2026年四川省对口升学考前数学冲刺卷（2）

四川对口升学考前数学冲刺卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，200，现用分层抽样的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝　　　B．f(x)＝－x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1 5. 已知向量，，则（ ） A. B. 14 C. D. 6．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7. 设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 时, ,则 ( ) A. B. C. D. 8. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 ( ) A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 10. 已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象是（ ） A. B. C D. 12．设有下列四个命题： ①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ②过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则上述命题中所有真命题的序号(　　) 13．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0]∪ D．(－∞，－1]∪ 14. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( ). A. 120 B. 85 C. -85 D. -120 15. 设抛物线 的焦点为 ,点 在 上,过 作 的准线的垂线,垂足为 ,若直线 的方程为 ,则 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16. 若，求圆心坐标为___________. 17. 在中，若，则_____________. 18．在等差数列{an}中，若a2，a2 016为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 009＋a2 015＝________. 19．已知，若，则自然数n＝______. 20. 已知直线 与 交于 两点,写出满足 “ 面积为 ” 的 的一个值_____. 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 (1) 求 ； (2) 若 的面积为 ,求 . 22. 如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，且，. （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离. 23．某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立． （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大． 24. 已知 和 为椭圆 上两点. (1) 求 的离心率; (2)若过 的直线 交 于另一点 ,且 的面积为 9,求 的方程. 25. 记 为数列 的前 项和,已知 是公差为 的等差数列. (1) 求 的通项公式； (2) 证明: . 26．已知函数f(x)＝为奇函数． (1)求实数a的值； (2)求证：f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数； (3)若对任意的x1，x2∈[2,4]，都有f(x1)－f(x2)≤m2－2m－2，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川对口升学考前数学冲刺卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】直接求交集即可. 【解析】集合，，则. 2. 某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，200，现用分层抽样的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】D 【分析】直接根据比例关系计算得到答案. 【解析】抽出的高一年级学生人数为：. 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【解析】由于双曲线为，所以其渐近线方程为. 4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝　　　B．f(x)＝－x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1 【答案】D 【分析】函数的性质 ； 【解析】A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增. 5. 已知向量，，则（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示求解. 【解析】因为向量，，所以. 6．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题,是方程的两根,可得,即, 所以不等式为,即,所以。 7. 设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 时, ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为 的范围中求解. 【解析】由题知 对一切 成立, 于是 . 8. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义，和正弦的二倍角公式，即可求出结果. 【解析】因为角终边过点， 所以， 所以. 9. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 ( ) A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 【答案】 【分析】利用捆绑法处理丙丁,用插空法安排甲,利用排列组合与计数原理即可得解 【解析】因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有 3! 种排列方 式；为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有 2 种插空方式； 注意到丙丁两人的顺序可交换,有 2 种排列方式,故安排这 5 名同学共有: 种不同的排列方式. 10. 已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果. 【解析】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），所以，则球的体积． 11. 函数的图象是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可. 【解析】因为的定义域为，故BD错误； 又，故C错误；故A正确. 12．设有下列四个命题： ①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ②过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则上述命题中所有真命题的序号(　　) 【答案】A 【分析】立体几何相关命题判断. 【解析】①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知①为真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．从而①④为真命题． 13．已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0]∪ D．(－∞，－1]∪ 【答案】D 【分析】分段函数. 【解析】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f(x)≥1成立，所以将原不等式转化为：或从而得x≥1或x≤－1. 14. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( ). A. 120 B. 85 C. -85 D. -120 【答案】 【分析】方法一:根据等比数列的前 项和公式求出公比,再根据 , 的关系即可解出； 方法二: 根据等比数列的前 项和的性质求解. 【解析】方法一: 设等比数列 的公比为 ,首项为 , 若 ,则 ,与题意不符,所以 ; 若 ,则 ,与题意不符,所以 ； 由 可得, ①, 由①可得, ,解得: , 所以 .故选: . 方法二: 设等比数列 的公比为 , 因为 ,所以 ,否则 , 从而, 成等比数列, 所以有, ,解得: 或 , 当 时, , , , ,即为-1,-4,-16, , 易知, ,即 ; 当 时, , 与 矛盾,舍去. 15. 设抛物线 的焦点为 ,点 在 上,过 作 的准线的垂线,垂足为 ,若直线 的方程为 ,则 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 【分析】先由直线 求出焦点 和 即抛物线 的方程,进而依次得抛物线的准线方程和点 ,从而可依次求出 和 ,再由焦半径公式即可得解. 【解析】对 ,令 ,则 , 所以 即抛物线 ,故抛物线的准线方程为 , 故 ,则 ,代入抛物线 得 . 所以 . 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16. 若，求圆心坐标为___________. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案. 【解析】由，可得圆的标准方程为， 所以圆心坐标为. 17. 在中，若，则_____________. 【答案】 【分析】正弦定理； 【解析】：由正弦定理得又所以. 18．在等差数列{an}中，若a2，a2 016为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 009＋a2 015＝________. 【答案】　15 【分析】等差数列性质； 【解析】　由题意知a2＋a2 016＝10，所以a1 009＝5. 所以a1＋a1 009＋a2 017＝3a1 008＝3×5＝15. 19．已知，若，则自然数n＝______. 【答案】5 【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出. 【解析】令，得， 令，得，所以，. 20. 已知直线 与 交于 两点,写出满足 “ 面积为 ” 的 的一个值_____. 【答案】 中任意一个皆可以) 【分析】根据直线与圆的位置关系,求出弦长 ,以及点 到直线 的距离,结合面积公式即可解出. 【解析】设点 到直线 的距离为 ,由弦长公式得 , 所以 ,解得: 或 , 由 ,所以 或 ,解得: 或 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 (1) 求 ； (2) 若 的面积为 ,求 . 【答案】 ； (2) 【分析】( 1 )由余弦定理、平方关系依次求出 ,最后结合已知 得 的值即可; (2) 首先求出 ,然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解. 【解析】(1) 由余弦定理有 ,对比已知 , 可得 , 因为 ,所以 ,从而 , 又因为 ,即 ,注意到 , 所以 . (2) 由 (1) 可得 ,从而 , 而 , 由正弦定理有 ,从而 , 由三角形面积公式可知, 的面积可表示为 由已知 的面积为 ,可得 ,所以 . 22. 如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，且，. （1）求证：平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据边长的关系可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明； （2）利用等体积法求点到面的距离. 【解析】（1），，, ，, ，, 又平面, 平面. （2）设点A到平面的距离为，中边上的高为. 在中，边上的高， 所以， 又 所以，即, 所以，解得. 即点A到平面的距离为. 23．某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立． （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大． 【答案】 见解析； 【分析】概率与统计中数据处理及期望； 【解析】（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，，， 乙同学总得分40分记为事件，则，，， 且， ． （2）由题可知，20，40，60， ， ， ， ， 甲总得分的分布列： 0 20 40 60 ． （3）甲获胜的概率为， 乙获胜的概率为，因为，所以甲获胜概率更大． 24. 已知 和 为椭圆 上两点. (1) 求 的离心率; (2)若过 的直线 交 于另一点 ,且 的面积为 9,求 的方程. 【答案】 (1) ；(2) 直线 的方程为 或 . 【分析】(1) 代入两点得到关于 的方程,解出即可; (2) 方法一:以 为底,求出三角形的高,即点 到直线 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到 点坐标,则得到直线 的方程; 方法二: 同法一得到点 到直线 的距离,再设 ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可； 【解析】(1) 由题意得 ,解得 , 所以 . (2) 法一: ,则直线 的方程为 ,即 , ,由(1)知 , 设点 到直线 的距离为 ,则 , 则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可, 此时该平行线与椭圆的交点即为点 , 设该平行线的方程为: ,则 ,解得 或 , 当 时,联立 ,解得 或 , 即 或 , 当 时,此时 ,直线 的方程为 ,即 , 当 时,此时 ,直线 的方程为 ,即 , 当 时,联立 得 , ,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线 的方程为 或 . 法二: 当直线 的斜率不存在时,此时 , ,符合题意,此时 ,直线 的方程为 ,即 , 当线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 联立椭圆方程有 ,则 ,其中 ,即 , 解得 或 , 令 ,则 ,则 同上得到直线 的方程为 , 点 到直线 的距离 , 则 ,解得 , 此时 ,则得到此时 ,直线 的方程为 ,即 , 综上直线 的方程为 或 . 25. 记 为数列 的前 项和,已知 是公差为 的等差数列. (1) 求 的通项公式； (2) 证明: . 【答案】 (1) ；(2) 见解析； 【分析】(1) 利用等差数列的通项公式求得 ,得到 ,利用和与项的关系得到当 时, ,进而得: ,利用累乘 法求得 ,检验对于 也成立,得到 的通项公式 ; (2) 由 (1) 的结论,利用裂项求和法得到 ,进而证得. 【解析】(1) ,又 是公差为 的等差数列, , 当 时, , , 整理得: ,即 , 显然对于 也成立 的通项公式 ; , 26．已知函数f(x)＝为奇函数． (1)求实数a的值； (2)求证：f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数； (3)若对任意的x1，x2∈[2,4]，都有f(x1)－f(x2)≤m2－2m－2，求实数m的取值范围． 【答案】 见解析； 【分析】函数的性质奇偶性及单调性； 【解析】(1)由f(x)为奇函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可得f(－1)＝－f(1)， 即－(1－a＋4)＝－(1＋a＋4)，解得a＝0， 此时f(x)＝x＋，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－x－＝－f(x)，满足f(x)为奇函数． （2）证明：对任意x1，x2∈[2，＋∞)，x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝. 由2≤x1＜x2，可得x1x2＞4，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，则f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． （3）由f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 可得对任意x1，x2∈[2,4]，f(x1)－f(x2)≤f(4)－f(2)＝1， 则m2－2m－2≥1，解得m≤－1或m≥3，即实数m的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $