第七章 相交线与平行线课件2025-2026学年 人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 专题训练（二） 利用平行线的性质求角度 1 类型1 直接利用平行线的性质或判定求角度 1.（2024·陕西）如图，，， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 2 2.如图，，，若 ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 3.如图，平行线，被直线所截，平分 ，若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 4.（2024·呼和浩特）如图，直线和 被直线 和所截， ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 类型2 借助学具的特征求角度（针对教材P17练习T3） 5.（2024·泸州）把一块含 角的直角三角板按 如图方式放置于两条平行线间，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 6.（深圳中考）一副三角板如图所示放置， 斜边平行，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 7.（黔西南州中考）将一副三角板按如图 所示的位置摆放在直尺上，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 类型3 抽象出平行线模型求角度 8.【新考向·情境素材】某中学将国家非物质文化遗产——“抖空 竹”引入特色大课间.某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示.将图1 抽象成图2的数学问题：在平面内，.若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 9.（烟台中考）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 ，则 的度数为_____． 挖教材 析真题 炼方法 9 10.如图是一款长臂折叠 护眼灯示意 图，与桌面垂直，当发光的灯管 恰好与桌面平行时， ， ，则 的度数为______。 ． 挖教材 析真题 炼方法 10 类型4 折叠问题中求角度 11.（荆州中考）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 11 $第七章 相交线与平行线 7.4 平移 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识平移 1.下列现象属于平移的是( ) B A.转动的电风扇的叶片 B.打气筒打气时活塞的运动 C.行驶的自行车的后轮 D.在游乐场荡秋千的小朋友 挖教材 析真题 炼方法 3 2.【新考向·传统文化】皮影戏是中国民间古老的传统艺术，2011 年中国皮影戏入选《人类非物质文化遗产代表作名录》.平移如 图所示的孙悟空皮影造型，能得到下列图中的( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有 平移性，下列汉字是由平移构成的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 平移的性质 4.（怀化中考）如图，平移直线至 ，直 线，被直线所截， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 5.（南充中考改编）如图，将三角形沿 向右平移得到三角形，若， ， 则 的长是( ) A A.2 B.2.5 C.3 D.5 挖教材 析真题 炼方法 7 6.如图，将三角形平移得到三角形 ，下列结论中不一定 成立的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 7.如图，将三角形沿射线 的方向平移2个 单位长度到三角形的位置，连接 ，点 ，，的对应点分别是，， ． （1）直接写出图中所有平行的直线； 解：，， ． 挖教材 析真题 炼方法 9 （2）直接写出图中与 相等的线段； 解： . （3）若，则 ___； 挖教材 析真题 炼方法 10 （4）若 ，求 的度数． 解：由（1），可知 ， . 由（1），可知 ， ， ． 挖教材 析真题 炼方法 11 知识点3 平移作图 8.下列平移作图错误的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 9.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中. 题图 挖教材 析真题 炼方法 13 （1）把三角形进行平移，得到三角形，使点与点 对应，请在网格中画出三角形 ； 解：如解图，三角形 即为所求. 解图 （2）线段与线段 的关系是____________. 平行且相等 挖教材 析真题 炼方法 14 10.如图，在一块长，宽 的长方形 场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分 为绿化区，道路的左边线向右平移 就 是它的右边线，则绿化区的面积是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 15 11.如图，将三角形沿方向平移得到三角形 ，若 三角形的周长为，则四边形 的周长为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 16 12.如图, ,直线平移后得到直线，则 ______. 挖教材 析真题 炼方法 17 13.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯 （含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米20元， 升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下， 买地毯至少需要多少元？ 题图 挖教材 析真题 炼方法 18 解图 解：如解图，把台阶向上、向左、向右平移， 构成一个长方形，长宽分别为6.4米， 米， 地毯的长度为 （米）. 升旗台的台阶宽为3米， 地毯的面积为 （平方米）， 买地毯至少需要 （元）． 答：买地毯至少需要840元． 挖教材 析真题 炼方法 19 14.如图1，将三角形平移，使点沿的延长线平移至点 得到三角形，交于点，平分 . 图1 图2 挖教材 析真题 炼方法 20 （1）猜想与 之间的关系，并写出理由； 解： .理由如下： 平分 ， . 由平移的性质，得， ， . 挖教材 析真题 炼方法 21 （2）将三角形平移至如图2所示的位置，得到三角形 ， 请问：平分 吗？为什么？ 图2 挖教材 析真题 炼方法 22 解：平分 .理由如下： 由平移的性质，得 ， ， . 平分 , , , 平分 . 图2 挖教材 析真题 炼方法 23 $第七章 相交线与平行线 数学活动 你有多少种画平行线的方法 1 活动1 你有多少种画平行线的方法 1.学习了平行线后，李明同学想出了“过直线外一点画这条直线的 平行线”的方法，具体步骤如图所示. 图1 图2 图3 图4 根据作图步骤，得到 的依据是________________________. 同位角相等，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 2 2.王芳同学想出了“过直线外一点画这条直线的平行线”的新方法， 她是这样做的，如图所示. 图1 图2 图3 图4 挖教材 析真题 炼方法 3 根据以上信息，写出每一步的具体作法及 的依据. 第一步，_____________________________________________； 第二步，________________________________________________ ___________________； 第三步，___________________________. 的依据是__________________________________________ ___. 沿点所在直线折叠,使点落在直线上,折痕为 把纸片展平,继续沿点所在直线折叠,使点落在折痕上,此时折痕为 把纸片展平,沿折痕画直线 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，已知四边形纸片 ，按如图所示的折纸方法，能折 出经过点且平行于 的折痕吗？说说你的理由. 挖教材 析真题 炼方法 5 解：能折出经过点且平行于 的折痕.