2026年四川省对口升学考前数学冲刺卷（3）

四川对口升学考前数学冲刺卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果. 【解析】. 2. 样本数据2,8,14,16,20的平均数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】 【分析】概率与统计中数据的平均数，根据平均数计算公式即可求解. 【解析】样本数据2,8,14,16,20的平均数为 . 3．已知，则　　 A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】同角三角函数值计算. 【解析】由，得， 所以． 4．在等差数列中，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等差数列性质应用； 【解析】由等差数列的性质有，则. 5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的平面向量线性运算； 【解析】设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a，则a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝. 6. 某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】直接计算概率即可. 【解析】《红楼梦》恰好被选中的概率为. 7. 已知 为锐角, ,则 ( ). A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据二倍角公式 (或者半角公式) 即可求出. 【解析】因为 ,而 为锐角,解得: . 8. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. －1 D. －4 【答案】A 【分析】由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你 【解析】因为，所以，即，所以. 9.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥的体积及表面积； 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积是. 10．若关于的不等式的解集是，那么（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次不等式； 【解析】若关于的二次不等式的解集是， 则函数的图象开口方向向上，与轴至多有一个交点， 则，即，且． 11.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　) A．9 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求a7，再利用a＝a11·a7求解． 【解析】由a3a5a7a9a11＝a＝243得a7＝3，所以＝＝a7＝3. 12. 已知向量 满足 ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 【分析】由 得 ,结合 ,得 ,由此即可得解. 【解析】因为 ,所以 ,即 , 又因为 ,所以 ,从而 . 13．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间存在关系，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当时，；当时，．则电池的容量为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数型函数应用. 【解析】根据题意，得，两式相比，得， 化简得，解得，所以。 14．已知，若，则实数的取值范围是　　 A． B．（-1,2） C．（-2，-1） D．（2,1） 【答案】A 【分析】函数的综合应用. 【解析】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得. 15．已知数列的前项和为，且，，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数列的综合应用. 【解析】由， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 可得，即， 因为，所以，根据裂项相消法， 则． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，再求最小正周期即可. 【解析】函数，最小正周期是. 17．若的展开式中的系数为160，则 　 　． 【答案】2； 【分析】二项式定理应用； 【解析】展开式的通项公式为：，，1，2，， 令，解得，由题意得，解得． 18．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为不等式的解集为，所以是方程的两个根，所以，所以不等式等价于，解不等式，得，，即不等式的解集为. 19. 若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为________. 【答案】或； 【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，建立关于的方程，求解方程即可得到结果． 【解析】因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得：或． 20. 设双曲线 的左右焦点分别为 ,过 作平行于 轴的直线交 于 , 两点,若 , ,则 的离心率为_____. 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出 ,结合双曲线第一定义求出 ,即可得到 的值, 从而求出离心率. 【解析】由题可知 三点横坐标相等,设 在第一象限,将 代入 得 ,即 ,故 , 又 ,得 ,解得 ,代入 得 , 故 ,即 ,所以 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21. 已知数列等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求出公差即可得解； （2）根据等差数列求和公式得解. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，即，所以， 所以. （2）由（1）知， 22．△的内角、、满足，且． （1）求的大小； （2）若，，求的长度． 【答案】见解析； 【分析】正余弦定理综合应用； 【解析】（1）△的内角、、满足，且， 因为，且，所以， 又因为， 所以， 即，因为，所以； （2）在△中，由正弦定理得：， 则， 因为，所以， 在△中，由余弦定理得， 解得． 23．如图所示的几何体由三棱锥和正四棱锥拼接而成，平面，，，，，O为四边形对角线的交点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）取AD中点M，连QM，OM，如图， 因O是正四棱锥底面中心，即O是BD中点，则OM//AB//PQ，， 于是得PQMO是平行四边形，PO//QM，而平面ADQ，平面ADQ， 所以PO//平面ADQ. （2） 在正四棱锥中，DOAO，PO平面ABCD，DO平面ABCD，则PODO，而，平面POA， 因此，DO平面POA，而平面POA，则DOPA，过O作OEPA于E，连DE，如图， ，平面DOE，则有PA平面DOE，即PADE，从而得是二面角的平面角， 因平面，则PQAQ，，而，则PO=2，， 中，，于是得， 所以二面角的正弦值. 24．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； (3)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系. 【答案】见解析； 【分析】概率统计综合应用； 【解析】（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，所以． （2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为． （3）由题意可知，，， 所以，，所以． 25．如图，直线，分别与抛物线交于，和，，与轴分别交于，和，，直线与的交点为，，，，2，． （1）当为的焦点，且直线与轴垂直时，．求抛物线的方程； （2），，是否成等比数列？请给予说明； 【答案】见解析； 【分析】直线与抛物线的综合应用； 【解析】（1）易知抛物线的焦点， 因为当为抛物线的焦点，且直线与轴垂直时，， 当时，，所以，解得， 则抛物线的方程为； （2）证明：设，，，，，，，， 因为，，，均在抛物线上， 所以， 若，可得直线的方程为， 令，解得，即； 若，此时，则， 同理得，所以， 所以，则，，成等比数列； 26．定义在上的函数，满足，且当时，. （1）求的值，并证明：. （2）若，解不等式. （3）比较与的大小. 【答案】答案见解析； 【解析】（1）令，由条件得. ，即. （2）任取，，且，则. 由已知得.，即. ∴在上是增函数. ∵，∴， . 又在上为增函数，∴解得. 故不等式的解集为. （3）∵， ， ∵， ∴（当且仅当时取等号）. 又在上是增函数， ∴. ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川对口升学考前数学冲刺卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据2,8,14,16,20的平均数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 3．已知，则　　 A．3 B． C． D． 4．在等差数列中，则 =（ ） A． B． C． D． 5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 6. 某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 为锐角, ,则 ( ). A. B. C. D. 8. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. －1 D. －4 9.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（ ） A． B． C． D． 10．若关于的不等式的解集是，那么（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 11.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　) A．9 B．1 C．2 D．3 12. 已知向量 满足 ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 1 13．近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨大机遇．有关资料显示，某品牌蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间存在关系，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当时，；当时，．则电池的容量为　　 A． B． C． D． 14．已知，若，则实数的取值范围是　　 A． B．（-1,2） C．（-2，-1） D．（2,1） 15．已知数列前项和为，且，，则　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16. 函数的最小正周期是______． 17．若的展开式中的系数为160，则 　 　． 18．已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 19. 若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为________. 20. 设双曲线 的左右焦点分别为 ,过 作平行于 轴的直线交 于 , 两点,若 , ,则 的离心率为_____. 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21. 已知数列等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 22．△的内角、、满足，且． （1）求的大小； （2）若，，求的长度． 23．如图所示的几何体由三棱锥和正四棱锥拼接而成，平面，，，，，O为四边形对角线的交点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 24．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； (3)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系. 25．如图，直线，分别与抛物线交于，和，，与轴分别交于，和，，直线与的交点为，，，，2，． （1）当为的焦点，且直线与轴垂直时，．求抛物线的方程； （2），，是否成等比数列？请给予说明； 26．定义在上的函数，满足，且当时，. （1）求的值，并证明：. （2）若，解不等式. （3）比较与的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $