2026年四川省对口升学考前数学冲刺卷（6）

四川对口升学考前数学冲刺卷（6） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角为，则的值为( ) A． B． C． D． 3.在中，点、在边上，，设，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5. 若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（ ） A. 256 B. 64 C. 27 D. 8 6．已知直线，平行，则它们之间的距离是( ) A．1 B．2 C． D． 7.在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． 8.设，则的大小关系为(　　) 9.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n 10．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是　　 A． B． C． D． 11．圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 12．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．设为抛物线焦点，点在上，点，若，则　　 A．2 B． C．3 D． 14. 已知直线 与圆 ,点 ,则下列说法不正确的是 ( ) A. 若点 在圆 上,则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内,则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外,则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上,则直线 与圆 相切 15．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16．如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______． 17.计算＝　 　． 18.函数(其中，)的图象如图，则此函数表达式为 . 19.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为 ． 20．已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21.如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证： (1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE. 22．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 22．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 24．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线（非轴）交椭圆于，两点，以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 25．中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中0.4的人选择只游览牂牁江，另外0.6的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求； 26．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川对口升学考前数学冲刺卷（6） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合的并集运算； 【解析】由题意得. 2．若直线的倾斜角为，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同角三角函数运算； 【解析】由题意，∴． 3.在中，点、在边上，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面向量的线性运算； 【解析】 由，可得， 则， 又，，所以. 4．已知函数，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的奇偶性； 【解析】函数的定义域为，， 函数为奇函数，则. 5. 若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（ ） A. 256 B. 64 C. 27 D. 8 【答案】B 【分析】根据正方体体对角线为外接球直径计算即可. 【解析】因为球的表面积为， 所以，解得， 设正方体的棱长为，因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线， 所以，即，所以. 6．已知直线，平行，则它们之间的距离是( ) A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行及平行线间距离； 【解析】因为直线，平行，所以有， 因此两平行线间的距离为：. 7.在的展开式中，的系数是（    ） A．35 B． C．560 D． 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 令， 所以的展开式中的系数为. 8.设，则的大小关系为(　　) 【答案】D 【分析】指数、对数比较大小； 【解析】 ， 的大小关系为． 9.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n 【答案】A 【分析】立体几何线线、线面位置关系； 【解析】对于选项A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n⊂α， 又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正确； 对于选项B，由条件可得m⊥n或m∥n，或m与n既不垂直也不平行，故B不正确； 对于选项C，由条件可得m∥n或m，n相交或m，n异面，故C不正确； 对于选项D，由题意得m⊥n，故D不正确． 10．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】排列组合应用. 【解析】先求小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小的数的十位，个位无限制，分两步： （1） 取百位的概率为． （2） 取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给，作十位， 而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等， 此步符合要求的概率为， 小于100的概率为，大于100的概率是． 11．圆心为且和轴相切的圆的方程是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆的标准方程； 【解析】由已知可得，圆心到轴的距离，因为轴与圆相切，所以. 所以，圆的方程为. 12．设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充要条件； 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 13．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则　　 A．2 B． C．3 D． 【答案】 【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解的坐标，然后求解即可． 【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，， 由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以． 14. 已知直线 与圆 ,点 ,则下列说法不正确的是 ( ) A. 若点 在圆 上,则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内,则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外,则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上,则直线 与圆 相切 【答案】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【解析】圆心 到直线 的距离 , 若点 在圆 上,则 ,所以 ,则直线 与圆 相切,故 正确; 若点 在圆 内,则 ,所以 ,则直线 与圆 相离,故 正确; 若点 在圆 外,则 ,所以 ,则直线 与圆 相交,故 错误; 若点 在直线 上,则 即 ,所以 ,直线 与圆 相切, 故 正确. 15．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【解析】令，则，且定义域为， 所以为奇函数， 因为函数在上均为增函数，所以函数在上为增函数， 因为， 所以原不等式可转化为， 即，由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 16．如果函数在区间上是单调递增的，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【解析】由题意得，当时，函数，满足题意， 当时，则，解得， 综合得所求实数的取值范围为. 17.计算＝　 　． 【答案】 【分析】指数、对数的运算. 【解析】 ＝． 18.函数(其中，)的图象如图，则此函数表达式为 . 【答案】 【分析】三角函数正弦型函数图像； 【解析】如图所示，，，可得，，解得， 所以， 因为函数过，代入， 得，即，， 当时，φ．所以． 19.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为 ． 【答案】96里 【分析】本题考查数学文化中的等比数列应用； 【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走的路程为（里）． 20．已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为 ． 【答案】． 【分析】两直线方程联立消去参数得点轨迹方程，轨迹为圆，由到圆心距离加半径得所求最大值． 【解析】由，消去参数得， 所以点在圆上，圆心为，圆半径为1， ，所以． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 21.如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证： (1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE. 【答案】证明见解析 【分析】立体几何线面平行及面面垂直应用； 【解析】(1)如图，AC∩BD＝O，连接OE， 在△PAC中，O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP， 又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE.∴PA∥平面BDE. (2)∵PO⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PO⊥BD， 又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE. 22．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 【答案】见解析； 【分析】（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论； （2）利用（1）中结论求出和的值，即可求出的周长． 【解析】【法一】（1）证明：中，， 所以， 所以， 即，所以， 由正弦定理得，由余弦定理得，所以； 【法二】（角化边）证明：因为， 所以， 所以， 即，所以； （2）当，时，，， 所以，解得， 所以的周长为． 22．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明，再由等差数列通项公式求解； （2）用错位相减法求和． 【解析】（1）∵，∴，即， ∴是等差数列，公差为1， 又，所以 ∴； （2）， ， 相减得， 所以． 24．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线（非轴）交椭圆于，两点，以为直径的圆经过原点，求直线的方程． 【答案】答案见解析； 【分析】（1）根据等差数列的定义证明，再由等差数列通项公式求解； （2）用错位相减法求和． 【解析】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2） 依题意直线斜率存在，设直线的方程为， 并设点，的坐标分别为，，，． 联立方程消去得， 依题意，△，所以， 且，，依题意，即， 整理得， 从而， 所以，解得，，满足． 从而直线的方程为． 25．中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中0.4的人选择只游览牂牁江，另外0.6的人选择既游览牂牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n个人，记这n个人的合计得分恰为分的概率为，求； 【答案】见解析； 【分析】（2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【解析】（1）依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览牂阿江又游览乌蒙大草原， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此，所以. 26．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】答案见解析 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【解析】（1）记； 对任意的，有；对于任意的， 若，则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $