2026年河北省中考数学一轮专题复习 第四章 三角形课件

目录 第四章　三角形 课时19　全等三角形 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理 性质 1.全等三角形的对应边①　 　，对应角②　 .　 2.全等三角形的周长③　 　，面积④　 .　 3.全等三角形的中线、⑤　 、⑥　 　、中位线都相等 相等 相等 相等 相等 高线 角平分线 全等三角形 返回目录 全等三角形 判定 判定方法 图形 几何语言 三边分别相等的两个三角形全等(基本事实)   ⑦ 　 , ∴△ABC≌ △DEF(⑧　 ) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实)   ⑨ 　 , ∴△ABC ≌△DEF(⑩　 　) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实)   ⑪　 　 , ∴△ABC ≌△DEF(　 　) BC=EF SSS BC=EF SAS AB=DE ASA 返回目录 全等三角形 判定 判定方法 图形 几何语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等   ⑬　 　, ∴△ABC ≌ △DEF(⑭　 ) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等   ⑮　 　, ∴Rt△ABC ≌Rt△DEF ( 　) ∠C=∠F AAS HL AB=DE 返回目录 考点　全等三角形的性质与判定 6年6考 核心考点讲练 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H.若AB＝19，CE＝12，则CH＝　 . 5 返回目录 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F.若AB＝9，CD＝4，则AD的长为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 C 返回目录 3.如图1，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分线于点E. 【发现结论】(1)∠AEB＝ ∠ACB. 【应用结论】当图1中∠ACB＝90°时，如图2所示，延长BC交AE的延长线于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H. 返回目录 (2)判断AE与EG的数量关系，并说明理由. 解：AE＝EG. 理由：由(1)，得∠AEB＝∠ACB＝45°. ∵EH⊥AF，∴∠AEH＝90°.∴∠GEB＝∠AEH－∠AEB＝45°. ∴∠AEB＝∠GEB.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠GBE. 又∵BE＝BE，∴△ABE≌△GBE(ASA).∴AE＝EG. 返回目录 (3)求证：AH＝GF. 解：证明：由题意，得∠AEH＝∠GEF＝∠ACF＝90°. ∴∠F+∠FGE＝∠F＋∠EAH＝90°.∴∠FGE＝∠EAH. 由(2)，可知AE＝EG，∴△HEA △FEG(ASA).∴AH＝GF. 返回目录 4.(2021·河南第23题)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务. 小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为G，H；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.简述理由如下： 由作图，知∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP， 所以Rt△PGO≌ Rt△PHO， 则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线. 返回目录 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下， 如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)； (2)连接DE，CF，交点为P； (3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线. …… 任务： (1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是　　.(填序号) ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL ⑤ 返回目录 解：是.理由：连接EF，如解图所示. 由作图，可知OC＝OD，OF＝OE. 又∵∠COF＝∠DOE，∴△COF≌△DOE(SAS). ∴∠OFC＝∠OED. ∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠PFE＝∠PEF. ∴PF＝PE. 又∵OP＝OP，∴△FOP≌△EOP(SSS). ∴∠FOP＝∠EOP，即射线OP是∠AOB的平分线. (2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由. 返回目录 (3)如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长. 解：2或2. 返回目录 $ 目录 第四章　三角形 课时18　特殊三角形 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理   等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 图形         边 两腰相等 三边相等 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则①　 . 1.两直角边相等 2.三边之比为 ②　 . 　 角 两底角相等 每一个角都等于60° 两锐角和等于90° 两个锐角均等于③　 .　 a2+b2＝c2 1∶1∶ 45° 返回目录   等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 边角 关系 等边对等角, 等角对等边 —— 30°角所对的直角边等于斜边的④　 . 　 —— 重要 线段 三线合一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⑤　 . 　 面积 公式 S ＝ ah S ＝ ah ＝ a2 S ＝ ch ＝ ab S ＝ a2 ＝ c2 一半 一半 返回目录   等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 判定 返回目录   等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 【知识 拓展】 1.含30°角的直角三角形的三边之比为⑥　 　.(如图1) 2.等腰直角三角形的三边之比为⑦　 　.(如图2) 3.顶角为120°的等腰三角形的三边之比为⑧　 　，面积为×腰长2(如图3)   1∶∶2 1∶1∶ 1∶1∶ 返回目录 考点1　等腰三角形的性质与判定 6年5考 核心考点讲练 基础考点过关 1.(2025·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE，则AC的长是(    ) A.4 B.6 C.2 D.3 B 返回目录 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是 . 6 2.(2025·广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝ . －1 返回目录 4.如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC边上一动点，作点C关于直线BD的对称点C′，射线AC′，BD交于点P，则∠APB＝　 °. 45 返回目录 5.(2025·福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA∠ACB＝30°. ∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°. ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 返回目录 (2)求证：△CEG是等边三角形. 解：证明：由平移可知CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°. ∴∠EAC＝∠ECA.∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC. ∴∠GEC∠AEC＝60°. 由(1)知∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°. ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC. ∴△CEG是等边三角形. 返回目录 考点2　直角三角形的性质与判定 6年6考 6.(2025·扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长为 . 6 返回目录 7.如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝2AB，将其沿过点D的直线翻折，使点A落在边BC上的点A′处，折痕交AB于点G，则∠ADG＝ °. 15 返回目录 8.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，此时折痕与AC的交点为E，则AE的长是( ) A. B. C. D. C 返回目录 9.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点F.若EF＝2，CF＝3，则AB的长为(    ) A.8 B.7 C.6 D.5 B 返回目录 重难考点突破 考点3　与特殊三角形有关的多解问题 6年4考 典例1 (2025·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝2，点D在边AC上，CD＝3.若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是 . 7或9 返回目录 典例2 (2025·洛阳模拟)如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，D为BC边上一动点，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接EF.当△AEF为直角三角形时，线段BD的长为　 . 1或 返回目录 跟踪训练 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为 . 6或12 返回目录 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝45°，P是边AB上的一个动点(点P不与点A，B重合).当△BCP是等腰三角形时，AP的长为 . 返回目录 3.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC，点D为AB的中点，以AD为一边在边AB上方作等腰直角三角形ADE，且∠ADE＝90°，将△ADE绕着点A逆时针旋转，当B，D，E三点共线时，线段BE的长为　 . 3 返回目录 $ 目录 第四章　三角形 课时16 线段、角、相交线与平行线 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理 直线和线段 角和角平分线 两个基本事实 1.两点确定一条直线 2.两点之间，① 　 最短 线段 两点间的距离：连接两点的线段的长度 线段的中点：如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的 ②　 　，即AM=③　　=AB 中点 BM 角度换算：度 分 秒(60进制)，1°＝60′，1′=60″. 如：15.5°＝15°④　 　′，10°15′＝⑤ 　 　° ×60 ÷60 ×60 ÷60 30 10.25 余角：若∠1＋∠2=⑥　 ，则∠1与∠2互为余角.同角(等角)的余角⑦　 .　 90° 相等 补角：若∠1＋∠2＝⑧　 　，则∠1与∠2互为补角.同角(等角)的补角⑨　 . 180° 相等 角平分线 性质：角平分线上的点到角两边的距离⑩　 　． 如图，OB平分∠AOC，PM⊥OA，PN⊥OC，则∠AOB＝ ⑪ 　 ＝∠AOC，PM ＝ ⑫　 .　 相等 ∠BOC PN 判定：角的内部到角两边的距离⑬ 　 的点在角的平分线上 相等 线段 、角 、相交线与 平行线 返回目录 相交线 对顶角：对顶角⑭　 　．如图，对顶角有∠1与⑮　 ，∠2与∠4等 相等 ∠3 邻补角：邻补角之和等于⑯　 ．如图，互为邻补角的有∠1与∠2，∠2与∠3等 180° 三线八角 同位角：如图，∠1与⑰　 　，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5 内错角：如图，∠3与⑱ 　 ，∠4与∠7 同旁内角：如图，∠3与⑲　 　，∠4与∠8 ∠8 ∠8 ∠7 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 垂线的性质 垂直平分线 1.在同一平面内，过一点有且只有⑳　 条直线与已知直线垂直(基本事实) 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ㉑ 　 　最短 一 垂线段 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离㉒ .　 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的㉓ 　 　上 相等 垂直平分线 线段 、角 、相交线与 平行线 返回目录 平行线 平行公理 及其推论 公理：经过直线外一点，有且只有㉔　　条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 一 平行线的 性质与判定 1.两直线平行 同位角相等 2.两直线平行 内错角㉕　 .　 3.两直线平行 同旁内角㉖ 　 .　 性质 判定 性质 判定 性质 判定 相等 互补 线段 、角 、相交线与 平行线 【温馨提示】　1.平行线间的距离处处相等.　2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 返回目录 线段 、角 、相交线与 平行线 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设是另一个命题的结论，结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 返回目录 考点1　相交线求角度 6年3考 核心考点讲练 1.(2025·河南第4题)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(    ) A.100° B.110° C.120° D.130° C 返回目录 2.(2023·河南第4题)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为(    ) A.30° B.50° C.60° D.80° B 返回目录 3.(2022·河南第3题)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1＝54°，则∠2的度数为(    ) A.26° B.36° C.44° D.54° B 返回目录 4.(2025·洛阳二模)如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为(   ) A.28° B.30° C.32° D.34° D 返回目录 考点2　平行线求角度 6年3考 5.(2024·河南第3题)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(    ) A.60° B.50° C.40° D.30° B 返回目录 6.(2021·河南第5题)如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(    ) A.90° B.100° C.110° D.120° D 返回目录 7.(2020·河南第4题)如图，l1∥l2,l3∥l4,若∠1＝70°，则∠2的度数为(    ) A.100° B.110° C.120° D.130° B 返回目录 8.跨学科 (2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(    ) A.22° B.32° C.35° D.122° B 返回目录 $ 目录 第四章　三角形 课时20　相似三角形 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理 相似 三角形 比例线段 平行线分 线段成比例 比例的性质 基本性质：＝ ⇔ ad ＝ ①　 　(abcd≠0) 合比性质：＝ ⇔ ＝ ②　　 (bd≠0) 等比性质：如果＝＝…＝(b+d+…+n≠0)，那么＝ ③　 . 　 bc 黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段，如果=，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，=≈ ④　 .　 0.618 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).如图1， 若l1∥l2∥l3，则=⑤　 　，＝⑥　 .　 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段 成比例．如图2，3，若DE∥BC，则＝⑦　 　，＝⑧ 　.　 返回目录 相似 三角形 相似三角形 的性质与判定 性质 判定 1.相似三角形对应角⑨　 　，对应边⑩　 . 2.相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例 3.相似三角形的周长比等于⑪　 ，面积比等于⑫ 　 . 　 相等 成比例 相似比 相似比的平方 1.两角分别相等，两个三角形相似 2.两边对应成比例，且⑬ 　 　相等，两个三角形相似 3.三边分别成比例，两个三角形⑭ 　 . 　 夹角 相似 返回目录 相似 三角形 相似 三角形 相似三角形 的常见类型 ∠ACB＝∠AEC=90 ∠1＝∠2 ∠1＝∠2 DE∥BC DE∥BC ∠1＝∠2 A字型 8字型 相似三角 形的应用 应用相似三角形的性质可以测高，如利用镜子的反射或利用阳光下的影子测量建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成比例 返回目录 相似 三角形 位似图形 定义：对于两个图形，如果它们的对应顶点的连线⑮ 　 　 ，并且这点与对 应顶点所连线段成比例，那么这两个图形就是位似图形 相交于一点 1.对应点连线相交于同一点 2.对应边互相平行或共线 3.任意一组对应点到位似中心的距离之比等于⑯ . 相似比 性质 作图步骤 1.确定位似中心 2.连接(或延长)位似中心和原图形的关键点，根据相似比确定各关键点的对应点 3.按原图形顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形 坐标变化:在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为⑰　 . 　 (kx，ky)或(-kx，-ky) 返回目录 考点1　相似三角形的性质与判定 6年6考 核心考点讲练 典例1　(2024·河南第6题)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为( ) A. B.1 C. D.2 B 基础考点过关 返回目录 跟踪训练 1.(2025·河南第6题)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为( ) A. B.1 C. D. B 返回目录 2.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4CD，DE＝2.4，则AD的长为 . 3 返回目录 考点2　相似三角形的应用 6年2考 典例2　身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度.如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是 米. 16 返回目录 跟踪训练 3.数学文化　在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上.已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为 米. 18.2 返回目录 重难考点突破 考点3　相似三角形综合探究 典例3　(华师九上P98 T21改编)如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，得到折痕MN；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得到折痕PQ. (1)求证：△PBE～△QAB. 证明：由折叠，可得∠ABE＝90°， ∴∠ABQ＋∠PBE＝90°. 由折叠，得∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴∠BAQ＋∠ABQ＝90°. ∴∠BAQ＝∠PBE. ∴△PBE ～△QAB. 返回目录 (2)你认为△PBE和△BAE相似吗？请说明理由. 解：△PBE～ △BAE. 理由：∵△PBE～△QAB，∴. 由折叠，可得BQ＝PB，∴. ∴. 又∵∠EPB＝∠EBA＝90°， ∴△PBE～ △BAE. (3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为 . 等边三角形 返回目录 跟踪训练 4.(1)问题发现 如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点(不与端点重合)，连接BE. 填空：①的值为　 　； ②∠DBE的度数为　 　. 1 90° 返回目录 (2)类比探究 如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点(不与端点重合)，连接BE.请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由. 返回目录 解：，∠DBE＝90°. 理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∠CAB＝∠CDE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE，∠ABC＝∠CED＝30°. ∴. ∴△ACD～△BCE. ∴，∠CBE＝∠CAB＝60°. ∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°. 返回目录 $ 目录 第四章　三角形 课时21　锐角三角函数与实物的测量 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理 锐角三 角函数 与实物的 测量 锐角三 角函数 定义：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c. ∠A的正弦：sin A＝= ①　 .　 ∠A的余弦：cos A＝ = ②　 .　 ∠A的正切：tan A＝ = ③　 .　 返回目录 锐角三 角函数 与实物的 测量 特殊角α 30° 45° 60° 图示       sin α ④　 .　 ⑤　 . 　 ⑥　 .　 cos α ⑦　 .　 ⑧　 .　 ⑨　.　 tan α ⑩　 .　 ⑪ 　. 　 ⑫　 .　 特殊角的三角 函数值 1 返回目录 锐角三 角函数 与实物的 测量 解直角三角形：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c 1.三边关系： ⑬　 (勾股定理) 2.两锐角关系：⑭　 . 　 3.边角关系：sin A=cos B = ；cos A=sin B = ；tan A=； tan B= a2+b2=c2 ∠A＋∠B=90° 返回目录 锐角三 角函数 与实物的 测量 锐角三 角函数 的应用 1.仰角、俯角：如图3，图中仰角是 ⑮　 　，俯角是 ⑯　 . 　 2.坡度(坡比)、坡角：如图4，坡角为α，坡度（坡比）i＝tan α＝ ⑰　 .　 3.方向角：如图5，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的 ⑱ 　 　方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向) ∠1 ∠2 南偏东60° 返回目录 考点1　锐角三角函数与解直角三角形 6年2考 核心考点讲练 基础考点过关 典例1　如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长. 解：∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8. ∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6. ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14. 返回目录 (2)求sin∠DAE的值. 解：∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7. ∴DE＝CE－CD＝1. ∵AD⊥BC， ∴. ∴sin∠DAE. 返回目录 跟踪训练 1.(2025·南通)在△ABC中，∠C＝90°，tan A，AC＝2，则BC的长为( ) A.1 B.2 C. D.5 C 返回目录 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin∠BAC＝( ) A. B. C. D. C 返回目录 3.(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 . 10 返回目录 4.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AB＝2.点D在BC的延长线上，且CD＝CA，连接AD. (1)求BC的长. 解：过点A作AE⊥BD于点E，如解图. 在Rt△ABE中，AB＝2，∠B＝30°， ∴BE＝AB·，AE＝AB·sin B＝1. 在Rt△AEC中，∠ACE＝180°－∠B－∠BAC＝45°， ∴EC＝AE＝1. ∴. 返回目录 (2)求tan D的值. 解：在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，AE＝1， ∴. ∴. ∴. 返回目录 重难考点突破 考点2　实际物体的测量 6年6考 类型1　利用相似测高 典例2　(2025·河南第21题)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下. 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和 测量示意图     返回目录 活动主题 测量纪念碑的高度 测量 说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上 测量 数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m 备注 点F，M，D，C在同一水平线上 返回目录 根据以上信息，解决下列问题. (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由. 解：理由：∵太阳光线是平行光线， ∴∠EFD＝∠ADC. 又∵∠EDF＝∠ACD＝90°， ∴△EFD～△ADC.∴. ∵DF＝DE，∴CD＝CA. 返回目录 (2)求纪念碑AB的高度. 解：如图，记NB与DE的交点为P. 由题意，知PN＝DM＝1 m，DP＝BC＝MN＝1.2 m， BN＝CM， PE＝DE－DP＝2.1－1.2＝0.9(m). 设AB＝x m，则CD＝CA＝AB+BC＝(x+1.2)m. ∴BN＝CM＝CD+DM＝x+1.2+1＝(x+2.2)m. 在Rt△PNE中，tan∠PNE＝＝0.9. 在Rt△BNA中，tan∠BNA＝＝0.9， ∴AB＝0.9BN.∴x＝0.9(x+2.2)，解得x＝19.8. 答：纪念碑AB的高度约为19.8 m. 返回目录 (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m. 查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可). 解：小红的结果误差较大.原因可能是平台底部点C不可直接到达，间接测量时产生了较大误差.(原因不唯一，合理即可) 返回目录 跟踪训练 5.(2023·河南第20题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面 1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度(结果精确到0.1 m). 返回目录 解：由题意，可知∠BAE＝∠MAF＝90°，FG＝1.8 m，则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°. ∴∠EAF＝∠BAH. 又∵∠AFE＝∠B＝90°，∴△EAF ∽△HAB. ∴. ∵AB＝30 cm＝0.3 m，BH＝20 cm＝0.2 m，AF＝11 m,∴ m. ∴EG＝EF+FG＝+1.8 ≈ 9.1(m). 答：树EG的高度约为9.1 m. 返回目录 类型2　利用锐角三角函数测高 典例3　(2024·河南第20题)如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角. 返回目录 证明：如解图，设AD与圆交于点M，连接BM，则∠AMB＝∠APB. ∵∠AMB＞∠ADB， ∴∠APB＞∠ADB. (1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB. 返回目录 解：在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6. ∵tan∠APH＝. ∵∠APB＝30°,∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝30°. 在Rt△BHP中，tan∠BPH＝， ∴BH＝PH·tan 30°＝2. ∴AB＝AH－BH＝4 ≈ 4×1.73 ≈ 6.9(m). 答：塑像AB的高约为6.9 m. (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m.求塑像AB的高(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73). 返回目录 跟踪训练 6.(2020·河南第18题)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m. 返回目录 (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，≈1.41). 解：过点A作AD⊥MP，垂足为D，交BC的延长线于点E，如解图所示. 由题意，知四边形BMNC和四边形CNDE均为矩形. 设AE＝x m. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°， ∴CE＝AE＝x m. 返回目录 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝22°， tan∠ABE＝， ∴BE＝ ≈ x. ∵BE－CE＝BC，∴ ≈ 10.67. ∵ED＝BM＝1.6 m， ∴AD＝AE+ED＝10.67+1.6≈12.3(m). 答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m. 返回目录 (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议. 解：误差为12.6－12.3＝0.3(m). 建议：可多次测量，取测量数据的平均值.(答案不唯一，合理即可) 返回目录 $ 目录 第四章　三角形 课时17　一般三角形 知识体系梳理 01 核心考点讲练 02 知识体系梳理 一 般三角形 按边分 按角分：锐角三角形、① 　 　、钝角三角形 直角三角形 三角形的分类 三角形的 边、角关系 三边都不相等的三角形 ② 　 . 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三边关系：任意两边之和③　 第三边；任意两边之差④　 　第三边 大于 小于 角的关系 1.内角和定理：三角形三个内角的和等于⑤　 .　 2.任意一个外角⑥　 与它不相邻的两个内角的和 3.任意一个外角⑦　 　任何一个与它不相邻的内角 180° 等于 大于 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，大边对大角 三角形的性质：三角形具有稳定性 返回目录 一 般三角形 三角形中 的重要线 段及直线 重要线段/直线 图形及性质 数学表示(几何语言) 拓展延伸 线段 中线 AD是△ABC的中线 ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ ⑧　 　＝BC， S△ABD＝S△ACD＝S△ABC 三角形三条中线的交点为三角形的重心 高线 AD是△ABC的高 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC, ∠ADB＝∠ADC＝⑨　 .　 三角形三条高线所在直线的交点为三角形的垂心 角平 分线 AD是△ABC的角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝ ⑩ 　＝∠BAC， DE＝ ⑪　 ，S△ABD∶S△ACD＝BD∶CD＝AB∶AC (1)内心：三角形三条角平分线的交点. (2)内心到三角形三边的距离相等 CD 90° ∠2 DF 返回目录 一 般三角形 三角形中 的重要线 段及直线 重要线段/直线 图形及性质 数学表示(几何语言) 拓展延伸 线段 中位线 DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝ ⑫　 　， S△ADE∶S△ABC＝ ⑬　 .　 三角形三个顶点到某条直线的距离都相等，则该直线是这个三角形的中位线所在的直线 直线 垂直 平分线 DE是△ABC中BC边上的垂直平分线 ∵DE是△ABC中BC边上的垂直平分线， ∴DE⊥BC，BE＝ ⑭　 　， BD＝ ⑮　 .　 (1)外心：三角形三边的垂直平分线的交点. (2)外心到三角形三个顶点的距离相等 BC 1∶4 BC CD 返回目录 考点1　三角形及其边角关系 6年2考 核心考点讲练 1.(2025·连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( ) A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 2.(2025·郑州模拟)已知数轴上点A，B，C，D对应的数分别为－1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是( ) A.1<x<7 B.2<x<6 C.3<x<5 D.3<x<4 B C 返回目录 3.(2025·平顶山模拟)一副直角三角板按如图所示方式放置，则∠1的度数为( ) A.75° B.60° C.105° D.120° C 返回目录 4.(北师八上P182例3)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC ＞ ∠A. 证明：如解图，延长CP交AB于点D. ∵∠BPC是△PDB的一个外角， ∴∠BPC＞∠BDC. ∵∠BDC是△ACD的一个外角， ∴∠BDC＞∠A. ∴∠BPC＞∠A. 返回目录 考点2　三角形中的重要线段 6年4考 5.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 . 4 返回目录 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　　 . 6 返回目录 7.(2025·许昌一模)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G.若BG＝6，则EG＝( ) A.4.5 B.4 C.3.5 D.3 D 返回目录 8.如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于点G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 B 返回目录 9.(2025·威海)如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是( ) A.S△DEFS△BCF B.S△ADES四边形BCED C.S△DBFS△BCF D.S△ADC＝S△AEB B 返回目录 10.请完成命题“三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”的证明. 已知：如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC， AC边上的中线，AD与BE交于点O. 求证：BO＝2OE. 证明：如解图，取AD的中点F，连接EF，则EF是△ADC的中位线. ∴EF∥BC，且EF＝CD. ∵D是BC的中点，∴CD＝BD.∴EF＝BD. ∵EF∥BC，∴BO∶OE＝BD∶EF＝2∶1. ∴BO＝2OE. 返回目录 $