理由如下：由第2张图， 折出了经过点且垂直于的直线.第3张图折出了经过点 且垂 直于第2张图折出的折痕的直线.这样由“同一平面内，垂直于同 一条直线的两条直线平行”可知，折出的经过点 的那条直线与 平行. 挖教材 析真题 炼方法 6 活动2 设计窗格图案 4.请用基本图形利用平移的方法设计一个窗格图案. 基本图形: 解：（答案不唯一）设计的窗格 图案可以是: 挖教材 析真题 炼方法 7 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.1 两条直线相交 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 邻补角与对顶角的概念 1.下列图形中，和 是邻补角的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.下列图形中，和 是对顶角的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.（教材P8习题变式）如图，直线，相交于点， 是 内部的一条射线． （1）分别写出和 的邻补角； 解：的邻补角为；的邻补角为和 ． 挖教材 析真题 炼方法 5 （2）写出图中所有的对顶角． 解：和互为对顶角；和 互为对顶角． 挖教材 析真题 炼方法 6 知识点2 邻补角与对顶角的性质 4.（2024·日照）如图，直线， 相交于 点.若 ， ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 5.（贵阳中考）如图，直线，相交于点 ，如果 ，那么 是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 6.如图，直线，相交， ，则 等于( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 7.（教材P3练习T3变式）如图，直线， 相 交于点，且，则 的度 数是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 10 8.如图，直线，相交于点，平分 . （1）若 ，求 的度数； 解：因为 ，平分 ， 所以 ， 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 11 （2）若，求 的度数. 解：因为， ， 所以 . 又因为平分 ， 所以 . 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 12 易错点 未给出图形，考虑不周全致错 9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 和 ，则 _________. 或80 挖教材 析真题 炼方法 13 10.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据 说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论 证“对顶角相等”使用的依据是( ) D A.等角的补角相等 B.同角的余角相等 C.等角的余角相等 D.同角的补角相等 挖教材 析真题 炼方法 14 11.如图，直线，，交于点， ， ，则 ______. 挖教材 析真题 炼方法 15 12.如图，已知直线，相交于点，平分 ，若 ，则 的度数是______. 挖教材 析真题 炼方法 16 13.如图，直线，，相交于点， ， ，则 _____. 挖教材 析真题 炼方法 17 14.（教材P9习题变式）如图，直线， 相交于点，平分，平分 ． （1）求 的度数； 解：因为平分，平分 ， 所以， ， 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 18 （2）若，求 的度数． 解：因为， ， 所以 ， 所以 . 因为平分 ， 所以 . 由（1）知, , 所以 ． 挖教材 析真题 炼方法 19 15.【逻辑推理】探究题： （1）如图1，两条直线相交，对顶角有___对；邻补角有___对； 图1 挖教材 析真题 炼方法 20 （2）如图2,三条直线相交，对顶角有___对,邻补角有____对； 图2 （3）如图3,四条直线相交，对顶角有____对；邻补角有____对； 图3 挖教材 析真题 炼方法 21 （4）在同一平面内,条直线相交 为大于2的整数），交点最多时, 所组成的角中,对顶角有__________对，邻补角有___________对. 挖教材 析真题 炼方法 22 $第七章 相交线与平行线 课标新动向（情境创设） 挖掘教材中相交线与平行 线的跨学科融合 1 【概述】2022版新课标中加大了数学学科的跨学科融合，强调 “要探索命制问题解决及多学科融合类试题”. 挖教材 析真题 炼方法 2 1.（2024·常州）如图，推动水桶，以点 为支点，使其向右倾 斜.若在点处分别施加推力，，则的力臂大于 的力臂 .这一判断过程体现的数学依据是( ) A A.垂线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行 挖教材 析真题 炼方法 3 2.（2024·深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射， ,.若入射光线与平面镜夹角 ，则反射 光线与平面镜夹角 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，水面与底面平行，光线 从空气射入水里时发生 了折射，折射光线射到水底处，点在 的延长线上，若 ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 4.如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与 平行射入接收天线，经反射后聚集到焦点处.若 ， ，则 的度数为_____. 挖教材 析真题 炼方法 6 5.如图是地球截面图，其中， 分别表 示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直 射南回归线（太阳光线 的延长线经过地 心 ），此时，太阳高度最大（即太阳光线 与地面水平线 垂直），若已知南回归线与地面水平线的夹角 为 ，则太阳光线与赤道夹角的度数为________． 挖教材 析真题 炼方法 7 6.如图，，分别表示两面相互平行的镜面，一束光线 照 射到镜面上，反射光线为，此时，；光线 经镜 面反射后的反射光线为，此时.求证： . 挖教材 析真题 炼方法 8 证明：， . 又，， . . ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 9 $第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.2 平行线的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 同位角相等，两直线平行 1.（河池中考）如图， ，要使 ， 则 的大小是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依 据是________________________． 同位角相等，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，若 ，则____//____； 若 ，则____//____. 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 内错角相等，两直线平行 4.如图，下列推理正确的是( ) B A.（已知）， （内错角相等，两 直线平行） B.（已知）， （内错角相等，两 直线平行） C.（已知）， （内错角相等，两 直线平行） D.（已知）， （内错角相等，两 直线平行） 挖教材 析真题 炼方法 6 5.如图，用符号语言表达平行线的判定方法“内错角相等，两直线 平行”的推理形式： __________， ． 挖教材 析真题 炼方法 7 6.请在横线上和括号内完成推理过程并填写推理 依据． 已知：如图，直线分别与直线， 相交于点 ，，垂直于， ． 试说明： ． 解： （已知）， ________ （____________）， 垂直的定义 挖教材 析真题 炼方法 8 即____ ． （已知）， _______ （________________）， （________________________）． 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 知识点3 同旁内角互补，两直线平行 7.如图，已知 ，要使 ，则需具备的 另一个条件可以是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 10 8.如图，已知 ， ， .试说明： . 解： ， （已知）， ______. （已知）， ______. （__________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 11 易错点 对两直线平行的判定条件理解不透彻而致错 9.如图，要得到 ，则需要条件( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 10.【新考向·情境素材】如图，已知 ，为保证两条铁轨 平行，添加的下列条件中，正确的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 13 11.如图，直线,,被直线, 所截，下列说法错误的是( ) C A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若 ，则 挖教材 析真题 炼方法 14 12.如图，已知直线，垂足为，且 ，则当 等于_____时， ． 挖教材 析真题 炼方法 15 13.如图，某工件要求 ，若质检员小李量得 ， ， ，则此工件 ______．（填“合格”或“不合格” ） 合格 挖教材 析真题 炼方法 16 14.如图，在三角形中，，平分， 平分.如果，那么与 平行吗？为什么？ 挖教材 析真题 炼方法 17 解： .理由如下： 平分，平分 ， ， . ，,即 . ， . . 挖教材 析真题 炼方法 18 15.【新考向·跨学科】如图，击打母球，使其击中桌边的点 ， 经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹后经过点 （提示：， ）. 挖教材 析真题 炼方法 19 （1）若 ，求 的度数； 解： ， ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 20 （2）已知 ，母球经过的路线与 一 定平行吗？请说明理由. 挖教材 析真题 炼方法 21 解：母球经过的路线与 一定平行.理由如下： ， ， . 同理,可得 . , . . 故母球经过的路线与 一定平行. 挖教材 析真题 炼方法 $第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合运用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点 平行线的性质与判定的综合运用 1.（金华中考）如图，已知 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.如图，下列判断中正确的是( ) B A.若 ，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 挖教材 析真题 炼方法 4 3.某同学的作业如下框，其中 处填的依据是( ) 如图，已知直线，，，.若，则 . 请完成下面的说理过程. 解：已知 ， 依据（内错角相等，两直线平行），得 . 再依据，得 . 挖教材 析真题 炼方法 5 A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行 C.两直线平行，同位角相等 D.两直线平行，同旁内角互补 √ 挖教材 析真题 炼方法 6 4.【新考向·情境素材】如图，这是某次考古发掘出 的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量 得 .已知 ，则此玉片残 缺角 的度数为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 5.如图，， ．说明： ．请将说明过程填写完整． 解： （已知）， ____（ ________________________）． 又 （已知）， 两直线平行，同位角相等 等式的基本事实 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 ____（ ________________）， __________（ ________________________）， （__________________________）． 挖教材 析真题 炼方法 8 6.如图，在四边形中，， . （1）求 的度数； 解：， . ， . 挖教材 析真题 炼方法 9 （2）若平分交于点， .试说明： . 解：平分， . ， . ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 10 7.如图，，平分， 平分 ，且，下列结论： 平分 ； ； D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ； ，其中正确的个数是 ( ) 挖教材 析真题 炼方法 11 8.将一副三角板按如图所示的方式放置， 其中 ， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 9.如图，， . 挖教材 析真题 炼方法 13 （1）试说明: ; 解： ， ， . ， ， ． 挖教材 析真题 炼方法 14 （2）如果， ，求 的度数． 解：， ， . ， ， ． ． 挖教材 析真题 炼方法 15 10.【新考向·情境素材】国家倡导绿色出行，冰冰的爸爸给她买 了一辆单车.图1是单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意 图，其中，都与地面平行， ， ， 当的度数是多少时，与 平行. 挖教材 析真题 炼方法 16 解：，都与地面 平行， ， ， 即 . ， ， . 当 时， . 挖教材 析真题 炼方法 17 11.从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律， 探索问题的解． 挖教材 析真题 炼方法 18 （1）如图1，，点为， 之间的一点．试说明： ； 图1 挖教材 析真题 炼方法 19 解：如解图，过点作，则 . 解图 ， , ， . ， 即 ． 挖教材 析真题 炼方法 20 （2）如图2，，点，，，为， 之间的四 点．则 ______； 图2 挖教材 析真题 炼方法 21 （3）如图3，，则 _____________． 图3 挖教材 析真题 炼方法 22 $第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 定义与命题的概念 1.（2024·平湖市期中）下列语句不是命题的是( ) D A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.垂线段最短 D.在线段上取点，使 挖教材 析真题 炼方法 3 2.把下面的定义补充完整: （1）规定了原点、正方向和__________的直线叫作数轴; （2）使方程左、右两边的值______的未知数的值,叫作方程的解; （3）直线外一点到这条直线的________的长度,叫作点到直线的 距离. 单位长度 相等 垂线段 挖教材 析真题 炼方法 4 知识点2 命题的组成 3.把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式： ______________________________________. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 挖教材 析真题 炼方法 5 4.（教材P23练习T3变式）写出下列命题的题设和结论. （1）同旁内角互补. 解：题设：两个角为同旁内角， 结论：这两个角互补. （2）等角的余角相等. 解:题设：两个角相等， 结论：这两个角的余角相等. 挖教材 析真题 炼方法 6 （3）若，，则 . 解：题设：，，结论： . 挖教材 析真题 炼方法 7 知识点3 真命题与假命题 5.下列命题是真命题的是( ) D A.若，则, B.若,则 C.大于直角的角是钝角 D.两直线平行，内错角相等 6.下列四个命题：①对顶角相等；②两个锐角的和一定是锐角； ③互补的角是邻补角；④两直线平行，同位角相等，其中是假命 题的有______.（填序号） ②③ 挖教材 析真题 炼方法 8 7.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假. （1）内错角相等； 解：如果两个角是内错角，那么这两个角相等，是假命题. （2）钝角大于它的补角. 解：如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角，是真命题. 挖教材 析真题 炼方法 9 知识点4 定理与证明 8.下列说法错误的是( ) C A.命题不一定是定理，定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命 题就是定理 挖教材 析真题 炼方法 10 9.如图，用两个相同的三角板可以过点作出直线的平行线 ， 能解释其中道理的定理是( ) B A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 11 10.（2024·浙江期中）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一 定是锐角”是假命题的反例是( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 挖教材 析真题 炼方法 12 11.（教材P23例题变式）命题：在同一平面内，垂直于同一条直 线的两条直线互相平行. （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：_________ ________________________________________________________ _____. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 挖教材 析真题 炼方法 13 （2）下面给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写 出证明过程（注明理由）. 如图，已知直线 ，______. 求证： _______ 证明：， （已知）， （垂直的定义）. （同位角相等，两直线平行）. 挖教材 析真题 炼方法 14 12.如图，已知，平分，与 相 交于点，.求证 . 证明： （已知）， （________________________）. 平分 （已知）， （________________）. （________________）. （已知）， _____（________________）, （________________________）. 两直线平行，同位角相等 角平分线的定义 等式的基本事实 等式的基本事实 内错角相等，两直线平行 挖教材 析真题 炼方法 15 13.对于下列假命题，各举一个反例写在横线上: （1）“如果，那么 ”是一个假命题，反例：________ ____________________； （2）“如果，那么 ”是一个假命题，反例：_______ ______________. ， ， 挖教材 析真题 炼方法 16 14.命题“两直线平行,内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如 果是,请给出证明；如果不是,请举出反例. 解：是真命题,证明如下： 已知：如图，,,分别平分和 . 挖教材 析真题 炼方法 17 求证： . 证明：,分别平分和 , , . , . ,即 . . 挖教材 析真题 炼方法 15.如图，是 的邻补角，请你从下面的三个条件中， 选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题. ;;平分 . 挖教材 析真题 炼方法 19 （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“ ”的形式一 一书写出来； 解：由题中条件可得三种正确命题，分别是命题 ； 命题；命题 . 挖教材 析真题 炼方法 20 （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明. 解：答案不唯一.选择命题 . 证明： , , . 平分, , . 挖教材 析真题 炼方法 21 16.（1）如图，,， ,试 说明 ; 解：, . 又 , . . , . 挖教材 析真题 炼方法 22 （2）若把（1）中的题设中的“”与结论“ ”对调， 所得命题是不是真命题？试说明理由； 解：是真命题.理由如下： ,, , . 又，, . 挖教材 析真题 炼方法 23 （3）若把（1）中的题设中的“”与结论“ ”对调， 所得命题是不是真命题？试说明理由. 解：是真命题.理由如下： , , , . ,, . 挖教材 析真题 炼方法 24 $第七章 相交线与平行线 专题训练（一） 平行线中常见的拐点模型 1 【解题方法】过拐点作其中一条直线的平行线，有几个拐点就作 几条平行线，然后利用平行线的性质求解. 1.单拐点模型 “M”型 （燕尾型） “铅笔”型 “M”型变式 “内钩”型 （斧头型） “外钩”型 （犀牛角型） 挖教材 析真题 炼方法 2 2.多拐点模型 挖教材 析真题 炼方法 3 类型1 单拐点模型 1.如图，直线，于点 ，若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 2.如图，将含有 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条 直线其中一条上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 3.如图，直线， ，则 ( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 4.如图，， ， ，则 的 度数为( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 5.如图，若，平分，平分 ， ，则 _____. 挖教材 析真题 炼方法 8 类型2 多拐点模型 6.如图，直线， ， ， 则 等于( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 7.如图，直线, , ，则 ______. 挖教材 析真题 炼方法 10 8.如图，，求 的度数. 题图 挖教材 析真题 炼方法 11 解图 解：如解图，过点作，过点 作 . ， ， ， ， ， ， 即 . 挖教材 析真题 炼方法 12 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识同位角、内错角、同旁内角 1.如图，直线,被直线所截，则与 是( ) A A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角 挖教材 析真题 炼方法 3 2.（贵阳中考）如图， 的内错角是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.（贺州中考）如图，下列两个角是同旁内角的是( ) B A.与 B.与 C.与 D.与 挖教材 析真题 炼方法 5 4.如图，直线，被直线 所截，下列说法不正确的是( ) D A.与是同位角 B.与 是同旁内角 C.与是对顶角 D.与 是内错角 挖教材 析真题 炼方法 6 5.如图，直线，被直线和所截，则 的同位角是___， 的内错角是____. 挖教材 析真题 炼方法 7 6.（教材P9习题变式）如图,和, 和 ,和 各是哪两条直线被哪一条直线所截 而形成的？它们各是什么位置关系的角? 解：和是直线,被直线 所截形成 的内错角；和是直线,被直线 所截形成的同位角； 和是直线,被直线 所截形成的同旁内角. 挖教材 析真题 炼方法 8 知识点2 “三线八角”之间的关系 7.如图，若，则在和； 和 ；和；和 中，相等的有( ) C A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 挖教材 析真题 炼方法 9 8.如图，直线与的边 相交． （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角； 解：与是同位角；与是内错角；与 是同旁内角． 挖教材 析真题 炼方法 10 （2）如果，那么与相等吗？与 互补吗？为什么？ 解：与相等，与 互补．理由如下： 因为，， ， 所以， , 即与相等，与 互补. 挖教材 析真题 炼方法 11 易错点 忽视截线导致找错位置角 9.下列图形中，和 的位置关系不属于同位角的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 10.【新考向·情境素材】数学课上老师用双手形象的表示了“三线 八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截 线）.从左至右依次表示( ) D A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角 C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角 挖教材 析真题 炼方法 13 11.如图，下列说法中，错误的是( ) B A.与 是同位角 B.与 是同位角 C.与 是内错角 D.与 是内错角 挖教材 析真题 炼方法 14 12.在如图所示的八个角中，请写出同位角有 哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些． 解：与，与，与 为同位角； 与，与，与，与 为内 错角；与，与，与，与 为同旁内角. 挖教材 析真题 炼方法 15 13.两条直线被第三条直线所截，是的同旁内角，是 的 内错角. （1）画出示意图，标出，， ； 解：由题意，画出示意图如图所示. 挖教材 析真题 炼方法 16 （2）若，，求，， 的度数. 解：因为， ， 所以设，则, . 因为 ， 所以 . 解得 . 故 ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 17 14.【逻辑推理】 （1）如图1，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 ___对，内错角有___对，同旁内角有___对； 挖教材 析真题 炼方法 18 （2）如图2，三条水平的直线被一条倾斜的直线所 截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有 ___对； （3）根据以上探究的结果，（ 为大于1的整数） 条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有___________对， 内错角有__________对，同旁内角有__________对.（用含 的式 子表示） 挖教材 析真题 炼方法 19 $第七章 相交线与平行线 教材回归（二） 利用平行线的性质或判定解决实际 问题 1 （针对教材P38复习题<m></m>） 教材母题（教材P38复习题 ） 一张台球桌的桌面如图所示，一个球从 桌面上的点滚向桌边，碰着 上的 点后便反弹而滚向桌边，碰着 上 的点便反弹而滚向点.已知，，， 都是直线， 且的平分线垂直于，的平分线垂直于 ， 那么，球经过两次反弹后所滚的路径 是否平行于原来的路径 ？ 挖教材 析真题 炼方法 2 解：球经过两次反弹后所滚的路径平行于原来的路径 ．理 由如下： ，的平分线垂直于，的平分线 垂直于 ， ， . 又， ， ， ． 挖教材 析真题 炼方法 3 1.如图，两面平面镜，形成，从上一点 射出的一 条光线经上一点反射后的光线恰好与 平行，已知 ，，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 2.如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，右拐 行驶，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在 处应该( ) A A.左拐 B.右拐 C.左拐 D.右拐 挖教材 析真题 炼方法 5 3.如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托 架，其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一 时刻的示意图，已知，， ， ，则 的度数为______. 挖教材 析真题 炼方法 6 4.【新考向·情境素材】为响应国家新 能源建设，公交站亭装上了太阳能电 池板.当地某一季节的太阳光 （平行光线）与水平线的最大夹角为 ，如图，电池板 与 最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板 与水平线的 夹角为 ，要使，需将电池板 逆时针旋转 度，则 ____. 挖教材 析真题 炼方法 7 $第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.1 平行线的概念 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 认识平行 1.有下列生活实例:①交通路口的斑马线；②百米直跑道的两边； ③平直的火车铁轨.其中属于平行线的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.下列表示方法正确的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 3.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( ) C A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行、相交或垂直 4.下列说法中，正确的是( ) D A.在同一平面内，没有公共点的两条线段平行 B.在同一平面内，没有公共点的两条射线平行 C.没有公共点的两条直线互相平行 D.互相平行的两条直线没有公共点 挖教材 析真题 炼方法 4 5.在同一平面内，直线与 满足下列条件，把它们的位置关系填 在横线上． （1）若直线与没有公共点，则直线与 ______； （2）若直线与有且只有一个公共点，则直线与 ______； （3）若直线与有两个公共点，则直线与 ______． 平行 相交 重合 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 平行线的画法 6.用三角尺和直尺画平行线: （1）如图1，过点画 ； 图1 解：直线 即为所求. 图1 挖教材 析真题 炼方法 6 （2）如图2，过点画，交于点；画 ，交 于点 . 图2 解：直线， 即为所示. 图2 挖教材 析真题 炼方法 7 知识点3 平行线的基本事实及其推论 7.三条直线，，，若，，则与 的位置关系是 ( ) B A. B. C.或 D.无法确定 8.如图，，，则点，， 在同一条直线上， 理由是____________________________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 挖教材 析真题 炼方法 8 9.如图，，分别是直线 外两点． 挖教材 析真题 炼方法 9 （1）过点画直线，过点画直线 ； 解：如图，直线, 即为所求． 挖教材 析真题 炼方法 10 （2）与 有怎样的位置关系？为什么？ 解： .理由如下： 因为， ， 所以 . 挖教材 析真题 炼方法 11 易错点 对平行线的基本事实理解不透彻而致错 10.经过一点画已知直线 的平行线，能画的条数是( ) D A.0条 B.1条 C.2条 D.不能确定 挖教材 析真题 炼方法 12 11.下列说法中错误的个数是( ) ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线只有 两种位置关系:相交与平行；④不相交的两条直线叫作平行线． C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 挖教材 析真题 炼方法 13 12.如图，直线, 是一条河的两岸,并且 ,点为直线,外一点,现想过点 作 河岸的平行线，只需过点 作_____的平行 线即可,其理由是__________________________ ________________________________. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 13.平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数最多为___个， 最少为___个． 挖教材 析真题 炼方法 14 14.（教材P21习题 变式）观察如图所示的 长方体，回答下列问题: （1）用符号表示两条棱的位置关系： _____,___,___,____ ； （2）与 所在的直线是两条不相交的直线，它们______ （填“是”或“不是”）平行线.由此可知，在__________内，两条不 相交的直线才能叫作平行线. 不是 同一平面 挖教材 析真题 炼方法 15 15.如图： 挖教材 析真题 炼方法 16 （1）过上一点作的平行线交于点 ； 解：过点作的平行线交于点 ，如解图1. 解图1 挖教材 析真题 炼方法 17 （2）过点作 ； 解：过点作 ，如解图2. 解图2 挖教材 析真题 炼方法 18 （3）直线， 有何种位置关系？试说明理由. 解： .理由如下： ，， . 挖教材 析真题 炼方法 19 16.（几何直观）【实验与操作】 画 ，在内部有一点，过点画交 于点（点，在点的两侧），过点画交于点 （点，在点 的两侧）. 挖教材 析真题 炼方法 20 解：如图. 挖教材 析真题 炼方法 21 （1）测量和 的度数； [答案] ， . 挖教材 析真题 炼方法 22 【观察与猜想】 （2）与，与 有什么关系？再画一个图验 证一下； [答案] ， . 画图验证略. 挖教材 析真题 炼方法 23 【拓展与应用】 （3）在（2）的基础上，已知 的两边与 的两边分别平 行， 比 的2倍少 ，求 与 的度数. 挖教材 析真题 炼方法 24 [答案] 由题意，知 . 因为 的两边与 的两边分别平行，所以 或 . 当 时， ，解得 ，则 . 当 时， ，解得 ，则 . 综上， ， 或 ， . 挖教材 析真题 炼方法 25 $第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 两直线平行，同位角相等 1.如图，直线， ，则 ( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.（2024·宿迁）如图，直线 ，直 线分别与直线，交于点， ，且 ，则 等于( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，已知，，，四条直线，，， ， 则 的度数为_____. 挖教材 析真题 炼方法 5 知识点2 两直线平行，内错角相等 4.（贵州中考）如图，，与相交于点 ．若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 5.（雅安中考）如图，，于点， ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 6.（2024·德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图， 其中，， ，则 等于( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 7.如图，若， ， ，则下列结论中 正确的是( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 8.（2024·淄博）如图，已知，平分 .若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 10 9.（绵阳中考改编）如图，，的平分线与 的 平分线交于点，求 的度数. 挖教材 析真题 炼方法 11 解： ， . 平分，平分 ， ， , . 挖教材 析真题 炼方法 12 易错点 误用平行线的性质致错 10.与是同旁内角， ，则( ) D A. B. C. D. 的大小不确定 挖教材 析真题 炼方法 13 11.（2024·东营）已知，直线 ，把一块含 有 角的直角三角板如图放置， ， 三角板的斜边所在直线交于点，则 ( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 14 12.（2024·凉山州）一副直角三角板按如 图所示的方式摆放，点在 的延长线上， 当时， 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 15 13.中华文化博大精深，汉字便是其中一块瑰宝.汉字中存在很多的 “平行美”，如汉字“互”.将汉字“互”转化为几何图形如图所示，已 知,.若 ,求 的度数. 挖教材 析真题 炼方法 16 解： ， . . ， . ， . 挖教材 析真题 炼方法 17 14.【分类讨论思想】如图所示的格线彼此平行.小明在格线中作 已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系.他 先作出 . 挖教材 析真题 炼方法 18 （1）①如图1，点在一条格线上，当 时， _____. ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与 之间的数量 关系，并说明理由. 挖教材 析真题 炼方法 19 解： ，理由如下： 如图，作 平行于格线. 格线都互相平行， ， . ， . 挖教材 析真题 炼方法 20 （2）在图3中，小明作射线，使得 .记 与图中 一条格线形成的锐角为 ， 与图中另一条格线形成的锐角为 ，请直接用等式表示 与 之间的数量关系. [答案] 或 . 挖教材 析真题 炼方法 21 $第七章 相交线与平行线 本章思想方法 1 方程思想 1.如图，已知直线，相交于点 ， ，点为垂足，平分 . 挖教材 析真题 炼方法 2 （1）若 ，求 的度数； 解：平分， ， . ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 （2）若，求 的度数. 解：由于，可设， . 平分 ， ， . ， , ，即 ， 解得 ，的度数为 . 挖教材 析真题 炼方法 4 转化思想 2.如图，在一块长，宽 的长方形草坪上修筑宽度均为 的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草的面积是 ( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 分类讨论思想 3.如图，直线，， 分别为直线 ，上一点，且满足 ， 是射线上的一个动点（不包括端点 ）， 将三角形沿折叠，使顶点 落在点 或 处.若，则 的度数为___________. 挖教材 析真题 炼方法 6 【分析】分两种情况：①点在与之间；②点在 下方. 结合折叠性质可得 ，由平行线的性质可求得 ，结合 ，从而可求解. 挖教材 析真题 炼方法 7 4.线段和线段交于点，平分，点为线段 上一 点（不与点和点重合）过点作，交线段于点 ， 若 ，求 的度数. 挖教材 析真题 炼方法 8 图1 解：分两种情况：①当点在线段 边上时， 如图1所示. ， . 平分 ， . ， . 挖教材 析真题 炼方法 图2 ②当点在线段 上时，如图2所示. 同情况①， . ， ， . 综上，的度数为 或 . 挖教材 析真题 炼方法 10 $第七章 相交线与平行线 核心素养专练 1 1.【跨学科融合】【几何直观、推理能力】某些灯具的设计原理 与抛物线有关.如图，从点照射到抛物线上的光线， 经反 射后都沿着与平行的方向射出.若 ， ，求 的度数. 挖教材 析真题 炼方法 2 解： ， . . ， . 挖教材 析真题 炼方法 3 2.【开放性试题】【几何直观、推理能力、创 新意识】一个跳棋棋盘如图所示，其游戏规 则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过 若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，每一 步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如，从 起始角跳到终点角 ，其中两种不同路径如下： 路径 . 路径 . 挖教材 析真题 炼方法 4 试一试： （1）写出从起始角跳到终点角 的一条路径； 解：答案不唯一，如： . （2）从起始角 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳， 能否跳到终点角 ？ 解：能.其路径为： . 挖教材 析真题 炼方法 5 图1 3.【几何直观、推理能力、创新意识】综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线 ，直线分别交，于点，，点在直线 上，且在点的左侧，点在直线上，且在点的左侧， 是直线 上的一个动点（点不与点，重合）.当点在点， 之间运动 时，试猜想，与 之间的数量关系，并说明理由. 挖教材 析真题 炼方法 6 实践探究： 解图1 解： .理由如下： 如解图1，过点作，则 . ， . . . 独立思考： （1）请解答老师提出的问题. 挖教材 析真题 炼方法 7 （2）如图2，当点运动到点上方时，试猜想， 与 之间的数量关系，并说明理由. 图2 挖教材 析真题 炼方法 8 解图2 解： .理由如下： 如解图2，过点作 ， 则 . ， . . 挖教材 析真题 炼方法 9 （3）如图3，当点运动到点下方时，请直接写出 ， 与 之间的数量关系. 图3 解： . 挖教材 析真题 炼方法 10 $第七章 相交线与平行线 教材回归（一） 垂线段最短的应用（针对教材P6 思考题） 1 教材母题（教材P6思考题） 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 处，如何挖渠能使渠 道最短？ 题图 挖教材 析真题 炼方法 2 解：如解图，沿线段 挖渠，能使渠道最短． 因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 解图 挖教材 析真题 炼方法 3 1.如图，马路上斑马线的作用是为了引导行 人安全地通过马路.某数学小组的同学们认为 行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理， 这一想法体现的数学依据是( ) D A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.平行线间的距离相等 D.垂线段最短 挖教材 析真题 炼方法 4 2.如图， 处有个雨污分流工厂，计划铺设一条 雨水排放管道收集雨水，用于灌溉农场.已知 ，， ，以下挖渠方式能 使管道最短的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 3.如图，河道的一侧有， 两个村庄，现要铺设一条引水管道 把河水引向， 两村，下列四种方案中最节省材料的是( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 4.如图，点表示一个村庄， 表示一条河道.某测绘队沿河道路 线上的点进行测量，测量角度与线段 的长度如表所示： 度数 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 长度 693 587 549 550 570 620 则下面说法正确的是( ) 挖教材 析真题 炼方法 7 A.村庄到河道距离等于 B.村庄到河道距离小于 C.村庄到河道距离大于 D.村庄到河道距离等于 √ 挖教材 析真题 炼方法 8 5.如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和 分别表 示河流与铁路. 题图 挖教材 析真题 炼方法 9 （1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； 解：如解图所示，沿 走，理由：两点之间线段最短. 解图 挖教材 析真题 炼方法 10 （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； 解：如解图所示，沿 走，理由：垂线段最短. 解图 挖教材 析真题 炼方法 11 （3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由. 解：如解图所示，沿 走，理由：垂线段最短. 解图 挖教材 析真题 炼方法 12 $第七章 相交线与平行线 章末复习 相交线与平行线 1 复习点1 相交线 1.六盘水市初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效 果测试项目第一类：立定跳远（男、女），分值5分．体育课上， 老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的 示意图如图，即 的长为某同学的跳远成绩，其依据是( ) 挖教材 析真题 炼方法 2 A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 √ 挖教材 析真题 炼方法 3 2.科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.近些年来，我国的 航空事业不断发展，从如图1所示的飞机中抽象出图2的数学图形， 则下列说法正确的是( ) D A.与是同位角 B.与 是同旁内角 C.与是内错角 D.与 是同旁内角 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，三条直线，，相交于一点，则 等于 ( ) A A. B. C. D.不能确定 挖教材 析真题 炼方法 5 4.如图，直线，相交于点， 于 点， ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 6 5.如图，在三角形中， ，， ， 是线段上的一个动点，则 的最小值为_ __. 挖教材 析真题 炼方法 7 复习点2 平行线的判定与性质 6.如图，，，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 7.（2024·盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图， 若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 8.（2024·天津期末）如图，已知 ， ，则 等于( ) D A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 10 9.（2024·潍坊改编）一种路灯的示意图如图所示， 其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架 所成锐角 .顶部支架与灯杆 所成锐角 ，则与所成锐角的度数为____ . 挖教材 析真题 炼方法 11 10.如图，,， ， ， . （1）求证： ; 证明：, , , . ,, . 挖教材 析真题 炼方法 12 （2）求 的度数. 解：由（1），知 , , . 又 , ， , 解得 , . 挖教材 析真题 炼方法 13 复习点3 命题 11.下列命题中，是真命题的是( ) D A.若，则 B.垂直于同一条直线的两条直线平行 C.任何角都比它的补角小 D.正数大于负数 挖教材 析真题 炼方法 14 12.下列命题中，是假命题的是( ) A A.相等的两个角是对顶角 B.两直线平行，同位角相等 C.内错角相等，两直线平行 D.同角的余角相等 13.把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是 ______________________________________________，它是____ 命题.（填“真”或“假”） 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 真 挖教材 析真题 炼方法 15 14.完成下面的证明. 如图，已知，射线交于点 ，交 于点，从点引一条射线 ，若 ，求证： ． 证明： （已知）, _______（________________________）. 两直线平行，内错角相等 挖教材 析真题 炼方法 16 （已知）, （________________）, _____（__________________________）, _______ （________________________）. _______ （对顶角相等）, （等式的基本事实）. 等式的基本事实 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 挖教材 析真题 炼方法 复习点4 平移 15.如图，这是某公园里一处长方形风景欣 赏区 ，长米，宽 米，为方便游人观赏，公园修建了如图所 示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿 着小路的中间，从出口到出口 所走的路线（图中虚线）长为 ____米. 挖教材 析真题 炼方法 18 16.如图，将周长为8的三角形沿方向平移得到三角形 ， 四边形的周长为13， ．根据题意完成下列各题： （1）和的数量关系为 __________； 和 的位置关系为_________； （2）______ ； （3） _____． 挖教材 析真题 炼方法 19 题图 17.（教材P29练习T1变式）如图，在方格纸 中平移三角形，使点移到点，则点 和点 应移动到什么位置？再次平移三角形 使点由点移到点 ，分别画出两次平移后 的三角形.如果直接平移三角形，使点 移到点 ，平移后的三角形和前面第二次平 移后得到的三角形位置相同吗？ 挖教材 析真题 炼方法 20 解图 解：如解图，点和点分别移动到点 和 点 的位置.两次平移后的三角形分别为三角 形，三角形 如解图所示.如果直 接平移三角形，使点移到点 ，平移 后的三角形和前面第二次平移后得到的三角 形位置相同. 挖教材 析真题 炼方法 21 $第七章 相交线与平行线 易错易混专练 1 易错点1 未给出图形，考虑不周全致错 1.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 和 ，则 _________. 2.已知直线,相交于点，,垂足为 .若 ,则 的度数为____________. 或80 或 挖教材 析真题 炼方法 2 易错点2 对垂线段的性质理解不透彻 3.是直线外一点，，，是直线上三点，且 ， ，，则点到直线 的距离( ) C A.小于 B.等于 C.不大于 D.等于 挖教材 析真题 炼方法 3 易错点3 不能准确识别截线导致找错位置角 4.下列图形中，和 是同位角的是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 5.如图，下列结论中正确的是( ) D A.与是对顶角 B.与 是同位角 C.与是同旁内角 D.与 是同旁内角 挖教材 析真题 炼方法 5 6.如图. （1）当直线，被直线所截时， 的内错角是_______； （2） 的同位角有_______________； （3） 的同旁内角有______________________. ， ，， 挖教材 析真题 炼方法 6 易错点4 无法准确画出图形致错 7.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 的关系是____________. 相等或互补 挖教材 析真题 炼方法 7 易错点5 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行 8.下列图形中，由能得到 的是( ) A A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 8 9.如图，下列条件中，不能判定 的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 9 易错点6 误用平行线的性质致错 10.已知与是同旁内角，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. 或 D.不能确定 挖教材 析真题 炼方法 10 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 垂直的概念 1.如图，,若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 3 2.如图，直线，相交于点 ，下列条件中， 不能说明 的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.（2024·北京）如图，直线和 相交于点 ，.若 ，则 的大小 为( ) B A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 5 4.如图，若,,则 .请说明理 由（补全解题过程）. 解：因为 , 所以 _____（垂直的定义）. 所以 _____. 所以___ （垂直的定义）. 挖教材 析真题 炼方法 6 知识点2 垂线的画法 5.下列各图中，过直线外一点作 的垂线，三角尺摆放正确 的是( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 7 6.（教材P5例2变式）如图，已知和一点，过点 分别画 两边的垂线. 解：如图所示. 挖教材 析真题 炼方法 8 知识点3 关于垂线的基本事实 7.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折 出过点且与 垂直的直线.这样的直线能折出___条，依据是 _____________________________________________________. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 挖教材 析真题 炼方法 9 知识点4 垂线段的定义及性质 8.下列说法正确的是( ) D A.垂线段就是与已知直线相交的线段 B.垂线段就是垂直于已知直线的线段 C.垂线段就是一条竖起来的线段 D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫 垂线段 挖教材 析真题 炼方法 10 9.如图，， ，线段,, 中最短的是 ( ) C A. B. C. D.不能确定 挖教材 析真题 炼方法 11 知识点5 点到直线的距离 10.下列图形中，线段的长度表示点到直线 的距离的是 ( ) C A. B. C. D. 挖教材 析真题 炼方法 12 11.（教材P9习题 变式）“健康第一，从我做起！”如图是七年 级某班一名学生在测量跳远成绩的示意图，直线 是起跳线，则 需要测量的是( ) B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 挖教材 析真题 炼方法 13 易错点 未给出图形，考虑不周全致错 12.直线与直线相交于点，过点作射线垂直于 ，已 知 ，则 ____________. 或 挖教材 析真题 炼方法 14 13.（河北中考）如图，在平面内作已知直线 的垂线，可作垂线 的条数有( ) D A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 挖教材 析真题 炼方法 15 14.如图，直线与直线相交于点 ， ，且，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 15.点为直线外一点，点,,在直线上，若 ， ，，则点到直线 的距离是( ) C A. B.小于 C.不大于 D. 挖教材 析真题 炼方法 16 16.如图，直线，相交于点， ． （1） 的邻补角为________； 挖教材 析真题 炼方法 17 （2）若，判断与 的位置关系，并说明理由； 解： ．理由如下： 因为，所以 ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ． 挖教材 析真题 炼方法 18 （3）若，求 的度数． 解：因为，所以 ． 因为， ， 所以 ． 挖教材 析真题 炼方法 19 题图 17.如图，点，点分别代表两个村庄，直线 代 表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需 要，计划在公路 上的某处设置一个公交站． 挖教材 析真题 炼方法 20 （1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄 最 近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点 表示），依据是 ____________； 解：如解图，点 即为所求． 垂线段最短 解图 题图 挖教材 析真题 炼方法 21 （2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄 和村庄 的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点 表示）， 依据是____________________． 解：如解图，点 即为所求． 两点之间，线段最短 解图 题图 挖教材 析真题 炼方法 22 $第七章 相交线与平行线 专题训练（三） 利用平移转化求图形的周长或面积 1 【模型展示】 ①周长为 ② ③ 挖教材 析真题 炼方法 2 1.（邵阳中考）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图 所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所 用铁丝的长度关系是( ) D A.甲种图形所用铁丝最长 B.乙种图形所用铁丝最长 C.丙种图形所用铁丝最长 D.三种图形所用铁丝一样长 挖教材 析真题 炼方法 3 2.如图，直角三角形 的周长为100，在其内部有6个小直角三 角形，则6个小直角三角形的周长之和为______. 挖教材 析真题 炼方法 4 3.如图，有一块长,宽 的长方形草坪，其中有两条直道 将草坪分为四块，则分成四块草坪的总面积是_________. 挖教材 析真题 炼方法 5 4.如图，将直角三角形沿着点到点 的方向平移到三角形 的位置，平移距离为7，， ，求图中阴影部 分的面积. 挖教材 析真题 炼方法 6 解：由平移的性质，得 ， ， ， ， ， . 挖教材 析真题 炼方法 7 5.如图（本题4个图形中的长方形一致，长为，宽为 ），图形 的操作过程如下：在图1中，将线段 向右平移1个单位长度到 ，得封闭图形 （即阴影部分），在图2中，将折线 向右平移1个单位长度到 ，得封闭图形 （即阴影部分）. 挖教材 析真题 炼方法 8 （1）在图3中，请你类似地设计一个有两个折点的折线，同样向 右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； 解：作图如图3所示. （2）请你分别写出图1，图2，图3中除去阴影部分后的剩余部分 的面积：________,________, ________； 挖教材 析真题 炼方法 9 （3）探究：如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路 （小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），求空白部分表 示的草地面积 . 解： . 挖教材 析真题 炼方法 10 $