精品解析：湖南省桃源县第一中学2026届高三下学期2月模块考试数学试题

2026年桃源县第一中学高三年级2月模块考试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0或 D. 3. 在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ） A. 当时，投篮2次游戏结束的概率为 B. 当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则________ 13. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 14. 已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和是，且. （1）证明：为等比数列； （2）证明：. 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年桃源县第一中学高三年级2月模块考试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数单调性求解，确定集合B，再由并集运算即可求解. 【详解】由可得， 即， 所以， 故选：A 2. 若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数，得到方程，求出或，分两种情况，结合诱导公式得到答案. 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 3. 在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决. 【详解】由题知，的面积为， 所以，即 所以由正弦定理得，即， 所以， 因为， 所以． 故选：D 4. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解. 【详解】，即， 则，即，因为，所以， . 故选：D 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 7. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离. 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为， 所以， 由正方体可得， 所以， 解得， 所以点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为. 故选：D 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为 B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数 C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是 D. 直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，结合三角形的面积公式，可得判定A错误；求得，，得到，求得的值，可判定B正确；设切点 ，求得，得出方程，求得，进而得到点的坐标，可判定C正确；求得，求得切线方程为，结和平行线间的距离，可判定D错误. 【详解】对于A，由可得，所以， 所以曲线在点 处的切线方程为，即. 令 解得 ，令 解得 ，， 所以切线与直线和围成的三角形的面积为 ，所以A错误； 对于B，由，，可得，， 因为函数与函数 的图象在点的切线相同， 所以，可得，所以，所以B正确； 对于C，设切点 ，由，可得， 则切线的斜率为， 因为切线方程为，即，即切线的斜率为， 所以，解得，所以，解得， 所以点的坐标是，所以C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 故选：BC. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 11. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ） A. 当时，投篮2次游戏结束的概率为 B. 当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式可求AB；假定状态再分类讨论，利用递推法可求CD. 【详解】对于A， 由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮2次后游戏结束的概率为，故A正确； 对于B，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 故投篮3次游戏结束的事件为“次投篮结果依次为：不中、命中、命中”， 则由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮3次游戏结束的概率； 投篮4次游戏结束，则第3、4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投篮结果不影响， 故投篮4次游戏结束的概率为， 两者概率相等，故B错误； 对于C，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望，考虑第一次投篮的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投篮总次数为； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，为出现连续次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数学期望. 在连续次命中停止的游戏中，考虑首次达到出现连续命中（）次的时刻， 此时当前投篮的总次数期望为，且最后次都投篮命中. 现在从此状态开始，游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），考虑下一次投篮的结果： 若下一次投篮命中（概率为）， 则出现连续次命中停止投篮游戏结束，即投篮的总次数可看作次； 若下一次投篮命不中（概率为）， 则游戏重置，需再进行次投篮游戏才能结束，即投篮的总次数可看作； 故， 整理得（），故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则________ 【答案】2 【解析】 【详解】由，可得， 所以,因为复数，所以. 13. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【解析】 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 14. 已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 【答案】2646 【解析】 【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出. 【详解】因为，所以前项和. 所以当时， 因为， 所以，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即. 当时，， 又满足上式，所以. 新数列中从到共有项. 当时，；当时，. 所以 . 故答案为：2646. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和是，且. （1）证明：为等比数列； （2）证明：. 【答案】（1）证明如下： 因为， 所以当，， 两式相减，得，即， 所以， 又时，， 所以， 所以， 所以是首项和公比都是2的等比数列. （2）证明如下： 由（1）得， 所以，所以， 所以， 所以是等比数列，首项和公比都是， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据求出，再根据配凑法结合等比数列的概念即可证明； （2）求出，再根据等比数列的前项和公式求出的前项和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值 ；. 【答案】（1）在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下： 连接交于点，连接，取的中点，连接， 又平面,平面， 平面平面，故, O为的中点，点为中点，则， ，故四边形为平行四边形，则， 平面，平面，故平面； 又点为中点，为的中点，故, 平面，平面，故平面， 平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据条件推出平面平面，再根据面面平行的判定定理证明结论. （2）若选，在中，利用，求出，取中点，连接，从而证明，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可. 若选，由，求出，取中点，连接，从而证明，仿照选的方法可求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择， 四边形为菱形，, 则为正三角形，， 故在中，， 由余弦定理知， 取中点，连接， 在中，， 则，所以， 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 平面， 又平面， 故平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 若选： 由（1）可知，， 取中点，连接， 在中，，则，所以， 因为是正三角形，所以， 又平面，则平面， 平面，故； 因为是正三角形，所以， 因为平面，所以平面， 以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， , 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的法向量， 故， 由于平面与平面所成二面角为，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为； 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 18. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 【答案】（1） 不存在，理由如下： 由知的定义域为，且， 假设存在实数，使得为函数的极小值点， 则，即，解得， 此时， 所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾， 所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）反证法说明不存在满足题意的实数； （2）将问题转化为在上有解，整理后得到一个等式，换元后构造函数，利用导数研究该函数的最值，对的范围分类讨论从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若图象上总存在关于点对称的两点， 则在上有解， 即在上有解， 整理得， 令，得， 问题可转化为在上有解， 令，则； ①当时，，是减函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ②当时，，是增函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ③当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以的最小值为， 又时，， 根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，，，，直线， 将代入，整理得 所以，， 所以，， 所以， 同理可得， 所以， 所以直线，即， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，结合即可求出答案； （2）设，，，，直线，将直线方程与椭圆方程联立求出，进而得到点坐标，同理得到点坐标，从而求出直线的方程，即可证明. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题意知，，， 由椭圆的几何性质知，，， 所以，则， 所以， 所以，，故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $