第四单元 比例（期中复习讲义）培优版（导图+14个考点真题讲练+提优练 共62题）-2025-2026学年人教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共62题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 考点讲练八 反比例的应用 考点讲练二 比例的基本性质 考点讲练九 比例尺的意义 考点讲练三 解比例 考点讲练十 比例尺应用 考点讲练四 正比例的意义及辨识 考点讲练十一 应用比例尺画图 考点讲练五 正比例图象的认识 考点讲练十二 图形的放大与缩小 考点讲练六 正比例的应用 考点讲练十三 比例的应用 考点讲练七 反比例的意义及辨识 考点讲练十四 自行车里的数学 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）队旗是少先队组织的标志。大队旗长120厘米、宽90厘米，长和宽的比是( )，中队旗长80厘米、宽60厘米，长和宽的比是( )，这两个比( )组成比例（填“能”或“不能”），请写出比例或理由( )。 【答案】 4∶3 4∶3 能 120∶90＝80∶60 【思路引导】由题意可知，大队旗长120厘米、宽90厘米，则长∶宽＝120∶90，比的前项和后项同时除以30求出长和宽的最简整数比。中队旗长80厘米、宽60厘米，则长∶宽＝80∶60，比的前项和后项同时除以20求出长和宽的最简整数比；表示两个比相等的式子叫作比例，由此可知，这两个比能组成比例，如：120∶90＝80∶60，据此解答。 【规范解答】120∶90 ＝（120÷30）∶（90÷30） ＝4∶3 80∶60 ＝（80÷20）∶（60÷20） ＝4∶3 大队旗长120厘米、宽90厘米，长和宽的比是4∶3，中队旗长80厘米、宽60厘米，长和宽的比是4∶3。由比例的意义可知，大队旗长和宽的比与中队旗长和宽的比能组成比例120∶90＝80∶60。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·河北邢台·期中）一个比例的两个内项均为6，两个比的比值都是2，这个比例是( )。 【答案】12∶6＝6∶3 【思路引导】在比例中，两个比的比值相等，已知比例的两个内项均为6，比值都是2，即有一个比的后项是6，有一个比的前项是6。根据“比的前项＝比值×后项”，用2乘6得出后项是6的比的前项；根据“比的后项＝前项÷比值”，用6除以2得出前项是6的比的后项。 【规范解答】2×6＝12 6÷2＝3 所以这个比例是12∶6＝6∶3。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 【答案】（1）AC；AB；BC；AC； （2）5厘米 【思路引导】（1）由题意可知，点C是线段AB的黄金分割点，较长的线段∶整条线段＝较短的线段∶较长的线段； （2）当选手肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比时，肚脐以上的高度∶肚脐以下的高度＝0.618，则肚脐以下的高度＝肚脐以上的高度÷0.618，最后减去这个选手肚脐以下部分的长度就是鞋子的高度，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知，根据线段写出的比例为：AC∶AB＝BC∶AC。（答案不唯一） （2）65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿5厘米高的鞋子。 【考点剖析】本题主要考查解决与比相关的问题的能力，理解黄金比例的意义是解答题目的关键。 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济宁·期中）如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 2 【思路引导】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，则x最大为8×12÷3；最小是3×8÷12。据此解答即可。 【规范解答】最大：8×12÷3 ＝96÷3 ＝32 最小：3×8÷12 ＝24÷12 ＝2 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）甲数的正好与乙数的相等（甲乙两数均不为0），甲乙两数的比是( )。 【答案】15∶16 【思路引导】根据题意可列等式：甲数×＝乙数× 根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，把甲数和作为外项，乙数和作为内项，可得：甲数∶乙数＝∶最后将甲乙两数的比化为整数比，即可。 【规范解答】由题意可知：甲数×＝乙数×，所以，甲数∶乙数＝∶ 将比的前后项同时乘20（4和5的最小公倍数）化为整数比： ×20∶×20＝15∶16 即甲乙两数的比是15∶16。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型。如果圆的半径为a，扇形的半径为b，那么a∶b为（ ）。 A．1∶4 B．1∶3 C．2∶7 【答案】A 【思路引导】扇形的弧长可看作是大圆周长的，因为大圆的半径是b，故可以表示为：2×3.14×b×＝1.57b；又因为这个扇形和小圆恰好围成一个圆锥，所以，小圆的周长就和扇形的弧长相等，小圆周长可表示为：2×3.14×a＝6.28a；令1.57b＝6.28a，再依据比例的基本性质可得：a∶b＝1∶4。 【规范解答】由分析得： 2×3.14×b× ＝6.28b× ＝1.57b 2×3.14×a＝6.28a 令1.57b＝6.28a a∶b＝1.57∶6.28 a∶b＝1∶4 故答案为：A 【考点剖析】初读题目，感觉无从下手解答。可以在纸上把原图照样画一遍，在画和想象拼接的过程中，发现扇形的弧长恰好围成圆锥底部的那个小圆，这样可将扇形弧长作为衔接量，再用含有字母的式子表示出扇形弧长和小圆周长，并写成乘积相等的式子，最后改写成比例式即可。 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）解比例。          【答案】；； 【思路引导】比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质，把比例改写成方程。再求出未知数的值。 第1题，把比例改写成方程，方程两边再同时除以。 第2题，把比例改写成方程，方程两边再同时除以9。 第3题，把比例改写成方程，把0.75改写成，方程两边再同时除以。 【规范解答】   解：      解：   解： 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）解比例。             【答案】x＝80； ； 【思路引导】比例的基本性质：若a∶b＝c∶d（b，d都不为0），则a×d＝b×c（内项之积等于外项之积），通过该性质将比例式转化为方程，再根据等式的性质1和2进行解方程。 【规范解答】 解：3.25x＝65×4 3.25x＝260 x＝260÷3.25 x＝80 解： 解： 解： 【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，等腰梯形ABCD被对角线分4个小三角形，已知△AOB、△BOC的面积分别是25cm2、35cm2，那么梯形的面积是( )cm2。 【答案】144 【思路引导】△ABC和△ABD是等底等高的两个三角形，所以这两个三角形面积相等，△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC＝25＋35＝60（cm2），所以△ABD的面积＝△ABC的面积＝△AOB的面积＋△AOD的面积，所以△AOD的面积＝60－25＝35（cm2），△AOD和△AOB的高相等，所以△AOD和△AOB的底边长之比等于面积之比，即BO∶DO＝25∶35，同理，△BOC和△DOC的高相等，所以△BOC和△DOC的底边长之比等于面积之比，即BO∶DO＝35∶△DOC的面积，已知BO∶DO＝25∶35，所以25∶35＝35∶△DOC的面积，利用比例的基本性质求出△DOC的面积，再加上△ABC和△AOD的面积，即可求出梯形的面积。 【规范解答】△ABC面积＝△AOB的面积＋△BOC＝25＋35＝60（cm2） △AOD的面积＝60－25＝35（cm2） 假设△DOC的面积为xcm2， 25∶35＝35∶x 25x＝35×35 25x＝1225 x＝1225÷25 x＝49 所以△DOC的面积是49cm2。 49＋60＋35＝144（cm2） 即梯形的面积是144cm2。 【考点剖析】此题首先根据三角形的特征及比的应用，列出比例，关键是求△DOC的面积。 考点讲练四 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）下图展示了一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例。照这样计算，4.5小时行驶( )千米。 【答案】 正 450 【思路引导】题目中，时间和路程是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程与时间的比值一定。所以时间和路程成正比例。根据速度＝路程÷时间，算出速度，再根据路程＝速度×时间解决。 【规范解答】（千米/时） 300÷3×4.5＝450（千米） 即这辆汽车行驶的时间与路程成正比例。照这样计算，4.5小时行驶450千米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： （1）甲车行驶的路程与时间成______比例关系。 （2）乙车1.5小时行驶______千米。 （3）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】（1）正 （2）75 （3）1050千米 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。从图像中可以看出，甲车行驶的路程与时间的图像是一条过原点的直线，说明甲车的速度是一定的，即路程与时间的比值（速度）一定，所以甲车行驶的路程与时间成正比例关系。 （2）从图像中可知，乙车5小时行驶250千米，根据速度＝路程÷时间，可得乙车的速度为：250÷5＝50（千米/小时）。那么乙车1.5小时行驶的路程为：50×1.5＝75（千米）。 （3）从图像中可知，甲车2小时行驶250千米，所以甲车速度为250÷2＝125（千米/小时）。由（2）已求出乙车速度为50千米/小时。那么甲车与乙车的速度和为：（125＋50），甲、乙两车经过6小时相遇，根据相遇问题公式“路程和＝速度和×相遇时间”，用（125＋50）乘6计算即可得出A、B两地的距离。 【规范解答】（1）甲车行驶的路程与时间的图像是一条过原点的直线，说明甲车的速度是一定的，即路程与时间的比值（速度）一定，所以甲车行驶的路程与时间成正比例关系。 （2）250÷5＝50（千米/小时） 50×1.5＝75（千米） 乙车1.5小时行驶75千米。 （3）250÷2＝125（千米/小时） （125＋50）×6 ＝175×6 ＝1050（千米） 答：A、B两地相距1050千米。 【变式2】（难度：☆☆☆）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 【答案】（1）90 （2）正 （3）904.32立方厘米 【思路引导】（1）因为C点（，45）也在l这条直线上，可以与A点或B点组成比例方程，并求解，求出的值。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）根据“等腰三角形的两条腰相等”以及点D的位置是（z，4），根据数对的知识可知，点D与点A在同一行，由此得出点D在图中的位置； 因为这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥；由点A、点B的数对，得出横轴、纵轴每格表示的长度，进而得出圆锥的底面半径和高，然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个圆锥的体积。 【规范解答】（1）＝ 解：4＝8×45 4＝360 ＝360÷4 ＝90 如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝90。 （2）＝＝…＝2（一定） 那么直线l上的点P（，），＝2，比值一定，和成正比例。 （3）如下图，点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形ABD。 横轴的每格表示： （20－8）÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 纵轴的每格表示： （10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆锥的底面半径：3×4＝12（厘米） 圆锥的高：3×2＝6（厘米） ×3.14×122×6 ＝×3.14×144×6 ＝904.32（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是904.32立方厘米。 【考点剖析】（1）列出比例方程，并解比例。 （2）本题考查正比例的意义及辨识方法，也可以通过图象判断两种量是否成正比例。 （3）先根据等腰三角形的特征以及数对的知识找到D点的位置，再判断旋转而成的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式解答。 考点讲练五 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北廊坊·期中）已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）正 （4）5 【思路引导】（1）已知汽车平均油耗是每千米0.1升，根据“耗油量＝每千米油耗×路程”：路程为10千米时，耗油量为0.1×10＝1升；耗油量为2升时，路程为2÷0.1＝20千米；路程为40千米时，耗油量为0.1×40＝4升；耗油量为6升时，路程为6÷0.1＝60千米。据此依次填表。 （2）根据表格中的数据，路程与耗油量的对应点为（10，1）、（20，2）、（40，4）、（60，6），在图中找到这些点，然后用直线依次连接起来，就得到汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）正比例关系的图象是一条经过原点的直线。据此解答。 （4）由每千米油耗0.1升，可得行驶50千米的耗油量为0.1×50＝5升，所以汽车行驶50千米需耗油5升。 【规范解答】（1）0.1×10＝1（升） 2÷0.1＝20（千米） 0.1×40＝4（升） 6÷0.1＝60（千米） 填表如下： 路程/千米 10 20 40 60 … 耗油量/升 1 2 4 6 … （2）如图： （3）由图象可知，汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象是一条经过原点的直线，因此路程与耗油量成正比例关系。 （4）0.1×50＝5（升） 所以汽车行驶50千米需耗油5升。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个榨油厂用5台同样的榨油机每天榨油45吨。 （1）把题中两种量的关系在下面的方格纸上表示出来。 （2）题中一定的量是（    ）。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例吗？为什么？ （4）照这样计算，14台这样的榨油机每天榨油多少吨？ 【答案】（1）见详解； （2）每台榨油机每天榨油的吨数； （3）成正比例；每天榨油吨数÷台数的结果是一个定值，则榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例。 （4）126吨 【思路引导】（1）根据题意得：在统计图中找出横轴为榨油机台数5台，榨油吨数为45吨。找到对应点，与0点连接起来得到统计图。 （2）每台榨油机每天榨油的吨数是一定的。 （3）根据正比例定义：两个相关联的量对应的数值的比值一定，则这两个量成正比例关系；每台每天榨油吨数＝每天榨油吨数÷台数，得数是一个定值，则成正比例。 （4）已知每台榨油机每天榨油吨数，运用每台榨油机每天榨油吨数×台数，据此得出答案。 【规范解答】（1）作图如下： （2）题中一定的量是每台榨油机每天榨油吨数。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例；因为45÷5＝9，即每天榨油吨数÷台数的结果是一个定值，则榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例。 （4）45÷5×14 ＝9×14 ＝126（吨） 答：14台这样的榨油机每天榨油126吨。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）科学实验课上，明明正在学习弹簧测力计的使用。经过多次实验他发现，这种弹簧测力计挂上不同质量的物体时（物体质量200克以内），弹簧的总长度和物体的质量关系如下表所示。 弹簧总长度/cm 6 8 10 12 14 … 物体质量/g 0 20 40 60 80 … （1）请你计算一下，当弹簧测力计挂上120克物体时，弹簧总长度是多少厘米？ （2）在下图中描出表示弹簧伸长长度与物体质量所对应的点，然后把它们连起来并延长。 （3）综合以上信息进行分析，测量200克以内物体时弹簧伸长长度和所挂物体质量是否成正比例？说说你的理由。 【答案】（1）18厘米； （2）见详解； （3）成正比例；因为所挂物体质量和弹簧伸长长度的比值是一定的 【思路引导】（1）分析题目，物体质量每增加20克，则弹簧的长度会增加（8－6）厘米，据此用120除以20再乘（8－6）即可求出挂上120克的物体弹簧会增加多少厘米，再加上弹簧本身的长度6即可解答； （2）先根据表格中的数据在图中分别描出各点，再依次连接各点即可； （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；据此解答。 【规范解答】（1）120÷20×（8－6）＋6 ＝6×2＋6 ＝12＋6 ＝18（厘米） 答：弹簧总长度是18厘米。 （2）作图如下： （3）20∶（8－6）＝40∶（10－6）＝60∶（12－6）＝10（一定），因为所挂物体质量∶弹簧伸长长度＝10（一定），所以测量200克以内物体时弹簧伸长长度和所挂物体质量成正比例。 答：测量200克以内物体时弹簧伸长长度和所挂物体质量成正比例，因为所挂物体质量和弹簧伸长长度的比值是一定的。 考点讲练六 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①   ②30：        ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【思路引导】把全程看作单位“1”，根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 【规范解答】如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 30∶x＝∶1或1∶x＝∶30 正确的关系式是②③。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广西贵港·期中）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。亮亮的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中亮亮记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表： 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 … 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 … （1）观察上表的数据，耗电量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）汽车电池充满后有60千瓦时，要行驶350千米，够吗？ 【答案】（1）正 （2）够 【思路引导】（1）两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。千米/千瓦时；千米/千瓦时；千米/千瓦时；千米/千瓦时；千米/千瓦时。可以发现，行驶路程与耗电量的比值始终为千米/千瓦时，是一个定值。所以，耗电量与行驶路程成正比例关系。 （2）由（1）已知耗电量与行驶路程成正比例关系，即行驶路程与耗电量的比值为千米/千瓦时（也就是每千瓦时电可行驶千米）。根据“路程＝每千瓦时行驶路程×耗电量”，可得千米。再与350千米比较即可。 【规范解答】（1）（千米/千瓦时） （千米/千瓦时） （千米/千瓦时） （千米/千瓦时） （千米/千瓦时） 行驶路程与耗电量的比值始终为千米/千瓦时，是一个定值。 所以，耗电量与行驶路程成正比例关系。 （2）（千米） 400＞350 答：汽车电池充满后有60千瓦时，够行驶350千米。 【变式2】（难度：☆☆☆）在上午某一时刻，身高1.7米的小桐在地面上的影子长3.4米，小桐测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米长的影子落在墙上，由此可知，旗杆高( )米。 【答案】10 【思路引导】在同一时刻物体实际高度与影长成正比例，先求出小桐身高与影长的比值为，再根据旗杆有2米长的影子落在墙上，墙上的2米投射到地面上为2÷＝4米，所以旗杆在地面上的影长一共是16＋4＝20米；设旗杆的实际高度是米，列出正比例方程，并求解。 【规范解答】＝ 墙上2米的影子在地面上的影长是：2÷＝4（米） 旗杆在地面的影长一共是：16＋4＝20（米） 解：设旗杆高米。 ＝ 3.4＝1.7×20 3.4＝34 ＝34÷3.4 ＝10 【考点剖析】掌握正比例的意义，找到题目中的两种相关联的量成正比例关系，列出正比例方程是解题的关键。 考点讲练七 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）下面说法不正确的是（    ）。 A．订阅的《新华字典》的本数与总钱数成正比例关系 B．同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例关系 C．长方形的周长一定，长和宽成反比例关系 D．给房间地面铺砖，每块砖的面积与铺的块数成反比例关系 【答案】C 【思路引导】判断两种相关联的量成正比例还是反比例，关键看这两种量相对应的比值或乘积是否一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。逐项判断即可。 【规范解答】A．因为《新华字典》的单价是固定的，总钱数÷本数＝单价（一定），也就是这两种量相对应数的比值一定，所以订阅的《新华字典》的本数与总钱数成正比例关系，此选项说法正确； B．在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的（因为太阳光线的角度是固定的），所以物体的高度和影长成正比例关系，此选项说法正确； C．，当周长一定时，长＋宽＝周长÷2（一定），这里是长和宽的和一定，而不是乘积一定，所以长和宽不成反比例关系，此选项说法不正确； D．房间地面的面积是固定的，每块砖的面积×铺的块数＝房间地面的面积（一定），这两种量相对应数的乘积一定，所以每块砖的面积与铺的块数成反比例关系，此选项说法正确。 故答案为：C 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南信阳·期中）红红的妈妈用微信扫码租了一辆共享单车。红红数了数，这辆共享单车的前齿轮齿数是28个，后齿轮齿数是16个，经测量，车轮直径为66厘米。红红知道妈妈的公司与家的距离大约是1500米，红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬多少圈呢？（结果保留整数） 【答案】 414圈 【思路引导】已知车轮直径为66厘米，先统一单位，66厘米＝0.66米，根据圆的周长公式C＝πd计算出车轮的周长；因为在同一链条传动下，前齿轮转过的总齿数和后齿轮转过的总齿数是相等的，前齿轮齿数×蹬的圈数＝后齿轮齿数×车轮转动的圈数，用前齿轮齿数乘1除以后齿轮齿数，即可计算出蹬一圈车轮转动的圈数；然后用车轮的周长乘车轮转动的圈数计算出蹬一圈前进的距离；已知家到公司的距离大约是1500米，最后用家到公司的距离除以蹬一圈前进的距离，即可得到需要蹬的圈数。 【规范解答】66厘米＝0.66米 3.14×0.66＝2.0724（米） 28×1÷16 ＝28÷16 ＝1.75（圈） 2.0724×1.75＝3.6267（米） 1500÷3.6267≈414（圈） 答：红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬414圈。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。 （1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？ （2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？ 【答案】（1）320元 （2）4件 【思路引导】（1）根据题意，所有服装都打同样的折扣销售，则＝折扣（一定），比值一定，那么现价与原价成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （2）先根据上一题的一件风衣原价480元，现价360元，计算出折扣；再根据题意，李阿姨手里的现金一定，则单价×数量＝总价（一定），积一定，那么单价和数量成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）解：设这条裤子原价元。 ＝ 360＝240×480 ＝ ＝320 答：这条裙子原价320元。 （2）360÷480×100% ＝0.75×100% ＝75% 75%＝七五折 解：设能买件。 200×75%＝120×5 150＝600 ＝600÷150 ＝4 答：如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买4件。 【考点剖析】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 考点讲练八 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 【答案】(1)30 (2)34 【思路引导】（1）先求出两轮的齿数比，再根据齿数比与圈数比相反，求出后齿轮转的圈数。 （2）由（1）可知前齿轮与后齿轮的圈数比，由此先求出1小时车轮转动的圈数，再根据圆的周长＝πd，求出车轮转一圈行驶的距离，再与车轮转动的圈数相乘，即可求出骑行1小时行驶的距离。注意单位名数的转换和结果保留整数。 【规范解答】（1）前、后齿轮的齿数比为：48∶16＝3∶1 那么，前、后齿轮的圈数比为：1∶3 10×3＝30（圈） 如果前齿轮转10圈，则后齿轮转30圈。 （2）1小时＝60分 90×3×60＝16200（圈） 3×70＝210（cm） 16200×210＝3402000（cm）＝34.02（km）≈34（km） 因此，爸爸骑行1小时能行驶34km。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）中心小学为美化环境，用边长6分米的方砖给教室铺地，需要84块。如果改用面积为16平方分米的方砖铺地，需要多少块砖？（用比例解答） 【答案】189块 【思路引导】由题意可知，教室的面积是一定的，则方砖的面积与块数成反比例关系，据此列比例解答即可。 【规范解答】解：设需要x块砖。 16x＝3024 x＝3024÷16 x＝189 答：需要189块砖。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 【答案】 【思路引导】由题意可知，客车3小时后到两地中点，货车小时后到两地中点，根据路程相同，时间和速度成反比，则可知客车和货车原来的速度比是，因货车到达两地中点后，速度比原来提高了20%，则可计算客车和货车后来的速度比是，当客车到达乙地时，可知客车又走了两地路程的，可根据时间相同，路程和速度成正比，利用客车和货车后来的速度比计算货车提速后走了全程的分率，再加上提速前的，即可得解。 【规范解答】客车和货车原来的速度比： 客车和货车后来的速度比： 答：当客车到达乙地时，货车行驶了全程的。 【考点剖析】此题关键根据路程相同，时间和速度成反比，求出客车和货车之前及之后的速度比，再根据时间相同，路程和速度成正比，求出货车后来走了全程的分率，再加上之前的。 考点讲练九 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·四川绵阳·期中） 是( )比例尺，它表示实际距离相当于图上距离的( )倍，用数值比例尺表示是( )。在一幅图上量得一个圆形水池的半径是0.6cm，这个水池的实际占地面积是( )。 【答案】 线段 5000 1∶5000 2826 【思路引导】用线段表示的比例尺是线段比例尺，图上1cm表示实际50m，根据1m＝100cm，统一单位，实际距离÷图上距离＝实际距离是图上距离的几倍；根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写成数值比例尺；图上厘米数×1厘米表示的实际米数＝实际距离，据此换算出实际半径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出水池的实际占地面积。 【规范解答】50m＝5000cm 5000÷1＝5000 1cm∶5000cm＝1∶5000 0.6×50＝30（m） 3.14× ＝3.14×900 ＝2826（） 是线段比例尺，它表示实际距离相当于图上距离的5000倍，用数值比例尺表示是1∶5000。在一幅图上量得一个圆形水池的半径是0.6cm，这个水池的实际占地面积是2826。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）郑州园博园规划为“一园三区”，包括园博园（园博园A区）、双鹤湖中央公园（园博园B区）、苑陵故城遗址公园（园博园C区），总面积6180亩，大约相当于13.6个人民公园。 （1）苑陵故城遗址公园（园博园C区）到双鹤湖中央公园（园博园B区）的距离约是11千米，在一幅地图上量得这两个园区的距离是2.2厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）这三个园区的位置大致如下：园博园（园博园A区）在苑陵故城遗址公园（园博园C区）的南偏东45°方向约3千米处；双鹤湖中央公园（园博园B区）在园博园（园博园A区）的南偏西15°方向约9千米处。根据以上信息，在空白处分别画出这三个园区的大致位置。 【答案】（1）1∶500000 （2）图见详解 【思路引导】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可； （2）园博园A区在园博园C区的南偏东45°方向约3千米处，根据位置的相对性，则园博园C区在园博园A区的北偏西45°方向约3千米处。 先以园博园A区为观测中心，找到北偏西45°方向，再根据图中所示的比例尺换算3千米为图上距离多少厘米，标出园博园C区的位置； 园博园B区在园博园A区的南偏西15°方向约9千米处,再以园博园A区为观测中心，找到南偏西15°方向，再根据图中所示的比例尺换算9千米为图上距离多少厘米，标出园博园B区的位置即可。 【规范解答】（1）11千米＝11000米＝1100000厘米 2.2∶1100000 ＝（2.2÷2.2）∶（1100000÷2.2） ＝1∶500000 所以这幅地图的比例尺是1∶500000。 （2）3÷3＝1（厘米） 9÷3＝3（厘米） 这三个园区的大致位置如下图所示： 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 【答案】（1）196250平方米 （2）1∶10000 （3）18人 【思路引导】（1）已知“中国天眼”的直径是500米，根据圆的面积公式S＝πr2，即可求出它的占地面积。 （2）已知图纸上圆的周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出直径的图上尺寸； 再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1米＝100厘米”，即可求出这个图纸的比例尺。 （3）由“这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着”，用“18－3”求出一半的座位，再乘2，即是座位的总数； 由“影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位”，把这批客人的总人数看作单位“1”，用座位的总数减去18，求出有的人离开了座位后还剩下的人数，占总人数的（1－），单位“1”未知，用还剩下的人数除以（1－），即可求出这批客人的总人数。 【规范解答】（1）3.14×（500÷2）2 ＝3.14×2502 ＝3.14×62500 ＝196250（平方米） 答：“中国天眼”的占地面积约196250平方米。 （2）15.7÷3.14＝5（厘米） 5厘米∶500米 ＝5厘米∶（500×100）厘米 ＝5∶50000 ＝（5÷5）∶（50000÷5） ＝1∶10000 答：这个图纸的比例尺是1∶10000。 （3）总座位数： （18－3）×2 ＝15×2 ＝30（个） 开场前来的人数： （30－18）÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝18（人） 答：那开场前来的这批人有18人。 【考点剖析】（1）本题考查圆的面积公式的运用。 （2）本题考查圆的周长公式以比例尺的意义，求出图上圆的直径是解题的关键。 （3）关键是分析出剩下的人数占总人数的几分之几，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 考点讲练十 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西抚州·期中）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 【答案】 2小时 【思路引导】由比例尺1∶4000000可知，图上距离1厘米表示实际距离4000000厘米，即40千米；已知A、B两地图上距离是2.5厘米，则实际距离为40×2.5＝100千米；又已知汽车每小时行驶50千米，根据“时间＝路程÷速度”即可计算出所需时间。 【规范解答】4000000厘米＝40千米 40×2.5＝100（千米） 100÷50＝2（小时） 答：需要2小时到达。 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）在比例尺1∶5000000的地图上，量得甲乙两地距离为12厘米。如果一列火车以每小时150千米的速度从甲地开往乙地，几小时可到达？ 【答案】4小时 【思路引导】比例尺1∶5000000，表示图上1厘米对应实际距离5000000厘米。 图上距离是12厘米，所以实际距离为：（厘米）。 60000000厘米＝600千米， 已知火车速度是每小时150千米，根据“时间 ＝ 路程 ÷ 速度”，计算得出时间。 【规范解答】（厘米） 60000000厘米＝600千米 （小时） 答：4小时可到达。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地间公路全长是12厘米。一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少千米/时？ 【答案】48千米/时 【思路引导】已知比例尺和A、B两地间的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出A、B两地的实际距离，再根据“1千米＝100000厘米”换算单位； 已知客车和货车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇，根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出两车的速度和； 又已知客车和货车的速度比是3∶2，即货车的速度占两车速度和的，用两车的速度和乘，即可求出货车的速度。 【规范解答】A、B两地的实际距离： 12÷ ＝12×5000000 ＝60000000（厘米） 60000000厘米＝600千米 客车与货车的速度和： 600÷5＝120（千米/时） 货车的速度： 120×＝48（千米/时） 答：货车的速度是48千米/时。 【考点剖析】本题考查比例尺的应用，相遇问题以及按比分配问题，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系，求出A、B两地的实际距离和两车的速度和，再根据按比分配问题的解题方法解答。 考点讲练十一 应用比例尺画图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：一辆汽车从A城开往B城。 （1）从A城到B城的实际路程是______千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶90千米，______小时能从A城到达B城。 （3）C城在D城的南偏东60°方向，到D城的实际距离约60千米，请你在图中标出C城的位置。 【答案】（1）180； （2）2； （3）见详解 【思路引导】（1）先测量出A城到D城和D城到B城的图上距离，再求出A城到B城的图上距离，然后根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出从A城到B城的实际路程，最后把单位转化为“千米”； （2）从A城到B城的实际路程是180千米，汽车平均每小时行驶90千米，根据“时间＝路程÷速度”求出这辆汽车从A城到达B城需要的时间； （3）由数值比例尺可知，图上1厘米表示实际距离2000000厘米，2000000厘米＝20千米，据此把数值比例尺转化为线段比例尺，以D城为观测点，在D城正南偏东60°方向上截取60÷20＝3厘米，标出角度，终点处标注C城，据此解答。 【规范解答】（1）测量可知，A城到D城的图上距离是5厘米，D城到B城的图上距离是4厘米。 5＋4＝9（厘米） 9÷ ＝9×2000000 ＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 所以，从A城到B城的实际路程是180千米。 （2）180÷90＝2（小时） 所以，如果汽车平均每小时行驶90千米，2小时能从A城到达B城。 （3）作图如下： 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）小美家正东方向900米是服装店，服装店正南方向450米是饭店。请你画出服装店和饭店的平面图。 【答案】见详解 【思路引导】比例尺1∶30000表示图上1厘米代表实际距离30000厘米，因为1米＝100厘米，所以30000厘米为30000÷100＝300米，即图上1厘米代表实际距离300米。 小美家到服装店实际距离是900米，那么图上距离为900÷300＝3厘米。服装店到饭店实际距离是450米，那么图上距离为450÷300＝1.5厘米。 以小美家为观测点，正东方向（向右）画3厘米长的线段，端点处为服装店。以服装店为观测点，正南方向（向下）画1.5厘米长的线段，端点处为饭店。 【规范解答】如图： 【变式2】（难度：☆☆☆☆）法制广场要建一个外圆直径是12米，内圆直径是9米的圆环喷水池。请在下图中画出圆环喷水池的平面图。（比例尺1∶300） 这个圆环喷水池的实际面积是（           ）平方米。 【答案】见详解；49.455 【思路引导】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出外圆直径、内圆直径的图上距离，再除以2，求出它们的图上半径，据此画出这个圆环的平面图。 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求出这个圆环喷水池的实际面积。 【规范解答】12米＝1200厘米 1200×＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 9米＝900厘米 900×＝3（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） 图上外圆半径是2厘米，内圆半径是1.5厘米。 如图： 12÷2＝6（米） 9÷2＝4.5（米） 3.14×（62－4.52） ＝3.14×（36－20.25） ＝3.14×15.75 ＝49.455（平方米） 这个圆环喷水池的实际面积是49.455平方米。 【考点剖析】本题考查比例尺的应用、根据比例尺画图以及圆环的面积计算方法。 考点讲练十二 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）某体育中心要建一个比赛通道，形状为直角三角形，两条直角边分别为180米和120米。下面的方格中，每一小格的边长表示1厘米。请你按照要求在下面的方格中画图。 （1）按1∶3000的比例尺画出比赛通道的平面示意图。（在下面写出计算过程） （2）将图中的这个直角三角形按1∶2缩小，画出缩小后的图形；缩小后的三角形和原来的三角形周长之比为（    ）；面积之比为（    ）。 （3）缩小后的三角形，以较长直角边所在的直线为轴旋转一周，形成的图形是（    ）形状，它的体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）图见详解；计算过程见详解 （2）图见详解；1∶2；1∶4 （3）圆锥；12.56 【思路引导】（1）已知形状为直角三角形的比赛通道的两条直角边分别为180米和120米，平面示意图的比例尺为1∶3000，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”以及进率“1米＝100厘米”，求出直角三角形的两条直角边画在图上的尺寸，据此画出这个直角三角形。 （2）图中直角三角形按1∶2缩小，则这个直角三角形的底和高都要除以2，求出缩小后直角三角形的底和高，形状不变，据此画出缩小后的图形。 三角形的周长是三边长度之和，因为缩小比例为1∶2，则三角形各边都按1∶2缩小，缩小后的三角形和原来的三角形周长之比等于边长比1∶2； 根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出缩小前后两个三角形的面积，再求出缩小后的三角形和原来三角形的面积之比。 （3）以缩小后直角三角形的一条较长直角边所在的直线为轴旋转一周形成圆锥，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出它的体积。 【规范解答】（1）180米＝18000厘米，120米＝12000厘米 18000×＝6（厘米） 12000×＝4（厘米） 形状为直角三角形的比赛通道如下图： （2）6÷2＝3（厘米） 4÷2＝2（厘米） 缩小后直角三角形的两条直角边分别是3厘米和2厘米，如下图。 缩小后的三角形和原来的三角形周长之比＝1∶2 原来三角形的面积：6×4÷2＝12（平方厘米） 缩小后三角形的面积：3×2÷2＝3（平方厘米） 3∶12＝（3÷3）∶（12÷3）＝1∶4 缩小后的三角形和原来的三角形面积之比＝1∶4 即缩小后的三角形和原来的三角形周长之比为（1∶2）；面积之比为（1∶4）。 （3）×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方厘米） 缩小后的三角形，以较长直角边所在的直线为轴旋转一周，形成的图形是（圆锥）形状，它的体积是（12.56）立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）按要求画一画。 （1）以直线MN为对称轴作图形A的轴对称图形，得到图形B。 （2）画出图形B绕点O顺时针旋转90°后得到的图形C。 （3）画出图形C向上平移4格，再向右平移3格后得到的图形D。 （4）将图形D放大，使新图形E与原图形D对应线段长的比为2∶1。 【答案】（1）（2）（3）（4）图见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形A的各顶点关于对称轴MN的对称点后，依次连接各点得到图形B。 （2）根据旋转的特征，将图形B绕点О顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形C。 （3）根据平移的特征，将图形C的各顶点分别向上平移4格，再向右平移3格，依次连接即可得到图形D。 （4）将图形D各对应线段分别按对应线段长的比2∶1放大，然后连接，得到图形放大后的图形。 【规范解答】（1）（2）（3）（4）作图如下： 【变式2】（难度：☆☆☆）下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。 （1）画出图形A按2∶1放大后的图形。 （2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（      ），它的体积是（                ）立方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）圆锥；18.84或12.56 【思路引导】（1）图A是一个底为3厘米，高为2厘米的三角形，按2∶1放大，放大后的三角形的底和高都要乘2，据此画出放大后的三角形。 （2）图A是一个直角三角形，直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，形成的立体图形是圆锥，有两种不同的旋转方法，形成两种不同的圆锥： 情况一：以短直角边2厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是2厘米，底面半径是3厘米； 情况二：以长直角边3厘米为轴旋转，那么形成的圆锥高是3厘米，底面半径是2厘米； 然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出两种圆锥的体积即可。 【规范解答】（1）放大后三角形的底：3×2＝6（厘米） 放大后三角形的高：2×2＝4（厘米） 如图： （2）情况一：以图形A较短的直角边为轴旋转； ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方厘米） 情况二：以图形A较长的直角边为轴旋转； ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方厘米） 如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个圆锥，它的体积是18.84或12.56立方厘米。 【考点剖析】（1）掌握作放大后图形的作图方法是解题的关键，明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 （2）掌握圆锥的特征，明确以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，利用圆锥的体积公式列式计算。 考点讲练十三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·河北邢台·期中）贝贝在购买奶茶时，她发现营业员把40克奶茶粉和300克热水放到杯子里搅拌均匀，这时杯中未满，营业员又往杯中加入了90克热水。要想保持口感不变，还需要加上多少克奶茶粉？（用比例解） 【答案】12克 【思路引导】要保持口感不变，即奶茶粉和热水的比例不变。即要使加上的奶茶粉的克数和90克热水的比与40克奶茶粉和300克热水的比相同，我们可以根据这个比例关系来列方程求解需要添加的奶茶粉质量。 【规范解答】解：设还需要加上克奶茶粉。   40∶300＝∶90   300＝40×90 300＝3600 300÷300＝3600÷300 ＝12 答：还需要加上12克奶茶粉。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）快乐出发。 为了更好地欣赏旅途中的风景，享受旅行带来的快乐，聪聪一家决定自驾来我们美丽的黄山，他们一家上午9：00从家出发，为了避免疲劳驾驶，爸爸在某个高速休息区休息时看时间显示是中午12：18，里程表显示行驶了330千米，休息40分钟后，按这个速度行驶到黄山共行驶600千米。 (1)在车轮周长固定的情况下，行驶路程与车轮转数（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 (2)聪聪一家开车到黄山一共用多长时间？ 【答案】(1)A (2)6小时40分钟 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此分析； （2）根据经过时间＝终点时间－起点时间，先求出已行驶时间，设聪聪一家开车到黄山一共用x小时，根据总路程∶总时间＝已行驶路程∶已行驶时间，列出比例求出x的值是开车用的总时间，再加上休息时间，即可求出开车到黄山用的总时间。 【规范解答】（1）行驶路程÷车轮转数＝车轮周长，在车轮周长固定的情况下，行驶路程与车轮转数成正比例关系。 故答案为：A （2）12时18分－9时＝3小时18分    3小时18分＝3.3小时    解：设聪聪一家开车到黄山一共用x小时。 600∶x＝330∶3.3 330x＝600×3.3 330x÷330＝1980÷330 x＝6 6小时＋40分钟＝6小时40分钟 答：聪聪一家开车到黄山一共用6小时40分钟。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是。获奖的共110人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是。参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？ 【答案】180人 【思路引导】根据比的意义，获奖总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘男、女生的对应份数，求出男生和女生的获奖人数。参加的男、女生人数之比是，设参加这次消防知识大赛的男生有5x人，女生有4x人，根据（男生人数－男生获奖人数）∶（女生人数－女生获奖人数）＝4∶3，列出比例求出x的值，再根据5x＋4x＝六年级参赛人数，列式解答即可。 【规范解答】110÷（6＋5） ＝110÷11 ＝10（人） 10×6＝60（人） 10×5＝50（人） 解：设参加这次消防知识大赛的男生有5x人，女生有4x人。 （5x－60）∶（4x－50）＝4∶3 （4x－50）×4＝（5x－60）×3 16x－200＝15x－180 16x－200－15x＋200＝15x－180－15x＋200 x＝20 20×5＋20×4 ＝100＋80 ＝180（人） 答：参加这次消防知识大赛的六年级学生共180人。 【考点剖析】关键是理解比的意义，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 考点讲练十四 自行车里的数学 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）自行车的工作原理是脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后轮转动。轩轩的自行车前齿轮有32个齿，后齿轮有16个齿，他蹬一圈脚踏板，后轮会转2圈。如果自行车的车轮周长约为2米，那么骑行一千米需要蹬脚踏板( )圈。 【答案】250 【思路引导】先算蹬1圈脚踏板前进的距离，再用总距离除以单圈距离得到需要蹬的圈数。 【规范解答】1千米＝1000米 1000÷（2×2） ＝1000÷4 ＝250（圈） 那么骑行一千米需要蹬脚踏板250圈。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）淘淘家有一辆变速自行车，这辆自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和40个；4个后齿轮，它们的齿数分别是28个、20个、16个、14个。这辆自行车能变换出( )种不同的速度。如果这辆自行车的车轮直径是70厘米，蹬一圈，能蹬出的最远距离是( )米。（π取3） 【答案】 8 7.2 【思路引导】（1）先根据比的意义写出每种组合的前、后齿轮的齿数比，再化简比，得出这辆自行车能变换出几种不同的速度。 （2）蹬一圈自行车走的距离＝车轮的周长×，车轮的周长一定（同一辆自行车），所以的比值越大（也就是前齿轮的齿数越多，后齿轮的齿数越少），蹬同样的圈数，自行车走得越远。所以前齿轮齿数是48个，后齿轮齿数是14个时，蹬一圈，能蹬出最远距离。先用求出车轮的周长，再用周长乘即可求出蹬一圈，能蹬出的最远距离。 【规范解答】（1）① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 所以这辆自行车能变换出8种不同的速度。 （2） （厘米） 720厘米＝7.2米 即蹬一圈，能蹬出的最远距离是7.2米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·山西忻州·期中）自行车的两个齿轮，通过链条转动，一辆自行车的大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转12圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？（用比例来解） 【答案】30圈 【思路引导】在同一时间内，自行车的两个齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 20＝50×12 20＝600 ＝600÷20 ＝30 答：小齿轮每分钟转30圈。 1．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）2023年第三艘航空母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在A4纸上，选择用（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶40 B．1∶400 C．1∶4000 D．1∶40000 【答案】C 【思路引导】先把航母的长度320米换算成厘米，由“图上距离÷实际距离＝比例尺”可得“图上距离＝实际距离×比例尺”，再将图上距离和A4纸的长30厘米比较，看是否适合在A4纸上画出。 【规范解答】320米＝32000厘米 A．（厘米），图上距离800厘米远大于30厘米，A4纸装不下 B．（厘米），图上距离80厘米远大于30厘米，A4纸装不下 C．（厘米），图上距离8厘米能在A4纸上画出，比例尺“1∶4000”比较合适。 D．（厘米），图上距离0.8厘米太小，不适合。 2．（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）下图中，两个量m和n成反比例关系的是（    ）。 A．线段总长为1 B．圆柱体积为1 C．长方体体积为1 D．三角形面积为1 【答案】D 【思路引导】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】A．m＋n＝1（一定），和一定，则m和n不成比例； B．由圆柱的体积公式可得：π×m2×n＝1，则m×n＝（不一定），乘积不一定，则m和n不成比例； C．由长方体的体积公式可得：m×n×n＝1，则m×n＝（不一定），乘积不一定，则m和n不成比例； D．由三角形的面积公式可得：n×m÷2＝1，则n×m＝1×2＝2（一定），乘积一定，则m和n成反比例关系。 故答案为：D 3．（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）“天下大事必作于细”，工匠精神是我国制造前行的精神源泉。某精密零件长3mm，为保证精准，画在图纸上长6cm。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．1∶20 C．20∶1 D．2∶1 【答案】C 【思路引导】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】3mm＝0.3cm 6∶0.3 ＝（6×10）∶（0.3×10） ＝60∶3 ＝（60÷3）∶（3÷3） ＝20∶1 “天下大事必作于细”，工匠精神是我国制造前行的精神源泉。某精密零件长3mm，为保证精准，画在图纸上长6cm。这幅图纸的比例尺是20∶1。 故答案为：C 4．（24-25六年级下·湖北孝感·期中）一个圆柱和一个圆锥体，底面积比是16∶9，它们的体积比是2∶3，那么圆柱和圆锥高的最简整数比是（    ）。 A．1∶8 B．3∶8 C．8∶1 D．8∶3 【答案】A 【思路引导】利用公式求出两者高，进而得到高的最简整数比。涉及圆柱体积公式V柱＝S柱h柱（V柱为圆柱体积，S柱为圆柱底面积，h柱为圆柱高）、圆锥体积公式V锥＝S锥h锥（V锥为圆锥体积，S锥为圆锥底面积，h锥为圆锥高），借助设数将比例转化为具体值来计算。 【规范解答】设数表示底面积和体积 设圆柱底面积S柱＝16，圆锥底面积S锥＝9；圆柱体积V柱＝2，圆锥体积V锥＝3 。利用设数把底面积、体积的比例关系转化为具体数值，简化后续计算。 求圆柱的高 由圆柱体积公式V柱＝S柱h柱，变形得h柱＝ 将V柱＝2，S柱＝16代入，h柱＝＝。 求圆锥的高 由圆锥体积公式V锥＝S锥h锥，变形得h锥＝ 将V锥＝3，S锥＝9代入，h锥＝＝1 。 求圆柱与圆锥高的比 圆柱与圆锥高的比为h柱∶h锥＝∶1 。 根据比的基本性质，前项、后项同乘8，得（×8）∶（1×8）＝1∶8 。 故答案为：A 【考点剖析】关键在于活用圆柱、圆锥体积公式，用设数法把比例转化为具体量，结合比的化简求出高的比，理解公式变形和比的运算对解题至关重要。 5．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【规范解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 6．（24-25六年级下·江西九江·期中）在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是( )；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是( )。 【答案】 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，如果两个内项互为倒数，则两个内项之积等于1，用1÷3.5即可求出另一个外项。最小的质数是2，即一个内项是2，用1÷2求出另一个内项，然后写出比例即可。 【规范解答】另一个外项：1÷3.5 ＝1÷ ＝1× ＝ 1÷2＝ 比例可能为：（答案不唯一） 7．（24-25六年级下·江西九江·期中）如果（、均不为0），那么和成( )比例关系；如果（、均不为0），那么和成( )比例关系。 【答案】 正 反 【思路引导】通过等式变形判断x和y的比值是否一定（正比例）或乘积是否一定（反比例）。 【规范解答】（1）给等式两边同时除以y，得到3x÷y＝4，再给等式两边同时除以3，得到x÷y＝。因为x与y的比值，是固定不变的，所以x和y成正比例关系。 （2）给等式两边同时乘y，得到，再给等式两边同时乘5，得到。因为x与y的乘积15，是固定不变的，所以x和y成反比例关系。 8．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如果A∶5＝4∶B，那么A和B成( )比例；如果A∶5＝B∶4（A、B均不为0），那么A和B成( )比例。 【答案】 反 正 【思路引导】反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定。 正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且比值一定。 【规范解答】①根据比例的基本性质（内项积等于外项积）： 乘积为定值（20），符合反比例的定义。 所以A和B成反比例。 ②根据比例的基本性质： 比值为定值（），符合正比例的定义。 所以A和B成正比例。 9．（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 【答案】/ 【思路引导】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【规范解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【考点剖析】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 10．（23-24六年级下·广东佛山·期中）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有( )袋，乙堆水泥原来有( )袋。 【答案】 150 100 【思路引导】根据“甲堆水泥比乙堆多50袋”，可以设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。 把甲堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走80%，则甲堆还剩下原有水泥的（1－80%），根据百分数乘法的意义可知，甲堆还剩下（1－80%）（＋50）袋； 把乙堆原有的水泥袋数看作单位“1”，运走，则乙堆还剩下原有水泥的（1－），根据分数乘法的意义可知，乙堆还剩下（1－）袋； 等量关系式：甲堆剩下的水泥袋数∶乙堆剩下的水泥袋数＝6∶5，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】解：设乙堆原有水泥袋，则甲堆原有水泥（＋50）袋。 （1－80%）（＋50）∶（1－）＝6∶5 0.2（＋50）∶0.25＝6∶5 （0.2＋10）∶0.25＝6∶5 0.25×6＝（0.2＋10）×5 1.5＝＋50 1.5－＝50 0.5＝50 ＝50÷0.5 ＝100 甲原有：100＋50＝150（袋） 甲堆水泥原来有150袋，乙堆水泥原来有100袋。 【考点剖析】本题主要考查比例的应用，从题目中找出等量关系，按等量关系列出比例方程是解题的关键。 11．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）在一幅比例尺是1∶6000的图上，甲、乙两地的图上距离是9cm。那么在另一幅比例尺是1∶4000的图上，甲、乙两地的图上距离是8cm。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】甲、乙两地的实际距离不变，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的实际距离，再根据另一幅图的比例尺利用“图上距离＝实际距离×比例尺”求出甲、乙两地的图上距离。 【规范解答】9÷ ＝9×6000 ＝54000（cm） 54000×＝13.5（cm） 所以，甲、乙两地的图上距离是13.5cm，而不是8cm，题目说法错误。 故答案为：× 12．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】图形的放大或缩小是指各边按比例变化，而角度保持不变。放大后的图形与原图形是相似图形，形状相同，大小不同。 【规范解答】根据分析可知，一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。 原题干说法正确。 故答案为：√ 13．（24-25六年级下·广东揭阳·期中）线段比例尺千米，改成数值比例尺是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离50千米，根据数值比例尺的公式比例尺＝图上距离∶实际距离，计算前先统一单位，据此判断。 【规范解答】 线段比例尺千米，改成数值比例尺是。原题说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25六年级下·山东济宁·期中）解比例。          【答案】；；x＝1.35 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，先写成的形式，化简方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 （2）先把小数转化为分数，再根据比例的基本性质，先写成的形式，化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以求解。 （3）根据比例的基本性质，先写成4x＝0.6×9的形式，化简方程，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4求解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解：4x＝0.6×9 4x＝5.4 4x÷4＝5.4÷4 x＝1.35 15．（24-25六年级下·江西南昌·期中）在比例尺1∶5000000的地图上，量得两地的距离是6cm。甲、乙两车同时从两地相对开出，3小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是3∶2，那么甲、乙两车的速度分别是多少？ 【答案】60千米/时；40千米/时 【思路引导】根据比例尺“图上距离÷实际距离＝比例尺”变形得“图上距离÷比例尺＝实际距离”计算出实际距离，算出实际距离后将实际距离的单位转换为千米，再用实际距离除以相遇时间求出速度和，最后按速度比3∶2分配，甲占，乙占，再用速度和乘对应的分率即可求出甲和乙的速度。 【规范解答】比例尺：1∶5000000＝ 6÷＝6×5000000＝30000000（cm） 30000000÷100000＝300（km） 300÷3＝100（千米/时） 甲车：100×＝100×＝60（千米/时） 乙车：100－60＝40（千米/时） 答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时。 16．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，客车每小时行100千米，货车每小时行的路程是客车的80%，经过4小时两车相遇。在一幅地图上量得A、B两地之间的公路长12厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 【答案】1∶6000000 【思路引导】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。先用“100×80%”求出货车的速度，再根据“（客车速度＋货车速度）×相遇时间”求出公路的实际长度。用地图上的公路长度∶公路的实际长度即得地图的比例尺。 【规范解答】100×80%＝80（千米/时） （100＋80）×4 ＝180×4 ＝720（千米） 720千米＝72000000厘米 12∶72000000＝1∶6000000 答：这幅地图的比例尺是1∶6000000。 17．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）当酸梅原汁和水的体积的比是4∶6时，酸梅汤口感最佳。小明往调制盆里先倒入240毫升的酸梅原汁，然后再加入540毫升的水。如果使口感最佳，小明应该再往调制盆里加多少毫升的酸梅原汁？（用比例解答） 【答案】120毫升 【思路引导】小明往调制盆里先倒入240毫升的酸梅原汁，然后再加入540毫升的水，要使口感最佳，需要加入的酸梅原汁与水的体积比是4∶6，设再加x毫升酸梅原汁，根据总酸梅原汁与水的体积540毫升比是4∶6，列比例解答。 【规范解答】解：设再加x毫升酸梅原汁 答：小明应该再往调制盆里加120毫升的酸梅原汁。 18．（24-25六年级下·山东聊城·期中）把一块长与宽的比是5∶3的长方形地按1∶2000的比例尺画在一幅设计图上，在这幅设计图上量得这块地的周长是192厘米。这块地的实际面积是多少平方米？ 【答案】864000平方米 【思路引导】首先根据图上的周长192厘米，长与宽的比是5∶3，求图上的长和宽，其次根据比例尺，求实际的长和宽，最后根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可。 【规范解答】步骤1：根据图上周长和长宽比，求图上的长和宽，已知设计图上长方形的周长是192厘米，且长与宽的比是5∶3。 首先，根据长方形周长公式周长＝2×（长＋宽），可求出图上“长＋宽”的和： 图上长＋图上宽＝周长÷2＝192÷2＝96（厘米）。 其次，按 5∶3 的比例分配“长＋宽”的和（总份数＝5＋3＝8份）： 1 份的长度＝96÷8＝12（厘米） 图上长＝5×12＝60（厘米） 图上宽＝3×12＝36（厘米） 步骤 2：根据比例尺，求实际的长和宽。比例尺为1∶2000，含义是“图上1厘米对应实际2000厘米”。需先将实际长度的单位从 “厘米”换算为“米”（1米＝100 厘米）： 实际长＝图上长×2000＝60×2000＝120000（厘米）＝ 1200（米） 实际宽＝图上宽×2000＝36×2000＝72000（厘米）＝ 720（米） 步骤 3：计算实际面积长方形面积公式为 面积＝长×宽，代入实际长和宽： 实际面积＝1200×720＝864000（平方米） 答案：这块地的实际面积是864000平方米。 【考点剖析】要计算这块长方形地的实际面积，需遵循“先求图上尺寸→再求实际尺寸→最后算实际面积” 的步骤。 19．（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【答案】小时 【思路引导】由题意可知，一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时，根据灯泡亮的时间与电池毫安数成正比，可用1000÷5求出比值200，再用电池毫安数除以比值可求出灯泡亮的时间；题目中小明用了一个1500毫安的电池的时候，是在电路中串联了两个相同的灯泡，即1500毫安的电量要平均分给两个灯泡使用，可用1500除以2，得到供每个灯泡使用的电池毫安数，再除以比值200，即可得解。 【规范解答】 （小时） 答：每个灯泡可以亮小时。 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【规范解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点剖析】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+14个考点讲练+真题提优练 共62题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 考点讲练八 反比例的应用 考点讲练二 比例的基本性质 考点讲练九 比例尺的意义 考点讲练三 解比例 考点讲练十 比例尺应用 考点讲练四 正比例的意义及辨识 考点讲练十一 应用比例尺画图 考点讲练五 正比例图象的认识 考点讲练十二 图形的放大与缩小 考点讲练六 正比例的应用 考点讲练十三 比例的应用 考点讲练七 反比例的意义及辨识 考点讲练十四 自行车里的数学 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）队旗是少先队组织的标志。大队旗长120厘米、宽90厘米，长和宽的比是( )，中队旗长80厘米、宽60厘米，长和宽的比是( )，这两个比( )组成比例（填“能”或“不能”），请写出比例或理由( )。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·河北邢台·期中）一个比例的两个内项均为6，两个比的比值都是2，这个比例是( )。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济宁·期中）如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）甲数的正好与乙数的相等（甲乙两数均不为0），甲乙两数的比是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）如图，在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型。如果圆的半径为a，扇形的半径为b，那么a∶b为（ ）。 A．1∶4 B．1∶3 C．2∶7 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）解比例。          【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）解比例。             【变式2】（难度：☆☆☆☆）如图，等腰梯形ABCD被对角线分4个小三角形，已知△AOB、△BOC的面积分别是25cm2、35cm2，那么梯形的面积是( )cm2。 考点讲练四 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）下图展示了一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例。照这样计算，4.5小时行驶( )千米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： （1）甲车行驶的路程与时间成______比例关系。 （2）乙车1.5小时行驶______千米。 （3）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇，A、B两地相距多少千米？ 【变式2】（难度：☆☆☆）如图A（8，4）、B（20，10）是直线l上的两个点。（单位：厘米） （1）如果C点（，45）也在l这条直线上，则＝（      ）。 （2）直线l上的点P（，），和成（      ）比例。 （3）用点A、B和D（z，4）构成一个等腰三角形（z是一个整数），这个三角形绕它的对称轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？ 考点讲练五 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北廊坊·期中）已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个榨油厂用5台同样的榨油机每天榨油45吨。 （1）把题中两种量的关系在下面的方格纸上表示出来。 （2）题中一定的量是（    ）。 （3）榨油机的台数和每天榨油的吨数成正比例吗？为什么？ （4）照这样计算，14台这样的榨油机每天榨油多少吨？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）科学实验课上，明明正在学习弹簧测力计的使用。经过多次实验他发现，这种弹簧测力计挂上不同质量的物体时（物体质量200克以内），弹簧的总长度和物体的质量关系如下表所示。 弹簧总长度/cm 6 8 10 12 14 … 物体质量/g 0 20 40 60 80 … （1）请你计算一下，当弹簧测力计挂上120克物体时，弹簧总长度是多少厘米？ （2）在下图中描出表示弹簧伸长长度与物体质量所对应的点，然后把它们连起来并延长。 （3）综合以上信息进行分析，测量200克以内物体时弹簧伸长长度和所挂物体质量是否成正比例？说说你的理由。 考点讲练六 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①   ②30：        ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广西贵港·期中）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。亮亮的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中亮亮记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表： 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 … 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 … （1）观察上表的数据，耗电量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）汽车电池充满后有60千瓦时，要行驶350千米，够吗？ 【变式2】（难度：☆☆☆）在上午某一时刻，身高1.7米的小桐在地面上的影子长3.4米，小桐测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米长的影子落在墙上，由此可知，旗杆高( )米。 考点讲练七 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）下面说法不正确的是（    ）。 A．订阅的《新华字典》的本数与总钱数成正比例关系 B．同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例关系 C．长方形的周长一定，长和宽成反比例关系 D．给房间地面铺砖，每块砖的面积与铺的块数成反比例关系 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南信阳·期中）红红的妈妈用微信扫码租了一辆共享单车。红红数了数，这辆共享单车的前齿轮齿数是28个，后齿轮齿数是16个，经测量，车轮直径为66厘米。红红知道妈妈的公司与家的距离大约是1500米，红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬多少圈呢？（结果保留整数） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）某大型商场正逢周年庆典，所有服装都打同样的折扣销售。 （1）妈妈买了一件风衣，原价480元，现价360元。妈妈又选中一条裙子，现价240元，这条裙子原价多少钱？ （2）李阿姨手里的现金如果买现价120元一条的裤子，正好可以买5条。如果用这些钱来买原价200元一件的衬衫，能买多少件？ 考点讲练八 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）中心小学为美化环境，用边长6分米的方砖给教室铺地，需要84块。如果改用面积为16平方分米的方砖铺地，需要多少块砖？（用比例解答） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·天津南开·期末）客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车3小时后到达甲乙两地中点，继续行驶，又过了一个小时，货车到达甲乙两地中点，这时货车开始提速，速度比原来提高了20%，当客车到达乙地时，货车行驶了全程的几分之几？ 考点讲练九 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·四川绵阳·期中） 是( )比例尺，它表示实际距离相当于图上距离的( )倍，用数值比例尺表示是( )。在一幅图上量得一个圆形水池的半径是0.6cm，这个水池的实际占地面积是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）郑州园博园规划为“一园三区”，包括园博园（园博园A区）、双鹤湖中央公园（园博园B区）、苑陵故城遗址公园（园博园C区），总面积6180亩，大约相当于13.6个人民公园。 （1）苑陵故城遗址公园（园博园C区）到双鹤湖中央公园（园博园B区）的距离约是11千米，在一幅地图上量得这两个园区的距离是2.2厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）这三个园区的位置大致如下：园博园（园博园A区）在苑陵故城遗址公园（园博园C区）的南偏东45°方向约3千米处；双鹤湖中央公园（园博园B区）在园博园（园博园A区）的南偏西15°方向约9千米处。根据以上信息，在空白处分别画出这三个园区的大致位置。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 考点讲练十 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西抚州·期中）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·广东中山·期中）在比例尺1∶5000000的地图上，量得甲乙两地距离为12厘米。如果一列火车以每小时150千米的速度从甲地开往乙地，几小时可到达？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两地间公路全长是12厘米。一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少千米/时？ 考点讲练十一 应用比例尺画图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：一辆汽车从A城开往B城。 （1）从A城到B城的实际路程是______千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶90千米，______小时能从A城到达B城。 （3）C城在D城的南偏东60°方向，到D城的实际距离约60千米，请你在图中标出C城的位置。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）小美家正东方向900米是服装店，服装店正南方向450米是饭店。请你画出服装店和饭店的平面图。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）法制广场要建一个外圆直径是12米，内圆直径是9米的圆环喷水池。请在下图中画出圆环喷水池的平面图。（比例尺1∶300） 这个圆环喷水池的实际面积是（           ）平方米。 考点讲练十二 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）某体育中心要建一个比赛通道，形状为直角三角形，两条直角边分别为180米和120米。下面的方格中，每一小格的边长表示1厘米。请你按照要求在下面的方格中画图。 （1）按1∶3000的比例尺画出比赛通道的平面示意图。（在下面写出计算过程） （2）将图中的这个直角三角形按1∶2缩小，画出缩小后的图形；缩小后的三角形和原来的三角形周长之比为（    ）；面积之比为（    ）。 （3）缩小后的三角形，以较长直角边所在的直线为轴旋转一周，形成的图形是（    ）形状，它的体积是（    ）立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济南·期中）按要求画一画。 （1）以直线MN为对称轴作图形A的轴对称图形，得到图形B。 （2）画出图形B绕点O顺时针旋转90°后得到的图形C。 （3）画出图形C向上平移4格，再向右平移3格后得到的图形D。 （4）将图形D放大，使新图形E与原图形D对应线段长的比为2∶1。 【变式2】（难度：☆☆☆）下面的方格图，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。 （1）画出图形A按2∶1放大后的图形。 （2）如果以图形A的一条直角边为轴旋转一周，形成一个（      ），它的体积是（                ）立方厘米。 考点讲练十三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·河北邢台·期中）贝贝在购买奶茶时，她发现营业员把40克奶茶粉和300克热水放到杯子里搅拌均匀，这时杯中未满，营业员又往杯中加入了90克热水。要想保持口感不变，还需要加上多少克奶茶粉？（用比例解） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）快乐出发。 为了更好地欣赏旅途中的风景，享受旅行带来的快乐，聪聪一家决定自驾来我们美丽的黄山，他们一家上午9：00从家出发，为了避免疲劳驾驶，爸爸在某个高速休息区休息时看时间显示是中午12：18，里程表显示行驶了330千米，休息40分钟后，按这个速度行驶到黄山共行驶600千米。 (1)在车轮周长固定的情况下，行驶路程与车轮转数（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 (2)聪聪一家开车到黄山一共用多长时间？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是。获奖的共110人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是。参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？ 考点讲练十四 自行车里的数学 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）自行车的工作原理是脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后轮转动。轩轩的自行车前齿轮有32个齿，后齿轮有16个齿，他蹬一圈脚踏板，后轮会转2圈。如果自行车的车轮周长约为2米，那么骑行一千米需要蹬脚踏板( )圈。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）淘淘家有一辆变速自行车，这辆自行车有2个前齿轮，齿数分别是48个和40个；4个后齿轮，它们的齿数分别是28个、20个、16个、14个。这辆自行车能变换出( )种不同的速度。如果这辆自行车的车轮直径是70厘米，蹬一圈，能蹬出的最远距离是( )米。（π取3） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·山西忻州·期中）自行车的两个齿轮，通过链条转动，一辆自行车的大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分钟转12圈，那么小齿轮每分钟转多少圈？（用比例来解） 1．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）2023年第三艘航空母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在A4纸上，选择用（    ）的比例尺比较合适。 A．1∶40 B．1∶400 C．1∶4000 D．1∶40000 2．（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）下图中，两个量m和n成反比例关系的是（    ）。 A．线段总长为1 B．圆柱体积为1 C．长方体体积为1 D．三角形面积为1 3．（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）“天下大事必作于细”，工匠精神是我国制造前行的精神源泉。某精密零件长3mm，为保证精准，画在图纸上长6cm。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．1∶20 C．20∶1 D．2∶1 4．（24-25六年级下·湖北孝感·期中）一个圆柱和一个圆锥体，底面积比是16∶9，它们的体积比是2∶3，那么圆柱和圆锥高的最简整数比是（    ）。 A．1∶8 B．3∶8 C．8∶1 D．8∶3 5．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·江西九江·期中）在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是( )；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是( )。 7．（24-25六年级下·江西九江·期中）如果（、均不为0），那么和成( )比例关系；如果（、均不为0），那么和成( )比例关系。 8．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如果A∶5＝4∶B，那么A和B成( )比例；如果A∶5＝B∶4（A、B均不为0），那么A和B成( )比例。 9．（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 10．（23-24六年级下·广东佛山·期中）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有( )袋，乙堆水泥原来有( )袋。 11．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）在一幅比例尺是1∶6000的图上，甲、乙两地的图上距离是9cm。那么在另一幅比例尺是1∶4000的图上，甲、乙两地的图上距离是8cm。( )（判断对错） 12．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）一个三角形按5∶1图形放大后，大小发生了变化，形状不变。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·广东揭阳·期中）线段比例尺千米，改成数值比例尺是。( )（判断对错） 14．（24-25六年级下·山东济宁·期中）解比例。          15．（24-25六年级下·江西南昌·期中）在比例尺1∶5000000的地图上，量得两地的距离是6cm。甲、乙两车同时从两地相对开出，3小时相遇，已知甲、乙两车的速度比是3∶2，那么甲、乙两车的速度分别是多少？ 16．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）一辆客车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，客车每小时行100千米，货车每小时行的路程是客车的80%，经过4小时两车相遇。在一幅地图上量得A、B两地之间的公路长12厘米。这幅地图的比例尺是多少？ 17．（25-26六年级上·河北石家庄·期中）当酸梅原汁和水的体积的比是4∶6时，酸梅汤口感最佳。小明往调制盆里先倒入240毫升的酸梅原汁，然后再加入540毫升的水。如果使口感最佳，小明应该再往调制盆里加多少毫升的酸梅原汁？（用比例解答） 18．（24-25六年级下·山东聊城·期中）把一块长与宽的比是5∶3的长方形地按1∶2000的比例尺画在一幅设计图上，在这幅设计图上量得这块地的周长是192厘米。这块地的实际面积是多少平方米？ 19．（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 20．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $