的底面积，即可得出答案。 【规范解答】12÷2＝6（厘米） （立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝314（平方厘米） 565.2÷314＝1.8（厘米） 答：当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降1.8厘米。 【考点剖析】熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式，是解决此题的关键；同时，需要注意，下降的水的体积等于取出的物体的体积。 20．（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 【答案】15时 【思路引导】根据题意，水面高度上升了6－2＝4厘米，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π为3，r为20÷2＝10厘米，h为4厘米），算出上升部分的水的体积，并将单位换算为毫升（1立方厘米＝1毫升）；容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），所以每分钟滴水80÷20＝4毫升，用上升部分的水的体积除以每分钟滴水多少毫升，即可算出一共用了多少分钟；开始时间为10时，加上经过的时间，即可算出此时为几时。 【规范解答】6－2＝4（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3×102×4 ＝3×100×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 1200立方厘米＝1200毫升 80÷20＝4（毫升） 1200÷4＝300（分钟） 1小时＝60分钟 300÷60＝5（小时） 10时＋5小时＝15时 答：此时大约是15时。 【考点剖析】本题主要考查圆柱的体积公式（V＝πr2h）的实际应用，通过圆柱体积公式求出上升水的体积，再结合滴水速度换算时间，最后推算时刻。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 圆柱的认识及特征 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 考点讲练二 圆锥的认识及特征 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练三 圆柱的展开图 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 考点讲练四 圆柱的侧面积 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练五 圆柱的表面积 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 考点讲练七 圆柱的体积 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练八 圆柱的容积 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）同学们，我们推导圆柱的体积公式时，会将圆柱转化为一个近似的长方体。将图1所示的圆柱沿底面半径r分成16等份，拼成一个近似的长方体（图2）。通过观察找到图1、图2各部分的对应关系，推导出圆柱的体积公式。你有没有这样思考过：如果将这个近似的长方体翻转摆放（图3），我们会得到怎样的体积公式呢？请你先找出图1、图3各部分的对应关系，试着推导出圆柱的体积公式。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西赣州·期中）如图是一个圆柱的表面展开图，求围成圆柱的体积。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）小明为了做实验，把一段长1米、横截面直径是20厘米的木头放在水里，小明发现它正好是一半露出水面（如图）。这段木头与水面接触的面积是多少平方米？露出水面部分的体积是多少立方米？ 考点讲练二 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃临夏·期中）一个平面图形经过平移或旋转可以得到立体图形。例如：分别将长方形、圆作为底面向上平移可以得到长方体、圆柱，它们的体积均可以用“底面积×高”来计算（如图①）。将一个长4厘米、宽3厘米的长方形绕着长旋转一周，也可以得到一个圆柱（如图②）。 (1)图②中的圆柱也可以看作将一个底面直径为( )厘米的圆向上平移( )厘米得到。 (2)将面积为18平方厘米的三角形作为底面，向上平移5厘米，形成一个立体图形（如图③），它的体积是( )立方厘米。 (3)将一个直角三角形绕着较长的那条直角边旋转一周得到一个立体图形（如图④），它的体积是( )立方厘米。（取3.14） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东聊城·期中）传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥（如图），如果圆的直径为，扇形的半径为，那么等于（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练三 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）新新准备用如图的长方形硬纸板做成一个无盖笔筒的侧面，他可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计）。 A．②④ B．②③④ C．①②③ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）下图是一块长16.56分米的长方形铁皮，按照图中的涂色部分裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），这个油桶的体积是( )立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）李老师用一张面积为828cm2的长方形纸板制作一个圆柱形教具，剪裁如图，所要做的圆柱的底面半径是多少厘米？ （1）通过李老师的提示：长方形纸板的长是（    ）个圆柱底面半径的长度，宽是（      ）个圆柱底面半径的长度。 （2）求出圆柱的底面半径。 考点讲练四 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西玉林·期中）一台春晚机器人的圆柱形零件，底面直径是8厘米，高是10厘米，它的侧面积是（    ）平方厘米。 A．80π B．160π C．240π 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）华华爷爷的茶杯放在桌上（如图），底面直径是8厘米，高10厘米。 （1）怕爷爷烫手，华华特意给这个茶杯贴上一条装饰带，宽4厘米。这条装饰带的面积是多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯壁的厚度忽略不计） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一根10分米长的圆柱形钢材，截去2分米的一段后，表面积减少了25.12平方分米。原来这根钢材的体积是( )立方分米。 考点讲练五 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北石家庄·期中）王大爷要制作一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶的底面半径是20厘米，高是30厘米。 （1）制作这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱形木块若切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；若切成3块（如图2），表面积增加50.24平方厘米，若削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少( )立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东深圳·期中）如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·江西南昌·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖南常德·期中）计算下面空心圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖北黄冈·期中）求下面图形的表面积和体积。 考点讲练七 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一根长为2m的圆木切成两小段圆木后，表面积增加了，这根圆木的体积是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 考点讲练八 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁鞍山·期中）一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不含瓶颈），现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是12厘米，倒放时空余部分高6厘米。这种饮料瓶的容积是多少毫升？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）大连某农场新建了一个圆柱形蓄水池（如图）。（单位：米，底的厚度与壁的厚度相同） （1）这个圆柱形蓄水池的容积约是多少立方米？ （2）给蓄水池的内、外壁以及内底面全部抹水泥（外底面和阴影部分不抹），如果每平方米抹4千克水泥，大约需要多少千克水泥？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，一种水稳磨米机的漏斗由圆柱和圆锥两部分组成。其中底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4dm。每立方分米稻谷重0.65kg。 （1）这个漏斗大约能装多少千克稻谷？（得数保留两位小数） （2）如果稻谷的出米率是70%，那么一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）将一个直径是6分米、高1分米的圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米，削去部分的体积是圆柱体积的( )%。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北邢台·期中）一个圆柱和一个圆锥拼接后的图形如图所示，其表面积减少了平方厘米，体积变成了立方厘米，已知圆柱与圆锥的高之比是，那么圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃天水·期中）一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是( )cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是( )dm。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·湖南常德·期中）一个圆柱形水杯中盛有2.4cm高的水（如图，图中的单位：cm）。若把这个水杯中的水全部倒入一个圆锥形容器中，则恰好倒满。已知圆锥底面积是圆柱底面积的2倍，那么圆锥形容器的高是（    ）cm。 A．1.2 B．3.6 C．4.8 D．7.2 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，已知水面半径和容器口半径的比为1∶2，则这个容器还能装（    ）升水。 A．28 B．32 C．16 D．20 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是8厘米，酒瓶里有酒深10厘米，把酒瓶盖拧紧后倒置（瓶口向下），这时酒深20厘米。（单位：厘米） （1）酒瓶里面酒的体积是酒瓶容积的百分之几？ （2）把这些酒倒入底面直径是4厘米的圆锥形酒杯里，正好倒满20杯，圆锥形酒杯的高是多少厘米？（酒杯的厚度忽略不计） 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）有两个圆柱形容器，容器A的底面半径是10分米，容器B的底面半径是8分米，容器A有一些水，水面高度为16.4分米，将A中的一部分水倒入容器B中，使两个容器的水面高度一样，这时水面高度是多少？ 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）如图是棱长为6厘米的正方体，它的体积是( )立方厘米。将它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）计算下面图形的体积。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·辽宁鞍山·期中）计算如图图形以不同轴旋转一周后所得到的立体图形的体积。（单位：厘米） 【变式2】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）有四个完全相同的圆柱体容器，底面半径都是，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如图所示。一个大球的体积是( )立方厘米，现在容器④中的水面高度是( )厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·浙江温州·期中）如图，一个封闭的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为12平方厘米，根据图中标记的数据，计算出水的体积是( )毫升，瓶子的容积是( )毫升。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·山东德州·期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则物体放入圆柱形容器后（物体完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将物体从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）一个圆柱与圆锥的体积相等，高也相等，圆锥的底面积是圆柱底面积的（    ）。 A．3倍 B． C．9倍 D．6倍 3．（24-25六年级下·山东德州·期中）一个圆柱和一个圆锥等底，等体积，它们的高之和是24厘米，则圆柱的高是（    ）。 A．6厘米 B．8厘米 C．18厘米 D．20厘米 4．（24-25六年级下·河南南阳·期中）用下面的3个图形分别卷成圆柱，体积最大的是（    ）。 A． B． C． 5．（24-25六年级下·江苏连云港·期中）如下图，以长方形的长作底面周长，宽作高分别围成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们配上两个底面。它们的体积相比，结果是（    ）。 A．长方体的体积最大 B．正方体的体积最大 C．圆柱的体积最大 D．它们的体积一样大 6．（22-23六年级下·浙江杭州·期中）图中长方形ABCD绕CD所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．12∶1 B．11∶1 C．3∶1 D．4∶1 7．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为7厘米，乐乐把这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放，空余部分的高度是18厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体，根据题目中的信息，瓶子的容积是( )毫升。 8．（24-25六年级下·吉林松原·期中）一个底面半径和高都是3分米的圆锥形容器，里面装满了某种液体，这种液体每升0.8千克，这个容器里装了( )千克液体。 9．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个直角三角形，一条直角边长是6cm，另一条直角边长是4cm，以6cm的直角边为轴旋转一周得到的立体图形的体积是( )cm3。 10．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆柱的底面直径是8厘米，高是6厘米。它的体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。 11．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 12．（2024·广东河源·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆柱与圆锥底面半径比是2∶1，它们的体积之和是26cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 13．（23-24六年级下·江苏南通·期中）如图，一个下面是圆柱、上面是圆锥的容器，当把这个容器倒过来时，圆锥的顶点到液面的距离是( )厘米。 14．（24-25六年级下·河北保定·期中）从一段底面半径1分米，长20分米的圆柱形木材上锯下一段长6分米的小圆柱木材，圆柱形木材的表面积就减少了37.68平方分米。( )（判断对错） 15．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）圆锥的体积是圆柱体积的。( )（判断对错） 16．（24-25六年级下·江西抚州·期中）如图，下面半圆柱的底面直径是8厘米，高10厘米，求它的表面积和体积。 17．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）李老师做了一个无盖的圆柱形水桶，底面直径为40厘米，高50厘米。 （1）做这个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）往做好的圆柱形水桶中倒入一些水，水面距桶口3分米，桶中装了多少升的水？ 18．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米。如果每立方米沙子重1.6吨，这堆沙子大约重多少吨？ 19．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 20．（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $