专题02 函数概念与基本初等函数（6大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 函数概念与基本初等函数 6大考点概览 考点01函数的图象及其应用 考点02函数单调性及其应用 考点03函数奇偶性、周期性等性质的综合应用 考点04指数运算及对数运算问题 考点05抽象函数问题 考点06分段函数问题 ( 函数的图象及其应用 考点1 ) 1．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 3．（2026·甘肃·一模）根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 5．（2026·辽宁辽阳·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北沧州·一模）将函数的图象向右平移2个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   7．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 8．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·一模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 11．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东江门·一模）已知函数，若，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山东济南·一模）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   15．（2026·重庆九龙坡·一模）函数部分图象如图，则可能是（   ） A． B． C． D． ( 函数单调性及其应用 考点2 ) 1．（2026·辽宁抚顺·一模）设函数，若，则与0的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（多选）（2026·江苏南通·一模）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·湖北襄阳·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 11．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______． 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． ( 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用 考点3 ) 1．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2026·河北张家口·一模）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 7．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（2026·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 11．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． ( 指数运算与对数运算问题 考点 4 ) 1．（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河东·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（    ） A．3min B．6min C．9min D．24min 4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．（2026·贵州安顺·一模）设方程的两个根为，则（    ） A．0 B．1 C．e D． 7．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·宁夏银川·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________. 12．（2026·四川遂宁·一模）________. 13．（2026·湖北十堰·一模）已知，，用，表示______. 14．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 15．（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. ( 抽象函数 考点 5 ) 1．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 3．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 4．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 5．（多选）（2026·山东临沂·一模）已知函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·河南濮阳·一模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 7．（多选）（2026·宁夏银川·一模）已知函数与及其导函数与的定义域均为，的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，若，则（   ） A． B． C．4为的周期 D． 8．（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．的图象关于点对称 9．（多选）（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 10．（多选）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 11．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 12．（多选）（2026·山东滨州·一模）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 13．（多选）（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 14．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 16．（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递减 C． D．数列的前n项和为，则 17．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 ( 分段函数 考点 6 ) 1．（2026·广东广州·一模）已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 2．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·江西南昌·一模）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·一模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南永州·一模）已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 11．（多选）（2026·湖北荆州·一模）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有5个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 12．（多选）（2026·新疆·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的单调递增区间为和 C．函数的图象与直线有且仅有一个交点 D．若，且，则有最小值 13．（2026·新疆·一模）已知函数，则___________． 14．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 15．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为______． 不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 17．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数概念与基本初等函数 6大考点概览 考点01函数的图象及其应用 考点02函数单调性及其应用 考点03函数奇偶性、周期性等性质的综合应用 考点04指数运算及对数运算问题 考点05抽象函数问题 考点06分段函数问题 ( 函数的图象及其应用 考点1 ) 1．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果. 【详解】，，则，即定义域为，设，则，故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC， 当时，，，，，排除A，所以选项D正确. 3．（2026·甘肃·一模）根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图像，当时，函数的图像在函数的上方，而在图像的上方，所以. 4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应，若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1，若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0，所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 5．（2026·辽宁辽阳·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，故函数为偶函数，排除AC选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 6．（2026·河北沧州·一模）将函数的图象向右平移2个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】由题求得的解析式，判断奇偶性可排除AC；当时，由对勾函数的性质可判断的单调性，可排除D，得解. 【详解】因为，所以，其定义域为，且，所以为偶函数，故排除A，C；又时，，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，故排除D.故选：B. 7．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误；对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确；对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误；对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 8．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案. 【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符，故A错误； 对于B选项，， 所以函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误； 对于C选项，设，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误； 对于D选项，设，该函数的定义域为，，所以函数为奇函数，当时，，， 由，可得；由，可得或，所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，与题中函数图象相符，故D正确. 9．（2026·福建泉州·一模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且当时，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数的定义域为，且其图像关于原点对称， 即函数为奇函数，且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为，且满足， 所以函数为奇函数，当时，且，所以D不符合题意. 10．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象，由题可知函数图象恰好与函数的图象重合，所以，即，又且，所以. 11．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1，而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为,且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 12．（2026·广东江门·一模）已知函数，若，则的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意令，即，得，又，即， 得或，令，则， 可化为，则是函数的图像与直线的交点横坐标，如图所示， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的大小关系不可能是， 13．（2026·山东济南·一模）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象上存在不同的两点关于轴对称，得到关于的表达式，然后通过函数的单调性和最大值，进而确定的取值范围. 【详解】设函数图象上关于轴对称的两点分别为， 因为这两点都在函数的图象上，所以有， 两式相减得：， 整理并化简得：，即，因为，所以，即， 令，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为，所以，所以，故选：D 14．（2026·安徽淮北·一模）函数在AI神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为大致图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】求出排除选项BD，利用导数法求出的单调性得到结论. 【详解】，，排除选项BD， ，， 设，， 当时，即，，则在范围内是单调递增函数； 当时，即，，则在范围内是单调递减函数； 当时，，，在范围内是单调递增函数； 当时，在范围内是单调递增函数， ，，，使得， 当时，，，则在是单调递减函数； 当时，，，则在是单调递增函数；则选项A符合. 故选：A. 15．（2026·重庆九龙坡·一模）函数部分图象如图，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（1）定义域：处无定义，函数在该点断开；（2）奇偶性：图象关于原点对称，函数为奇函数；（3）零点：、处函数值为0；（4）极限趋势：时，函数值趋向于无穷大；逐个分析判断正误即可. 【详解】选项A：奇偶性：，是偶函数，与图象的奇函数特征矛盾.A错误.选项B：奇偶性：，是奇函数，符合； 零点：，对应、，与图象零点一致； 极限趋势：时，时，与图象趋势一致；定义域：，符合图象特征. 综上B正确.选项C：零点：，时，，与图象中为零点矛盾. C错误.选项D：定义域：（处有定义，），与图象处无定义矛盾. D错误.故选：B. ( 函数单调性及其应用 考点2 ) 1．（2026·辽宁抚顺·一模）设函数，若，则与0的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，且，所以，由对数函数性质得在上单调递减， 而，则，故A正确. 2．（多选）（2026·江苏南通·一模）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以，即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以，即； 故选：BD. 3．（多选）（2026·河北·一模）设且，若，则下列大小关系可能成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以.又， 所以.构造函数，则的定义域为，，所以在上单调递减，又，所以当时，，即，所以，所以，故CD正确； 当时，，即，所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 4．（多选）（2026·湖北襄阳·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造函数，利用导数求解函数的单调性即可得解. 【详解】由于，故构造函数， 则，令， 故，因此在上单调递增， 故，故在恒成立，故在上单调递增， 因此，即. 5．（多选）（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，可判断D. 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，，由于在上单调递增，故在上单调递增，则在上单调递增，故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得，当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性：当时，令，当时，，则时，，则；时，， 则；即可知为奇函数，D正确. 6．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出函数的图像，结合图像，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减，可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减，函数的图像如图所示，结合图像可得，不等式的解集为.故选：A. 7．（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则，故a的取值范围是. 8．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即，所以，令，因为当时，都有，所以函数在上单调递增.又不等式两边同乘以，得， 即，即，所以，故， 解得，即. 9．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到在为单调递减函数，且，利用对数函数的单调性，求得，结合的单调性，即可求解. 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且，所以， ，因为，所以，，，可得，所以， 即，所以. 10．（2026·河北保定·一模）已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数，利用函数唯一性得到与的对数关系，进而代换消元求出. 【详解】由得，即， 令，则定义域，且， 当时，，在单调递增， 由可得，且， 所以，即，所以，得. 【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值. 11．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故.由题设有， 而，故，故，故，且， 故设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故，故A正确，BCD错误. 12．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ，令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ，， 即，关于对称， ，，即， 两边平方得，解得， 则实数的取值范围是. 13．（2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数，令，解得， 故函数的定义域为，，故函数是奇函数. 而函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ，所以所求不等式的解集为． 14．（2026·河北张家口·一模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可. 【详解】根据题意，因为函数满足，所以函数的对称轴为直线，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由得，等价于或， 解得或，所以不等式的解集为. ( 函数奇偶性、周期性等性质的综合应用 考点3 ) 1．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数，所以，所以， 所以，所以，所以，因为，所以，解得. 2．（2026·江西赣州·一模）若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以，因为，，所以，可得，又因为且，解得，此时，因为，故当时，函数为偶函数，故. 3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可. 【详解】因为，所以，所以， 即.所以是周期为4的周期函数.所以. 在中，令，则，所以.因此. 3．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，，则.故选：A 4．（2026·广东江门·一模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以，又， 所以，所以，所以. 5．（2026·河北张家口·一模）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和周期性可得答案. 【详解】由是定义在上的偶函数，得；由是定义在上周期为2的函数，所以，又因为， 所以，故. 6．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以，由， 得，所以，得，所以是以4为周期的函数，所以． 7．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，因为函数为偶函数，且为三次函数，所以为奇函数，即，所以， 即，即， 所以，解得. 8．（2026·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，，所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称，所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解. 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到，又关于中心对称，关于中心对称，，将式子中的用代替，得到，是定义在上的偶函数，，，将此式子中的用代替，得到，则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，，是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 11．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：，又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有，又， 则有，由此可得：，即有。 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有，因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为，所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得，因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C 12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 【答案】C 【分析】先通过题干求出的周期；根据偶函数定义判断A选项；通过，结合的单调性与单调性运算性质可判断B选项；利用作差法，结合函数的符号进行比较大小即可判断C选项；结合函数的周期性和对称性判断D选项是否具有周期性. 【详解】已知（①），将替换为得 （②）， 由①+②得，则，即函数周期为， 且恒成立，又是定义域的偶函数，故，且在单调递增， 因此，结合得. 选项A：（③）， 由得，代入③式得， 而，显然，故A错误； 选项B：时，，，递增， 故在递减； 同时，在上单调递增， 因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故B错误； 选项C：因此，已知，故，故C正确； 选项D：，故D错误. ( 指数运算与对数运算问题 考点 4 ) 1．（2026·山西大同·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，，所以，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误； ，D选项正确. 2．（2026·天津河东·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以. 3．（2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（    ） A．3min B．6min C．9min D．24min 【答案】B 【分析】由条件列方程求，再求对应条件下的时间增加量即可. 【详解】由题意可得，解得，所以当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加. 4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数关系式，再代入求值. 【详解】由题意得，是正的常数，故，两边取对数得，故，所以14h后所剩污染物为. 5．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为，已知经过年臭氧含量剩下一半，即，两边同时取对数得：，所以，要求臭氧含量剩初始含量的， 即，所以，即，由，， 得，代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 6．（2026·贵州安顺·一模）设方程的两个根为，则（    ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】先将题设等式利用指对互化和换元，可得方程，该方程的两根为，利用韦达定理、指数幂运算以及立方和公式化简计算即得. 【详解】由可得，设，则，方程可化为， 设该方程的两根为，则，由韦达定理，，则有， 于是.故选：A. 7．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小. 【详解】设，因为，所以.所以， ， . 因为，所以，，故；而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即.综上，. 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以，可得， 根据，且在上单调递增，可得，即， 由在上单调递增，可得，结合，可得. 9．（2026·宁夏银川·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出单调性比较出的大小. 【详解】，，，， ，，，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数，，，，在上是单调递减函数，，，， 为上的单调递减函数，，，， ，即. 10．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1，而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为,且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 11．（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0即可得解. 【详解】令，解得或，即， 因此函数的定义域为. 12．（2026·四川遂宁·一模）________. 【答案】4 【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得． 【详解】. 13．（2026·湖北十堰·一模）已知，，用，表示______. 【答案】 【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解. 【详解】由，得，则；由，得，则， 因此，所以. 14．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用换底公式换为，结合对勾函数求解即可. 【详解】因为，所以令，则，所以，由的图象可知，所以，，所以. 15．（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. 【答案】 【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变量的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】根据题意，由，可得，又， 所以，令，，则，， 所以可得①，②，将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. ( 抽象函数 考点 5 ) 1．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 2．（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称.因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，.所以. 3．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 【答案】A 【详解】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误； 由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 4．（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 【答案】CD 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，，所以一个周期内，所以，故D正确. 故选：CD. 5．（多选）（2026·山东临沂·一模）已知函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A：利用赋值法进行运算判断即可； B：利用反证法进行判断即可； C：运用对数的运算性质，结合已知不等式进行运算判断即可； D：利用函数单调性的定义、题中不等式判断函数的单调性，根据函数值对应自变量的值的特点构造新函数，结合导数的性质、判断新函数的单调性，再结合已知原函数的单调性进行判断即可. 【详解】A：在中，令，得， 令，得 ，故本选项说法正确； B：假设，由上可知，所以有，这与已知当时，矛盾，所以假设不成立，故本选项说法不正确； C：因为，所以， ，即，因为当时，， 所以，所以本选项说法正确； D：设，则有，所以有， 由上可知，所以，所以， 所以当时，单调递增.设，则有， 因为，所以单调递减， 因为，所以，即， 因为当时，函数单调递增，且，所以，因此本选项说法正确. 6．（多选）（2026·河南濮阳·一模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令判断B；令以及得出为奇函数判断A；根据的对称性可得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值判断D. 【详解】令，则，故，则，故B正确； 令，则， 则，则或， 令，则，则， 若，则，也满足，故为奇函数，故A错误； 因为为偶函数，所以的对称轴为，则， 因为为奇函数，所以，则， 则，故，即是的一个周期， 则，故C正确； 因为，所以，； 因为，所以， ，故D正确. 故选：BCD 7．（多选）（2026·宁夏银川·一模）已知函数与及其导函数与的定义域均为，的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，若，则（   ） A． B． C．4为的周期 D． 【答案】ACD 【分析】对A：根据，积分后结合，求得，即可判断；对B：对，令，结合，即可判断；对C：根据关于对称，以及关系，求导后可得；再根据A中推导可得，即可求得，从而求得的周期；对D：根据的周期，求得为的周期，根据周期性，结合，即可判断. 【详解】对A：的图象关于点对称，故可得， 对其积分可得(为常数)，令，则； 由可得，故，也即，故A正确； 对B：若成立，令，则可得，也即； 而根据已知条件可知，相互矛盾，故B错误； 对C：已知，令为可得， 又关于对称，则，故，也即， 对其求导可得，也即，令为，则； 由A知：，故可得，令为，则， 再令为，则，故，故为的周期，C正确； 对D：由C推导可知，令为可得；由A推导可知，联立可知，也即，故为的周期； 又，则，又为的周期可知：， 故，也即，故为的周期； 则，故D正确. 8．（多选）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【详解】令，得，以替代，得， 消去，得.再令，得，即， 所以，即，则，，A正确，C错误. 而，当时，取得最小值，且最小值为，B正确. 因为，所以的图象关于点对称，D正确. 9．（多选）（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ，，， 所以 ，故D正确. 10．（多选）（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【分析】通过对已知等式进行赋值，求出与的表达式，根据表达式逐一分析选项. 【详解】令，则有，所以，故A正确； 因为， 所以对任意均成立， 当取任意值，取定值时，为常数， 当取任意值，取定值时，为常数， 所以与等于同一个常数， 设，令，则， 解得，故B错误； 由，得，所以在上单调递增，故C正确； 因为，所以，令，得， 又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确. 11．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设，不难验证。 ， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 12．（多选）（2026·山东滨州·一模）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据奇偶性可得，，联立解得，结合二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以，即， 联立，解得：， 对于A，，故A错误； 对于B，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为为开口向下，对称轴为的二次函数，所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，由可得：，即函数的最大值为1，故D正确. 13．（多选）（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【分析】A根据奇函数以及令可得；B根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C结合A选项以及单调性即可求出；D结合函数的单调性和对称性判断. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，得，得，故A正确； 令，则，即， 若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又，在R上单调递增，所以时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 14．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 15．（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，，所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 16．（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递减 C． D．数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【详解】由函数方程可得，又， 可推出，可得，对任意正整数数成立. 对于选项:正确.对于选项:递增，故单调递减错误. 对于选项:是凸函数，满足，正确. 对于选项:前项和，正确. 17．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即，当时，成立， 当时，，又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，，由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时，所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. ( 分段函数 考点 6 ) 1．（2026·广东广州·一模）已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 2．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以. 3．（2026·江西南昌·一模）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可. 【详解】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为. 当时，原不等式可化为，即，解得或. 又，所以或.综上，不等式的解集为. 4．（2026·浙江·一模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 5．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以. 6．（2026·湖南永州·一模）已知函数若，则（    ） A．3或1 B．0或-2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，列出关于的不等式组，求解可得，代入可求得其值. 【详解】由的解析式易得在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由，得，所以解得.．故选：C. 7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则，即有，， 且，则，故， 则. 8．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增，且， 所以方程无解；若，，则， 得到，即，整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减，且，所以方程无解；综上，，，所以，.故选：B. 9．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下． 当时，方程在内有2026个实根；当时，方程在内有1个实根，令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根，所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意；或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则，即 解得,综上可得．故选：B 10．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 【答案】D 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，利用不等式性质判断A；数形结合求解判断B；利用对数性质可得，再利用基本不等式求解最小值判断D，构造函数，利用导数法求得，即可判断C. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，所以，故选项A错误； 由二次函数的对称性可得，令或， 所以， 因为方程有四个实根，所以，故选项B错误； 又，则， 即，则，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选项D正确； 由得， 由上面推导可知，所以，， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以，故选项C错误.故答案选D. 11．（2026·湖北荆州·一模）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有5个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；令，将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且这两个根分别在、内，进而求解判断D. 【详解】当时，； 当时，，则； 当时，，则； 当或时，，作出函数的图象如下： 由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有5个交点，则方程有5个不同的解，故C正确； 对于D，令，因为方程有10个不同的解， 所以方程有两个不相等的实数根，设，显然， 则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确. 故选：BCD 12．（2026·新疆·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的单调递增区间为和 C．函数的图象与直线有且仅有一个交点 D．若，且，则有最小值 【答案】ABD 【分析】化简函数解析式，根据解析式直接判断AB，当时，直线与函数部分图象重合可判断C，根据题意求出的表达式，利用导数分析是否存在最值判断D. 【详解】由可得， 所以，故A正确；当时，单调递减，所以单调递增；当时，单调递增，故B正确； 当时，直线与的图象在上重合，有无数个公共点，故C错误； 设，作函数与的图象，如图， 由图可知，，由可分别解得， 所以，令， 则，令， ，令，即，化简可得， 令，显然在时单调递增， 又，，由零点存在性定理知，有唯一使得    ， 且当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以在时有最小值，即有最小值，故D正确. 故选：ABD 13．（2026·新疆·一模）已知函数，则___________． 【答案】3 【分析】先计算内层函数值，再将结果作为自变量代入函数计算外层函数值. 【详解】，，. 14．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当时，，当时，，由，得，则，解得，所以. 15．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值，若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值，故必有在上恒成立，即在上恒成立，令，则，因为当时，， 所以单调递减，当时，，所以，所以的取值范围为. 16．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且，因此，在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则.所以实数的取值范围是. 17．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】至少有两个不同的零点等价于至少有两个根，即与至少有两个交点.画出的图象，分类讨论即可求解. 【详解】至少有两个不同的零点等价于至少有两个根，即与至少有两个交点.的图象如图所示： 当时，存在使得有两根，故满足题意； 当时，存在使得有一个根，有一个根，故满足题意； 当时，，，存在使得有两个根，故满足题意； 当时，在上单调递增，，在上单调递增， ，而，故不存在使得，同时成立，故舍去. 所以的取值范围是： 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $