专题05 综合探究（2大考点期中真题汇编，吉林专用）七年级数学下学期人教版

专题05 综合探究 2大高频考点概览 考点01与平行线有关的探究问题 考点02与坐标系有关的探究问题 考点01 与平行线有关的探究问题 1．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，，，求证：． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 2．(24-25七下·吉林吉林·期中)【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】 分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）第一种：如图①，，，求证：（不需要证明）． 第二种：如图②，，，求证：（写出证明过程）． 【得出结论】 （2）由（1）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为______． 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． （4）同一平面内，两个角的两边分别垂直，当其中的一个角为时，直接写出另一个角的度数． 3．(24-25七下·吉林白城通榆县三校·期中)（1）[推理能力]【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊；邻补角的平分线________，一组对顶角的平分线__________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线________，一组内错角的平分线_______，一组同旁内角的平分线________． （2）【论证】如图①所示，已知，分别与，交于点，，，分别平分，，则_________，请证明这个结论的正确性． （3）【应用】如图②所示，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，请应用探究中的结论说明街道是笔直的． 4．(24-25七下·吉林吉林龙潭区吉化第六中学校·期中)已知点A、B、C不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点Q． ①若，，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 5．(24-25七下·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县六校联考·期中)如图，已知、分别是直线、上的点，，且． (1)_______； (2)若射线在直线上方，射线在直线下方，如图②，且．设． ①当在内部时，是否存在的情况？请说明理由； ②当在内部时，如图③，射线和射线交于点，直接用含的代数式表示的度数． 6．(24-25七下·吉林松原宁江区·期中)如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)___________，___________，四边形的面积为___________； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： 当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则___________秒； 当点在上运动时，点的坐标为___________；（用含的式子表示） 当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 7．(24-25七下·吉林松原宁江区·期中)【感知】如图①，若，平分，求证：． 【探索】如图②，平分，点在射线上，点在线段上，若，求证：． 【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数． 8．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期中)【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 9．(24-25七下·吉林名校调研·调研)如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 考点02 与坐标系有关的探究问题 10．(24-25七下·吉林吉林亚桥学校·期中)在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； (2)动点（不与点B重合）是x轴上一动点，的面积为S，直接写出S与t之间的关系式（即用t表示S），并写出对应的t的取值范围； (3)平移线段到线段，使点A的对应点为F，点B的对应点为E，且点E在y轴的正半轴上，点F在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示的面积），求点E、F的坐标，并直接写出与y轴的交点坐标． 11．(24-25七下·吉林吉林·期中)在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点在一条直线上，则；若点不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1)______． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为2，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 12．(24-25七下·吉林白城通榆县三校·期中)如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 13．(24-25七下·吉林吉林龙潭区吉化第六中学校·期中)如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 14．(24-25七下·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县六校联考·期中)长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 15．(24-25七下·吉林松原前郭县·期中)如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)． (1)当点运动了秒时，点的坐标是______； (2)当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间； (3)当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间： (4)若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间． 16．(24-25七·吉林吉林第二十三中学·期中)如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 17．(24-25七下·吉林辽源东丰县横道河镇中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 18．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，将点向右平行移动个单位长度到点，动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动时间为秒． (1)求四边形的面积； (2)当三角形 的面积为四边形的面积的时，求的值； (3)当为何值时，． 19．(23-24七下·吉林桦甸第七中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为．    (1)平移线段得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图②，平移线段到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接．若三角形的面积等于7，求点C、D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点，使（、分别表示三角形、三角形的面积）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 综合探究 2大高频考点概览 考点01与平行线有关的探究问题 考点02与坐标系有关的探究问题 ( 考点0 1 与平行线 有关的探究问题 ) 1．(24-25七下·吉林吉林永吉县·期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，，，求证：． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则__________； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）．（4） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 如图所示，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵底部支架与吊线平行， ∴， ∴， ∴． 2．(24-25七下·吉林吉林·期中)【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】 分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）第一种：如图①，，，求证：（不需要证明）． 第二种：如图②，，，求证：（写出证明过程）． 【得出结论】 （2）由（1）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为______． 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． （4）同一平面内，两个角的两边分别垂直，当其中的一个角为时，直接写出另一个角的度数． 【答案】（）证明见解析；（）相等或互补；（）两个角为，或，；（）或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，探究应用类题型，读懂题意，分析情况，熟练掌握相关几何性质求证是解题的关键． （）根据平行线的性质即可求证； （）通过（）的推理即可得出结论； （）设其中一个角为，则另一个角为，利用（）的结论即可求解； （）根据题意画出图形即可求解． 【详解】（）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （）解：由（）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为：相等或互补， 故答案为：相等或互补； （）解：设其中一个角为，则另一个角为， ∴当， 解得：， 此时两个角为，； 当， 解得：， 此时两个角为，； 综上可知：两个角为，或，； （）解：如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．(24-25七下·吉林白城通榆县三校·期中)（1）[推理能力]【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊；邻补角的平分线________，一组对顶角的平分线__________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线________，一组内错角的平分线_______，一组同旁内角的平分线________． （2）【论证】如图①所示，已知，分别与，交于点，，，分别平分，，则_________，请证明这个结论的正确性． （3）【应用】如图②所示，两条笔直的街道，相交于点，街道，分别平分，，请应用探究中的结论说明街道是笔直的． 【答案】（1）互相垂直，共线，平行，平行，互相垂直；（2）平行，见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角相等，邻补角： （1）根据我们发现有些角平分线的特殊位置关系，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，即可解答； （3）根据对顶角相等可得，再由角平分线的定义可得，进而得到，即可解答． 【详解】解：（1）在研究两条角平分线的位置关系时，发现有些角平分线的位置关系比较特殊；邻补角的平分线互相垂直，一组对顶角的平分线共线（或在同一条直线上）．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线平行，一组内错角的平分线平行，一组同旁内角的平分线互相垂直； （2）． 证明：因为， 所以． 因为，分别平分，， 所以，， 所以， 所以． （3）因为，分别平分，，与是对顶角， 所以根据：“一组对顶角的平分线在同一条直线上”得点，，在同一条直线上，即街道是笔直的． 证明：∵与是对顶角， ∴． ∵，分别平分，， ∴， ∴． ∵为一条直线，与是邻补角， ∴， ∴，即， ∴点E，O，F在一条直线上， 即街道是笔直的． 4．(24-25七下·吉林吉林龙潭区吉化第六中学校·期中)已知点A、B、C不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点Q． ①若，，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的意义，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，将其代入即可求出的度数； （2）①过点作，求出，，由四边形内角和定理可得结论； ②过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出． 【详解】（1）解：如图①，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； 故答案为：； （2）解：①过点作如图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，且， ∴， ∴； ∵ ∴； ②，理由如下： 如图②，过点Q作，则． ∵， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．(24-25七下·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县六校联考·期中)如图，已知、分别是直线、上的点，，且． (1)_______； (2)若射线在直线上方，射线在直线下方，如图②，且．设． ①当在内部时，是否存在的情况？请说明理由； ②当在内部时，如图③，射线和射线交于点，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①不存在，理由见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）由得，若，则，即，解得，不符合题意，即可得到结论； 过点作，由平行的传递性得，所以，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不存在的情况； 理由：， ， 若，则， 即， 又，． ∴， 解得，不符合题意， 不存在的情况； 如图，过点作， ， ， ，， ． 6．(24-25七下·吉林松原宁江区·期中)如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)___________，___________，四边形的面积为___________； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： 当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则___________秒； 当点在上运动时，点的坐标为___________；（用含的式子表示） 当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)，，； (2)；；，理由见解析；或． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解； 由（）得，四边形的面积为，直线将四边形的面积分成两部分，然后分当在上时和当在上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：，，； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴，解得：， 故答案为：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：； ，理由， 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（）得，四边形的面积为， ∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，， ∴，解得：； ∴当在上时，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二次根式的非负性，绝对值的非负性，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 7．(24-25七下·吉林松原宁江区·期中)【感知】如图①，若，平分，求证：． 【探索】如图②，平分，点在射线上，点在线段上，若，求证：． 【拓展】如图③，将【探索】中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，若，请直接写出的度数． 【答案】感知：见解析；探索：见解析；拓展： 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 感知：首先根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，即可证明结论； 探索：首先根据角平分线的定义可得，结合易得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，进而可得，然后由可得，进一步根据“同位角相等，两直线平行”可证明结论； 拓展：过点作，根据平行线的判定与性质可分别确定，的值，即可获得答案． 【详解】解：感知： 平分， ， ∵， ， ； 探索： 平分， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴； 拓展：如下图，过点作， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期中)【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：； 【类比探究】 （）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系； 【学以致用】 （）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数． 【答案】（）证明见解析；（）；（） 【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25七下·吉林名校调研·调研)如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、； (2) (3)35 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、平行线的性质与判定，结合图形添加平行线求出角度之间的关系是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，结合点的坐标即可得出点的坐标； （2）根据平移的性质得到，再利用三角形的面积公式求出的长，结合点的坐标即可得出点的坐标； （3）过点作，过点作，利用平行线的性质与判定得到，，根据角平分线的定义得到，，结合，即可求出的度数； （4）由（3）中的结论得，，，，再根据角度之间的等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段， ，， 又， ， 线段与之间的位置关系和数量关系分别是、，点的坐标为． 故答案为：、；． （2）解：由平移的性质得，， ， ， ， 三角形的面积为6， ， 解得：， 又，点在线段上， 点的坐标为． （3）解：如图，过点作，过点作，   ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 平分，平分， ，， ， 度． 故答案为：35． （4）解：，理由如下： 由（3）得，，，，， ， ． ( 考点02 与坐标系有关 的探究问题 ) 10．(24-25七下·吉林吉林亚桥学校·期中)在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； (2)动点（不与点B重合）是x轴上一动点，的面积为S，直接写出S与t之间的关系式（即用t表示S），并写出对应的t的取值范围； (3)平移线段到线段，使点A的对应点为F，点B的对应点为E，且点E在y轴的正半轴上，点F在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示的面积），求点E、F的坐标，并直接写出与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查坐标与平移变换-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）分和两种情况结合三角形面积公式求解即可； （3）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点E，F的坐标，利用面积求解即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，平移后的对应点C的坐标为， ∴可设，， ∴， 即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C， ∵点A的坐标为， ∴A点平移后的对应点； （2）解：∵点B的坐标为，且点（不与点B重合）是x轴上一动点，点A的坐标为， ∴当时，，， ∴，即； 当时，，， ∴，即 综上，； （3）如图，连接， 设点E的坐标为， ∵点E在y轴上，点F在第二象限， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 11．(24-25七下·吉林吉林·期中)在平面直角坐标系中，点是坐标原点，定义点和点的相关系数如下：若点在一条直线上，则；若点不在一条直线上，则．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点为平面直角坐标系内一动点， 请回答下列问题： (1)______． (2)若，，求点的坐标． (3)点在第二象限，若，且点的纵坐标为2，求点的坐标． (4)当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点的坐标为，点的坐标为，则，，然后通过即可求解； （）由，点的坐标为，所以点在一条直线上，即点在轴上，设，然后通过即可求解； （）设，由，得，然后代入求解即可； （）设点的横坐标为，由，则，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点的坐标为， ∴点在一条直线上，即点在轴上， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的纵坐标为， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：设点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标． 12．(24-25七下·吉林白城通榆县三校·期中)如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）求出三角形的面积为，则可得到三角形的面积为2．设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （3）分长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧和长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧，两种情况根据重叠部分的小长方形一边长为2，则可求出另一边长为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且，两点间的距离等于6个单位长度， ∴， ∴； （2）解：，， 三角形的面积为； 三角形的面积是三角形面积的． 三角形的面积为2． 点在轴上， 设， ， 三角形的面积为， ， 或； （3）解：设经秒后长方形与长方形的重叠面积为1，点，，，的对应点分别为，，，． 由题意可得，，，． ①当长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧时， 重叠部分的小长方形的一边长为2， 另一边长为， ， ， 点运动了． ， 点在上． ， 点， ②当长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧时， 重叠部分的小长方形的长与宽分别为2，， ， ， 点运动了， ，， 点在上， ，点， 点． 综上，点的坐标为或． 13．(24-25七下·吉林吉林龙潭区吉化第六中学校·期中)如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；2；2； (2) (3)秒或秒 (4)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一个数的算术平方根，非负数的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义可求出c，再利用非负性的性质可得a、b，据此求出A、C坐标，再由长方形的性质可得D的坐标； （2）根据（1）所求可得，求出点P运动4秒的路程，可确定点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为，据此可得答案； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上，据此讨论求解即可； （4）设，根据三角形面积计算公式额快递，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵c是4的算术平方根， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由长方形的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点P运动4秒， ∴点P运动的路程为， ∴点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为， ∴点P的坐标为； （3）解：解：在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上， 当点在线段时，； 当点在线段时， 点移动的时间为秒或秒； （4）解；设， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴或， ∴点Q的坐标为或． 14．(24-25七下·吉林松原前郭尔罗斯蒙古族自治县六校联考·期中)长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为_______； (2)在点从点运动到点的过程中，用含的代数式表示的长度； (3)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接、、，当三角形的面积为2时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或； (4)的值为或4或6． 【分析】本题考查了四边形综合题，涉及了动点问题，矩形的性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的x值，同时要数形结合进行思考． （1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当时，点P在上运动，即可求解； （3）分当和当两种情况，根据题意得出方程解答即可； （4）分当点P由O向A运动、当点P由A向B运动和当点P由B向A运动三种情况，利用三角形面积公式得出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵A的坐标为，C的坐标为， ∴， ∴B的坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，点P在上运动， 则， 故答案为：； （3）解：①当（或点P由A向B运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点的坐标为； ②当（或点P由B向A运动）时： 此时直线l运动的距离点运动的距离， 即：， ∴， 故点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为或； （4）解：①当点P由O向A运动时， ∵， ∴， 解得：， ②当点P由A向B运动时， ∵， ∴， 解得：， ③当点P由B向A运动时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，当x的值为 或4或6时，的面积为2． 15．(24-25七下·吉林松原前郭县·期中)如图，已知长方形，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限内，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线运动(即：沿着长方形的边运动一周)． (1)当点运动了秒时，点的坐标是______； (2)当点在上运动时，若的面积是，求点运动的时间； (3)当点距离轴为个单位长度时，求点运动的时间： (4)若点的坐标为，且直线轴，直接写出点运动的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】此题考查长方形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键； （1）根据根据速度乘以时间得出点路程，结合坐标系，即可求解； （2）根据题意，的运动速度与移动的时间，进而结合三角形的面积公式可得答案； （3）根据题意，当点到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案; （4）根据题意，可得或，根据路程除以时间，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴当点运动了秒时，点的坐标是 故答案为：． （2）解：∵长方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积是， ∴， 即， 解得： （3）点距离轴为个单位长度时， 当在上时， ∴ 解得： 当在上时， ∴ 解得： ∴当点距离轴为个单位长度时，点运动了秒或秒 （4）∵点的坐标为，且直线轴， ∴或 ∴或 ∴点运动秒或秒 16．(24-25七·吉林吉林第二十三中学·期中)如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】此题考查动点问题，解题关键是将速度乘时间表示动点运动的距离，然后根据数量关系列方程进行求解． （1）求出，，即可求解； （2）直接根据三角形的面积公式解答，即可求解； （3）先求出三角形的面积，然后分三种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：由（1）得：，， ∴三角形的面积为； （3）解：∵三角形的面积是三角形面积的一半， ∴三角形的面积为， 当点P在边上时，，此时， ∴三角形的面积为， ∴，解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在边上时，此时， ∴， ∴， ∴三角形的面积为 ∴， 此时（不符合题意）； 当点P在边上时，此时， 此时， 三角形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 17．(24-25七下·吉林辽源东丰县横道河镇中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 18．(24-25七下·吉林吉林昌邑区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，将点向右平行移动个单位长度到点，动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动时间为秒． (1)求四边形的面积； (2)当三角形 的面积为四边形的面积的时，求的值； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）过点作交的延长线于，可得，四边形是矩形，即得，再根据计算即可求解； （）由四边形的面积为得，即得的边上的高的长都等于，又由平移得，得到，即可得，解方程即可求解； （）由得两点的横坐标相同，，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于，则，如图所示， ∵将点向右平行移动个单位长度到点， ∴，轴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，交的延长线于， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积为； （2）解∵四边形的面积为， ∴， ∵点在任何位置(不包括点)，的边上的高的长都等于点到轴的距离， 即的边上的高的长都等于， ∵动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动的时间为秒， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴的值是或； （3）解：时，如图， ∵， ∴两点的横坐标相同， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，． 19．(23-24七下·吉林桦甸第七中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为．    (1)平移线段得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，若点的坐标为，求点的坐标； (2)如图②，平移线段到线段，点的对应点为点，点的对应点为点，且点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接．若三角形的面积等于7，求点C、D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点，使（、分别表示三角形、三角形的面积）？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了点的平移，坐标与图形，绝对值方程等知识．熟练掌握点的平移，坐标与图形，绝对值方程是解题的关键． （1）由点的坐标为，平移到点的坐标为，可知点坐标向左平移5个单位，向上平移4个单位，进而可求点的坐标； （2）由点在轴的正半轴上，点在第二象限内，则线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，，，如图，连接，由 ，可求，然后作答即可； （3）设，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，平移到点的坐标为， ∴点坐标向左平移5个单位，向上平移4个单位， ∴点平移到点的坐标为， ∴； （2）解：∵点在轴的正半轴上，点在第二象限内， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移个单位， ∴，， 如图，连接，    ∴ ， 解得，， ∴，； （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得，或， ∴存在，点的坐标为或． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05综合探究 目目 考点01 与平行线有关的探究问题 【解】(1) ∠CDF+∠DFE=180°， AE∥DC, .∠AEB=∠C, :∠C=∠DAE, .∠AEB=∠DAE, .AD∥BC: (2)∠DFE=∠ADF+∠AEB,理如下， 如图所示，过点F作FG∥AD, A G E 图1 .∠DFG=∠ADF(两直 行，内错角相等) AD∥BC, .FG∥BC, ∴.∠GFE=∠AEB, ∴.∠DFE=∠DFG+∠EFG=∠ADF+∠AEB: DI,D2,D3 C,B,F (3)如图所示， 的点分为 I吧 工作篮 3 4- 26B 支撑平台 图2 题意，EF∥CD,作AB∥CD,∠ABC=∠I=31°， ..EF AB, 1/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠3+∠FBA=180°， .∠2+∠3=∠3+∠FBA+∠ABC=180°+31°=211°， 答案为：211 (4)如图所示，过点E作EHAB, D B H A 图3 .∠BEH=a=15°， :B=450 ∠HEF=180°-B-∠BEH=180°-15°-45°=120° ,部 AB与FG行， ∴.EH∥FG, .∠HEF+∠EFG=180°， :.∠EFG=180°-∠HEF=180°-120°=60° 2 【解】(1)明：AB∥EF, ∴.∠1=∠B, BC DE, .∠2+∠E=180°， :∠1=∠2， .∠B+∠E=180°： (2)解：(1)我可以出结论： 两个角的两分行， 这两个角的数关系为：相等或互 补， 答案为：相等或互补： (3)解：设中一个角为x, 一个角为2x-30°， 2/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=2x-30° 解：x=30°， 时两个角为30°，30°； x+2x-30°=180° 解：x=70°， 时两个角为70°，110°： 综上可知：两个角为30°，30°或70°，110°； (4)解： 如图， A C EBCE⊥OBCF⊥OA .∠OFC=∠OEC=90°， .∠ECF=360°-90°-90°-60°=120°： 如图， 坠。 E CE⊥OBCF⊥OA :.∠OFC=∠OEC=90°， .∠OGF=∠CGE, ∴.∠ECF=∠AOB=60° 3 【解】解：(1)在 两条角分的位置关系时，发现有角分的位置关系 特；补角 的分互相直，一组对角的分共（或在同一条直上）如果两条行第三条直所， 么一组同位角的分行，一组内错角的分行，一组同内角的分互相直： 3/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)EM FN 明：为ABCD, 所以∠GEB=∠EFD 为EM,FN分 分∠GEB,∠EFD, 1 所以∠GEM=∠GEB,∠EFN= ∠EFD. 所以∠GEM=∠EFN, 所以EMFW (3)为OE,OF分 分∠AOC,∠BOD,∠AOC与∠BOD是对角， 所以根据： 一组对角的分在同一条直上点E,O,F在同一条直上，即道EOF是 直的 明：∠AOC与∠BOD是对角， ∴.∠AOC=∠BOD OE,OF分 分∠AOC,∠BOD, KE.D. 2 ∴.∠AOE=∠BOF ,AB为一条直，∠BOF与∠AOF是补角， ∴.∠BOF+∠AOF=180°， .∠AOE+∠AOF=180°，即∠EOF=180°， ∴点E,O,F在一条直上， 即道EOF是直的 【解】(I)解：如图，过点C作CFAD, D P.------ 图① .CF AD,AD BE, .AD CF BE, 4/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ACF=∠A,∠BCF=180°-∠B, ∠A=58°，∠B=118°， .∠ACB=∠ACF+∠BCF=∠A+180°-∠B=58°+180°-118°=120°， 即∠ACB的度数为120°： 答案为：120°： (2)解：过点C作CFAD如图， 图② .CF AD,AD BE, ..AD CF BE. .∠ACF=∠CAD=60°，∠BCF+∠CBE=180°， .∠ACB=130°， ∴.∠BCF=∠ACB-∠ACF=130°-60°=70°， .∠CBE=180°-∠BCF=180°-70°=110°， ∠CBE 分 4C80-3∠CBE=5, .AN分∠CAD, ∠CAD=60°， :∠CN-C4D=0, :∠C40=180°-∠CaN=150 .∠C40+∠ACB+∠CB0+∠A0B=360 :∠40B=360°-∠CA0-∠ACB-∠CB0=360°-150°-130-55°=250 5/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2∠AQB+∠ACB=180 ,理如下： QM∥AD OM BE 如图，过点Q作 2下---------M 图② OM IAD.OMI BE ∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ 10分∠CMD,B0∠CBE 分 分1 ∴2NMD-2CMD.∠BB0-3∠CBE, ∠406=∠B0M-∠A0M=<CB6-∠C1D .∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB .2∠AQB+∠ACB=180° 5 .PO MN 【解】(1)解： ∠PBA+∠BAN=180°， ∠BAN=45° ∠PBA=135°， 答案为：135°： AC∥BD (2)解： 不存在 的情： 理：，∠BAN=45°， 6/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠MAB=180°-∠BAN=180°-45°=135°， AC∥BD,∠BAC=∠ABD, 即∠BAM-∠MAC=∠PBA-∠PBD, ∠MAC=3∠PBD∠PBD=a(0°<a<60) ∴.135°-3a=135°-a, 解a=0°，不合题意， .不存在AC∥BD的情： 如图，过点C作6E∥0 Q BH -P E D M -NPg∥MN ∴.PQ∥MN∥GE ∴.∠EGB=∠PBD=a,∠EGA=∠NAC=180°-∠MAC=180°-3C, ∴.∠AGB=∠EGA+∠EGB=180°-3a+au=180°-2a 6 【解】(1)解： Vm+2+n-6=0 ∴.m=-2,n=6, A-2,0).D6,4 .OA=2,OE=6, 移性可知，OA=EC=2,OB=DE=4,BDx,OE=BD=6, 六四形1BDE的面积为01x06+0Bx08 -×2×4+6×4=28】 答案为：-2,6,28 (2)解： 点'在D上运动，BDx, 点P的 标为4， 7/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点P的 标与 标相等， .2t=4,解：t=2, 答案为：2： DE∥y 移性可知， ,点P在DE上运动， 点P的标为6， (1),OE=BD=6,OB=DE=4, ∴.PE=10-2t,即点P的 标为10-2t, 点P的标为 6,10-2t) 答案为： (6,10-2t) ∠PBD+∠PAE=∠APB 理， 3<t<5时，点P在DE上运动，过P作PM∥x,如图， y米 D M---- E .BD∥x, .BD∥PM∥x, .∠PBD=∠BPM,∠PAE=∠APM, ∴.∠PBD+∠PAE=∠BPM+∠APM=∠APB, (人)，四形ABDE 28 的面积为， ·直AP将四形ABDE的面积分成2：5两部分 n在a加上时，及m-号8e 421=月2，解12 ÷p在pE上时，及m号m 8/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 ∴.SAPE=5×8PE=亏×28， 7 .PE=2; .BD+PD=10-2=8, .t=4, .直AP将四形ABDE的面积分成2：5两部分时，t的为2或4 7 【解】解：感知： AM分∠BAC, ∠CAM=∠BAM, .AB∥CD, .∠CMA=∠BAM, ∴.∠CAM=∠CMA: AM分∠BAC, .∠CAM=∠BAM, :∠CAM=∠CMA, .∠BAM=∠CMA, .AB∥CD, ∠AEF=∠EFD, ∠AEF=∠C, ∴.∠EFD=∠C, ∴.EFAC: 拓展：如下图，过点M作MN∥AC, N EB M F D ∠CAM=3∠MEF=57 ∴.∠AMN=∠CAM=57°，∠MEF=57°÷3=19°， 9/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF AC, .MN∥EF, ∴.∠EMN=∠MEF=19°， ∴.∠AME=∠AMN+∠EMN=76° 8 【解】(I)明：如图1，过点E作EFAB,∠BAE=∠AEF, 图1 AB∥CD, EF∥CD, ∴.∠DCE=∠CEF, .∠AEC=∠AEF+∠CEF, ∴.∠AEC=∠BAE+∠DCE: (2)如图2，过点E作EFAB,∠BAE+∠AEF=180°， B ------------万 D 图2 :AB∥CD, ∴.EF∥CD, .∠CEF+∠DCE=180°， .∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE=180°+180°， 即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°， (3)如图4，过点E作EMAB,过点F作FN∥CD, 10/28