第三单元 圆柱和圆锥 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学六年级下册

第三单元 圆柱和圆锥 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 圆柱与圆锥的本质深化 课本核心：圆柱有2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面；圆锥有1个圆形底面和1个曲面侧面，顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 奥数拓展： ① 形成原理：圆柱由长方形绕一条边旋转而成，圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，旋转轴决定高与底面半径。 ② 核心关系（奥数必考）：等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的。 ③ 公式变形：已知体积、底面积反求高；已知体积、高反求底面积，灵活拆解公式。 2. 公式的奥数应用（重点） 圆柱核心公式 侧面积： 表面积：（无盖圆柱：） 体积： 圆锥核心公式 体积： 奥数拓展： ① 体积比例：等底等体积→圆锥高是圆柱的3倍；等高等体积→圆锥底面积是圆柱的3倍。 ② 表面积增减：圆柱切割/拼接会增加/减少圆形/长方形面，需精准计算新增面的面积。 ③ 体积转化：熔铸、浸没、挤压时，形状改变，体积不变。 二、奥数易错点提醒 1.体积关系遗漏：计算圆锥体积时，忘记乘，是最常见失分点。 2.表面积算错面数：无盖圆柱、切割后圆柱，易多算/漏算底面，竖切圆柱易忽略新增长方形面。 3.单位不统一：长度、面积、体积单位混用（如厘米与米、立方厘米与升），计算前必须统一单位。 4.旋转体判断错误：绕不同边旋转，底面半径和高会互换，需明确旋转轴。 5.浸没问题混淆：未判断物体是否完全浸没，直接用上升水体积算物体体积。 三、奥数解题口诀 圆柱圆锥旋转成，底高对应要分清； 等底等高三倍差，圆锥体积乘三分。 表面积算切拼面，横增两底竖增方； 熔铸浸没体积定，单位统一不慌张。 比例问题找等量，底高反算三倍量； 公式变形灵活用，奥数解题不迷茫。 考点讲解 考点1：圆柱与圆锥的体积关系（最常考） 核心思路：牢牢抓住等底等高、等底等体积、等高等体积三种等量关系，通过公式推导求解底面积、高、体积。 典型例题：一个圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥大24立方厘米，求圆锥体积。 解题： → 立方厘米。 奥数变式：一个圆柱和圆锥体积相等、底面积相等，圆柱高6厘米，圆锥高多少厘米？ 答案：厘米。 考点2：圆柱表面积的切割与拼接（变式题） 核心思路： ① 圆柱横切（平行于底面）：每切一次增加2个底面积； ② 圆柱竖切（沿底面直径）：切一次增加2个长方形面（长=圆柱高，宽=底面直径）； ③ 圆柱拼接：每拼一次减少2个接触面面积。 典型例题：一个底面半径5厘米的圆柱，沿直径竖切成两半，表面积增加120平方厘米，求圆柱高。 解题：新增2个长方形，单个面积平方厘米，高厘米。 考点3：体积转化问题（奥数提升） 核心思路：熔铸、物体浸没、形状挤压，体积始终不变，用“不变量”列等式计算。 常用技巧： ① 熔铸：金属熔铸成圆柱/圆锥，原体积=新体积； ② 浸没：完全浸没物体体积=容器内上升/下降水的体积； ③ 挤压：正方体捏成圆柱/圆锥，体积相等。 典型例题：把棱长6厘米的正方体熔铸成底面半径3厘米的圆锥，求圆锥高。 解题：正方体体积立方厘米，厘米。 考点4：旋转体与比例探究（奥数难点） 核心思路：长方形/直角三角形绕不同边旋转，得到不同圆柱/圆锥，通过半径、高的比例推导体积比例。 典型例题：直角三角形两条直角边为3cm、4cm，分别绕两条直角边旋转成圆锥，求体积比。 解题：绕3cm转→，；绕4cm转→，；体积比。 真题训练 1．将一个圆锥形铁块熔铸成一个和它底面积相等的圆柱形铁块，圆柱铁块的高（    ）。 A．等于圆锥形铁块的高 B．等于圆锥形铁块高的 C．等于圆锥形铁块高的3倍 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先明确圆锥和圆柱体积相等，底面积也相等，再根据体积公式列等式求解圆柱的高。 【详解】圆柱体积公式：V圆柱＝S×h圆柱（S为底面积，h圆柱为圆柱的高）；圆锥体积公式：V圆锥＝×S×h圆锥（S为底面积，h圆锥为圆锥的高）。 因为铁块熔铸前后体积不变，且圆柱与圆锥底面积相等（设为S）。 所以V圆柱＝V圆锥，即S×h圆柱＝×S×h圆锥。 等式两边同时除以S（底面积相等，可约去），得：h圆柱＝×h圆锥。 因此，圆柱铁块的高等于圆锥形铁块高的。 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．1∶2π D．2π∶1 【答案】A 【分析】通常情况下，圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高；根据题意，这个圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱底面周长等于圆柱的高；根据圆柱的底面周长公式C＝πd，表示出底面直径与高的比，再化简即可解答。 【详解】d∶C ＝d∶（πd） ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 所以，这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 3．实验室里，小丽制作了一个装着液体的圆柱形容器和四个不同规格的圆锥形容器，尺寸如下。她想把圆柱形容器内的液体全部倒入一个圆锥形容器中，刚好倒满，应该选择（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆柱的底面直径求出圆柱的底面半径，根据圆柱体积公式V圆柱＝πr2h求出圆柱容器内液体的体积，再根据圆锥体积公式V圆锥＝πr2h分别计算四个圆锥形容器的容积，最后将圆柱内液体的体积和四个圆锥的容积进行对比，找到容积与圆柱体积相等的圆锥。 【详解】圆柱体积：π×（10÷2）2×6 ＝π×52×6 ＝π×25×6 ＝150π A．π×（10÷2）2×18 ＝π×52×18 ＝π×25×18 ＝150π B．π×（12÷2）2×18 ＝π×62×18 ＝π×36×18 ＝216π C．π×（10÷2）2×15 ＝π×52×15 ＝π×25×15 ＝125π D．π×（8÷2）2×20 ＝π×42×20 ＝π×16×20 ＝π 她想把圆柱形容器内的液体全部倒入一个圆锥形容器中，刚好倒满，应该选择。 4．一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”这五种图形中的（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形，长方体从前面看可能是一个正方形；正方体有6个面，6个面都是正方形，正方体从前面看一定是一个正方形；当圆柱的底面直径和高相等时，从前面看是一个正方形；球体从前面看是一个圆形；圆锥体从前面看可能是三角形或者圆形，据此解答。 【详解】分析可知，一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”中的长方体、正方体或者圆柱体，一共3种。 故答案为：B 5．一款“几何形状配对玩具”的面板从正面看有四个窟窿，如图所示。有一块积木既能塞满正方形窟窿，又能塞满圆形窟窿，这块积木的形状可能是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的视图特征，需要判断每个选项中的立体图形的视图能否与题目中的正方形和圆形窟窿相匹配。 【详解】由分析可得：圆柱从正面和侧面观察，视图为长方形或正方形；从上面观察，视图为圆形。所以圆柱能够满足既能出现正方形视图又能出现圆形视图的要求。 故答案为：C 6．请你制作一个无盖圆柱形水桶，有如下所示几种型号的铁皮可供搭配选择，在不浪费铁皮材料的情况下，你选择的材料是（    ）（π取3.14）。 A．1号和2号 B．1号和4号 C．2号和3号 D．3号和4号 【答案】C 【分析】要做无盖的圆柱形水桶，选的两个面一个是侧面一个是底面，底面是圆形，侧面是长方形，先计算底面周长，再选侧面。 【详解】选2号当底面，4×3.14＝12.56（分米）；可选2号和3号； 选4号当底面， 3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（分米），没有合适的侧面。 故答案为：C 7．如图，一个玻璃杯，杯口内直径是4cm，总深11.8cm，圆柱部分高7.3cm。把玻璃杯装满水倒入一个内直径为8cm的圆柱形茶杯后，茶杯中的水深（    ）cm。 A．2 B．2.2 C．3.8 D．4 【答案】B 【分析】玻璃杯由圆柱部分和圆锥部分组成，且等底，已知底面直径为4cm，那么半径为4÷2＝2cm。圆柱的高为7.3cm，总高为11.8cm，所以圆锥的高为11.8－7.3＝4.5cm。 圆柱体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为圆柱底面半径，h为圆柱的高），圆锥体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为圆锥底面半径，h为圆锥高）。把数据分别代入公式计算后再相加即可得出玻璃杯的体积。 圆柱体积公式为V＝πr2h，则h＝V÷π÷r2，圆柱形茶杯杯口内直径是8cm，则半径为8÷2＝4cm，把计算得出的体积和杯口半径代入公式计算即可解答。 【详解】4÷2＝2（cm） 11.8－7.3＝4.5（cm） 3.14×22×7.3＋×3.14×22×4.5 ＝3.14×4×7.3＋×3.14×4×4.5 ＝91.688＋18.84 ＝110.528（cm3） 8÷2＝4（cm） 110.528÷3.14÷42 ＝110.528÷3.14÷16 ＝2.2（cm） 茶杯中的水深2.2cm。 故答案为：B 8．如图两个杯子中均装有一定量的开水（阴影部分），如果把35g糖溶解于水中，哪杯的水甜一些？（杯子厚度忽略不计）（    ） A．①杯 B．②杯 C．一样甜 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断哪杯的水甜一些，先分别求出两个杯子中水的体积，然后进行比较，水少的含糖率就高，水就更甜一些，据此解答。 【详解】圆柱杯里的水的体积： （cm3） 长方体杯里的水的体积：（cm3） 如果把35g糖溶解于水中，①杯的水甜一些。 故答案为：A 9．一个圆柱与它等底、等高的圆锥的体积之和为36dm3，圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 27 9 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍。 【详解】36÷（3＋1） ＝36÷4 ＝9（dm3） 9×3＝27（dm3） 圆柱的体积是27dm3，圆锥的体积是9dm3。 10．一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺( )米长。 【答案】2.4 【分析】根据圆锥体积公式为×底面积×高先算出沙石堆的体积，再利用铺路后沙石的长方体体积与圆锥体积相等的关系，用体积除以公路的宽和高即可求出长度。 【详解】×12×1.2＝4×1.2＝4.8（立方米） 4.8÷10÷0.2＝2.4（米） 因此，能铺2.4米长。 11．一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是2厘米，这个圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 50.24 25.12 【分析】，圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面积＝，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；体积。 【详解】半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 底面积：3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 侧面积：12.56×2＝25.12（平方厘米） 表面积：25.12＋12.56×2 ＝25.12＋25.12 ＝50.24（平方厘米） 体积：12.56×2＝25.12（立方厘米） 12．把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是( )dm。 【答案】9 【分析】因为，，熔铸前后体积不变，所以，即，两边同时乘3后再除以圆锥的底面积可得圆锥的高：＝，代入圆柱的底面积、圆柱的高、圆锥的底面积公式即可求出熔铸后圆锥的高。 【详解】3×6.28×6÷12.56 ＝18.84×6÷12.56 ＝113.04÷12.56 ＝9（dm） 13．一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮( )，这个水桶的容积是( )。（铁皮厚度及连接处忽略） 【答案】 103.62 113.04 【分析】无盖水桶的铁皮面积包括“1个圆形底面积和侧面积”，依据圆的面积公式求出底面的面积，再依据计算出侧面面积，最后再将两者相加即可；再依据计算出水桶的容积。 【详解】r＝6÷2＝3（dm） （） 3.14×6×4＝75.36（） 75.36＋28.26＝103.62（） 28.26×4＝113.04（） 14．一个圆柱和圆锥的组合容器（如图），该容器的圆锥部分装满水，水的体积是12.56毫升，如果将这个容器倒过来放置，此时水深( )厘米。 【答案】1 【分析】由题意知：图中圆锥和圆柱的底面积相等，且圆锥的体积＝水的体积＝12.56毫升；且将容器倒置前后，水的体积不变。 结合圆柱和圆锥的体积公式知：圆柱和圆锥的底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱的3倍。所以圆锥的高÷3＝倒置之后的水深。 【详解】3÷3＝1（厘米） 所以如果将这个容器倒过来放置，此时水深1厘米。 15．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 169.56 56.52 【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6cm，高也是6cm，可利用圆柱的体积公式V＝Sh求得圆柱的体积；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘。 【详解】圆柱底面半径：6÷2＝3（cm） 圆柱体积： 3.14×32 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 圆锥体积：169.56×＝56.52（cm3） 所以，圆柱的体积是169.56cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是56.52cm3。 16．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为______。 【答案】4∶3 【分析】，可把看作4，看作3。根据题意可知，绕旋转一周得到圆锥甲，甲圆锥的底面半径是4，高是3；绕旋转一周得到圆锥乙，乙圆锥的底面半径是3，高是4，根据圆锥的体积公式：，把数据分别代入公式求出甲、乙两个圆锥的体积，然后根据比的意义，求出甲、乙两个圆锥体积的比。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∶ ＝（÷）∶（÷） ＝4∶3 圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 【点睛】解题关键根据圆锥甲、乙的底面半径和高（由旋转轴确定），分别代入圆锥体积公式计算甲、乙的体积，最后组成比并化简得到最简整数比。 17．求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】461.58cm3；169.56cm3 【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【详解】（1）×3.14×72×9 ＝×3.14×49×9 ＝461.58（cm3） （2）3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 18．求下面各圆柱的表面积。（单位：cm） 【答案】251.2cm2；466.29cm2 【分析】根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh或S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】（1）2×3.14×4×6＋3.14×42×2 ＝2×3.14×4×6＋3.14×16×2 ＝150.72＋100.48 ＝251.2（cm2） （2）3.14×9×12＋3.14×（9÷2）2×2 ＝3.14×9×12＋3.14×4.52×2 ＝3.14×9×12＋3.14×20.25×2 ＝339.12＋127.17 ＝466.29（cm2） 19．一瓶装满的矿泉水，小星喝了一些后，水的高度还有12厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米。如果水瓶的内直径是6厘米，小星喝了多少水？ 【答案】 282.6毫升 【分析】矿泉水原本是装满的，小星喝了一部分后倒置放平，无水部分的体积就等于喝掉的水的体积，瓶身可看作圆柱形，用圆柱体积公式：底面积×高，代入数据计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升。 答：小星喝了282.6毫升水。 20．高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 【答案】4.71 千克 【分析】根据题意：柱子刷油漆只需要刷侧面积（上下底面无需刷漆），先根据圆柱侧面积公式S侧＝πdh（π取3.14）求出单根柱子的侧面积，再乘2求出两根柱子的总侧面积，最后用总侧面积乘每平方米所需油漆的重量，即可求出总共需要的油漆量。 【详解】3.14×0.5×3×2×0.5 ＝1.57×3×2×0.5 ＝4.71×2×0.5 ＝9.42×0.5 ＝4.71（千克） 答：刷这两根柱子一共要4.71千克油漆。 21．有一个近似圆锥形的稻谷堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 【答案】15.7平方米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×；求出圆锥的体积；体积不变，圆柱的体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×1.5×÷0.9 ＝3.14×32×1.5×÷0.9 ＝3.14×9×1.5×÷0.9 ＝28.26×1.5×÷0.9 ＝42.39×÷0.9 ＝14.13÷0.9 ＝15.7（平方米） 答：这个圆柱形粮囤的占地面积是15.7平方米。 22．小刚有一个圆柱体的模型，他想测量它的体积，厨房有个长方体容器，测得水面原来的高度为4厘米。他把圆柱体的模型放入长方体容器内，水面升高到8厘米，此时圆柱体模型的在水面上（如图所示），圆柱体模型的体积是多少？ 【答案】960立方厘米 【分析】把圆柱体模型的体积看作单位“1”，放入圆柱体的模型后上升部分水的体积等于圆柱体模型体积的，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，由此求出圆柱体模型体积的，圆柱体模型的体积＝上升部分水的体积÷，据此解答。 【详解】12×10×（8－4）÷ ＝12×10×4÷ ＝120×4÷ ＝480÷ ＝480×2 ＝960（立方厘米） 答：圆柱体模型的体积是960立方厘米。 23．如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【分析】把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的表面积公式S表＝2S底＋S侧，其中S侧＝πdh，代入数据计算，求出这个圆柱形木料的表面积。 【详解】圆柱的底面积：157÷2＝78.5（平方厘米） 底面半径的平方：78.5÷3.14＝25（平方厘米） 因为25＝5×5，所以圆柱的底面半径是5厘米。 圆柱的底面直径：5×2＝10（厘米） 圆柱的高：240÷2÷10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 157＋3.14×10×12 ＝157＋376.8 ＝533.8（平方厘米） 答：这个圆柱形木料的表面积是533.8平方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，再利用公式列式计算。 24．陀螺在我国有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木质陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少？（取3.14） 【答案】113.04立方厘米 【分析】由图可知，这个陀螺由圆柱和圆锥两部分组成，且它们的底面直径都是6厘米，高都是3厘米，利用“”和“”分别求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的体积之和就是这个陀螺的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝36×3.14 ＝113.04（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是113.04立方厘米。 25．在做游戏时，同学们往一个从里面量长8厘米、宽9.42厘米、高20厘米的长方体玻璃水槽中注入10厘米深的水，然后放入一个底面半径是4厘米的圆锥形陀螺（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个陀螺的高是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】水面上升的体积是圆锥形陀螺的体积，水槽的长×宽×水面上升的高度＝陀螺的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出陀螺的高。 【详解】8×9.42×（12－10） ＝75.36×2 ＝150.72（立方厘米） 150.72×3÷（3.14×42） ＝452.16÷（3.14×16） ＝452.16÷50.24 ＝9（厘米） 答：这个陀螺的高是9厘米。 26．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】87.92立方厘米 【分析】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径； 已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。 【详解】62.8÷5÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） ×3.14×22×21 ＝×3.14×4×21 ＝87.92（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 圆柱和圆锥 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 圆柱与圆锥的本质深化 课本核心：圆柱有2个大小相等的圆形底面和1个曲面侧面；圆锥有1个圆形底面和1个曲面侧面，顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 奥数拓展： ① 形成原理：圆柱由长方形绕一条边旋转而成，圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，旋转轴决定高与底面半径。 ② 核心关系（奥数必考）：等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱的。 ③ 公式变形：已知体积、底面积反求高；已知体积、高反求底面积，灵活拆解公式。 2. 公式的奥数应用（重点） 圆柱核心公式 侧面积： 表面积：（无盖圆柱：） 体积： 圆锥核心公式 体积： 奥数拓展： ① 体积比例：等底等体积→圆锥高是圆柱的3倍；等高等体积→圆锥底面积是圆柱的3倍。 ② 表面积增减：圆柱切割/拼接会增加/减少圆形/长方形面，需精准计算新增面的面积。 ③ 体积转化：熔铸、浸没、挤压时，形状改变，体积不变。 二、奥数易错点提醒 1.体积关系遗漏：计算圆锥体积时，忘记乘，是最常见失分点。 2.表面积算错面数：无盖圆柱、切割后圆柱，易多算/漏算底面，竖切圆柱易忽略新增长方形面。 3.单位不统一：长度、面积、体积单位混用（如厘米与米、立方厘米与升），计算前必须统一单位。 4.旋转体判断错误：绕不同边旋转，底面半径和高会互换，需明确旋转轴。 5.浸没问题混淆：未判断物体是否完全浸没，直接用上升水体积算物体体积。 三、奥数解题口诀 圆柱圆锥旋转成，底高对应要分清； 等底等高三倍差，圆锥体积乘三分。 表面积算切拼面，横增两底竖增方； 熔铸浸没体积定，单位统一不慌张。 比例问题找等量，底高反算三倍量； 公式变形灵活用，奥数解题不迷茫。 考点讲解 考点1：圆柱与圆锥的体积关系（最常考） 核心思路：牢牢抓住等底等高、等底等体积、等高等体积三种等量关系，通过公式推导求解底面积、高、体积。 典型例题：一个圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥大24立方厘米，求圆锥体积。 解题： → 立方厘米。 奥数变式：一个圆柱和圆锥体积相等、底面积相等，圆柱高6厘米，圆锥高多少厘米？ 答案：厘米。 考点2：圆柱表面积的切割与拼接（变式题） 核心思路： ① 圆柱横切（平行于底面）：每切一次增加2个底面积； ② 圆柱竖切（沿底面直径）：切一次增加2个长方形面（长=圆柱高，宽=底面直径）； ③ 圆柱拼接：每拼一次减少2个接触面面积。 典型例题：一个底面半径5厘米的圆柱，沿直径竖切成两半，表面积增加120平方厘米，求圆柱高。 解题：新增2个长方形，单个面积平方厘米，高厘米。 考点3：体积转化问题（奥数提升） 核心思路：熔铸、物体浸没、形状挤压，体积始终不变，用“不变量”列等式计算。 常用技巧： ① 熔铸：金属熔铸成圆柱/圆锥，原体积=新体积； ② 浸没：完全浸没物体体积=容器内上升/下降水的体积； ③ 挤压：正方体捏成圆柱/圆锥，体积相等。 典型例题：把棱长6厘米的正方体熔铸成底面半径3厘米的圆锥，求圆锥高。 解题：正方体体积立方厘米，厘米。 考点4：旋转体与比例探究（奥数难点） 核心思路：长方形/直角三角形绕不同边旋转，得到不同圆柱/圆锥，通过半径、高的比例推导体积比例。 典型例题：直角三角形两条直角边为3cm、4cm，分别绕两条直角边旋转成圆锥，求体积比。 解题：绕3cm转→，；绕4cm转→，；体积比。 真题训练 1．将一个圆锥形铁块熔铸成一个和它底面积相等的圆柱形铁块，圆柱铁块的高（    ）。 A．等于圆锥形铁块的高 B．等于圆锥形铁块高的 C．等于圆锥形铁块高的3倍 D．无法确定 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．1∶2π D．2π∶1 3．实验室里，小丽制作了一个装着液体的圆柱形容器和四个不同规格的圆锥形容器，尺寸如下。她想把圆柱形容器内的液体全部倒入一个圆锥形容器中，刚好倒满，应该选择（    ）。 A． B． C． D． 4．一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”这五种图形中的（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．一款“几何形状配对玩具”的面板从正面看有四个窟窿，如图所示。有一块积木既能塞满正方形窟窿，又能塞满圆形窟窿，这块积木的形状可能是（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 6．请你制作一个无盖圆柱形水桶，有如下所示几种型号的铁皮可供搭配选择，在不浪费铁皮材料的情况下，你选择的材料是（    ）（π取3.14）。 A．1号和2号 B．1号和4号 C．2号和3号 D．3号和4号 7．如图，一个玻璃杯，杯口内直径是4cm，总深11.8cm，圆柱部分高7.3cm。把玻璃杯装满水倒入一个内直径为8cm的圆柱形茶杯后，茶杯中的水深（    ）cm。 A．2 B．2.2 C．3.8 D．4 8．如图两个杯子中均装有一定量的开水（阴影部分），如果把35g糖溶解于水中，哪杯的水甜一些？（杯子厚度忽略不计）（    ） A．①杯 B．②杯 C．一样甜 D．无法确定 9．一个圆柱与它等底、等高的圆锥的体积之和为36dm3，圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 10．一个圆锥形状的沙石堆，底面积12平方米，高1.2米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚0.2米，能铺( )米长。 11．一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是2厘米，这个圆柱的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 12．把一个底面积是6.28、高6dm的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是12.56的圆锥体，圆锥体的高是( )dm。 13．一个圆柱形的无盖铁皮水桶，从里面量，底面直径是6dm，深是4dm，做这个水桶至少要用铁皮( )，这个水桶的容积是( )。（铁皮厚度及连接处忽略） 14．一个圆柱和圆锥的组合容器（如图），该容器的圆锥部分装满水，水的体积是12.56毫升，如果将这个容器倒过来放置，此时水深( )厘米。 15．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 16．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为______。 17．求下面图形的体积。（单位：cm） 18．求下面各圆柱的表面积。（单位：cm） 19．一瓶装满的矿泉水，小星喝了一些后，水的高度还有12厘米。把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米。如果水瓶的内直径是6厘米，小星喝了多少水？ 20．高升讲堂大门口有2根底面直径为0.5米，高3米的圆柱形柱子，现在要给它们刷油漆，如果每平方米用0.5千克油漆，刷这两根柱子一共要多少千克油漆？ 21．有一个近似圆锥形的稻谷堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 22．小刚有一个圆柱体的模型，他想测量它的体积，厨房有个长方体容器，测得水面原来的高度为4厘米。他把圆柱体的模型放入长方体容器内，水面升高到8厘米，此时圆柱体模型的在水面上（如图所示），圆柱体模型的体积是多少？ 23．如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 24．陀螺在我国有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个底面直径是6厘米的木质陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少？（取3.14） 25．在做游戏时，同学们往一个从里面量长8厘米、宽9.42厘米、高20厘米的长方体玻璃水槽中注入10厘米深的水，然后放入一个底面半径是4厘米的圆锥形陀螺（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个陀螺的高是多少厘米？ 26．如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $