二次根式及其性质5种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式及其性质5种高频考点专项训练 二次根式及其性质5种高频考点专项训练 考点目录 二次根式的定义 二次根式求值 求二次根式中的参数 二次根式有意义的条件 利用二次根式的性质化简 考点一 二次根式的定义 例1．（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 例2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 例3．（24-25八年级下·广东广州·月考）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； C选项：的根指数为3，不是二次根式； D选项：当时，无意义，不一定是二次根式． 变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 变式3．（24-25八年级下·广东潮州·月考）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 考点二 二次根式求值 例1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 例2．（25-26八年级上·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 例3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）的绝对值是_____，相反数是_____． 【答案】 【详解】解：由题意知，的绝对值为，相反数为， 故答案为：，． 例4．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）已知，，且，则________ 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：当时， ． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时， ， 故选：C． 变式3．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 变式4．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 考点三 求二次根式中的参数 例1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 例2．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 例3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）若二次根式的值为0，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 例4．（24-25八年级下·浙江温州·月考）若是整数，且是自然数，则的值是__________． 【答案】或 【详解】解：设自然数满足（为自然数）， 则，整理得， 将方程看作关于的二次方程， 其判别式需为完全平方数：， 设（为整数）， 则， 因式分解得， 由于为质数，其整数因式分解为或， 故有：①， ，解得，， ②，，解得，， ③， ，解得（舍去，因为为自然数）， ④，，解得（舍去，因为为自然数）， 将代入原方程，解得，即或， 验证这两个解均满足原方程， 故答案为：或． 变式1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 变式3．（24-25八年级下·山西运城·月考）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 变式4．（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 考点四 二次根式有意义的条件 例1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）若有意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数，原式有意义， ∴， 由得，即； 由得，即， ∴， ∴． 例2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 例3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 【答案】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 例4．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 【答案】且 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且． ∴代数式中x的取值范围是且． 变式1．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴． 解不等式得：． 变式3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 变式4．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：要使在实数范围内有意义，根据二次根式和分式有意义的条件可得： ，且，即 分子， ， 解得， 所以x的取值范围是． 考点五 利用二次根式的性质化简 例1．（25-26九年级下·山东淄博·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 例2．（25-26八年级下·北京·开学考试）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【详解】因为，， 所以原式． 例3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得： ， 解得， 将代入不等式，可得， 由，可得，， 则 ． 例4．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算：___________． 【答案】5 【详解】解：． 变式1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能进行加减运算，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 变式3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 变式4．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次根式及其性质5种高频考点专项训练 二次根式及其性质5种高频考点专项训练 考点目录 二次根式的定义 二次根式求值 求二次根式中的参数 二次根式有意义的条件 利用二次根式的性质化简 考点一 二次根式的定义 例1．（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 例3．（24-25八年级下·广东广州·月考）下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 变式3．（24-25八年级下·广东潮州·月考）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 考点二 二次根式求值 例1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 例2．（25-26八年级上·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 例3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）的绝对值是_____，相反数是_____． 例4．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）已知，，且，则________ 变式1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 变式4．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为_________． 考点三 求二次根式中的参数 例1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 例2．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）若二次根式的值为0，则的值为________． 例4．（24-25八年级下·浙江温州·月考）若是整数，且是自然数，则的值是__________． 变式1．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 变式2．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（24-25八年级下·山西运城·月考）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 变式4．（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数______． 考点四 二次根式有意义的条件 例1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）若有意义，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 例4．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是______ ． 变式1．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 变式4．（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______． 考点五 利用二次根式的性质化简 例1．（25-26九年级下·山东淄博·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·北京·开学考试）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 例3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 例4．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算：___________． 变式1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 变式3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 变式4．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： （1）______；（2）______；（3）______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $