第五单元 数学广角——鸽巢问题 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学六年级下册

第五单元 数学广角——鸽巢问题 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 鸽巢问题的本质深化 课本核心：鸽巢原理（抽屉原理），把n+1个物体任意放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 奥数拓展： ① 核心公式：至少数=商+1（物体数÷鸽巢数有余数时）；至少数=商（物体数÷鸽巢数整除时）。 ② 三大关键量：分清物体数（要分配的物品）、鸽巢数（分配的类别/容器）、至少数（保证存在的最少数量）。 ③ 进阶原理：把多于m×n个物体放进n个鸽巢，总有一个鸽巢至少放m+1个物体。 2. 鸽巢问题的奥数应用（重点） 逆向求解：已知至少数、鸽巢数，反求最少物体数；已知物体数、至少数，反求最多鸽巢数。 构造鸽巢：题目无直接鸽巢时，按颜色、属相、数字、属性等分类构造鸽巢。 最不利原则：奥数核心解题思想，先算最倒霉、最不满足条件的情况，再加1即为保证结果。 二、奥数易错点提醒 混淆物体数与鸽巢数：先找“要分的东西”是物体数，“分的类别”是鸽巢数，切勿颠倒。 忽略整除情况：物体数÷鸽巢数无余数时，至少数=商，不是商+1。 不会构造鸽巢：遇到无直接鸽巢的题目，不会按属性分类造鸽巢。 误解关键词：“总有”是一定存在，“至少”是最少数量，不是恰好等于。 三、奥数解题口诀 鸽巢原理分清楚，物体鸽巢先找出； 最不利法是关键，先算最坏再添一； 整除商是至少数，有余商加一牢记； 逆向求解反推算，构造鸽巢分类数。 考点讲解 考点1：基础鸽巢计算（最常考） 核心思路：确定物体数、鸽巢数→做除法→按余数判断至少数。 典型例题：把7个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放几个苹果？ 解题步骤：7÷3=2……1 → 2+1=3（个），答：至少放3个。 奥数变式：10只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子（10÷4=2……2，2+1=3）。 考点2：最不利原则（奥数重点） 核心思路：先取完所有不满足条件的情况，再取1个，必满足要求。 典型例题：盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，至少取几个球，才能保证取到2个颜色相同的球？ 解题步骤：最不利情况：红、黄、蓝各取1个（共3个）→ 3+1=4（个）。 奥数变式：去掉大小王的扑克牌，至少抽5张，保证有2张同花色（4种花色，4+1=5）。 考点3：逆向求量（奥数提升） 核心公式： 最少物体数=（至少数-1）×鸽巢数+1 最多鸽巢数=（物体数-1）÷（至少数-1）（结果取整数） 典型例题：保证总有一个抽屉至少放4个苹果，有5个抽屉，最少需要多少个苹果？ 解题步骤：（4-1）×5+1=16（个）。 考点4：构造鸽巢问题（奥数难点） 核心思路：无直接鸽巢时，按属性分组造鸽巢（属相、数字和、水果搭配等）。 典型例题：六年级45名学生，至少有几名学生属相相同？（12属相） 解题步骤：45÷12=3……9 → 3+1=4（名）。 真题训练 1．8只鸽子飞回3个宿舍，至少有（    ）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 A．2 B．3 C．4 D．1 2．把21支笔放在（    ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 A．10 B．7 C．6 D．3 3．袋子里有5个黄球，3个黑球，2个白球，从中任意拿出6个，至少有1个是（    ）。 A．黄球 B．黑球 C．白球 D．红球 4．一个盒子里装有大小相同的红、黄、白玻璃球各5个，至少取出（    ）个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出（    ）只，才能确保有两双不同色的手套（两只同色为一双）。 A．7 B．8 C．9 D．10 6．盒子里有红球、黄球各4个，要想保证摸出的球一定有两个是同色的，则摸出球的个数至少为（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 7．25个鸡蛋最多放进（    ）个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 A．7 B．6 C．5 D．4 8．一个黑色袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球（形状、大小一样）各5个。闭上眼睛摸球，要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 9．某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选( )名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 10．一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。 11．一个盒子里有10个红球、6个黄球和4个黑球，它们除颜色外大小形状都相同。任意摸出1个，摸到( )球的可能性最小；摸出11个时，其中一定有( )球。 12．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出( )个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 13．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 14．将一副扑克牌去掉大小王后还有52张，从中随意抽牌，最少要抽出( )张牌，方能保证其中至少有5张牌是相同的花色。 15．不透明的盒子里有除颜色外均相同的8个黄球、5个红球，至少一次摸出( )个球才能保证摸到红球。 16．一个盒子里装有红、黄、蓝、黑、绿共5种颜色的玻璃球各12颗，从盒子里至少摸出( )颗玻璃球，才能保证一定有两颗同色；至少摸出( )颗，才能保证有两种颜色。 17．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 18．从1到25个自然数中任意取出7个数。证明：取出的数中，一定有两个数。这两个数中大数不超过小数1.5倍。 19．某次作文竞赛有52名同学参赛，他们分别来自10所学校，至少有1所小学的人数超过5名。为什么？ 20．有外形相同的红、黄、绿三色球各10个。混合放入同一布袋中。一次至少摸几个球，才能保证有两种颜的同色球各一对？ 21．张叔叔参加打靶比赛，5发子弹打了47环，至少有2发子弹打了10环你知道为什么吗？ 22．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？” 23．夏令营有500个学生参加，请问在这些学生中，至少有多少人在同一天过生日？至少有多少人在同一个月过生日？ 24．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 25．数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 26．将红、绿、黄三种颜色的筷子各5根混放在一起，如果闭上眼睛，最少拿多少根筷子就一定能保证拿出的筷子里至少有两根是同色的？请说明你的理由。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 数学广角——鸽巢问题 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 鸽巢问题的本质深化 课本核心：鸽巢原理（抽屉原理），把n+1个物体任意放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 奥数拓展： ① 核心公式：至少数=商+1（物体数÷鸽巢数有余数时）；至少数=商（物体数÷鸽巢数整除时）。 ② 三大关键量：分清物体数（要分配的物品）、鸽巢数（分配的类别/容器）、至少数（保证存在的最少数量）。 ③ 进阶原理：把多于m×n个物体放进n个鸽巢，总有一个鸽巢至少放m+1个物体。 2. 鸽巢问题的奥数应用（重点） 逆向求解：已知至少数、鸽巢数，反求最少物体数；已知物体数、至少数，反求最多鸽巢数。 构造鸽巢：题目无直接鸽巢时，按颜色、属相、数字、属性等分类构造鸽巢。 最不利原则：奥数核心解题思想，先算最倒霉、最不满足条件的情况，再加1即为保证结果。 二、奥数易错点提醒 混淆物体数与鸽巢数：先找“要分的东西”是物体数，“分的类别”是鸽巢数，切勿颠倒。 忽略整除情况：物体数÷鸽巢数无余数时，至少数=商，不是商+1。 不会构造鸽巢：遇到无直接鸽巢的题目，不会按属性分类造鸽巢。 误解关键词：“总有”是一定存在，“至少”是最少数量，不是恰好等于。 三、奥数解题口诀 鸽巢原理分清楚，物体鸽巢先找出； 最不利法是关键，先算最坏再添一； 整除商是至少数，有余商加一牢记； 逆向求解反推算，构造鸽巢分类数。 考点讲解 考点1：基础鸽巢计算（最常考） 核心思路：确定物体数、鸽巢数→做除法→按余数判断至少数。 典型例题：把7个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放几个苹果？ 解题步骤：7÷3=2……1 → 2+1=3（个），答：至少放3个。 奥数变式：10只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子（10÷4=2……2，2+1=3）。 考点2：最不利原则（奥数重点） 核心思路：先取完所有不满足条件的情况，再取1个，必满足要求。 典型例题：盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，至少取几个球，才能保证取到2个颜色相同的球？ 解题步骤：最不利情况：红、黄、蓝各取1个（共3个）→ 3+1=4（个）。 奥数变式：去掉大小王的扑克牌，至少抽5张，保证有2张同花色（4种花色，4+1=5）。 考点3：逆向求量（奥数提升） 核心公式： 最少物体数=（至少数-1）×鸽巢数+1 最多鸽巢数=（物体数-1）÷（至少数-1）（结果取整数） 典型例题：保证总有一个抽屉至少放4个苹果，有5个抽屉，最少需要多少个苹果？ 解题步骤：（4-1）×5+1=16（个）。 考点4：构造鸽巢问题（奥数难点） 核心思路：无直接鸽巢时，按属性分组造鸽巢（属相、数字和、水果搭配等）。 典型例题：六年级45名学生，至少有几名学生属相相同？（12属相） 解题步骤：45÷12=3……9 → 3+1=4（名）。 真题训练 1．8只鸽子飞回3个宿舍，至少有（    ）只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】先将鸽子平均分配到每个宿舍，计算每个宿舍的鸽子数量，再处理剩余鸽子，确定至少有一个宿舍的鸽子数量。 【详解】将8只鸽子平均分给3个宿舍，每个宿舍先飞进的鸽子数为：8÷3＝2只，此时共飞进3×2＝6只鸽子，还剩余8－6＝2只鸽子。 剩余的2只鸽子无论飞进哪个宿舍，都会使得至少有一个宿舍的鸽子数量增加1只。因此，至少有一个宿舍的鸽子数为2＋1＝3只。 2．把21支笔放在（    ）个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 A．10 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据最不利原则，先确保每个笔筒里放2支笔。用总数减去1，算出剩下的笔的数量，用剩下的数量除以2即可。 【详解】（21－1）÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 把21支笔放在10个笔筒里，可以确保至少有一个笔筒里面放了3支笔。 3．袋子里有5个黄球，3个黑球，2个白球，从中任意拿出6个，至少有1个是（    ）。 A．黄球 B．黑球 C．白球 D．红球 【答案】A 【分析】这道题考查抽屉原理（最不利原则），先找出除黄球外其他颜色球的最大总数，模拟最倒霉的拿球情况（先把非黄球拿光），用要拿的总球数（6个）减去这个最大总数，若结果大于等于1，说明剩下的球只能是黄球，从而得出至少有1个黄球的结论。 【详解】根据分析： 统计各颜色球的数量，黄球5个，黑球3个，白球2个。计算非黄球的最大总数(个)，假设先把所有黑球和白球都拿出来，这是能拿到的最多非黄球数量，一共拿了5个。需要拿6个球，已经拿了5个非黄球，还需要再拿(个)，此时袋子里只剩下黄球，所以这1个球必然是黄球。得出结论从中任意拿出6个，至少有1个是黄球。 故答案为：A 4．一个盒子里装有大小相同的红、黄、白玻璃球各5个，至少取出（    ）个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】要保证有2个玻璃球颜色相同，最不利的情况是：每种颜色的玻璃球都先摸出1个，此时再摸1个，无论是什么颜色，都能使该颜色的玻璃球达到2个。 【详解】3＋1＝4（个） 所以至少取出4个，才能保证取出至少2个同色的玻璃球。 故答案为：B 5．木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出（    ）只，才能确保有两双不同色的手套（两只同色为一双）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据最不利原则考虑，假设摸出7只都是蓝色的手套，那么再摸出2只，可能是红色和白色的手套各1只，那么再摸出1只，无论什么颜色，都能确保有两双不同色的手套，所以至少要摸出7＋2＋1＝10只，据此解答。 【详解】7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（只） 木盒里有三种不同颜色的手套，它们形状大小材质完全相同，只有颜色不同。其中，红色5只，白色6只，蓝色7只。一次至少要摸出10只，才能确保有两双不同色的手套。 故答案为：D 6．盒子里有红球、黄球各4个，要想保证摸出的球一定有两个是同色的，则摸出球的个数至少为（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知，盒子里的球共有两种颜色，摸出2个时，有可能一个红的，一个黄的，所以只要再摸出一个就能保证有2个同色的，即至少要摸出2＋1＝3（个）球。 【详解】2＋1＝3（个） 所以要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 故答案为：A 7．25个鸡蛋最多放进（    ）个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】要使碗的数量最多，就要使每个碗里的鸡蛋的个数最少，可以使其中一个碗放7个鸡蛋，剩下的每个都放7－1＝6个鸡蛋，据此用除法解法。 【详解】（25－1）÷（7－1） ＝24÷6 ＝4（个） 25个鸡蛋最多放进4个碗中才能保证有一个碗中至少放进7个鸡蛋。 故答案为：D 8．一个黑色袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球（形状、大小一样）各5个。闭上眼睛摸球，要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据用鸽巢问题解决实际问题中的最不利原则，从最坏情况考虑，三种颜色的球各摸出1个，此时再摸出1个球，一定有两个颜色相同的球，因此至少需要摸出4个。 【详解】（个） 要保证摸到两个颜色相同的球，至少要摸4个。 故答案为：C 9．某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选( )名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【答案】9 【分析】根据最不利原则，假设从6－13岁每个年龄选择1名同学，需要选择8名，再选择1名学生就一定有2名同学的年龄相同。 【详解】13－6＋1＝8（名） 8＋1＝9（名） 10．一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个：要保证取出的玻璃球中两个是同色的，至少要取出( )个。 【答案】 5 4 【分析】第①空：先取最不利情况，把两种颜色全部取完，再取1个必是第三种。 第②空：先每种颜色各取1个，再取1个一定和前面某一个同色。 【详解】第①空：保证三种颜色都有：2＋2＋1＝5（个） 第②空：保证两个同色：3＋1＝4（个） 11．一个盒子里有10个红球、6个黄球和4个黑球，它们除颜色外大小形状都相同。任意摸出1个，摸到( )球的可能性最小；摸出11个时，其中一定有( )球。 【答案】 黑 红 【分析】①数量越多摸到的可能性就越大，数量越少摸到的可能性就越小，数量相等摸到的可能性相同。 ②从最坏情况考虑：先摸完黄球和黑球，才能摸出红球。 【详解】因为4＜6＜10，即黑球最少，所以任意摸出1个，摸到黑球的可能性最小； 黄球和黑球共：6＋4＝10（个） 11＞10 所以当黄球和黑球全部先摸出，第11个摸出的一定是红球。 12．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出( )个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。 【答案】4 【分析】根据最不利原则，先取出三种颜色的球各一个，当取出第4个球时，无论是什么颜色，都能保证取到的球里有两个颜色相同。 【详解】先取出三种颜色的球各一个，当取出第4个球时，无论是什么颜色，都能保证取到的球里有两个颜色相同。 所以，至少要摸出4个球。 13．盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 【答案】11 【分析】根据题干，可以把黑色，白色和黄色看作3个抽屉，考虑最差情况：摸出10根：8根黑色的，1根白色的，1根黄色的，那么再任意摸出1根，无论从白色抽屉，还是从黄色抽屉摸出，都会出现有两双不同颜色的筷子，由此即可解决问题。 【详解】由分析可得： （根） 至少要取11根才能保证达到要求。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决问题的方法，这里要注意考虑最差情况。 14．将一副扑克牌去掉大小王后还有52张，从中随意抽牌，最少要抽出( )张牌，方能保证其中至少有5张牌是相同的花色。 【答案】17 【分析】抽屉原理最不利原则：考虑最坏情况，即每种花色都抽了4张（未满足5张同花色的最大可能）。 （2）计算最坏情况的总张数：4种花色4张16张。 （3）再抽1张必满足条件：张。 【详解】根据分析可得： 将一副扑克牌去掉大小王后还有52张，从中随意抽牌，最少要抽出（17）张牌，方能保证其中至少有5张牌是相同的花色。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意考虑最差情况。 15．不透明的盒子里有除颜色外均相同的8个黄球、5个红球，至少一次摸出( )个球才能保证摸到红球。 【答案】9 【分析】已知盒子里有8个黄球，最不利情况是先摸完8个黄球，此时再摸1个球，就必然是红球。所以至少要摸出的球数为黄球的数量加上1，即8＋1＝9个。 【详解】8＋1＝9（个） 因此，至少一次摸出9个球才能保证会摸到红球。 16．一个盒子里装有红、黄、蓝、黑、绿共5种颜色的玻璃球各12颗，从盒子里至少摸出( )颗玻璃球，才能保证一定有两颗同色；至少摸出( )颗，才能保证有两种颜色。 【答案】 6 13 【分析】盒子里有5种颜色，最不利的情况是先摸出5颗，每种颜色各1颗。再摸出1颗，就一定能出现两颗同色，所以至少需要摸出5＋1＝6颗。 每种颜色有12颗，最不利的情况是先把其中一种颜色的12颗全部摸出。再摸出1颗，必然是其他颜色，所以至少需要摸出12＋1＝13颗。 【详解】盒子里有5种颜色，先摸出5颗，再摸出1颗，就一定能出现两颗同色。 5＋1＝6（颗） 每种颜色有12颗，先把其中一种颜色的12颗全部摸出，再摸出1颗，必然是其他颜色。 12＋1＝13（颗） 从盒子里至少摸出6颗玻璃球，才能保证一定有两颗同色；至少摸出13颗，才能保证有两种颜色。 17．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【答案】7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【详解】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 18．从1到25个自然数中任意取出7个数。证明：取出的数中，一定有两个数。这两个数中大数不超过小数1.5倍。 【答案】证明：把前25个自然数分成下面6组： 1； ① 2、3； ② 4、5、6； ③ 7、8、9、10； ④ 11、12、13、14、15、16； ⑤ 17、18、19、20、21、22、23、24、25； ⑥ 因为从前25个自然数中任意取出7个数， 所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。 【分析】把前25个自然数分成下面6组：①1； ②2、3； ③4、5、6； ④7、8、9、10；⑤11、12、13、14、15、16；⑥17、18、19、20、21、22、23； 用物体数7除以组数6，可知至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。 【详解】把前25个自然数分成下面6组： 1； ① 2、3； ② 4、5、6； ③ 7、8、9、10； ④ 11、12、13、14、15、16； ⑤ 17、18、19、20、21、22、23、24、25； ⑥ 因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。 【点睛】本题考查鸽巢问题、解答本题的关键是把这25个数分成这6组。 19．某次作文竞赛有52名同学参赛，他们分别来自10所学校，至少有1所小学的人数超过5名。为什么？ 【答案】见详解 【分析】把10所学校看作10个抽屉，把52名同学看作52个元素，那么每个抽屉需要放（名）……2（名），所以每个抽屉需要放5名，剩下的2名不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：5＋1＝6（名），所以，至少有1所小学的人数超过5名；据此解答。 【详解】（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有1所小学的人数超过5名。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。 20．有外形相同的红、黄、绿三色球各10个。混合放入同一布袋中。一次至少摸几个球，才能保证有两种颜的同色球各一对？ 【答案】13个 【分析】由题意可知，袋中有红、黄、绿3种颜色的球，要保证有两个球是同色球，最差情况是一次摸出的3个球中，红、黄、绿3种颜色各一个，此时只要再任意摸出一个即摸出4个球，就能保证有两个球是同色球。 最坏的打算是摸出10个，都是同一种颜色的，那再摸2个，又是2种颜色，那再摸一个，就能保证有两种颜色的同色球各一对，进而计算得出结论。 【详解】（个） 答：一次至少摸13个球，才能保证有两种颜色的球各一对。 【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键 21．张叔叔参加打靶比赛，5发子弹打了47环，至少有2发子弹打了10环你知道为什么吗？ 【答案】答案见详解 【分析】把5枪看作5个“抽屉”，把47环看作物体个数，因为47÷5＝9（环）…2（环），每枪最多10环，剩下2环，不论怎么放，总有2个抽屉里有9＋1＝10环；所以至少有2发子弹打了10环，据此即可解答。 【详解】（环）……2（环）， （环） 答：所以至少有2发子弹打了10环。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 22．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？” 【答案】苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个 【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。 【详解】苹果有：12－3＝9（个） 菠萝有：3÷（1＋2） ＝3÷3 ＝1 （个） 柚子有：3－1＝2（个） 答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。 【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。 23．夏令营有500个学生参加，请问在这些学生中，至少有多少人在同一天过生日？至少有多少人在同一个月过生日？ 【答案】至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【分析】（1）一年最多有366天，假如每天都有1人过生日，那么余下的人数无论在哪一天过生日都能保证至少有2人在同一天过生日； （2）一年有12个月，假如每个月都有41人过生日，那么余下的人数无论在哪一月过生日，都能保证至少有42人同一个月过生日。 【详解】500÷366＝1……134 1＋1＝2（人） 500÷12＝41……8 41＋1＝42（人） 答：至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 24．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 【答案】146只 【分析】15双就是30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。 【详解】5×29＋1 ＝145＋1 ＝146（只）   答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 25．数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 【答案】8人 【分析】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。 【详解】400÷57＝7（人）……1（人） 7＋1＝8（人） 答：至少有8人的总分相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理的基本解决方法，关键是找到抽屉的数量。 26．将红、绿、黄三种颜色的筷子各5根混放在一起，如果闭上眼睛，最少拿多少根筷子就一定能保证拿出的筷子里至少有两根是同色的？请说明你的理由。 【答案】4根；理由见详解 【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头3根分别是3种颜色中的各1根，那么第4根肯定能与头3根中的一根配成颜色相同的一双，据此解答即可。 【详解】3＋1＝4（根）； 答：最少拿4根筷子就一定能保证拿出的筷子里至少有两根是同色的。 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $