3. 动能和动能定理（同步讲义）物理人教版必修第二册

3.动能和动能定理 【知识梳理】 1 一、 动能 1 二、 动能定理 2 【重难探究】 2 探究1 动能定理的理解 2 探究2 动能定理的应用 5 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 动能 1.定义：物体由于运动而具有的能量。 2.表达式：Ek＝mv2。 3.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。1 J＝1 kg·m2·s－2。　 4.特点： ①具有瞬时性，是状态量。 ②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。 ③是标量，没有方向，也没有负值 知识点2 动能定理 1.动能定理的内容 力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2.动能定理的表达式 ①W＝mv22－mv12。 ②W＝Ek2－Ek1。 说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。 3.动能定理的适用范围 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况 【重难探究】 探究1 　动能定理的理解 【探究导入】如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C处停止． 探究以下问题： (1)物体在运动过程中受几个力作用？做功情况怎样？ 提示：物体受重力、轨道支持力、摩擦力三个力作用．在圆弧轨道上运动时，重力做正功，支持力不做功，摩擦力做负功．在水平轨道上运动时，重力、支持力不做功，摩擦力做负功． (2)从A点到C点，物体初、末状态的动能各是多少？ 提示：物体由A点从静止滑下，最后停在C点，初、末状态的动能都是零． (3)怎样求出从A点到C点过程中物体克服摩擦力做的功？ 提示：设克服摩擦力做功为Wf.根据动能定理mgR－Wf＝0，故Wf＝mgR. 【探究归纳】 对动能定理的理解 (1)表达式W＝ΔEk中的W为合外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能的变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做的功决定了物体动能的变化 【典例赏析】 [例1]　(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小车克服重力所做的功是mgh B．合外力对小车做的功是mv2 C．推力对小车做的功是mv2＋mgh D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx 【答案】ABD　 【详解】选小车克服重力做功W＝mgh，故A正确；由动能定理可知，小车受到的合力所做的功等于小车动能的增量，即W合＝ΔEk＝mv2，故B正确；由动能定理可知，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，故C错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，故D正确。 　【针对训练】 1．一小球竖直向上抛出，小球在运动过程中所受到的空气阻力不可忽略．a为小球运动轨迹上的一点，小球上升和下降经过a点时的动能分别为Ek1和Ek2.从抛出开始到小球第一次经过a点时重力所做的功为W1，从抛出开始到小球第二次经过a点时重力所做的功为W2.下列选项正确的是(　　) A．Ek1＝Ek2，W1＝W2　 B．Ek1＞Ek2，W1＝W2 C．Ek1＜Ek2，W1＜W2 D．Ek1＞Ek2，W1＜W2 【答案】B　 【解析】从抛出开始到第一次经过a点和抛出开始第二次经过a点，重力做的功相等，即W1＝W2；设从小球第一次经过a点到第二次经过a点的过程中，空气阻力做的功为W，根据动能定理有－W＝Ek2－Ek1，可得Ek1＞Ek2，选项B正确． 2．（多选）如图所示，质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的物块（可视为质点）从木板上的左端以速度滑上木板。物块与木板间的动摩擦因数为，经一段时间物块从木板右端离开，下列说法正确的是（　　） A．物块与木板间摩擦产生热量 B．木板的动能等于 C．木板的动能小于 D．物块的动能等于 【答案】AC 【详解】A．物块与木板间摩擦产生热量，故A正确； BC．对木板动能定理 解得 对分析画图像，如图所示 可知相对位移L是图像上部梯形面积，木板位移是下部三角形面积，由图可知木板位移小于相对位移L，即木板的动能小于，故B错误，C正确； D．根据图像，可知物块位移 对物块动能定理 物块的动能等于，故D错误。 故选AC。 探究2 动能定理的应用 【探究导入】如图所示，用一块长L1＝1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m。斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g＝10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 探究以下问题： (1)当θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示) 提示：为使小物块下滑，应有mgsin θ≥μ1mgcos θ θ满足的条件tan θ≥0.05，即当θ＝arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑。 (2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，物块与桌面间的动摩擦因数μ2是多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 提示：克服摩擦力做功Wf＝μ1mgL1cos θ＋μ2mg(L2－L1 cos θ) 由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝0代入数据得μ2＝0.8。 (3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，则此最大距离xm。 提示：物块平抛的水平距离与桌子长度之和为落地点到墙面的最大距离。 由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝mv2，代入数据得v＝1 m/s 由平抛运动规律得H＝gt2，x1＝vt，解得t＝0.4 s，x1＝0.4 m xm＝x1＋L2＝1.9 m。 、【探究归纳】1．应用动能定理解题的基本思路 2．动能定理与牛顿运动定律的比较 比较内容 牛顿运动定律 动能定理 适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用 应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 运算方法 矢量运算 代数运算 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错 【例2】 如图所示，一位滑雪者，人与装备的总质量，由静止开始沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为，在4s的时间内滑下的距离为。g取。求： (1)滑雪者匀加速下滑时的加速度的大小a； (2)4s时间内阻力以及合力对人与装备做的功； (3)在第4s末，人与装备所受重力的功率。 【详解】（1）根据 代入数据，解得滑雪者匀加速下滑时的加速度的大小为 （2）滑雪者在4s末的速度大小为 根据动能定理， 解得， （3）在第4s末，人与装备所受重力的功率为 其中 解得 【针对训练】 3．一质量为的物块在水平力的作用下，以初速度为沿动摩擦因数为0.5的水平面运动，其加速度与位移的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物块做匀变速直线运动 B．从开始运动到时，水平力对物块所做的功为 C．当时，物块的速度为 D．从开始运动到的过程中，水平力的平均值为 【答案】B 【详解】A．根据题图可知物块的加速度随着位移变化，则物块不是做匀变速直线运动，故A错误； C．根据可知图像与轴围成的面积表示，图像与轴围成的面积 即 代入 可得当时，物块的速度，故C错误； B．根据动能定理 可得，故B正确； D．根据 代入数据可得，故D错误。 故选B。 4．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，在竖直平面内有圆心角为，半径的光滑圆弧轨道BCD，其中O为圆心，半径OB在水平方向，C点为圆弧轨道的最低点，水平地面DE与圆弧轨道交于D点，在E处有竖直墙壁。一质量的小球在B点正上方3.4m处被静止释放经过圆弧轨道后刚好垂直打在竖直墙壁的F点（图中未画出），，，。试求： (1)小球在C点处对圆弧轨道的压力； (2)小球在D点处的速度； (3)D点到竖直墙壁的水平距离DE和F点到水平地面的高度EF。 【详解】（1）对小球从A运动到C过程，列动能定理方程有 在C点根据牛顿第二定律方程有 联立解得在C点圆弧轨道对小球的支持力大小为 由牛顿第三定律可得小球在C点处对圆弧轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （2）对小球从A运动到D过程，列动能定理方程有 代入数据解得小球在D点处的速度为 （3）由抛体运动几何关系得 解得 对小球从D运动到F过程，列动能定理方程有 代入数据解得 小球从D到F的运动可以看成逆过程的平抛运动，则根据平抛运动的性质有 解得 所以D点到竖直墙壁的水平距离为 【课堂自测·基础练】 1．一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起对物体施加一水平向左的力，经过一段时间后，物体的速度变为为8m/s，在这段时间内，水平力做功为（　　） A．8 B．24 J C．36 J D．48 J 【答案】D 【详解】由动能定理得 代入数据解得水平力做功为 故选D。 2．一质量为的物体在水平恒力（大小未知）的作用下从静止开始做匀加速直线运动。物体通过的路程为时撤去力，物体继续滑行的路程后停止运动。重力加速度大小为，物体与地面间的动摩擦因数为，则水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由动能定理可得 解得 故选C。 3．2025年11月16日，36岁奥运冠军、河北选手巩立姣再夺女子铅球冠军，实现个人全运会“五连冠”。若铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，铅球在空中运动时的动能随运动时间的变化关系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】铅球做平抛运动，令初速度为，则铅球运动过程的动能 铅球竖直分速度 铅球的速度 解得 可知，铅球动能与时间的关系为二次函数关系，图像为开口向上的抛物线，第一个选项图像满足要求。 故选A。 4．人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端点由静止释放，沿滑道运动到圆弧末端点时速度大小为。已知货物质量，滑道半径，且过点的切线水平，重力加速度取。关于货物从点运动到点的过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做的功为 B．经过点时货物对轨道的压力大小为 C．经过点时货物的向心加速度大小为 D．货物克服阻力做的功为 【答案】C 【详解】A．重力做的功为，故A错误； B．对货物经过点时，由牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律知货物对轨道的压力也等于140N，故B错误； C．对货物经过点时，由向心加速度公式可得，故C正确； D．从P点到Q点，由动能定理 代入数据解得 故货物克服阻力做的功为，故D错误。 故选C。 5．滑板运动由冲浪运动演变而来，已被列为奥运会正式比赛项目。如图所示，某滑板爱好者从斜坡上距平台的高处由静止开始下滑，以大小为6m/s的速度水平离开A点后越过壕沟落在水平地面。已知人与滑板的总质量，取重力加速度，则人与滑板从斜坡下滑到A点过程克服阻力做的功为（　　） A．120J B．240J C．420J D．500J 【答案】C 【详解】人与滑板从斜坡下滑过程中，由动能定理 解 故选C。 6．质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，v-t图像如图所示，图线在0~t1的时间内为倾斜直线，t1∼t2的时间内为曲线。t1时刻，汽车达到额定功率P0，之后保持不变，t2时刻达到最大速度。汽车行驶过程中所受阻力恒定，下列判断正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．汽车的牵引力最大值为 C．当汽车的速度为v2时，加速度大小为 D．0~t2的时间内，汽车的位移为 【答案】C 【详解】A．汽车所受的恒定阻力大小为，故A错误； B．根据牛顿第二定律 其中 解得，故B错误； C．当汽车的速度为v2时，汽车的牵引力为 根据牛顿第二定律 解得，故C正确； D．0~t1的时间内，汽车的位移为 t1~t2的时间内，根据动能定理 解得 所以，0~t2的时间内，汽车的位移为，故D错误。 故选C。 7．如图所示，在倾角为的光滑斜面上，质量为的物块受到沿斜面向上的恒力的作用，从点由静止开始沿斜面向上运动，经时间到达点，此时撤除恒力，又经时间物块返回点，已知、两点竖直高度差为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．恒力大小 B．物块从运动到点过程恒力做的功 C．再经时间物块从点运动到点 D．物块返回点时速度大小 【答案】D 【详解】A．撤去F前，由牛顿第二定律得 撤去F时，物块速度大小为 撤去F后，由牛顿第二定律得 经过时间，物块又返回到Q点，有 联立解得 B．物块从运动点过程恒力做的功，故B错误； C．物块又返回到Q点时的速度大小仍为，此后继续以加速度沿斜面向下加速，再经时间物块的位移大小一定大于PQ，故C错误； D．物块从开始运动到返回点的整个过程中，根据动能定理有 解得 故选D。 8．如图所示，物块与轨道各处的动摩擦因数μ均相同，第一次物块从左侧高h1处的A点由静止滑下，经过一段水平轨道，滑上右侧倾角为θ1的轨道1，滑到高为h2的B点时速度降为0。将轨道1改成倾角为θ2的轨道2（图中的细实线），已知θ2<θ1，轨道2和轨道1的交点恰是B点。第二次物块仍从左侧轨道的A点由静止滑下滑上右侧的轨道2，则（　　） A．物块从高为h1的A处滑下，仍能滑到高为h2的B点 B．物块从高为h1的A处滑下，能够滑过高为h2的B点继续上滑 C．物块从高为h1的A处滑下，不能滑到高为h2的B点 D．由于不知道θ2、θ1的具体数值，无法判定 【答案】A 【详解】设物块由A到B过程中克服摩擦力所做的功为，由动能定理得 设左右两个斜面长度分别为和，倾角分别为和，水平方向投影的长度分别为和，中间水平面的长度为，则， 物块从A到B的过程中克服摩擦力所做的功为 即物块从A到B的过程中克服摩擦力做的功与两斜面的倾角无关，取决于A与B水平方向的距离，故物块从高为h1的A处滑下，仍能恰好滑到高为h2的B点。 故选A。 9．（多选）如图所示，轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆上O点有一竖直方向的固定转动轴，A、B的质量之比为4：1，A、B到O点的距离之比为1：2。当轻杆绕轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．A的角速度等于B的角速度 B．A的向心加速度大小大于B的向心加速度大小 C．A的动能等于B的动能 D．A对杆的作用力大小等于B对杆的作用力大小 【答案】AC 【详解】A．两球绕同轴转动，则角速度相等，故A正确； B．根据a=ω2r可知，A的向心加速度大小小于B的向心加速度大小，故B错误； C．根据 可知，A的动能等于B的动能，故C正确； D．根据F=mω2r可知，A对杆的作用力大小与B对杆的作用力大小之比为2:1，故D错误。 故选AC。 10．（多选）“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为m的小物块放在半径为的碟子边缘，随碟子一起在水平面内绕圆心A做圆周运动。某次表演中，碟子从静止开始加速转动，转动5圈后角速度达到，小物块与碟子间的动摩擦因数为且始终无相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块所受摩擦力为静摩擦力，方向始终指向圆心 B．的最大值为 C．碟子角速度从0增加到的过程中，摩擦力对小物块做功 D．碟子角速度从0增加到的过程中，摩擦力对小物块做功 【答案】BC 【详解】A．小物块所受摩擦力为静摩擦力，由于小物块不是做匀速圆周运动，则静摩擦力的方向不是指向圆心，A错误； B．根据 可知的最大值为，B正确； CD．根据动能定理，碟子角速度从0增加到的过程中，摩擦力对小物块做功，C正确，D错误。 故选BC。 11．（多选）如图，升降机以1m/s2的加速度从静止开始匀加速上升5m的过程中，质量为1kg的物块始终与升降机内固定的斜面相对静止，重力加速度大小取10m/s2，则此过程中（　　） A．斜面体对物块做的功等于物块动能的增加量 B．斜面体对物块做的总功为55J C．合力对物块做的总功为5J D．在升降机上升了5m时，斜面对物块作用力做功的瞬时功率为 【答案】BC 【详解】A．根据动能定理，可知合力对物块做的功等于物块动能的增加量，故A错误； B．设斜面体对物块的作用力为F，在竖直方向上根据牛顿第二定律有 解得 则斜面体对物块做的总功为，故B正确； C．合力对物块做功，故C正确； D．升降机上升5m时，根据速度位移公式有 解得物块的速度 斜面对物块作用力做功的瞬时功率，故D错误。 故选BC。 12．（多选）B、A两个滑块先后在同一水平地面上运动，在经过O点时二者的动能相同且运动方向一致，随后它们仅在摩擦力作用下经过相同的时间后停止运动。已知，重力加速度取，则下列说法正确的是（    ） A．A、B两滑块与地面间的动摩擦因数之比 B．A、B两滑块与地面间的动摩擦因数之比 C．从O点开始，A、B两滑块在地面上运动的位移之比 D．若经过O点后，A滑块运动了1.5m后停下，则两滑块停止位置相距0.8m 【答案】BC 【详解】AB．两物体在经过O点时二者的动能相同且运动方向一致，则有， 可得 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 由于它们仅在摩擦力作用下经过相同的时间后停止运动，联立可得，故A错误，B正确； C．根据逆向思维可得 可得从O点开始，A、B两滑块在地面上运动的位移之比，故C正确； D．若经过O点后，A滑块运动了1.5m后停下，则B滑块运动的位移为 则两滑块停止位置相距，故D错误。 故选BC。 13．（多选）如图所示，水平传送带在电动机带动下始终保持以速度v匀速运动，某时刻一质量为m的物块轻放在传送带的左端。在物块放上传送带到物块与传送带相对静止的过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带对物块所做的功为 B．物块对传送带所做的功为 C．物块与传送带间由于摩擦而产生的热量为 D．由于传送该物块电动机需要多做的功为 【答案】AB 【详解】A．物块相对传送带静止时物块的速度等于传送带速度v。对物块，由动能定理得 传送带对物块所做的功为，故A正确； B．设经过时间t物块与传送带速度相等，物块的位移 传送带的位移 传送带对物块做功 物块对传送带做功，故B正确； C．物块与传送带间由于摩擦力产生的热量，故C错误； D．电动机多做的功转化成了物块的动能和系统的内能，所以电动机多做的功为，故D错误。 故选AB。 14．我国第一艘电磁弹射型航空母舰福建舰入列。某次弹射试验，质量为的歼-35舰载机的速度在前内从0增加到，将此过程看作匀加速直线运动。求此过程 (1)歼-35运动的距离； (2)合外力对歼-35做的功。 【详解】（1）根据平均速度公式推论可知，歼-35运动的距离 （2）根据动能定理可知，合外力对歼-35做的功 【素养进阶·提升练】 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（   ） A．4×105J B．4×104J C．4×103J D．4×102J 【答案】B 【详解】高中生的质量约为50kg，根据动能定理有 故选B。 2．（2025·浙江·高考真题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 【答案】C 【详解】A．地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 过近日点做一个以太阳为圆心的圆形轨道，卫星在该圆形轨道上的速度比彗星在椭圆轨道上近日点速度小，而比地球公转的速度大，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误； B．从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误； C．根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确； D．万有引力提供加速度 则哈雷彗星的加速度与地球的加速度比值为 D错误。 故选C。 3．（2025·江西·高考真题）每逢端午节，江西各地常会举办热闹非凡的赛龙舟活动。利用与某龙舟同方向匀速直线飞行的无人机跟踪拍摄，发现在某段时间内该龙舟做匀加速和匀减速交替的周期性直线运动。若以无人机为参考系，该龙舟在时间内速度由0增加到（划桨阶段），再经历时间速度减为0（未划桨阶段），则关于这段时间内该龙舟的位置x、速度v、加速度a、动能与时间t的关系，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A．位移时间图像斜率代表速度，所以斜率先增大后减小，再增大再减小，故A正确； B．龙舟在时间内速度由0增加到（划桨阶段），再经历时间速度减为0，速度方向始终为正向，故B正确； C．因为是匀加速和匀减速，所以加速度在时间内是不变的，后0.6s内也是不变的，故C错误； D．根据可知，前开口向上，故D错误。 故选AB。 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理 代入数据解得雪块到A点速度大小为 （2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理 代入数据解得雪块到地面速度大小 速度与水平方向夹角，满足 解得 5．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM在P点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一水平向右推力F作用在A上，使A、B向右运动。以x表示A离开初始位置的位移，F随x变化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为0.2 kg，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B与水平轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取。 （1）求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，推力F做的功； （2）求A的位移为1 m时，A、B间的作用力大小； （3）若B能到达M点，求半圆形轨道半径应满足的条件。 【详解】（1）求，F做的功 （2）对AB整体，根据牛顿第二定律 其中 对B根据牛顿第二定律 联立解得 （3）当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据（2）分析可知此时 此时 过程中，对A、B根据动能定理 根据题图可得 从点到点，根据动能定理 在点的最小速度满足 联立可得 即圆弧半径满足的条件。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.动能和动能定理 【知识梳理】 1 一、 动能 1 二、 动能定理 2 【重难探究】 2 探究1 动能定理的理解 2 探究2 动能定理的应用 5 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 知识点1 动能 1.定义：物体由于运动而具有的能量。 2.表达式：Ek＝mv2。 3.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。1 J＝1 kg·m2·s－2。　 4.特点： ①具有瞬时性，是状态量。 ②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。 ③是标量，没有方向，也没有负值 知识点2 动能定理 1.动能定理的内容 力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2.动能定理的表达式 ①W＝mv22－mv12。 ②W＝Ek2－Ek1。 说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。 3.动能定理的适用范围 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况 【重难探究】 探究1 　动能定理的理解 【探究导入】如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A由静止下滑时，恰好运动到C处停止． 探究以下问题： (1)物体在运动过程中受几个力作用？做功情况怎样？ 提示：物体受重力、轨道支持力、摩擦力三个力作用．在圆弧轨道上运动时，重力做正功，支持力不做功，摩擦力做负功．在水平轨道上运动时，重力、支持力不做功，摩擦力做负功． (2)从A点到C点，物体初、末状态的动能各是多少？ 提示：物体由A点从静止滑下，最后停在C点，初、末状态的动能都是零． (3)怎样求出从A点到C点过程中物体克服摩擦力做的功？ 提示：设克服摩擦力做功为Wf.根据动能定理mgR－Wf＝0，故Wf＝mgR. 【探究归纳】 对动能定理的理解 (1)表达式W＝ΔEk中的W为合外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能的变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做的功决定了物体动能的变化 【典例赏析】 [例1]　(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小车克服重力所做的功是mgh B．合外力对小车做的功是mv2 C．推力对小车做的功是mv2＋mgh D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx 　【针对训练】 1．一小球竖直向上抛出，小球在运动过程中所受到的空气阻力不可忽略．a为小球运动轨迹上的一点，小球上升和下降经过a点时的动能分别为Ek1和Ek2.从抛出开始到小球第一次经过a点时重力所做的功为W1，从抛出开始到小球第二次经过a点时重力所做的功为W2.下列选项正确的是(　　) A．Ek1＝Ek2，W1＝W2　 B．Ek1＞Ek2，W1＝W2 C．Ek1＜Ek2，W1＜W2 D．Ek1＞Ek2，W1＜W2 2．（多选）如图所示，质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的物块（可视为质点）从木板上的左端以速度滑上木板。物块与木板间的动摩擦因数为，经一段时间物块从木板右端离开，下列说法正确的是（　　） A．物块与木板间摩擦产生热量 B．木板的动能等于 C．木板的动能小于 D．物块的动能等于 探究2 动能定理的应用 【探究导入】如图所示，用一块长L1＝1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m。斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g＝10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 探究以下问题： (1)当θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示) 提示：为使小物块下滑，应有mgsin θ≥μ1mgcos θ θ满足的条件tan θ≥0.05，即当θ＝arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑。 (2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，物块与桌面间的动摩擦因数μ2是多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 提示：克服摩擦力做功Wf＝μ1mgL1cos θ＋μ2mg(L2－L1 cos θ) 由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝0代入数据得μ2＝0.8。 (3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，则此最大距离xm。 提示：物块平抛的水平距离与桌子长度之和为落地点到墙面的最大距离。 由动能定理得mgL1sin θ－Wf＝mv2，代入数据得v＝1 m/s 由平抛运动规律得H＝gt2，x1＝vt，解得t＝0.4 s，x1＝0.4 m xm＝x1＋L2＝1.9 m。 、【探究归纳】1．应用动能定理解题的基本思路 2．动能定理与牛顿运动定律的比较 比较内容 牛顿运动定律 动能定理 适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用 应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 运算方法 矢量运算 代数运算 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错 【例2】 如图所示，一位滑雪者，人与装备的总质量，由静止开始沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为，在4s的时间内滑下的距离为。g取。求： (1)滑雪者匀加速下滑时的加速度的大小a； (2)4s时间内阻力以及合力对人与装备做的功； (3)在第4s末，人与装备所受重力的功率。 【针对训练】 3．一质量为的物块在水平力的作用下，以初速度为沿动摩擦因数为0.5的水平面运动，其加速度与位移的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物块做匀变速直线运动 B．从开始运动到时，水平力对物块所做的功为 C．当时，物块的速度为 D．从开始运动到的过程中，水平力的平均值为 4．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，在竖直平面内有圆心角为，半径的光滑圆弧轨道BCD，其中O为圆心，半径OB在水平方向，C点为圆弧轨道的最低点，水平地面DE与圆弧轨道交于D点，在E处有竖直墙壁。一质量的小球在B点正上方3.4m处被静止释放经过圆弧轨道后刚好垂直打在竖直墙壁的F点（图中未画出），，，。试求： (1)小球在C点处对圆弧轨道的压力； (2)小球在D点处的速度； (3)D点到竖直墙壁的水平距离DE和F点到水平地面的高度EF。 【课堂自测·基础练】 1．一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起对物体施加一水平向左的力，经过一段时间后，物体的速度变为为8m/s，在这段时间内，水平力做功为（　　） A．8 B．24 J C．36 J D．48 J 2．一质量为的物体在水平恒力（大小未知）的作用下从静止开始做匀加速直线运动。物体通过的路程为时撤去力，物体继续滑行的路程后停止运动。重力加速度大小为，物体与地面间的动摩擦因数为，则水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 3．2025年11月16日，36岁奥运冠军、河北选手巩立姣再夺女子铅球冠军，实现个人全运会“五连冠”。若铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，铅球在空中运动时的动能随运动时间的变化关系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端点由静止释放，沿滑道运动到圆弧末端点时速度大小为。已知货物质量，滑道半径，且过点的切线水平，重力加速度取。关于货物从点运动到点的过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做的功为 B．经过点时货物对轨道的压力大小为 C．经过点时货物的向心加速度大小为 D．货物克服阻力做的功为 5．滑板运动由冲浪运动演变而来，已被列为奥运会正式比赛项目。如图所示，某滑板爱好者从斜坡上距平台的高处由静止开始下滑，以大小为6m/s的速度水平离开A点后越过壕沟落在水平地面。已知人与滑板的总质量，取重力加速度，则人与滑板从斜坡下滑到A点过程克服阻力做的功为（　　） A．120J B．240J C．420J D．500J 6．质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，v-t图像如图所示，图线在0~t1的时间内为倾斜直线，t1∼t2的时间内为曲线。t1时刻，汽车达到额定功率P0，之后保持不变，t2时刻达到最大速度。汽车行驶过程中所受阻力恒定，下列判断正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．汽车的牵引力最大值为 C．当汽车的速度为v2时，加速度大小为 D．0~t2的时间内，汽车的位移为 7．如图所示，在倾角为的光滑斜面上，质量为的物块受到沿斜面向上的恒力的作用，从点由静止开始沿斜面向上运动，经时间到达点，此时撤除恒力，又经时间物块返回点，已知、两点竖直高度差为，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．恒力大小 B．物块从运动到点过程恒力做的功 C．再经时间物块从点运动到点 D．物块返回点时速度大小 8．如图所示，物块与轨道各处的动摩擦因数μ均相同，第一次物块从左侧高h1处的A点由静止滑下，经过一段水平轨道，滑上右侧倾角为θ1的轨道1，滑到高为h2的B点时速度降为0。将轨道1改成倾角为θ2的轨道2（图中的细实线），已知θ2<θ1，轨道2和轨道1的交点恰是B点。第二次物块仍从左侧轨道的A点由静止滑下滑上右侧的轨道2，则（　　） A．物块从高为h1的A处滑下，仍能滑到高为h2的B点 B．物块从高为h1的A处滑下，能够滑过高为h2的B点继续上滑 C．物块从高为h1的A处滑下，不能滑到高为h2的B点 D．由于不知道θ2、θ1的具体数值，无法判定 9．（多选）如图所示，轻杆两端分别固定着可以视为质点的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，杆上O点有一竖直方向的固定转动轴，A、B的质量之比为4：1，A、B到O点的距离之比为1：2。当轻杆绕轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．A的角速度等于B的角速度 B．A的向心加速度大小大于B的向心加速度大小 C．A的动能等于B的动能 D．A对杆的作用力大小等于B对杆的作用力大小 10．（多选）“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为m的小物块放在半径为的碟子边缘，随碟子一起在水平面内绕圆心A做圆周运动。某次表演中，碟子从静止开始加速转动，转动5圈后角速度达到，小物块与碟子间的动摩擦因数为且始终无相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．小物块所受摩擦力为静摩擦力，方向始终指向圆心 B．的最大值为 C．碟子角速度从0增加到的过程中，摩擦力对小物块做功 D．碟子角速度从0增加到的过程中，摩擦力对小物块做功 11．（多选）如图，升降机以1m/s2的加速度从静止开始匀加速上升5m的过程中，质量为1kg的物块始终与升降机内固定的斜面相对静止，重力加速度大小取10m/s2，则此过程中（　　） A．斜面体对物块做的功等于物块动能的增加量 B．斜面体对物块做的总功为55J C．合力对物块做的总功为5J D．在升降机上升了5m时，斜面对物块作用力做功的瞬时功率为 13．（多选）如图所示，水平传送带在电动机带动下始终保持以速度v匀速运动，某时刻一质量为m的物块轻放在传送带的左端。在物块放上传送带到物块与传送带相对静止的过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带对物块所做的功为 B．物块对传送带所做的功为 C．物块与传送带间由于摩擦而产生的热量为 D．由于传送该物块电动机需要多做的功为 【素养进阶·提升练】 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（   ） A．4×105J B．4×104J C．4×103J D．4×102J 2．（2025·浙江·高考真题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 3．（2025·江西·高考真题）每逢端午节，江西各地常会举办热闹非凡的赛龙舟活动。利用与某龙舟同方向匀速直线飞行的无人机跟踪拍摄，发现在某段时间内该龙舟做匀加速和匀减速交替的周期性直线运动。若以无人机为参考系，该龙舟在时间内速度由0增加到（划桨阶段），再经历时间速度减为0（未划桨阶段），则关于这段时间内该龙舟的位置x、速度v、加速度a、动能与时间t的关系，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 5．（2025·福建·高考真题）如图甲，竖直平面内，一长度大于4 m的水平轨道OP与光滑半圆形轨道PNM在P点平滑连接，固定在水平地面上。可视为质点的A、B两小物块靠在一起，静置于轨道左端。现用一水平向右推力F作用在A上，使A、B向右运动。以x表示A离开初始位置的位移，F随x变化的图像如图乙所示。已知A、B质量均为0.2 kg，A与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，B与水平轨道间的摩擦不计，重力加速度大小取。 （1）求A离开初始位置向右运动1 m的过程中，推力F做的功； （2）求A的位移为1 m时，A、B间的作用力大小； （3）若B能到达M点，求半圆形轨道半径应满足的条件。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $